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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.9圆内接正多边形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•大东区二模）已知一个正六边形的边心距为 ，则它的外接圆的面积为
A． B． C． D．
2．（2020•南开区二模）如图，五边形 是 的内接正五边形， 是 的直径，则 的
度数是
A． B． C． D．
3．（2021•雁塔区校级模拟）如图，正方形 内接于 ．点 为 上一点，连接 、 ，若
， ，则 的长为
A． B． C． D．
4．（2019秋•南充期末）如图，将边长相等的正方形、正五边形、正六边形纸板，按如图方式放在桌面上，则 的度数是
A． B． C． D．
5．（2021•西昌市模拟）如图， 的周长等于 ，则它的内接正六边形 的面积是
A． B． C． D．
6．（2021•宁德模拟）已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点 ， ， ， ， ， 在圆上．若两
个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是
A． B． C． D．
7．（2020•南充模拟）如图，把正六边形 ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接
EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（ ）A．90° B．85° C．84° D．80°
8．（2021•滨城区二模）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1， ， ， ， 为格点．
为大正方形的内切圆， 交 于点 ，则
A． B． C． D．
9．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在正五边形 中，连接 ，以点 为圆心， 为半径画圆弧
交 于点 ，连接 ．则 的度数是
A． B． C． D．
10．（2020秋•荔湾区期末）如图，已知正六边形 的边长为2， ， 分别是 和 的中点，
是 上的动点，连接 ， ，则 的值最小时， 与 的夹角（锐角）度数为A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•崇明区二模）正五边形的中心角的度数是 ．
12．（2021秋•天心区期中）如图， 的内接正六边形 边长为 ，则该正六边形的面积为
．
13．（2019秋•宝应县期中）如图，正六边形 内接于 其边长为2，则 的内接正三角形
的边长为 ．
14．（2021•南通一模）如图， 、 、 、 为一个正多边形的相邻四个顶点， 为正多边形的中心，
若 ，则这个正多边形的边数为 ．
15．（2020•东莞市校级二模）如图，要拧开一个边长为 的正六边形螺料，扳手张开的开口 至少
为 ．16．（2021•上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正
六边形的面积 ．
17．（2021•奉贤区二模）如图， 的半径为6，如果弦 是 内接正方形的一边，弦 是 内
接正十二边形的一边，那么弦 的长为 ．
18．（2021•长安区二模）如图，正方形 和正六边形 均内接于 ，连接 ；若线段
恰好是 的一个内接正 边形的一条边，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•镇江期末）如图，正方形 内接于 ， 为 上一点，连接 ， ．
（1） ；
（2）若 ， ，求 的长．20．（2020•江岸区校级模拟）如图， ， ， ， 是 上的四个点， ．
（1）求证： 是等边三角形．
（2）若 的半径为2，求等边 的边心距．
21．（2019秋•下城区期中）（1）已知：如图1， 是 的内接正三角形，点 为劣弧 上一动
点．求证： ；
（2）已知：如图 2，四边形 是 的内接正方形，点 为劣弧 上一动点．求证：
．
22．（2020秋•庐阳区期末）已知，正方形 内接于 ，点 是弧 上一点．
（1）如图1，若点 是弧 的中点，求证： ；
（2）如图2，若图中 ，求 的值．23．（2021•河北）如图， 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 为
的整数），过点 作 的切线交 延长线于点 ．
（1）通过计算比较直径和劣弧 长度哪个更长；
（2）连接 ，则 和 有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长 的值．
24．（2021•太原二模）请阅读下面的材料，并完成相应的任务、
仅用圆规三等分、六等分圆是容易的，而四等分、五等分 则有一定难度，历史上卡尔 弗雷德里希 高斯
首次解决了将圆十七等分的难题．拿破仑 波拿巴当年曾向数学家提出这样一个问题：只用圆规，不用直
尺，如何把一个圆周四等分？这个难题最终由意大利数学家马斯凯罗尼解决了．为此，他还写了名为《圆
规几何》的书献给拿破仑，书中还包含了更深刻的作图理论．他给出的作图步骤和部分证明如下：
如图1，第一步：在 上任取一点 ，以点 为一个分点，将 六等分，其他分点依次为 ， ， ，
， ；
第二步：分别以 ， 两点为圆心，以 为半径作弧，两弧交于点 ；第三步：以点 为圆心， 为半径作弧，与 交于 ， 两点．
则点 ， ， ， 是 的四等分点．
证明：如图2，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ．
点 ， ， ， ， ， 是 的六等分点，
．
．
任务：
（1）完成证明；
（2）若 的半径为2，则 的长为 ， 的长为 ．
