专题3.9函数的实际应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 3.9 函数的实际应用 练基础 1.（2021·广东高三专题练习）某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5 分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分． 若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离 增加了（ ） A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米 【答案】B 【解析】 根据到1.84米得90分，先求得该女生训练前立定跳远距离，再求得训练后立定跳远距离，两者相减即可. 【详解】 该女生训练前立定跳远距离为 （米）， 训练后立定跳远距离为 （米）， 则该女生训练后，立定跳远距离增加了 （米）. 故选：B． 2.（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的 主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附 加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费 用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣 除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下： 级数 一级 二级 三级 每月应纳税所得额 x 元（含税） x3000 3000 x 12000 12000 x 25000 税率 3 10 20 现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则 他该月应交纳的个税金额为（ ） A．1800 B．1000 C．790 D．560【答案】C 【解析】 李某月应纳税所得额（含税）为：1800050001000200010000元， 30003%90 不超过3000的部分税额为 元， 10000300010%700010%700 超过3000元至12000元的部分税额为 元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90700790元． C 故选： ． 3．（2021·浙江高一期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法 如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 的部分 3元/ 超过 但不超过 的部分 6元/ 超过 的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得. 【详解】 设此户居民本月用水量为 ,缴纳的水费为 元, 则当 时, 元,不符合题意; 当 时, ,令 ,解得 ,符合题意； 当 时, ,不符合题意. 综上所述: 此户居民本月用水量为15 .故选：C. 4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知声音强弱的等级 (单位：dB)由声音强度 (单位： )决定．科学研究发现， 与 成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为 声音强弱 的等级为 ；某动物发出的鸣叫，声音强度为 ，声音强弱的等级为 ．若某声音强弱等 级为90dB，则声音强度为（ ） A．0.001 B．0.01 C．0.1 D．1 【答案】A 【解析】 设 ，代入两点坐标即可得到函数表达式，进而解方程可得结果. 【详解】 解析依题意，设 将 代入， , 解得 ， 故 . 令 ， 解得x=0.001. 故选：A 5．（2021·全国高三其他模拟（理）） 年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体 贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之 间的关系是：贫困户年总收入y（元）=1200+ 年扶贫资金（元）+ 年自投资金（元） 自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力， 年自投资金 元，以后每年的自投资金均比上 一年增长 ， 年获得的扶贫资金为 元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少 元， 则该贫困户在 年的年总收入约为 （ ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】B 【解析】 根据题意，分别求得 年的自投资金和扶贫资金，进而求得该贫困户 年的年总收入，得到答案. 【详解】 由题意， 年的自投资金为 （元）， 年的扶贫资金为 （元）， 所以该贫困户 年的年总收入约为 （元）． 故选：B. 6．（2021·全国高三其他模拟（理））生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物 体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内药物残留量 （单位： ）与时间 （单位：年） 近似满足关系式 ，其中 为抗生素的残留系数，当 时， ，则 的值约为（ ）（ ） A． B．10 C．100 D． 【答案】A 【解析】将 时， 代入化简计算即可求出. 【详解】 当 时， ， 所以 ，得 ，故 . 故选：A． 7．（2021·山东聊城市·高三三模）声强级 （单位：dB）由公式 给出，其中 为声强 （单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一 般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ） A．104倍 B．105倍 C．106倍 D．107倍 【答案】C 【解析】 根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果. 【详解】 设一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ，平时常人交谈时声强为 ， 由题意得 解得 ∴ 故选：C 8．（2021·陕西西安市·高三其他模拟（理））现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数， 选用了这样的方法：第一轮甲每次取 粒红豆，乙每次取 粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取 粒红豆，乙每次取 粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩 粒.则红豆和白豆共有________粒. 【答案】 【解析】 设红豆有 粒，白豆有 粒，由两轮的结果可构造方程组，根据 的范围可计算求得 ，加和即可得到 结果. 【详解】 设红豆有 粒，白豆有 粒， 由第一轮结果可知： ，整理可得： ； 由第二轮结果可知： ，整理可得： ； 当 时，由 得： （舍）； 当 时，由 得： （舍）； 当 时，由 得： ， ， 即红豆和白豆共有 粒. 故答案为： . 9．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加. 按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据： ) 【答案】60 【解析】 设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为 ，可得不等式 ，两边取对数解不等式，即可得到答案； 【详解】 设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为 ， ， 故答案为： . 10．（2021·浙江高一期末）某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入 100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数： （1）将利润 （单位：元）表示成月产量x的函数 （2）当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入） 【答案】（1） ； （2）当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000. 【解析】 （1）根据题意建立函数关系式，写出分段函数形式； （2）分别求各段的最大值，即可求出公司利润最大值及取最大值时的产量.【详解】 （1）由题意可得： 当 时， ； 当 时， ； 所以 . （2）当 时， ，即最大值为25000； 当 时， 为减函数，所以当 时， ，故 . 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000. 练提升 TIDHNE 1．（2021·四川高三三模（理））一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg，才有疗效；而低于 500mg，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时 的比例衰 减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 求出药物保有量随时间 的关系式，列不等式求解可得． 【详解】 设 小时保有量为 mg，则 ，由 ， ， ， 所以 ． 故选：A． 2．（2021·湖北武汉市·高三三模）2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖 北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”.已知某 品种脐橙失去的新鲜度 与其采摘后的时间 (天)满足关系式： .若采摘后10天，这种脐橙失去的 新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新 鲜度（ ）(已知 ，结果四舍五入取整数) A．23天 B．33天 C．43天 D．50天 【答案】B 【解析】 根据题中条件，列出方程组求出 ，设采摘下来的这种脐橙在 天后失去50%的新鲜度，列出方程 求解，即可得出结果. 【详解】 因为采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%， 所以 ，则 ， 设采摘下来的这种脐橙在 天后失去50%的新鲜度， 则 ，即 ，所以 ，则 ，因此 . 故选：B. 3．（2021·全国高三其他模拟）生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体 内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量 （单位：mg）与时间 （单位：年）近似满足数学函数关系式 ，其中 为抗生素的残留系数．经测试发现，当 时， ，则抗生素的残留系数 的值约为（ ） A．10 B． C．100 D． 【答案】B 【解析】 将 ， 代入给定的函数关系，解指数方程即得. 【详解】 当 时， ，则 ， ， ，即 ，故 . 故选：B 4．（2021·全国高三其他模拟）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的 游速为 (单位： )，鲑鱼的耗氧量的单位数为 .科学研究发现 与 成正比，且当 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法： ① 与 的正比例系数为 ； ②当 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700； ③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速 . 则说法正确的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】 列出 对Q的函数关系，把 的值分别代入计算并判断得解. 【详解】 依题意，设 ，则有 ，解得 ，故①错误； 当 时，有 ，解得 ，故②错误； 当 时，游速 ，故③错误. 故选：A 5．（2021·全国高三其他模拟）在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺 炎患者数量 ( 的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为 ，其中 为环境最大 容量.当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ） A．63 B．65 C．66 D．69 【答案】B 【解析】 由给定模型计算出P(t)，建立方程，求解即得. 0 【详解】 由题意知， ，即 ，所以 ，解得 . 故选：B 6．（2021·四川眉山市·高三三模（理）） 年 月 日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址 向世人展示了其重大考古新发现—— 个三星堆文化“祭祀坑”现已出土 余件重要文物.为推测文物年 代，考古学者通常用碳 测年法推算，碳 测年法是根据碳 的衰变程度来计算出样品的大概年代的一 种测量方法. 年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳 年代测定，检测出碳 的残留量约为初始量的 ，已知碳 的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是 年， 且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（ ） （参考数据： ， ） A．公元前 年到公元前 年 B．公元前 年到公元前 年 C．公元前 年到公元前 年 D．公元前 年到公元前 年 【答案】C 【解析】 设样本中碳 初始值为 ，衰减率为 ，经过 年后，残留量为 ，可得函数关系式 ，根 据半衰期可构造方程求得 ，由此得到函数关系式，根据 可求得 ，由此可推断 出年代. 【详解】 设样本中碳 初始值为 ，衰减率为 ，经过 年后，残留量为 ，则 ， 碳 的半衰期是 年， ， ， ； 由 得：， 年之前的 年大致是公元前 年，即大致年代为公元前 年到公元前 年之间. 故选：C. 7．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理））地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采 用里氏震级标准．震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里 氏震级的计算公式为： （其中常数 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大 振幅； 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E是 指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． （单位：焦耳），其中M为地震震级． 已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震 波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ） A．2A B．10A C．100A D．1000A 【答案】C 【解析】 设甲地地震震级为 ，乙地地震震级为 ，首先根据题意求得 ，代入里氏震级的计算公 式为： 求出 即可. 【详解】 设甲地地震震级为 ，乙地地震震级为 ， 因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 倍， 所以 ,故 ，又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A 因为 ，所以 ， 解得： ， 甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为 . 故选：C. 8．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗 的难题，近日我国在这一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T 型病毒的变化规律，将T型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病 毒数y与天数n近似满足 .已知T型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注 射了某种药物可有效杀死体内的T型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟 应在第___________天(参考数据： ). 【答案】19 【解析】 由题意病毒细胞关于时间 的函数为 ，由 ，求解即可． 【详解】 由题意病毒细胞关于时间 的函数为 ， 则由 两边取对数得 ，解得 ． 即第一次最迟应在第19天注射该种药物． 故答案为：19. 9．（2021·浙江高一期末）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生 动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 截去同心扇形 所得部分．已知扇环周长 ，大扇形半径 ，设小扇形半径 ， 弧度，则① 关于x的函数关系式 _________． ②若雕刻费用关于x的解析式为 ，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________． 【答案】 ， ； 【解析】 利用弧长公式求 与 根据扇环周长可得 关于x的函数关系式；根据扇形面积公式求出扇环面积， 进而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意可知， ， ， ， 所以 ， ， ， 扇环周长 ， 解得 ， 砖雕面积即为图中环形面积，记为 ， 则 ， 即雕刻面积与雕刻费用之比为 ，则 ， 令 ，则 ， ，当且仅当 时（即 ）取等号， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为 . 故答案为： ， ； 10．（2021·浙江高一期末）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后， 决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生 产x万件，需另投入可变成本 万元，在年产量不足8万件时， （万元）；在年产量 不小于8万件时， （万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部 售完． （1）写出年利润 （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润 年销售收入 固定成本 可变成本）； （2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） ； （2）年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元. 【解析】（1）由题意列出解析式，再写成分段函数的结构； （2）分别求出每一段的最大值，即可得到利润的最大值，及取最大值时的产量. 【详解】 （1）当 时， ， 当 时， ， 所以 （2）当 时， ，即 时， 最大； 当 时，因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当x=10时， 所以 ，此时x=10. 即年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元. 练真题 TIDHNE 1．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工 作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人 每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需 要志愿者（ ） A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 【答案】B 【解析】由题意，第二天新增订单数为 ， 故需要志愿者 名. 故选：B 2．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常 用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【解析】 根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解. 【详解】 由 ，当 时， ， 则 . 故选：C. 3.（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根 据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【解析】 ，所以 ，则 ，所以， ，解得 . 故选：C. 4．（2020·山东海南省高考真题）基本再生数R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生 0 数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段， 可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与 R，T近似满足R =1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累 0 0 0 计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【解析】 因为 ， ， ，所以 ，所以 ， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天， 则 ，所以 ，所以 ， 所以 天. 故选：B. 5．（2019·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软 着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测 L 器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 2点的轨 L 道运行． 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R， １ ２ L 2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M M M 1  2 (Rr) 1 (Rr)2 r2 R3 . r 3334 5  33 设 R ，由于  的值很小，因此在近似计算中 (1)2 ，则r的近似值为 M M 2R 2 R A． B． M 2M 1 1 3M M 2R 2 R C．3 D．3 M 3M 1 1 【答案】D 【解析】 r  由 R ，得r R M M M 1  2 (Rr) 1 因为(Rr)2 r2 R3 ， M M M 1  2 (1) 1 所以 R2(1)2 2R2 R2 ， M 1 5 34 33 2 2[(1) ] 33 即 M (1)2 (1)2 ， 1 M 3 2 解得 ， 3M 1 M r R3 2 R. 所以 3M 1 6.（2018·上海高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用 时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（040， x 即x2−65x+900>0， 解得x<20或x>45， ∴x∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当0