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第三章 位置与坐标
1. 能结合生活情境用多种方式确定物体位置，理解平面内确定位置需两个数据，发
展空间观念。
2. 认识平面直角坐标系，掌握其相关概念，能在坐标系中由点写坐标、由坐标描
教学目标
点。
3. 能建立适当坐标系描述物体位置，探究并掌握坐标变化与图形轴对称的关系，建
立数形结合意识。
教学重难点 1.重点（1）平面直角坐标系的相关概念，以及在坐标系中进行点与坐标的互化操作。
（2）掌握坐标变化与图形轴对称之间的对应规律，理解二者内在联系。
2.难点
（1）难以灵活根据实际问题需求，建立合适的平面直角坐标系来描述物体或图形位
置。
（2）对坐标变化引发图形轴对称变换的原理理解不透彻，难以灵活运用该规律解决
问题。
【知识点01】平面直角坐标系
1.有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
2.坐标
数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做
这个点在数轴上的坐标.
3.平面直角坐标系
①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方
向；
③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在 x轴上，又在y轴
上).
4.点的坐标
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应
y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗
号.
5.坐标平面图
坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴
上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之
外，其他区域之间都没有公共点.
6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的
对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过
来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也
就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
7.象限
平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限
(或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）.
注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限.
ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标
也相应发生改变.
8.坐标平面内点的位置特点
①坐标原点的坐标为（0，0）；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
9.点到坐标轴的距离
坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x
轴）的距离.注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，
可能有多个解的情况，应注意不要丢解.
②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d =
10.坐标平面内对称点坐标的特点
①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；
②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；
③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.
11.平行于坐标轴的直线的表示
①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为
纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差
的绝对值；
②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为
横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差
的绝对值.
12.象限角平分线的特点
①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）
②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
【知识点02】轴对称与坐标变化
1.关于坐标轴对称的点的坐标关系
2.坐标方法的简单应用
①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积
将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形
面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差；
②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积
将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如
矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差.
题型01 定位法的应用
【典例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（ ）
A．东经 ，北纬 B．东经 ，北纬
C．东经 ，北纬 D．东经 ，北纬【变式1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）江西省丰城市是干将、莫邪宝剑藏地，又名“剑邑”，以下
能准确表示丰城市地理位置的是（ ）
A．东接抚州市 B．北纬
C．距离南昌60公里处 D．东经 ，北纬
【变式2】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了
A，B，C三个目标．图中中央位置为这艘船的位置，目标相对于船的位置表示方法为 ．其中， 表示
目标与船的距离， 表示以正东方向开始逆时针旋转的角度．例如，目标A，B相对于船的位置分别表示
为 ， ．用这种方法表示目标C相对于船的位置，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25七年级下·湖南湘西·期末）2025年央视春晚，宇树科技的人形机器人在节目《秧 》
中，它们将中国传统秧歌的韵味与现代机器人技术巧妙融合，呈现出令人震撼的视觉效果．如果用
表示机器人从起点向右移动 、向前移动 ，那么机器人从起点向左移动 、向前移动 可
以表示是（ ）
A． B． C． D．
题型02 判断点所在的象限
【典例2】（24-25七年级下·广西河池·期末）下列坐标中，在第四象限的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）若 ，则点 在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若 ，则在平面直角坐标系中，点
在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若点 在第三象限，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型03 已知点所在的象限求参数
【典例3】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点 在 轴上，则 ．
【变式1】（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）已知点 的坐标为 ，且点 在 轴上，则 的值
为 ．
【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若第四象限内的点 满足 ， ，则点P的
坐标是 ．
【变式3】（24-25七年级下·广东云浮·期末）在平面直角坐标系 中，P为第二象限内一点，且点P到x
轴、y轴的距离分别为2，5，则点P的坐标为 ．
题型04 求点到坐标轴的距离
【典例4】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）已知点 坐标为 ，点 到 轴距离为 ．
【变式1】（24-25七年级下·重庆梁平·期末）在平面直角坐标系内，点 到x轴的距离是 ．
【变式2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）P点横坐标是 ，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是
．
【变式3】（24-25七年级下·重庆垫江·期末）已知点 ，且点 到两坐标轴的距离相等，则
点 的坐标为
题型05 点在平面直角坐标系中的规律探究问题
【典例5】（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点 ，点A第一次向左
跳动至 ，第二次向右跳动至 ，第三次向左跳动至 ，第四次向右跳动至 ，
依照此规律跳动下去，点A第 次跳动至 的坐标 ．【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点
叫做点P的伴随点．已知点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，
…，这样依次得到点 ， ， ，…， ，…．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，点
的坐标为 ．
【变式2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做
折线运动，即第1次从原点运动到点 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，第4
次从 运动到 ，第5次从 运动到 ……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点
P 的坐标是 ．
【变式3】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向
上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点 ；把 先向上平移2个单位长度，再向左平移2个
单位长度，得到点 ；把 先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点 ；
把 先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点 ，…，按此规律依次进行下去，
则点 的坐标为 ．
题型06 根据已知点的坐标建立平面直角坐标系
【典例6】（23-24八年级下·四川广安·期末）如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，
县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是 ， ．解答下列问题：(1)请在示意图中建立平面直角坐标系；
(2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远．
【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为 ，花坛的
坐标为 ．
(1)根据上述条件建立平面直角坐标系；
(2)建筑物A的坐标为 ，请在图中标出点A的位置；
(3)建筑物B在大门北偏东 的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的
坐标．
【变式2】（24-25七年级下·青海玉树·期末）如图是某植物园的平面示意图（图中每个小正方形边长均为
），小兰和小佳分别描述了海棠园．小兰：“它的坐标是 ”小佳：“它在牡丹亭的西南
方向约 处．”
(1)请以正东、正北方向为x轴、y轴正方向在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出丁香园和忍冬园的
坐标；
(2)用方向和距离描述牡丹亭相对于海棠园的位置．
【变式3】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）张明同学在做家庭暑期旅游攻略时，绘制了临夏州六个旅游
景点的示意图．(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得东公馆、红园的位置分别表示为 ， ．
(2)根据（ ）中建立的平面直角坐标系，写出松鸣岩和炳灵寺石窟的坐标．
(3)已知刘家峡水库坐标为 ，和政古动物化石博物馆的坐标为 ，请在所建的平面直角坐标
系中标出 ， 的位置．
题型07 平面直角坐标系的性质求解
【典例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ．
(1)若点M在x轴上，求点M的坐标；
(2)若点M在第三象限，且到y轴的距离为3，求点M的坐标．
【变式1】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知点 ，解答下列各题：
(1)若点Q的坐标为 ，且直线 轴，求出点P的坐标；
(2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标．
【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期末）已知点P的坐标为 ，试分别根据下列条件，求
出点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P到y轴的距离为2；
(3)点P在过点 ，且与x轴平行的直线上．
【变式3】（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 到 轴、 轴的距离
的较大值称为点 的“长距”，点 到 轴、 轴的距离相等时，称点 为“角平分线点”．
(1)点 的“长距”为______；
(2)若点 的长距为4，且点 在第二象限内，点 的坐标为 ，请判断点 是否为
“角平分线点”，并说明理由．
题型08 求点在平面直角坐标系中的轴对称坐标【典例8】（24-25八年级上·江西赣州·期末）点 关于x轴对称的点的坐标是 ．
【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系 中，若点 与点 关于y
轴对称，则 的值为 ．
【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，若点 与点 关于x轴对
称，则 ．
【变式3】（24-25八年级上·青海西宁·期末）已知点 和点 关于 轴对称，则
的值是 ．
题型09 平面直角坐标系中的轴对称作图
【典例9】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ．
(1)若点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为______；
(2)在平面直角坐标系中画出 ；
(3) 的面积为______．
【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图， 在平面直角坐标系中，且 、 、
．
(1)在图中画出线段 关于y轴对称的线段 ，并直接写出点 的坐标为 ；(2)在（1）的基础上，直接写出 的面积为 ；
(3)在x轴上有一条长度是1的运动线段 （点M在点N左边），使得 最小，请画出点
M．（保留必要的画图的痕迹）．
【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为
， ， ．
(1)在图中作出 关于x轴的对称图形 ；
(2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点 、 、 的坐标： ； ； ；
(3)求 的面积．
【变式3】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ， ，
．
(1)在平面直角坐标系中画出 ；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为____________
(3)求 的面积；
(4)已知点P为x轴上的一点，若 时，则点P的坐标为_______．
题型10 在平面直角坐标系中求图形的面积
【典例10】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，过点 作 轴，作 轴，垂足分别为 ，． 为平面直角坐标系的原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，且 ， 满足 ．
点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路向终点 运动．
(1)求点 的坐标．
(2)在点 的运动过程中，当三角形 的面积是12时，求点 的运动时间 的值．
(3)在点 的运动过程中， ， 和 之间有什么数量关系？请说明理由．
【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的m，n满
足 ，点C在x轴的负半轴上，且 ．
(1)写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________；
(2)已知点P的坐标为 ，连接 ，请用含t的式子来表示三角形 的面积S；
(3)在（2）的条件下， ，点Q在线段 上且 ，当三角形 的面积等于三角形 的面
积时，求点P的坐标．
【变式2】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴交于
，点 是直线 上且不与A、B两点重合的动点．
(1)求三角形 的面积；(2)如图1，点D、点E分别是线段 、x轴负半轴上的动点，过E作 ，连接 ．若 ，
请探究 与 之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由）
(3)若三角形 的面积不小于三角形 的面积的2倍，求m的取值范围．
【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
，且满足 ，点 、点 同时出发， 点从 点出发沿 轴正方向以每秒2个单位
长度的速度匀速移动， 点从 点出发沿 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1) 和 位置关系是_______；
(2)如图（1）当 、 分别在线段 ， 上时，连接 ， ，设此时点 、点 的运动时间为 ．
①请分别用含t的式子表示 和 的面积；
②若 ，求出点P的坐标；
(3)在 、 的运动过程中，当 时，请直接写出 和 的数量关系．
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）根据下列表述，能确定某地点位置的是（ ）
A．万达影院第2排 B．黄河东路 C．北偏东25° D．
3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中 点坐标为 ，点 与点 关于 轴对
称．则点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点P在x轴上方，y轴左侧，到x轴的距离是
3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺
序按图中“ ”方向排列，即 ．根据这个规律，第2025
个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，棋盘中，若“帅”位于点 ，“相”位于点 ，则
“炮”位于点 ．
7．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点 在 轴上，则 点的
坐标为 ．
8．（24-25七年级下·陕西·期末）已知点 ， ，点A在x轴上， 轴，点B到x轴
的距离是4，且 ，则点B的坐标是 ．
9．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）已知点 ，点A在 轴上，且 ，求点A的坐
标为 ．
10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知平面直角坐标系内不同的两点 和到 轴的距离相等，则 的值为 ．
三、解答题
11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）某湿地公园是一处集自然风光和休闲娱乐于一体的国家4A级旅游
景区，右图是该湿地公园的部分简图，在图中建立平面直角坐标系，使曲桥的坐标为 ，南北主题广
场的坐标为 ．
(1)画出平面直角坐标系；
(2)分别写出：人工湖、垂钓池、景观长廊、莲花池的坐标．
12．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点A在射线 上， ．如果 绕点O按逆时针方向旋转
（ ）到 ，那么点 的位置可以用 表示．
(1)按上述表示方法，若 ， ，则点 的位置可以表示为 ；
(2)在（1）的条件下，点B的位置用 表示，连接 ， ．求证： ．
13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点 、 、 ．(1)若点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为___________；
(2)在平面直角坐标系中画出 ，则 的面积是________；
(3)已知 为 轴上一点，若 的面积为4，直接写出点 的坐标．
14．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点A的坐标为 ．
(1)若点A在x轴上，求点A的坐标．
(2)若点A在过点 且与y轴平行的直线上，求点A的坐标．
(3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值．
15．（24-25七年级下·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，当
点从 点出发沿 轴负方向以每秒 个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时 点从 点
出发沿 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．
(1) 和 的位置关系是 ；
(2)如图，当点 在线段 上运动，点 在线段 上运动时，连接 ， ，使 的面积是 面
积的3倍，求出点 的坐标；
(3)在点 ， 的运动过程中，当 （ ）时，请探究 和 的数量关系，并说明理
由．
