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专题 3.3 等腰直角三角形手拉手模型
1．如图，等腰直角 中， ， ，点 、 在边 上，且
， ， ，求 的长．
【解答】解：过点 作 ，垂足为点 ，截取 ，使 ．连接 、 ．
， ， ．
， ．
在 和 中，
，
．
， ．
， ， ．
于是，由 ，得 ．
在 和 中，
，
．
．
在 中，由勾股定理，得 ．．
， ，
，
．
2．如图所示，在等腰 中， ， ， 、 为斜边 上的点，且
求证： ．
【解答】证明：如图，将 绕点 逆时针旋转 到 的位置；
则 ， ； ， ；
， ，
，
， ；
， ，
，而 ，
；在 与 中，
，
，，
．
3．如图是两块等腰直角三角板放置在一起， ， ， ，
， 交 于 ， 交 于 ．求证： ．
【解答】证明：如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
由旋转的性质得， ， ， ， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
，
在 中，由勾股定理得， ，所以 ．
4．如图， 与 都是等腰直角三角形， ， ，
， 绕着点 旋转．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当点 ， ， 在同一直线上，且点 在 内部时，求 的长．
【解答】解：（1） ，
，且 ， ，
；
（2） 与 都是等腰直角三角形， ， ，
， ， ，
点 ， ， 在同一直线上，
，
，
，，
，
，
， （舍去）
．
5．如图，在 中， ， ，把 绕着点 逆时针旋转 得到
，延长 至点 ，使得 ，连接 、 ．
（1）求证： 是等腰直角三角形；
（2）若 ，求 的长．
【解答】（1）证明： 把 绕着点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
是等腰直角三角形；
（2） 把 绕着点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
．
6．如图，在 中， ， ， ， 是 边上的两点，且满足
，求证： ．
【解答】证明：如图所示：把 逆时针旋转 ，连接 ，
，
，
由 旋转而成，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
， ，
，
图形旋转后点 与点 重合， 与 重合，
，
，
，在 中， ，
，
，
，
，
．
7．如图， 和 是有公共顶点的等腰直角三角形， ．
（1）如图 1，连接 ， ， 的延长线交 于点 ，交 于点 ，求证：
；
（2）如图2，把 绕点 顺时针旋转，当点 落在 上时，连接 ， ， 的
延长线交 于点 ，若 ， ，求 的面积．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 和 是 有 公 共 顶 点 的 等 腰 直 角 三 角 形 ，
．
， ， ，
即 ，在 与 中， ，
，
，
，
，
；
（2）在 与 中， ，
，
， ，
，
，
， ， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，的面积 ．
8．如图， 等腰直角 中， ，点 在 上， 将 绕顶点
沿顺时针方向旋转 后得到 ．
（1） 求 的度数；
（2） 当 ， 时， 求 的长 ．
【解答】解： （1） 是由 旋转得到的，
，
，
．
（2） 在等腰直角三角形 中， ，
，
又 ，
， ．
由 （1） 知 且 ，，
．
9．如图， 是等腰直角三角形， 是斜边， 为 内一点， 将
绕点 逆时针旋转后与 重合 ． 如果 ，那么线段 的
长是多少？
【解答】解： 根据旋转的性质可知将 绕点 逆时针旋转后与 重合，
则 ，
所 以 ， ， 所 以 在 中 ，
．
10．如图， 、 都是等腰直角三角形， ， ，若
绕某点逆时针旋转后能与 重合，问：
（1）旋转中心是 ；
（2）逆时针旋转 度；
（3）若 ，则 的长度是 ．
【解答】解：（1） 逆时针旋转后能与 重合，
点即为两三角形的公共顶点，故旋转中心是 点；（2） 逆时针旋转后能与 ，
与 重合，
，
旋转的度数为：90；
（3）由题意知 和 是对应线段，据旋转的性质可得 ．
故答案为：（1） ；（2）90；（3）10．
11．阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图1，在 中， ， ，点 ， 在边
上， ．若 ， ，求 的长．
小辉发现，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到 ，连接 （如图 ，由
图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及 ，可证 ，得
．解 ，可求得 （即 的长．
请回答：在图2中， 的度数是 ， 的长为 ．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形 中， ， ． ， 分别是边 ， 上的
点，且 ．猜想线段 ， ， 之间的数量关系并说明理由．
【解答】解：如图2， ，
，
在 中， ， ，
，
，故答案为 ； ；
如图3，
猜想： ．理由如下：
如图，将 绕点 按逆时针方向旋转，使 与 重合，得到 ，
， ， ， ，
，
，即点 ， ， 在同一条直线上，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
12．已知如图， 是等腰直角三角形， ，将 绕点 逆时针方向转动
到 ，若 ， ，求 、 的长．【解答】解：如图，
是等腰直角三角形，
， ，
；
由勾股定理得： ，
；
由题意得： ，
， ，
；
由勾股定理得： ，
，综上所述，
、 的长分别为 ， ．
13．如图，等腰直角 中， ， ，点 在 上， ，
，连接 、 ．
（1）求 的度数；
（2）当 ， 时，求 的长．【解答】解：（1） ， ，
， ，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（2）过 作 于 ，
则 是等腰直角三角形，
，
，
，
．14．已知，如图，在 中， ， ，点 、 分别是斜边 上的
两点，且 ．
（1）现将 绕点 顺时针旋转 到 ，连接 ．求证： ．
（2）若 ， ．求 的长及 的面积．
【解答】（1）证明：在 和 中，
，
，
， ．
（2）解： 在 和 中，
，
，
，
则在 中，由勾股定理可得： ，，
在 中，由勾股定理可得 ，
．
15．如图（1）， 、 全等的等腰直角三角形， ， 固
定不动，将 绕着点 逆时针旋转（旋转角 满足 ，连接 和 ，相
交于点 ；
（1）猜想线段 、 的关系并证明你的结论；
（2）如图（2）连接 ，直接写出 的大小为： ；
（3）如图（3）连接 ，求证： 平分 ．
【解答】（1）解： ， ．理由如下：
与 交于点 ，如图（1）、 全等的等腰直角三角形，
， ，
绕点 顺时针旋 得到 ，
， ，
，
，
；
（2）解：如图（2），
由（1）得 ，
，
，
，
，
，
，
由（1）得 ，
为等腰直角三角形，
；故答案为 ；
（3）证明：过点 作 于 ， ，如图（3），
由（1）得 绕点 顺时针旋 得到 ，
，
，
平分 ．
