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专题3.9 中心对称（专项练习）
一、单选题
1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，与点A（3，2）关于原点成中心对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
3．直线l：y＝﹣ x＋1与直线l 关于点（1，0）成中心对称，下列说法不正确的是（
1 2
）
A．将l 向下平移1个单位得到l
1 2
B．将l 向左平移1个单位得到l
1 2
C．将l 向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l
1 2
D．将l 向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到l
1 2
4．直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （ ）
A．x轴轴对称 B．y轴轴对称
C．原点中心对称 D．以上都不对
5．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．AO=BO B．BO=EO
C．点A关于点O的对称点是点D D．点D 在BO的延长线上
6．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．7．已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，n）和点B（m，﹣2），且 A、B两点关
于原点对称，则该正比例函数的表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x
8．平面直角坐标系内一点 关于原点对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）
A．4n+1 B．3n+1 C．4n+2 D．3n+2
10．如图，在4×4的网格纸中， ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个
格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将 ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的
两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，
那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q
11．如图， 和 关于点 成中心对称，则点 坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．成中心对称的两个图形，下列说法正确的是（ ）①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心可能只在一个图
形上；⑤对称中心必在对应点的连线上．
A．①③ B．③④ C．④⑤ D．①⑤
13．在平面直角坐标系 中， 与 关于原点 成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，则 ________．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´，则
其旋转中心的坐标是______.
16．（1） 和点 关于____________对称；
（2）如果点 在第三象限则点 关于原点的对称点在第________象限．
17．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，
点A，B，C的坐标分别为 ， ， ． 是 关于 轴的对称图形，
将 绕点 逆时针旋转180°，点 的对应点为M，则点M的坐标为________．18．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称
图形的是__________．
19．如图，已知 AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则
AE的长是_____．
20．如图， 与 关于点 成中心对称， ， ， ，则 的
长是___________．
21．若点 与点 关于原点对称，则 ______．
22．以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面
▱
直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．23．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H
点的坐标是_________．
24．点 绕点 旋转 得到点 ，则点 坐标为_______________________．
三、解答题
25．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C
（2，1）．
（1）把 向左平移4个单位后得到对应的 ABC ，请画出平移后的 ABC ；
1 1 1 1 1 1
（2）把 绕原点O旋转180°后得到对应的 ABC ，请画出旋转后的 ABC ；
2 2 2 2 2 2
（3）观察图形可知， ABC 与 ABC 关于点（ ， ）中心对称．
1 1 1 2 2 226．如图，正方形ABCD与正方形AB C D 关于某点中心对称，已知A, D ,D三点的坐标
1 1 1 1 1
分别是（0,4），（0，3），（0，2）.
(1)对称中心的坐标；
(2)写出顶点B, C, B , C 的坐标.
1 1
27．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角
形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．参考答案
1．C
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.
【详解】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，
故选C.
【点拨】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线
折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一
个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
2．C
【分析】
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【详解】
解：点（3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）．故选C．
【点拨】此题重点考查学生对对称点的理解，掌握平面直角坐标系点的对称是解题的关键.
3．B
【分析】
设直线l 的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l：y＝﹣ x＋1上，代入可得直线l 解
2 1 2
析式，根据直线l 与直线l 的解析式即可判断．
1 2
【详解】
解：设直线l 的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l：y＝﹣ x＋1上，
2 1
∴﹣y＝﹣ （2﹣x）＋1，
∴直线l 的解析式为：y＝﹣ x，
2
A、将l 向下平移1个单位得到y＝﹣ x，故此选项正确；
1
B、将l 向左平移1个单位得到y＝﹣ x＋ ，故此选项错误；
1
C、将l 向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣ x，故此选项正确；
1
D、将l 向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到y＝﹣ x，故此选项正确；
1
故选：B．
【点拨】本题考查一次函数图象与几何变换，求得直线l 的解析式是关键．
2
4．C
【分析】
利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案；
【详解】
解：点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于原点中心对称，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，
它们的横纵坐标符号都是互为相反数；
5．D
【分析】根据中心对称的性质：中心对称点平分对应点连线的线段解答即可．
【详解】
解：A、AO=OE，原选项错误；
B、BO=DO，原选项错误；
C、点A关于点O的对称点是点E，原选项错误；
D、点D 在BO的延长线上，原选项正确；
故选：D.
6．D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可判断.
【详解】
A既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B是中心对称图形，但不是轴对称图形；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D既是轴对称图形，又是中心对称图形,
故选D.
【点拨】此题主要考察轴对称图形与中心对称图形的定义，熟知其定义是解题的关键.
7．B
【分析】
根据题意求得m、n的值，把点A的坐标代入函数解析式求出k值，从而得到正比例函数解
析式．
【详解】
解：∵点A（﹣4，n），点B（m，﹣2），且 A、B两点关于原点对称，
∴m＝4，n＝2，
∴A（﹣4，2），
把点A的坐标代入y＝kx得﹣4k＝2，
解得k ，
所以，正比例函数解析式为y x，
故选：B．
【点拨】本题考查了关于原点对称和一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标满足函数解析式求出k值是解题的关键．
8．D
【分析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原
点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】
解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D．
【点拨】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点
对称的特征.
9．D
【分析】
根据图像，分别确定前三个图中围棋的枚数，可知第一个图形中有（3+2）枚，且后一个
图形总比第一个图形多3枚；联系上步分析，便不难得到第n个图形中需要围棋子的枚数
与n的关系，从而解题.
【详解】
解：∵第1个图形中有5枚，即3×1+2枚；
第2个图形中有8枚，即3×2+2枚；
第3个图形中有11枚，即3×3+2枚；
…
∴第n个图形中有3n+2枚．
故选：D．
【点拨】本题属于探究图形的规律的题目，考虑从简单情形入手分析.
10．C
【分析】
画出中心对称图形即可判断
【详解】
解：观察图象可知，点P．点N满足条件．故选：C．
【点拨】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
11．A
【分析】
先求出△ABC和△AB C 中对应的两点坐标，连接此两点坐标则E点必在其中点上，求出
1 1 1
其中点坐标即可．
【详解】
由图可知：
因为B、B 点的坐标分别是：B（-5，1）、B （-1，-3），
1 1
所以BB 的中点坐标为（ ， ），
1
即（-3，-1），
则点E坐标是（-3，-1），
故选A．
【点拨】本题考查了坐标与图象变化-旋转，用到的知识点是图形旋转对称的性质等，图形
旋转后时，其旋转中心必是其对应点连线的中点坐标．
12．D
【分析】
根据成中心对称的图形的性质，对各小题分析判断后利用排除法求解．
【详解】
①成中心对称的两个图形能够完全重合，所以一定形状相同，故本小题正确；
②成中心对称的两个图形能够完全重合，所以大小一定相等，故本小题错误；
③对称中心不一定在图形上，故本小题错误；
④对称中心不一定在任何一个图形上，故本小题错误；
⑤对称中心为对应点连线的中点，所以必在对应点的连线上，故本小题正确．
综上所述：正确的有①⑤．故选D．
【点拨】本题考查了中心对称，是基本概念题，熟练掌握成中心对称图形的性质是解题的
关键．
13．D
【分析】
根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对B
进行判断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断．
【详解】
解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；
B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；
C、△ABC与△A'B'C'关于（- ，0）对称，所以C选项不符合题意；
D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；
【点拨】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图
形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个
图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够
完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平
分．
14．8
【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】
解：∵点A（a，3）与点B（-5，b）关于原点对称，
∴a=5，b=-3，
∴a-b=-5-（-3）=8，
故答案为：8．
【点拨】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标
符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
15．(1，-1)
【分析】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】
解：∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´，
∴A、B的对应点分别是A´、B´，
又∵线段BB′的垂直平分线为x=1，
线段AA′是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，
由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点为（1，-1）．
故答案为(1，-1)．
【点拨】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的判定．能够结合图形，找出对应点的垂
直平分线是解题的关键．
16．原点 二
【分析】
（1）根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称；
（2）先根据A在第三象限即可确定 ，从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对
称的点的特点进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴A、B两点的横纵坐标互为相反数，
∴A、B两点关于原点对称；
（2）∵点 在第三象限，
∴ ，
∴ ，
∴ 在第四象限，
∴点B关于原点对称的点在第二象限，
故答案为：原点，二．
【点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数．
17．
【分析】
根据题意，画出旋转后图形，即可求解
【详解】
解：如图，将 绕点 逆时针旋转180°，所以点 的对应点为M的坐标为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查平面直角坐标系内图形的对称，旋转，解题关键是理解对称旋转的含义，
并结合网格解题．
18．矩形、正方形
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个
图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一
条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】
解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
矩形是轴对称图形又是中心对称图形；
正方形是轴对称图形又是中心对称图形；
故答案为矩形、正方形．
【点拨】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
19．
【分析】
直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】
解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC＝AC＝1，DE＝AB＝3，
∴在Rt△EDA中，AE的长是： ＝ ．
故答案为 ．
【点拨】此题考查的是中心对称的性质和勾股定理,掌握成中心对称的两图形对应边相等和
用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.
20．
【分析】
由题意易得 ，进而根据勾股定理可求
AD与BC的长，然后问题可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ 与 关于点 成中心对称， ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；故答案为 ．
【点拨】本题主要考查中心对称的性质及勾股定理，熟练掌握中心对称的性质及勾股定理
是解题的关键．
21．1
【解析】
∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m=﹣3，n=2，
则（m+n）2018=（﹣3+2）2018=1，
故答案为1．
22．（2，﹣1）
【分析】
根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，
▱
即可得到点C的坐标．
【详解】
解：∵ ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
▱
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点拨】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
23．（2，-1）
【分析】
连接对应点AD、CF，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心H点，在坐
标系内确定出其坐标．
【详解】
解：如图，连接AD、CF，则交点就是对称中心H点．观察图形可知，H（2，-1）．
故答案为：（2，-1）．
【点拨】本题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
确定H点位置是解决问题的关键．
24．
【分析】
过A、C两点向x轴作垂线，构造全等三角形，得到CF和AE相等，BF和BE相等，即可
得到结果．
【详解】
解：过点A作AE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
由旋转性质可得AB=BC，
∵∠CBF=∠EBA，
∴△ABE≌△CFB
∴CF=AE，BF=EB，
又∵EB=2，
∴BF=2，CF=2，∴OF=2+1=3，
∴C（3，2）
故答案为：（3，2）．
【点拨】本题考查旋转变换和三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线证明全等是解题
的关键．
25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．
【分析】
（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△ABC ；
1 1 1
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△ABC ；
2 2 2
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
【详解】
解：（1）如图所示，分别确定 平移后的对应点 ，
得到 ABC 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示，分别确定 旋转后的对应点 ，
得到 ABC 即为所求；
2 2 2
（3）由图可得， ABC 与 ABC 关于点 成中心对称．
1 1 1 2 2 2
故答案为：﹣2，0．
【点拨】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以
上知识是解题的关键．
26．（0， ）；B（－2,4）C（－2，2） （2,1） （2,3）．
【详解】试题分析：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是DD的中点，据此解答即
1
可．
（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形
AB C D 的边长是多少，然后根据A，D，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），
1 1 1 1 1
（0，2），判断出顶点B，C，B ，C 的坐标各是多少即可．
1 1
试题解析：（1）根据对称中心的性质，可得
对称中心的坐标是DD的中点，
1
∵D ，D的坐标分别是（0，3），（0，2），
1
∴对称中心的坐标是（0，2.5）．
（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD与正方形AB C D 的边长都是：4﹣2=2，
1 1 1 1
∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），
∵A D=2，D 的坐标是（0，3），
1 1 1
∴A 的坐标是（0，1），
1
∴B ，C 的坐标分别是（2，1），（2，3），
1 1
综上，可得顶点B，C，B ，C 的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，
1 1
3）．
考点：1、中心对称；2、坐标与图形性质
27．见解析
【分析】
（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相
等；
（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．
【详解】
(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB=CD，∴AC=CD；
(2)∠F=∠MCD.
理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β，
∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β，
∴∠F=∠MCD.
【点拨】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中
心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.
