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专题3.5 轴对称与坐标变化（知识讲解）
【学习目标】
1. 在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系；
2. 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系，利用数形结合思想解决坐标与图形的关系。
【要点梳理】
要点一、用坐标表示地理位置
根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了
适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起．
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
特别说明：(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的
位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角
坐标系的方法是不唯一的．所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．
(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．
要点二、用坐标表示平移
1.点的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋
a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)
或(x，y－b)．
特别说明：：
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．
2.图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，
相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都
加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
特别说明：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此
图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.要点三、平面直角坐标系内对称点坐标的特点：
平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
1、基本知识点：
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数；
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数；
即：1、关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)——(- x , y)
2、关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)——(x , - y)
3、关于原点对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)——(- x , -y)
口诀：关于哪轴对称哪不变，关于原点对称全部变
2、拓展知识点：
1、关于点（a,b）对称的点（x,y）→（2a-x,2b-y）；
2、关于直线x=a对称的点（x,y）→（2a-x,y）；
3、关于直线y=b对称的点（x,y）→（x,2b-y）；
4、关于直线y=x对称的点 （x,y）→（y,x）；
5、关于直线y=-x对称的点（x,y）→（-y，-x）；
【典型例题】
类型一、实际问题中坐标表示位置
1．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A
处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从
A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示
左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（______，_____），B→C（______，_____），D→_____（﹣4，﹣
2）；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣
2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．【答案】(1) （3，4）；（2，0）；A；（2）答案见解析；（3）10．
【分析】
（1）根据规定及实例可知A→C记为（3，4）B→C记为（2，0）D→A记为（﹣4，
﹣2）；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平
移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即
可得到点P的坐标，在图中标出即可；
（3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长．
【详解】
（1）规定：向上向右走为正，向下向左走为负∴A→C记为（3，4）B→C记为（2，
0）D→A记为（﹣4，﹣2）；
（2）P点位置如图所示．
（3）据已知条件可知：A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，
﹣2）；
该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+2=10．
故答案为（3，4）；（2，0）；A；
【点拨】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是
正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
举一反三：
【变式1】这是一个动物园游览示意图，试设计描述这个动物园图中每个景点位置的
一个方法，并画图说明．【答案】狮子（1，10）；马（2，2）；南门（5，5）；飞禽（8，9）；两栖动物
（9，6）．
【详解】适当建立平面直角坐标系，确定原点及各个景点位置坐标．
试题解析：如图：以左下角的点为原点建立平面直角坐标系，每格规定为一个单位长
度，确定各景点的坐标：狮子（1，10）；马（2，2）；南门（5，5）；飞禽（8，9）；两
栖动物（9，6）．
考点：适当建立平面直角坐标系并确定各点坐标．
【变式2】先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点P(x，y)，P(x，y)，这两点间的距离PP＝
1 1 1 2 2 2 1 2
.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐
标轴时，两点间的距离公式可简化为|x －x|或|y －y|.
2 1 2 1
(1)已知点A(2，4)，B(－3，－8)，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为－1，试求A，B两点间的距离；
(3)已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(0，6)，B(－3，2)，C(3，2)，你能判断三角
形ABC的形状吗？说明理由．
【答案】(1) A，B两点间的距离是13；(2) A，B两点间的距离是6；(3)三角形ABC是
等腰三角形．理由见解析.
【分析】
（1）根据两点间的距离公式PP＝ 来求A、B两点间的距离；
1 2
（2）根据两点间的距离公式|y-y|来求A、B两点间的距离；
2 1
（3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求
得AB、BC、AC的长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状．
【详解】
(1)∵A(2，4)，B(－3，－8)，
∴AB＝ ＝ ，
∵132＝169，
∴ ＝13，
即A，B两点间的距离是13；
(2)∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为－1，
∴AB＝|－1－5|＝6，
即A，B两点间的距离是6；
(3)三角形ABC是等腰三角形，
理由：∵一个三角形各顶点的坐标分别为A(0，6)，B(－3，2)，C(3，2)，
∴AB＝ =5，BC＝ =6，AC＝
5，
∴AB＝AC，
∴三角形ABC是等腰三角形．
【点拨】本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系
中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离．类型二、用方位角和距离确定物体位置
2．据某报社报道，某省4艘渔船(如图)在回港途中，遭遇9级强风，岛上边防战
士接到命令后立即搜救．你能告诉边防战士这些渔船的位置吗？
【分析】根据所在方位的角度和距离两个因素确定渔船的位置即可．
解：航标灯在小岛的南偏西60°方向15km处；
渔船A在小岛的北偏东40°方向25km处；
渔船B在小岛的正南方向20km处；
渔船C在小岛的北偏西30°方向30km处；
渔船D在小岛的南偏东65°方向35km处．
【点拨】此题考查坐标确定位置，确定一个物体的位置，需要两个因素：方向与距离．
举一反三：
【变式1】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛
在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
【答案】85°.
【分析】根据方向角，角的和差，可得∠ABC，∠BAC，根据三角形的内角和，可得
答案．
【详解】
B岛在A岛的南偏西40°方向,C岛在A岛的南偏东15°方向,C岛在B岛的北偏东80°方向，
∴∠ABC=40°,∠BAC=55°，
由三角形的内角和，得
∠ACB=180°−∠ABC−∠ACB=180°−40°−55°=85°.
故答案为85°.
【点拨】此题考查方向角，解题关键在于利用三角形的内角和进行计算.
【变式2】（1）电影院在学校 偏 的方向上，距离是
米．
（2）书店在学校 偏 的方向上，距离是 米．
（3）图书馆在学校 偏 的方向上，距离是 米．
（4）李老师骑自行车从学校到邮局发邮件，每分钟走250米，需要多少分钟到达？
【答案】（1）南，偏东70°，400；（2）北，偏西60°，800；（3）南，偏西15°，
400；(4)4分钟.
试题分析：（1）、（2）、（3）根据方向角的定义和图例即可做出判断；
（4）根据时间=路程÷速度计算即可．
试题解析：解：（1）电影院在学校南偏东70°的方向上，距离是400米．
（2）书店在学校北偏西60°的方向上，距离是800米．
（3）图书馆在学校南偏西15°的方向上，距离是400米．
（4）5×200÷250=4．
答：需要4分钟到达．
故答案为（1）南，偏东70°，400；（2）北，偏西60°，800；（3）南，偏西15°，
400；（4）4分钟.
【点拨】：本题主要考查的是方向角的定义，掌握方向角的定义是解题的关键．类型三、坐标与图形的变化-轴对称
3如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）写出点C 的坐标；
1
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）（4，3）；（3） ；
【分析】
(1)从三角形的三边向y轴引垂线,并延长相同的距离找到三点的对称点,顺次连接.
(2)从图形中找出点C ,并写出它的坐标.
1
(3) 根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【详解】（1）△AB C 如图所示．
1 1 1
(2)点C 的坐标为(4，3)．
1(3)S ＝3×5－ ×3×2－ ×3×1－ ×2×5＝ .
△ABC
【点拨】本题主要考查了轴对称图形的作法,注意画轴对称图形找关键点的对称点然后
顺次连接是关键.
【变式1】在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC
（顶点是网格线交点的三
角形)的顶点A、C的坐标分别是(-5，5)，(-2，3)．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△AB C；
1 1 1
（3）请在x轴上求作一点P，使△PB C的周长最小，并直接写出点P的坐标．
1
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) P点坐标（ ，0）
分析：（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）分别作出各点关于 轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）作出点B关于 轴的对称点B，连接 交 轴于点P，则P点即为所求．
2
详解：（1）如图所示； （2）如图所示； （3）P点坐标（ ，0）【点拨】 考查作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，注意最短路线问
题的求法，是高频考点.
【变式2】已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面
直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）．
（1）请以y轴为对称轴，画出与△ABC对称的△A B C ，并直接写出点A 、B 、C
1 1 1 1 1 1
的坐标；
（2）△ABC的面积是 ．
（3）点P（a+1，b-1）与点C关于x轴对称，则a= ，b= ．
【答案】（1）答案见解析，A（－1，－4）、B （－5，－4）、C （－4，－1）；
1 1 1
（2）6 ；（3）3，2．
分析：（1）先得到△ABC关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（3）由关于x轴对称两点横坐标相等，纵坐标互为相反，即可求得a，b的
值.
试题解析：（1）如图所示：A（－1，－4）、B （－5，－4）、C （－4，－1）；
1 1 1
（2）S =4×3- ×3×3- ×3×1=6；
△ABC
（3）∵P（a+1，b-1）与点C（4，-1）关于x轴对称，
∴ ，解得 ，
故答案为3，2.
【点拨】：本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，解题时注意：先找到图形的关
键点，分别把这几个点轴对称，在顺次连接对应点即可得到所求图形.
【变式3】已知点A(2a-b,5＋a),B(2b－1,-a＋b).
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2014的值.
【答案】（1） ，（2）1.
【分析】
（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；
（2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b
的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：（1）∵点A，B关于x轴对称，
∴ ，解得 ；
（2）∵A，B关于y轴对称，
∴ ，
解得 ，
所以（4a+b）2016=[4×（-1）+3]2016=1．
【点拨】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点
的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，
纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【变式4】图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．
(1)作△ABC关于x轴对称的△AB C；
1 1 1
(2)写出点A，B ，C 的坐标；
1 1 1
