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专题 32 相似三角形的性质(基础题型)
1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和
12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】A
【分析】
设另一个三角形的最长边为 ，利用相似三角形的性质即可得．
【详解】
解：设另一个三角形的最长边为 ，
∵两个三角形的形状相同，即这两个三角形相似，
∴ ，
解得 ，
即另一个三角形的最长边为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
2．如图，已知 ∽ ，则下列哪条线段与 的比等于相似比（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的性质，找出对应边，即可．
【详解】解：∵ ∽ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键．
3．两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的
高的比不同
【答案】A
【分析】
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴它们的对应边上的高比为1：4．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关
键．
4．如图，在 ABC中，点D，点E分别在边AB，AC上（不与端点重合），连接DE，若
△
DE∥BC，则 ＝（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，然后得到三角形对应边的比即可得到结果．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，利用平行证明相似，再准确的得到对应边的比是解本
题的关键．
5．如图，在 ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，则AC的长是（ ）
A． B． C．20 D．15
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即： ，
解得： ，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的基本性质是解题关键．
6．如图，为测量楼高 ，在适当位置竖立一根高 的标杆 ，并在同一时刻分别测
得其落在地面上的影长 ，则楼高 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光
线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴AB＝16（米）．
故选：B．【点睛】
考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边
成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
7．已知 相似， ， ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】
根据相似三角形对应角相等即可求出答案
【详解】
∵
∴
∴
故选B
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，牢记对应角相等是解题关键.
8．在某一时刻，测得一根高为 的竹杆的影长为 ，同时测得一栋楼的影长为 ，
则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【详解】
解：设这栋楼的高度为xm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴ ，
解得：x=54．故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
9．已知△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的另一个△A′B′C′的最大边为18，则△ABC
与 的面积比等于（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．4：9
【答案】C
【分析】
根据两个三角形的最长边确定两个相似三角形的相似比，然后根据相似比确定面积的比即
可．
【详解】
解：∵△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的另一个 的最大边为18，
∴两三角形的相似比为6：18＝1：3，
∴△ABC与 的面积比为（1：3）2＝1：9，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
10．如果 ， ，则 的面积与 的面积之比为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．
【详解】
解：∵△ABC∽△DEF，且 ，
∴ 的面积与 的面积之比为 ．
故选：D．【点睛】
本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
11．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的
面积为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】
直接利用三角形中位线定理得出DE BC，DE= BC，再利用相似三角形的判定与性质得
出答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE BC，DE= BC，
∴△ADE△∽ABC，
∵ = ，
∴ ，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选：A．
【点睛】
考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．12．已知 ，点 对应点 ，若 ， ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接根据相似三角形的性质判断 ，在 中求出 即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．
13．如图， 中，D、E分别在 、 上， ， ，则
与 的面积之比为（ ）
A．1：9 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【答案】A
【分析】
根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB＝1：3，因而面积的比是1：9．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∴S ：S ＝1：9．
△ADE △ABC
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解
答此题的关键．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是边AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，
垂足为点D，则AD的长是（ ）
A．16 B． C．6 D．4
【答案】D
【分析】
由题意可得∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，从而可判定△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质得出比例
式，再将相关线段的长代入计算即可得出答案．
【详解】
解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD∶AC＝AE∶AB，
∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，
∴AD∶8＝5∶10，
∴AD＝4．
故选：D．【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
16．如图，在矩形 中， ， ，点E为 中点，P、Q为 边上两个
动点，且 ，当四边形 周长最小时， 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
四边形 周长等于 ,其中 为定值，即求 最小
值， ，作F关于BC的对称点 ,当 共线时 最小，此时的P位
置即为所求．
【详解】
解：如图：四边形 周长等于 ,
作 使
则 ，
作F关于BC的对称点 ,连接 ， 交 于点
四边形 周长= ，其中 为定值，当 共线时 最小，即四边形 周长最小
四边形 是矩形， ，
则
，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，将军饮马，线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，正确
的作出辅助线，转化未知线段为已知线段的长是解题的关键．
17．如图， 与 相交于点 平行 ，则 与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由 ，可证 ，利用相似三角形性质面积比等于相似比的平方即可．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形相似判定与性质,掌握三角形相似判定与性质是解题关键．
18．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 为 与正方形网格
线的交点，下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意易得CE∥AB，然后根据相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及全等
三角形的判定可排除选项．
【详解】
解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴ ，
∴ ， ，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B错误；
∴ ，故D正确；
∵ 为 与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故A错误；
故选D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，
熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题
的关键．
19．如图，已知 ．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交 于点M，交 于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于
点P．
（3）作射线 交 于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线 ，交 ， 分别于点E，F．
依据以上作图，若 ， ， ，则 的长是（ ）A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】
连接 ，则 ，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果
【详解】
如图，连接
垂直平分
,
平分
同理可知
四边形 是平行四边形
又
平行四边形 是菱形
又
，解得：
故选C
【点睛】
本题考查了由已知作图分析角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形，菱形的性
质与判定，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等
量关系是关键．
20．如图， 中， ， ，下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用 ， ，得出 ， ， 以
及平行四边形 ，进而得出比例式，再对每一项进行判断即可．
【详解】
解： ， ，
， ， ，且四边形 是平行四边形．
， ， ， ．
．
所以A，B，D正确，C错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题关键是
灵活运用定理列出比例式．
21．如图，已知零件的外径 ，现用一个交叉卡钳（两条尺长 和 相等，
）量零件的内孔直径 ，若 ，量的 ，则零件的厚
度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据题意证明△AOB∽△COD，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，问题得解．【详解】
解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，
∴OA＝OB，
∵OC：AC＝1：3，
∴OC：OA＝1：2，
∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝10mm，
∴AB＝20mm，
∴零件的厚度为 mm．
故选：B
【点睛】
此题考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，
求出零件的内孔直径AB是解题关键．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边
形BDEC的面积为（ ）
A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
【答案】B
【分析】
由三角形的中位线定理可得DE= BC，DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，
即可求解．
【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE= BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵S =3，
△ADE
∴S =12，
△ABC
∴四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2)，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题
的关键．
24．如图，在 中， ，若 ，则 与 的面积之
比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平
方计算，得到答案．
【详解】
解：∵ ，
∴AD：AB＝1：4，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解
题的关键．
25．如图，在平行四边形 中， ， ， 的面积为25，
则四边形 的面积为（ ）
A．25 B．9 C．21 D．16
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质 ，求得 的面积，利用三角形相似的性质即
可求得四边形 的面积．
【详解】
解：因为 ， ，
∴△DEF∽△DAB，
所以 ，
所以 ，
又因为四边形 是平行四边形，
所以 ， 的面积为25，所以 的面积为25，
所以 的面积为4，
则四边形 的面积为21．故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形的面积比与相似比的关系式解题的关键．
26．如图，把 沿着 的方向平移到 的位置，它们重叠部分的面积是
面积的一半，若 ，则 移动的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与重叠部分为相似三角形，且
面积比为2：1，所以EC：BC=1： ，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．
【详解】
解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴ ，
∴EC：BC=1： ，
∵BC=2 ，
∴EC= ，
∴BE=BC-EC=2 - ．故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证明△ABC∽△HEC．
27．如图，已知 ，则 _________．
【答案】
【分析】
先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出 ，再根据△AOD∽△COB得出
，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可
【详解】
解：作AE⊥BC，CF⊥BD
∵∴△ABD和△BCD等高，高均为AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴
∵△BOC和△DOC等高，高均为CF
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三
角形的面积的特点是解题的关键
28．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 沿CF折叠，点D
落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若 ，则GE的长为________．【答案】
【分析】
因为折叠，则有 ，从而可知 ，利用线段比求出DG的长，即
可求出EG．
【详解】
如图, 四边形ABCD是正方形，
，
因为折叠， ，设垂足为H，
，
，
，
，
，
， ，DE= ，
，，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，找到
是解题的关键．
29．如图，在 中，点D，E分别是 的中点， 与 相交于点F，若
，则 的长是______．【答案】9
【分析】
根据中位线定理得到DE= AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到 ，求
出EF，可得BE．
【详解】
解：∵点D，E分别为BC和AC中点，
∴DE= AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴ ，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性
质证明△DEF∽△ABF．
30．如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F．若 ，
，则 的长为________．
【答案】【分析】
利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，∠BAE+∠DAF=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠FDA，
∴△ABE∽△DFA，
∴ ，
由题意，AD=BC=4，AB=6，
∵E为BC的中点，
∴BE=2，
在Rt△ABE中， ，
∴ ，
∴解得： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
31．如图，在▱ABCD中，点E在DC上，AC与BE相交于点F，若AB＝12，CE＝8，AF＝9，
求FC的长．【答案】6
【分析】
根据平行四边形的性质得出AB∥CD，从而得出△CEF∽△ABF，得出比例式 ，即可
得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴
∵AB＝12，CE＝8，AF＝9，
∴FC=6．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和
性质是解题的关键．
32．如图，已知 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】
根据相似三角形的性质推出 ， ，进而由相似三角形的判定得出
结论．【详解】
证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.
33．如图，在 中， ， ， ， ， ，
，求：
（1） 与 的度数；
（2） 的长．
【答案】（1）∠AED=∠C=75°；（2）
【分析】
（1）证明△AED∽△ACB，可得结果；
（2）利用△AED∽△ACB，得到比例式，即可解答．
【详解】
解：（1）∵∠A=65°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，
∴∠AED=∠C=75°，
（2）由（1）知，△AED∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴BC= ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．本题属于中档题目，能够找到相似的条件即可．
34．如图， ， 相交于点D， ．
（1）若 ， ，求 的长．
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）6；（2）80°
【分析】
（1）根据相似三角形的性质可得 ，可得BD；
（2）根据相似三角形的性质可得 ， ，再利用三角
形内角和可得∠D．
【详解】
解：（1）∵ ，∴ ，
即 ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例，对应角相等．
35．如图，已知 ， 是 的两条中线，P是它们的交点．求证： ．
【答案】见解析
【分析】
连接 ， 是中位线，利用中位线的性质结合三角形相似即可求解．
【详解】
解：证明：连接 ，如图：， 是 的两条中线．
、 是AB、AC的中点．
且 ．
．
．
．
【点睛】
本题考查三角形中位线的性质，三角形相似的判定和性质，关键在于找到中位线和三角形
相似．本题的交点P还是三角形的重心，三角形的重心将中线分的线段比是2：1．
36．如图， 与 相交于点E， ， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】
通过证明△BCE∽△ADE，得到 ，从而求出DE，可得CD．【详解】
解：∵AD∥BC，
∴△BCE∽△ADE，
∴ ，
又∵CE=2， ，
∴ ，
∴DE= ，
∴CD=CE+DE=2+ = ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
37．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且 ．
（1）求证：△CDE∽△ACB；
（2）当DA∶EA＝ 时，求△CDE与△ABC的面积比．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DC＝DA＝DB，所以∠DCA＝∠A，
根据已知条件和三角形外角定义即可得∠DEC＝∠B，进而可得结论；
（2）令EA＝k，DA＝ ，CE＝x，根据△CDE∽△ABC，对应边成比例可得x＝3k，进而根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．
【详解】
（1）∵CD是直角△ABC斜边上的中线，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠DCA＝∠A．
在△ADE中，∠DEC＝∠A＋∠ADE．
又∠ADE＝∠B－∠A，即∠B＝∠A＋∠ADE，
∴∠DEC＝∠B．
∴△CDE∽△ACB．
（2）令EA＝k，DA＝ ，CE＝x．
由△CDE∽△ACB，
得 ，即 ，
解得 ， （舍）．
所以 ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握
相似三角形的判定与性质．
38．如图，在 和 中， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）9．【分析】
（1）先根据角的和差可得 ，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据相似三角形的性质即可得．
【详解】
证明：（1） ，
，即 ，
在 和 中， ，
；
（2）由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 的长为9．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
39．如图，在 中， 在 上， ， ．（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得 ，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得 ，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可
得 ，然后问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
40．如图， 中， 平分 ， 是 上一点， ．
（1）求证： ．
（2）已知 ， ，试求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠CED=∠CDE，
根据三角形外角的性质得到∠B=∠ACE，于是得到结论；
（2）根据△ABD∽△ACE得到 ，可求得AE的值，由DE=AD-AE即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠ACE+∠CAD，
∴∠B=∠ACE，
∴△ABD∽△ACE；（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AD=14，
∴AE= ，
∴DE=14- = ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性
质是解题的关键．
41．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是
菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q， ．
求证：（1）四边形ABCD为矩形；
（2）BE•DQ＝FQ•PE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）通过证明△ABF∽△EPF，可得结论；
（2）通过证明△DPQ∽△FCQ，可得结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ADFE是菱形，
∴AF⊥DE，
∴∠EPF＝90°，
∵ ，∠PFE＝∠AFB，
∴△ABF∽△EPF，
∴∠ABE＝∠EPF＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EF，
∴EC+CF＝BE+CE，
∴BE＝CF，
∵∠DPF＝∠QCF＝90°，∠CQF＝∠PQD，
∴△DPQ∽△FCQ，
∴ ，
∴ ，
∴BE•DQ＝FQ•PE．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质和矩形的判定，掌握相似三角形的判定及性质是关
键．
