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专题 3.9 函数综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当
时， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】先求得 时，函数 的值域为 ，结合函数 为奇函数，求得函
数 的值域，进而求得其最小值.
【详解】当 时，函数 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上的值域为
因为 是 上的奇函数，所以 的值域为 ，
所以 的最小值是 .
故选：A.
2．（2023春·北京·高二北京市第一六六中学校考期中）若函数 的零点的
个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先求出定义域，再求导，得到函数单调性，并结合特殊值及零点存在性定理得到
答案.
【详解】 的定义域为R，且 ，
当 或 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
故函数 的零点的个数为2.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由指对数的性质判断大小关系即可.
【详解】由 ，
所以 .
故选：B
4．（2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）“ ”是“函数 在区间
上为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出函数 在区间 上为减函数的 的取值范围，结合与 的
关系求出答案
【详解】 的图象如图所示，
要想函数 在区间 上为减函数，必须满足 ，
因为 是 的子集，
所以“ ”是“函数 在区间 上为减函数”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2023春·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考阶段练习）设函数 的定义域为 ，
为奇函数， 为偶函数，当 时， ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数的周期性、代入法进行求解即可.
【详解】因为 为奇函数，所以有 ，因为 为偶函数，所以有 ，
，
所以函数 的周期为 ，
由 ，
由 ，
由 ，
，
，
故选：A
【点睛】关键点睛：根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用赋值法是解题的关键.
6．（2023·全国·高三专题练习）蒸发和沸腾都是汽化现象，是汽化的两种不同方式．蒸发
是在液体表面发生的汽化过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象．
溶液的蒸发通常是指通过加热使溶液中一部分溶剂汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓
度或使溶质从溶液中析出结晶的过程．通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：
L/h）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系 （ 为自然对数的
底数，a，b为常数）． 若该液体在 10℃ 时蒸发速度是 0.2 L/ h ，在 20 ℃ 时蒸发速度是 0.4
L/h ， 则该液体在40℃时蒸发速度为（ ）
翻译这两句信息，可得方程组 这就是将文字信息翻译或数学语言的体现
A．0.5 L/h B．0.6 L/h C．0.8 L/h D．1.6 L/h
【答案】D
【分析】根据已知条件联立方程组，求出 ， ，利用函数值的定义和指数的运算性质
即可求解.
【详解】由题意可知 ，两式相除得 ，所以 ，
当 时， ，
所以该液体在40℃时蒸发速度为1.6 L/h．
故选：D．
7．（2023·江西新余·统考二模）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对
外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥
型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于 的说法正确的是（ ）
A． ， 为奇函数
B． ， 在 上单调递增
C． ， 在 上单调递增
D． ， 有最小值1
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性逐一判定即可.
【详解】由题意易得 定义域为R， ，即 为偶函
数，
故A错误；
令 ，则 且 随 增大而增大，
此时 ，由对勾函数的单调性得 单调递增，
根据复合函数的单调性原则得 在 上单调递增，故B正确；
结合A项得 在 上单调递减，故C错误；
结合B项及对勾函数的性质得 ，故D错误.
故选：B.
8．（2023春·云南文山·高一校联考期中）设数 ，若 有
四个实数根 ， 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出分段函数的图像，结合题意，利用数形结合的方法即可求解.【详解】作出函数 的图象如图所示，
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有四个交点，且交点的横坐标分别
为 ， ， ， ，且 ，
由图可知，点 ， 关于直线x＝5对称，则 ，
由图可知， ， ，由 可得 ，所以
，则有 ，
所以， ，
令 ，在 上为减函数，
且 ， ，
故 ，
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2022·海南·校联考模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】对于选项A和C，都满足定义域关于原点对称且 ，所以是偶函数，
令 能解出实数解，所以存在零点；对于选项B，不满足 ，所以函数
不是偶函数；对于选项D，令 不能解出实数解，所以不存在零点.
【详解】对于选项A，因为函数 的定义域为 ，且 ，所以
是偶函数；令 解得 ，所以函数存在零点，故选项A正确.
对于选项B，因为 ，所以该函数不是偶函数，故选项
B错误.
对于选项C，因为函数 的定义域为 ，且 ，所以 是偶
函数；令 解得 ，所以函数存在零点，
故选项C正确.
对于选项D，令 ，即 ，无实数解，所以函数不存在零点，
故选项D错误.
故选：AC
10．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知函数 ，则下列判断错误的是
（ ）
A． 是奇函数 B． 的图像与直线 有两个交点
C． 的值域是 D． 在区间 上是减函数
【答案】AB
【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.
【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A不正确；
函数图象与直线 有一个交点，故B错误；
函数的值域为 ，且在区间 上是减函数，即C、D正确；
故选：AB
{|2x−1|,x≤1,
11．（2022秋·河南南阳·高三校考期末）已知函数
f (x)=
函数
(x−2) 2,x>1,
有四个不同的零点 ， ， ， ，且 ，则（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C． D．
【答案】AC【分析】结合 的图象，由图可知 ， ， ，由二次函数的对称性，
可得 ，可得答案.
【详解】 有四个不同的零点 ， ， ， ，即方程 有四个不同的
解．
的图象如图所示，由图可知 ， ， ，所以 ，
即 的取值范围是 ，
由二次函数的对称性，可得 ．因为 ，所以 ，故
．
故选：AC.
12．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）设函数 的定义域为 ， 为奇函
数， 为偶函数，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 为奇函数
C． 在 上为减函数
D．方程 仅有6个实数解
【答案】BD
【分析】根据 为奇函数， 为偶函数，推出函数 的一个周期为 、
的图象关于点 对称、关于直线 对称，再根据这些性质可判断A错误，B正确，
C错误；作出 与 的大致图象，结合图像可判断D正确.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即函数 的一个周期为 .
在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
又 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，从而 为奇函数，
故B正确；
因为 在区间 上是增函数，且 的一个周期为 ，
所以 在 上单调递增，在 上不为减函数.故C错误；
因为 为奇函数，所以 的图象关于点 对称，
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，
又当 时， ，
作出 与 的大致图象，如图所示.
其中 单调递减且 ，所以两函数图象有6个交点，
故方程 仅有6个实数解，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023秋·贵州黔西·高三统考期末）已知定义域为 的函数 是奇函数且
.若对于任意 ，不等式 恒成立，则 的取值
范围为_______.
【答案】【分析】根据奇偶性得到 ，再根据单调性得到 恒成立，
之后参变分离，求出 的取值范围.
【详解】解：因为 是定义域为 上的奇函数，且对于任意 ，不等式
恒成立，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以在 上 是单调递减函数，
则有 恒成立，即 恒成立，
令 ， ，则 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2023·全国·高三专题练习） ________.
【答案】19
【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.
【详解】
.
故答案为：19
15．（2023·江苏南京·统考二模）幂函数 满足：任意 有
，且 ，请写出符合上述条件的一个函数 ___________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】取 ，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取 ，则定义域为R，且 ，
， ，满足 .
故答案为： .16．（2022秋·江苏南通·高三江苏省南通中学校考阶段练习）已知函数
的值域为 .则实数 的取值范围是__________.
【答案】 或
【分析】根据题意可得 能取到所有的正数，采用换元法令
，则可得 能取到所有的正数，讨论a的取值，结合二次
函数性质即可求得答案.
【详解】若使得函数 的值域为R，
令 ，则 能取到所有的正数，
令 ，令 ，
则 能取到所有的正数，
当 ，即 时， 在 时递增，
故需满足 ，即 ，
当 ，即 时，需满足 ，
即 ，解得
综合以上可得实数a的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．已知定义在 上的函数 是偶函数.
(1)求 的值；
(2)求函数 在其定义域上的最值.
【答案】(1) ， ；
(2)最小值为 ，最大值为 .
【分析】（1）根据函数为偶函数及定义域可得 ，求解可得 ，根据偶函数的
定义可得 的值；
（2）由(1)得函数 的解析式及定义域可得函数的图象，即可得函数的最值.
【详解】（1）∵ 是偶函数,∴函数的定义域关于原点对称.
又∵函数 的定义域为 ,
∴ ,解得 .
又 ,
所以 ,可得 .
（2）由(1)得函数的解析式为 ,定义域为 ，
其图象是开口方向朝上，对称轴为 的抛物线，
∴当 时， ，
当 时， .
18．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）（1）计算： ；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据指数幂的运算化简求值，即可求得答案；
（2）根据对数的运算法则化简求值，可得 的值，再结合指数的运算即可求得答案.
【详解】（1）原式 ．
（2） ，
所以
19．已知函数 的定义域为 ,且对任意的正实数 都有 ,且
当 时, , .
(1)求 ;
(2)求证: 为 上的增函数;(3)解不等式 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法,先令 求出 ;令 ,可求得 ;再令 ,
,可求得 ;
（2）设 ,根据单调性定义结合当 时, 证明即可;
（3）将 转化为 ,再根据（2）的结论,列不等式组求解即
可.
【详解】（1）因为 , ,
令 ,则 ,解得 ,
令 ,则 ,
令 , ,则 ,
所以 .
（2）设 ,
因为当 时, ,则 ,
令 ,则 ,即 ,
所以 ,
根据单调性定义, 为 上的增函数.
（3）因为 在 上为增函数,
又 ,
所以 ,解得 ,
即原不等式的解集为 .20．已知函数
(1)判断 的奇偶性;
(2)判断 的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若方程 在区间 上恰有1个实根，求实数λ的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)单调递增，证明见解析；
(3)
【分析】(1)根据奇偶性的定义求解；
(2)根据单调性的定义证明；
(3)先求出 的值域，令 ，将原方程等价于直线 与函数 只有
一个交点即可.
【详解】（1）因为 ，定义域为R，
又 ，
所以 是奇函数；
（2）函数 单调递增，
设 ，则有：
，
因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 单调递增；
（3）由于 是单调递增的，当 时， ，
令 ，则 等价于方程 在 时有一个根，
也就等价于函数 与直线 在 时有一个交点，函数 图象如下：
，
当 时， ，当 时， ，
由图可知：当 时满足题意；
综上，实数λ的取值范围为 .
21．（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）已知关于x的函数
，其中 ．
(1)当 时，求 的值域；
(2)若当 时，函数 的图象总在直线 的上方， 为整数，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或1．
【分析】（1）用换元法转化函数为二次函数在部分区间的值域问题，由二次函数的单调性
计算即可；
（2）分离参数将问题转化为 恒成立，计算 在 上的最
大值后解一元二次不等式即可.
【详解】（1）当 时， ，
令 ，则 ，
显然该二次函数在 上单调递增，
所以 的值域为 ．
（2）由题可知， 在 上恒成立．
，
又易知 在 上单调递增．所以 ，
因此 ，
解得 ，
又 为整数，所以 或1．
22．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知函数 （ 且 ）
是偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)求函数 的值域．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由 为偶函数可得对 都有 ，代入得 ，求
解即可；
（2）由（1）可得 ，从而可得 ，令
（当 时取等号），再结合二次函数的单调性即可求解.
【详解】（1） ，
因为 为偶函数，所以对 都有 ，
即 恒成立，即 恒成立，
，解得 .
（2）由（1）可知 ，
所以 ，
令 （当 时取等号），
则 ，所以所求函数为 ，
则函数 在 上单调递增，
所以 ，即函数 的值域为 .
