文档内容
专题 3.8 圆周角和圆心角的关系（专项练习）
一、填空题
知识点一、圆周角概念
1．如图，点 均在圆上，则图中有________个圆周角．
2．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则
∠E=__________．
3．在半径为 的 中，弦 、 分别是 、 ，则 的度数为________．
知识点二、圆周角定理
4．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
5．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径
为2，则CD的长为_____6．如图，点 、 、 、 、 在 上，且弧 为 ，则 ________．
7．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧 上，且OA=AB，则
∠ABC=_____．
8．如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．
9．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_______．
10．如图，在⊙ 中，半径 垂直于弦 ，点 在圆上且 ，则
的度数为_____．11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6 ，则⊙O的半径是_____．
12．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．
13．如图， 是⊙ 的直径， 、 是⊙ 上的两点， ，则
_____ ．
知识点三、同弧或等弧所对的圆周角相等
14．如图，点 ， ， ， 在 上， ， ， ，
则 ________．15．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上， ， ，则 _______．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若
∠DAB=40°，则∠ABC=______．
17．如图， 是 的外接圆 的直径，若 ，则 _____°．
18．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点， = ，若∠AOB=58°，则∠BDC=____
度．19．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数
为_____．
20．如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则
∠ABD=________．
21．如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为______．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝_____°．23．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若
CA=CD，∠ACD=80°，则∠CAB=__°
24．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的
长为______.
知识点四、 半圆或直径所对的圆周角等于90度
25．如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，
∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为__．
26．如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径
BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为_______．
27．如图， ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则
DC=_____．28．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．
29．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，则∠BCD的度数___．
30．如图， 是 的外接圆 的直径，若 ，则 ______ ．
31．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则
∠CAD=________ ．
32．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的
长是________．33．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，则AC＝__________.
知识点五、90度的圆周角所对的弦为直径，所对的弧为半圆
34．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，
BD=5 ，则BC的长为_____．
35．如图，⊙A过点O(0，0)，C( ，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接
BO、BD，则∠OBD的度数是_____．
36．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝
_____．37．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点
N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器
的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接
AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为_____．
39．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的
长为_____．
40．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，AC＝BC，AD与CB交于点E．∠DAB
＝25°，则∠E＝___．41．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC
＝20°，则∠C的度数为__．
42．如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC＝
30°，则点C的坐标为__．
43．如图所示，： 是直径， ________，反之， ，
________.
知识点六、圆周角综合训练
二、解答题
44．已知⊙ 的直径为 ，点 ，点 ，点 在⊙ 上， 的平分线交⊙ 于点 ．
（ ）如图①，若 为⊙ 的直径， ，求 ， ， 的长．
（ ）如图②，若 ，求 的长．45．如图，E是△ABC的内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.
（1）BD与DE相等吗？为什么?
（2）若∠BAC=90°，DE=4，求△ABC外接圆的半径.
46．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF
上一点，且BE=CF，
(1)求证：AE是⊙O的直径；
(2)若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．
47．已知 是 上一点，过点 作不过圆心的弦 ，在劣弧 和优弧 上分别有
动点 (不与 ， 重合)，连接 、 若 ．（1）如图1，当 ， ， 时，求 的半径；
（2）如图2，选接 ，交 于点 ，点 在线段 上(不与 重合)，连接
，若 ，探究直线 与 的位置关系，并证明．
48．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC
（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；
（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．参考答案
1．8
【分析】根据圆周角的定义，圆周角的顶点必在圆周上，据此可把顶点分别为A、B、C、
D的圆周角数出来，即可得到答案．
【详解】
解：以点 为顶点的圆周角各有1个，以点 为顶点的圆周角各有3个，共有8个圆
周角．
故答案为8．
【点拨】本题考查圆周角的定义和分类思想的应用，根据圆周角的定义对图中圆周角进行
分类统计即可得到正确答案．
2．
【分析】连接OD,则OD=OB=OC，由DE=OB,得OD=OB=OC= DE，所以，∠E=∠DOE,
∠C=∠CDO，再证∠CDO=2∠E,∠C=2∠E,可得∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°.
【详解】
连接OD,则OD=OB=OC因为，DE=OB,
所以，OD=OB=OC= DE
所以，∠E=∠DOE, ∠C=∠CDO
所以，∠CDO=2∠E,
所以，∠C=2∠E,
所以，∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°，
所以，∠E=
故答案为
【点拨】本题考核知识点：圆半径的性质，等腰三角形性质,三角形外角性质.解题关键点：
利用三角形的外角和等腰三角形性质得到角的关系.
3． 或
【分析】根据圆的对称性分两种情况讨论求解．
【详解】
如图一，分别连接OA，OB，OC．做OD⊥AB于D，OE⊥AC．∴AD= ，AE= ．
∵OA=1，
∵ ， ，
∴∠AOD=45°，∠AOE=60°．
∴∠AOC=120°，∠AOB=90°．
∴∠BOC=150°，∴∠BAC=75°．（圆周角定理）
如图二，∠BOC=120°-90°=30°，∴∠BAC=15°．
故答案为15°或75°．
【点拨】本题综合考查了特殊角的三角函数值、垂径定理和圆周角的求法及性质．
4．40
【分析】若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可
知∠ACD=∠ABD，在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．
【详解】
连接BD，如图，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°，
故答案为40．
【点拨】本题考查了圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等；半圆（弧）和直径所
对的圆周角是直角，正确添加辅助线是解题的关键.
5．【分析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC= ，然后在Rt△ACD中
利用三角函数即可求得CD的长.
【详解】
解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC= ，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD= ，
故答案为 .
【点拨】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
6．
【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧 对应的圆心角的
度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得 .
【详解】
弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧 为 ，所以 .
顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的一半，所以：
, ，.
【点拨】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.
7．15°
【详解】
分析：根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．
详解：∵OA=OB，OA=AB，
∴OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠COA=90°-60°=30°，
∴∠ABC=15°，
故答案为15°
点拨：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
8．4
【详解】
分析：连接CD，由圆周角定理可知∠ACD=90°，再根据∠DAC=∠ABC可知AC=CD，由
勾股定理即可得出AD的长.
详解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC，
∴∠DAC=∠ADC，∴弧CD=弧AC∴AC=CD，又∵AC2+CD2=AD2，∴2AC2=AD2，
∵AC=4∴AD=4 故答案为4 .
点拨：本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅
助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．65°．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角
相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数
【详解】
解:∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°．
∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
故答案为:65°
【点拨】本题考查圆周角定理及直角三角形两锐角的关系，难度不大．
10．
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【详解】
，
，
，
，
，
故答案为 ．【点拨】此题考查圆周角与圆心角，解题关键在于求出
11．6
【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然
后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．
【详解】
解：作直径CD，如图，连接BD，
∵CD为⊙O直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠A＝60°，
∴BD＝ BC＝ ×6 ＝6，
∴CD＝2BD＝12，
∴OC＝6，
即⊙O的半径是6．
故答案为6．
【点拨】本题主要考查圆周角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握圆周角的性质.
12．60°
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°
13．
【分析】先利用邻补角计算出 ，然后根据圆周角定理得到 的度数．【详解】
，
．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．
14．70°
【分析】根据 = ，得到 ，根据同弧所对的圆周角相等即可
得到 ，根据三角形的内角和即可求出.
【详解】
∵ = ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为
【点拨】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
15．1
【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后根据含30度的直角三角
形三边的关系求求AD的长．
【详解】
解：∵AB为直径，
∴ ，∵ ，
∴ ．
故答案为1．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角
所对的弦是直径．
16．70°
【详解】
解：连接AC，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAB= ∠DAB=20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=70°，
故答案为70°．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接AC是解本题的关键.
17．50
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】
∵ 是 的外接圆 的直径，
∴点 ， ， ， 在 上，
∵ ，∴ ，
故答案为：50．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
18．29
【分析】由等弧所对的圆心角相等，可知∠BOC=∠AOB=58°，根据圆周角定理可知，
∠BDC= ∠BOC求解即可；
【详解】
解：连接OC，
∵ = ，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC= ∠BOC=29°，
故答案为29．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．
19．30°
【分析】连接OC,由题意得出△AOC是等边三角形即可解答.
【详解】
如图，连接OC．∵AB是直径， ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【点拨】本题考查了等弧所对的圆心角相等的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解
题的关键是熟练掌握圆的有关知识.
20．62°
试题分析：连接AD，根据AB是直径，可知∠ADB=90°，然后根据同弧所对的圆周角可得
∠BAD=∠DCB=28°，然后根据直角三角形的两锐角互补可得∠ABD=62°.
故答案为：62.
点拨：此题主要考查了圆周角定理，解题时先利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三
角形，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求解.
21．50°
试题分析：连接OA，
由题意得，∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=80°．
∵OA=OB（都是半径），
∴∠ABO=∠OAB=（180°﹣∠AOB）=50°．
22．35
【分析】如图（见解析），连接AD，先根据圆周角定理可得 ，从而可得，再根据圆周角定理可得 ，由此即可得．
【详解】
如图，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴ ，即
又由圆周角定理得：
∵
∴
故答案为：35．
【点拨】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题关键．
23．40
【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质
得∠ACB=90°，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，
连接BC，∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠ACD=80°，
∴∠CAD+∠CDA+∠ACD=180°
∴∠CAD=∠CDA= （180°-∠ACD）=50°，
∴∠ABC=∠ADC=50°（同弧所对的圆周角相等），
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=40°．
故答案为：40．
【点拨】本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵
活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
24．1
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直
径，得出∠ACB=90°，则BC= AB，从而得出结论．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴BC= AB= ，
故答案为1．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角
所对的弦是直径．25．
【详解】
由题意得：四边形 为等腰梯形.
平分
又 为直径
四边形 周长为10
26．
【分析】连接OD，AD，根据已知可得OC平分∠BCD，根据BC=DC，即可得到
BD⊥CO，根据已知可以推得CO⊥BD，再根据AB为直径，继而可得AD//CO，结合
AE=AO=2，则可得AD=1，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求得BD的长.
【详解】
连接OD，AD，
∵BC=CD，BO=DO，
∴∠1=∠2，∠3=∠DBO，
∴∠1+∠3=∠2+∠DBO，∴∠CDO=∠CBO，
∵OC=OB=OD，
∴∠BCO=∠DCO，
∴CO为等腰△BCD的角平分线，
∴CO⊥BD，∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠3+∠5=∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠5，
∴AD//CO，
∵AE=AO=2，∴AD= CO=1，
在Rt△ABD中，BD= .
【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理等，综合性较强，熟练掌握相关
知识，正确添加辅助线是解题的关键.
27．
【分析】试题分析：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°﹣90°=30°．∴∠CBD=∠CAD=30°.
又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°.
∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC.∴∠ADB= ∠BDC= ×60°=30°.
∵AD=6，∴在Rt△ABD中， .
在Rt△BCD中， .
【详解】
请在此输入详解！
28．27°【分析】根据题意易得∠ACB＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求
解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∴∠D＝∠A＝27°．
故答案为27°．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
29．35°
【分析】连接AD，根据圆周角的性质得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到
∠DAB=35°，最后根据同弧多对圆周角相等即可求解．
【详解】
连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ABD=55°
∵∠DAB=90°-55°=35°
∴∠BCD=∠DAB=35°
故答案为35°．
【点拨】本题考查了圆周角定理，正确的做出辅助线是本题的关键，并且要熟练应用圆周
角的性质．
30．
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=50°，
然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．【详解】
连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°-∠BAD=90°-40°=50°，
∴∠ACB=∠D=50°．
故答案为：50．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．
31．40°
连接CD,则∠ADC=∠ABC=50°,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°,故答案为: 40°.
32．
【详解】
连接AC，根据∠ABC=90°可得AC为直径，则∠ADC=90°，根据Rt△ACD的勾股定理可
得：AC= .33．
【分析】以B为圆心，BA长为半径作圆，延长AB交⊙B于E，连接CE，由圆周角定理
的推论得 ，进而CE=AD=1，由直径所对的圆周角是直角，有勾股定理即可求得
AC的长.
【详解】
如图，以B为圆心，BA长为半径作圆，延长AB交⊙B于E，连接CE，
∵AB=BC=BD=2，
∴C，D在⊙B 上，
∵AB∥CD，
∴ ，
∴CE=AD，
∵AD=1，
∴CE=AD=1，AE=AB+BE=2AB=4，
∵AE是⊙B的直径，∴∠ACE=90º，
∴AC= = ，
故答案为 .
【点拨】本题借助于圆的模型把三角形的问题转化为圆的性质的问题，再解题过程中需让
学生体会这种转化的方法.
34．8
【分析】连接AD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出
AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的
长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
解：连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5 ．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB= =10．
∵AC=6，
∴BC= =8．
故答案为：8．
【点拨】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
35．30°【分析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出
∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角
相等”求出∠OBD的度数.
【详解】
连接CD.
由题意得∠COD=90°，
∴CD是⊙A的直径.
∵D（0，1），C（ ，0），
∴OD=1，OC= ，
∴CD= =2，
∴∠OCD=30°，
∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）
故答案为30°.
【点拨】本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答.
36．28°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABD=62°，
∴∠ACD=∠ABD=62°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=28°．
故答案为28°．
点拨：本题考查圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）
所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．37．144
【详解】
连接OE，
∵∠ACB=90°，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∴点E，A，B，C共圆，
∵∠ACE=3°×24=72°，∴∠AOE=2∠ACE=144°，
∴点E在量角器上对应的读数是：144°，
故答案为144.
38． ﹣6
【分析】取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径
为OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，即可求出BE.
【详解】
如图，取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为
OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，
可得此时OE=OC=OA=6,在RT△OCB中， ,
故BE的最短值为：OB-OE= -6,
故答案： -6.
【点拨】本题考查了圆的直径所对的圆周角为直角，及最短路径问题，难度较大，灵活运
用所学知识能顺利求出答案.39．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理可知
∠A的度数，根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半即可得知BC的长，同理可得出
BE的长，根据勾股定理即可求出EC的长，根据垂径定理即可得出答案.
【详解】
∵AB是⊙O的直径，直径AB垂直于弦CD
∴∠ACB＝90°，∠CEB=90°
∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，∠BCE=30°，
∵AO=4，
∴AB=2OA=8
∴BC=4,BE=2
∴CE＝ ，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是圆周角推论、勾股定理、垂径定理和含30°角的直角三角形，能够
综合调动所学知识解答是本题的关键.
40．20°．
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠ABC＝45°，根据三角形外角性质求出
即可．
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵∠DAB＝25°，
∴∠E＝∠CBA﹣∠DAB＝20°，
故答案为20°．【点拨】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形
的性质等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键．
41．40°
【分析】根据三角形的内角和定理和得到∠ODC的度数，再利用同弧所对的圆心角是圆周
角的两倍，可得到结果.
解：∵∠A＝60°，∠ABC＝20°，
∴∠ODC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，∠ABC＝20°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，
∴∠C＝180°﹣100°﹣40°＝40°
故答案为：40°
【点拨】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度
数是解题关键．
42．(0，5)
【分析】设圆与x轴交于D，连接CD，由圆周角为直角∠COD=90º，则CD为直径，在
RtlΔOCD中同弧所对圆周角∠CDO=∠OBC＝30°，由三角函数求CO即可．
解：设圆与x轴交于D，连接CD，
∵∠COD=90º，
∴CD为直径，
∴CD=10，
∴∠OBC＝30°，
∴∠CDO=∠OBC＝30°,
∴OC=CD•sin30º=5
∴C(0，5)．
故答案为:（0，5）．
【点拨】本题考查C点的坐标问题，引辅助线构造直角三角形，用同弧所对圆周角推出
∠CDO，利用三角函数解决问题是关键．43．90° AB是直径
【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”及“90°的圆周角所对的弦是直径”解答即可.
【详解】
是直径， 90°
反之， ，∴AB是直径
故答案为：90°，AB是直径
【点拨】本题考查的是圆周角定理的推论，掌握“直径所对的圆周角是直角”及“90°的圆
周角所对的弦是直径”是关键.
44．（1）AC=8，BD=CD=5 ；（2）5.
【分析】(1)根据直径得出∠CAB=∠BDC=90°，然后根据Rt△CAB的勾股定理得出AC的
长度，然后根据等腰直角△BDC求出BD和CD的长度；
(2)连接OB，OD，根据AD平分∠CAB，且∠CAB=60°得出∠DOB=2∠DAB=60°，从而得
出△OBD为等边三角形，从而得出BD的长度.
(1)证明：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC= = =8．
∵AD平分∠CAB，
∴
，∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴BD=CD=5 ；
(2)、如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB= ∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．
考点：圆的基本性质
45．（1）DE=DB，理由见解析；（2）2
【分析】(1)由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出弧BD=弧CD,由圆周角定
理得出∠DBC=∠CAD,再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB,即可得出DE=DB;
(2)由(1)得: 弧BD=弧CD,得出CD=BD=DE=4,由圆周角定理得出BC是直径, ∠BDC=90°,由
勾股定理求出 ,即可得出△ABC外接圆的半径.
（1）证明：DE=DB．
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴ = ，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；（2）连接CD，如图所示：由（1）得： = ，
∴CD=BD=DE=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= =4 ，
∴△ABC外接圆的半径：r=2 ．
【点拨】本题考查了三角形内心的定义，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定，三角形
外角的性质，勾股定理等知识点.熟练掌握三角形内心的定义，圆周角定理的推论是解答本
题的关键.
46．(1)证明见解析；(2)AC=4 ．
【分析】（1）由BE=CF，则可证得∠BAE=∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证
明即可；
（2）连接OC，根据圆周角定理证明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．
(1)证明：∵BE=CF，
∴弧BE=弧CF，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴ADC=90°，
∴∠FAC+∠ACD=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠E+∠BAE=90°，
∴∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径；
(2)如图，连接OC，
∴∠AO C=2∠ABC，
∵∠ABC=∠CAE，
∴∠AOC=2∠CAE，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO= ∠AOC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AE=8，
∴AO=CO=4，
∴AC=4 ．
【点拨】本题考查了圆周角定理和其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相
等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°
的圆周角所对的弦是直径．
47．（1） ☉O的半径是 ；（2）AB∥ON，证明见解析
【分析】(1) 连接AB，根据题意可AB为直径，再用勾股定理即可．
(2) 连接 ， ， ，根据圆周角定理可得 ，
从而证出
， 延长 交☉0于点 ，则有 ，再根据三角形内角和定理求得 =90 得证．
解：（1）连接 ，
在☉o中，
，
是☉0的直径．
中，
☉0的半径是
（2）
证明：连接 ， ， ，
在☉0中，
， ，
．
又 ，
．在 中， ， ，
，即
连接 ，交 于点
在☉0中，
延长 交☉0于点 ，则有
，
又: ，
．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，
是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．
48．(1)见解析;(2) 10
【分析】(1)延长BO交⊙O 于F，连接DF，AD，结合已知可证明AC∥DF，继而得出
，从而可得∠COD＝∠AOF，由∠AOB+∠AOF＝180°，即可证明∠AOB+∠COD＝180°；
(2)连接AF，可推导得出AF＝CD＝6，继而根据勾股定理求出BF的长即可得.
(1)证明：延长BO交⊙O 于F，连接DF，AD．
∵BF是直径，
∴∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴AC∥DF，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴ ，
∴∠COD＝∠AOF，
∵∠AOB+∠AOF＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°；
(2)连接AF．
由(1)可知： ，
∴AF＝CD＝6，
∵BF是直径，
∴∠BAF＝90°，
∴BF＝ =10，
∴⊙O的直径为10．
【点拨】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等知识，正确添加辅助线，熟练
掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.
