专题 30 双曲线及其性质
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
圆锥曲线近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第11题,5分 直线与圆的位置关系， 参数方程
2023年全国乙（文科），第13题,5分 根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第5题,5分
根据标准方程确定圆的圆心和半径 几何概型
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第11题,5分
直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标
2023年全国乙（文科），第12题,5分
2023年全国乙（理科），第12题,5分 直线与圆的位置关系 向量的数量积
2023年全国乙（理科），第20题,12分 1、根据离心率求椭圆方程；
2023年全国乙（文科），第21题,12分 2、椭圆中的定点问题；
2023年全国甲（文科），第7题,5分 椭圆中焦点三角形的面积问题
2023年全国甲（理科），第8题,5分
双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦
2023年全国甲（文科），第9题,5分
2023年全国甲（理科），第12题,5分 椭圆的定义、焦点三角形
1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线
2023年全国甲（理科），第20题,12分
方程；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
2、抛物线中的三角形面积问题
2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.根据定义Ⅰ，平面内 、 是两定点，动点 到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小
于定点间距离)，即 ( 为常数)，则动点 的轨迹是双曲线。
根据定义Ⅱ，若动点 到定点 与到定直线的距离之比是常数 ，则动点 的轨迹是
双曲线；
2.双曲线在坐标轴上的取值区域为 、 或者 、 ；双曲线关于坐标轴
和原点对称；
3.双曲线有两个顶点 、 ，这两点在横轴上，且 叫做双曲线的实轴，长
度为 ；另外，还有两个顶点 、 ，这两点在纵轴上，且 叫做双曲线的
虚轴，长度为 ；
4.双曲线有两条渐近线，横轴为 ，竖轴为 ；
5.双曲线的离心率 ，其中 是双曲线的半焦距。离心率取值范围为 ；
6.双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率；
7.圆锥曲线上任意一点到焦点距离可以通过焦半径公式计算。过右焦点的半径 ，
过左焦点的半径 ；
8.当双曲线的实轴与虚轴长相等时，即 ，双曲线的离心率 √2；
【备考策略】1.了解双曲线产生的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质；
3.通过对双曲线的学习,进一步体会数形结合的思想；
【命题预测】1.双曲线的定义和基本属性可能会继续是考查的重点。这包括双曲线的定义、取值范围、对
称性、顶点、渐近线等；
2.双曲线的几何性质也是一个可能的考查重点。双曲线的离心率和焦半径公式等，这些不仅
涉及到双曲线的形状和大小，还涉及到双曲线与坐标轴和焦点等的关系；
3.在考查双曲线的计算时，可能会在复杂度上有所提升；知识讲解
一、双曲线的定义
平面内到两个定点 的距离之 的绝对值等于常数 (小于| |)的点的集合叫作
双曲线,这两个定点 叫作双曲线的 ,两焦点 间的距离叫作双曲线的
.
(1)定义的数学表达式为 .
(2)在双曲线的定义中,当 时,动点的轨迹是 ;当| | 时,动点的轨迹
.
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
(续表)
标准方程
性 范围 或 , , 或
质 对称 对称轴: ,对称中心:性
顶点
渐近
线
离心
率
, ,其中
线段 叫作双曲线的实轴,它的长| |= ;线段 叫作双曲线的虚轴,它的长|
轴
|= . 叫作双曲线的实半轴长, 叫作双曲线的虚半轴长
, ,
的关系
三、等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率e=√2.
双曲线的几个常用结论
(1)与双曲线 有共同渐近线的双曲线系的方程为 .
(2)焦点到渐近线的距离为 .
(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 .
四、直线和双曲线的位置关系
1.直线和双曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.
设双曲线方程为 ,直线方程为 ,
将直线方程与双曲线方程联立,消去 得到关于 的方程 ,
(1)若 ,当 时,直线与双曲线有两个公共点;当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点;当Δ<0时,直
线与双曲线无公共点.
(2)若 ,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.
2.弦长公式:设直线 交双曲线于点 ,
则 ,
或 .
3.双曲线的切线方程
双曲线 在其上一点 处的切线方程为 .
双曲线的定义及应用
(1)利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常用定义,运用平方的方法,建立 与
的联系.
求双曲线的标准方程的方法
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 或 ,从而求出 ,写出
双曲线方程.
2.待定系数法:先确定焦点在 轴上还是在 轴上,设出标准方程,再由条件确定 的值,即“先定型,
再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为 ,再根据条件求 的值.
求双曲线的离心率或其范围的方法:(1)求 的值,由 直接求 ;(2)列出含有
的齐次方程(或不等式),借助于 消去 ,然后转化成关于 的方程(或不等式)求解.
求与渐近线有关的双曲线方程的常用方法:(1)与双曲线 共渐近线的方程可设为
;(2)若双曲线的渐近线方程为 ,则双曲线的方程可设为 .
求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法
(1)点在双曲线上,求相关式子(目标函数)的取值范围,常转化为函数的最值问题解决.
(2)求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值的方法,在使用
均值不等式求最值时,要检验等号是否成立.
(1)解答直线与双曲线的公共点问题时,不仅要考虑判别式,更要注意当二次项系数为0时,直线与渐近线平
行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的问题,应分两种情况讨论:双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近
线平行.
(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论.
解决综合问题时,可以仿照椭圆的处理思路,借助于方程思想,将问题进行化归,然后利用直线与双曲线的位置
关系进行求解.
(1)解决与双曲线有关的应用问题时,除了要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念之外,还要注意
双曲线的定义的灵活运用.
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量的取值范围.考点一、双曲线的定义及应用
1．双曲线 的两个焦点分别是 ，点 是双曲线上一点且满足 ，则 的面积
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020年浙江省高考数学试题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|
=2，且P为函数y= 图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
3．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆
上一动点，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C． D．5
4．（2023届广东省教学质量检测数学试题）已知 为双曲线 的左焦点， 为其右支上一点，
点 ，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．设 ， 分别是双曲线 的左､右焦点， 是该双曲线上的一点，且 ，则
的面积等于（ ）A． B． C． D．
2．已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为
（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．双曲线 过焦点 的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为 ，则
的周长为（ ）．
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
4．（2023届广东省联考数学试题）“k<2”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点二、双曲线的标准方程
1．（2022年高考天津卷数学真题）已知抛物线 分别是双曲线 的左、
右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标
准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线 的方程
为（ ）
A． B．C． D．
3．设双曲线C： （ ， ）的左焦点为F，直线 过点F且与双曲线C在第
二象限的交点为P， ，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2021年北京市高考数学试题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方
程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年新高考天津数学高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ．过
作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．与双曲线 有公共焦点，且过点 的双曲线方程为 ．
考点三、双曲线的几何性质
1．已知双曲线C的离心率为 是C的两个焦点，P为C上一点， ，若 的面积为 ，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知F是双曲线C： 的
右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则 的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（ ）
A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m
1．设 表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）.
A． B．2k C． D．
2．双曲线 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线上，若 ，则点 到 轴的距离为
（ ）
A． B． C．4 D．
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（ ）
A．4 B．－4 C．－ D．
考点四、双曲线的离心率
1．已知双曲线 ，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰
好过双曲线的右焦点F，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．
2．（2023届湖北省调研测试数学试题）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，
过 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲
线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 、 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线l与双曲线C交于M，N两点，
且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
1．如图所示， ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，过 的直线与 的左、右两支
分别交于A， 两点．若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线的右支于 ，
两点.点 满足 ，且 ，若 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设 , 是双曲线 （ ）的左、右焦点，
是坐标原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点五、双曲线的渐近线
1．（2023届山东省一模数学试题）已知双曲线 的左焦点为 ，M为C上一点，
M关于原点的对称点为N，若 ，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年山西省调研数学试题）已知双曲线 的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲
线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线 (a＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
．
1．（2023届广东省调研测试数学试题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 （ ）
A．5 B． C． D．
2．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作圆 的切线，交双曲线右
支于点M，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．
3．若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
考点六、双曲线相关的轨迹方程
1．在直角坐标系 中，已知点A，B分别是定直线 和 上的动点，若 的面积为
定值S，则线段 的中点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．已知圆C ：（x＋3）2＋y2＝1和圆C ：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆
1 2 1 2
圆心M的轨迹方程为 .
1．已知两条直线 ： ， ： ，有一动圆（圆心和半径都在变动）与 ， 都相
交，并且 ， 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 ， ，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
2．（2023年浙江省联考数学试题）已知圆 ： ， 为圆心， 为圆上任意一点，定点
，线段 的垂直平分线 与直线 相交于点 ，则当点 在圆上运动时，点 的轨迹方程为
（ ）
A． B． C． D．
考点七、与双曲线有关的最值问题1．（2023年河南省质量检测文科数学试题）已知点 是双曲线 的右焦点，点 是双曲线上位于
第一象限内的一点，且 与 轴垂直，点 是双曲线渐近线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．长为11的线段AB的两端点都在双曲线 的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的右焦点为F， ，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，
且 ，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则 的最大值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．42
4．已知 分别为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线右支上任一点，则 最小值为
（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
1．已知双曲线 ， ， 为坐标原点， 为双曲线上任意一点，则 的最小值是（
）
A． B． C． D．
2．（2023届江西省摸底测试数学（理）试题）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年河南省联考数学试题）已知P是双曲线 上的动点，Q是圆 上的动点，则P，Q两点间的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点 是双曲线 上的动点， ， 分别为其左，右焦点， 为坐标原点.则 的
最大值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
考点八、双曲线的实际应用
1．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆
O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
，则该双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延
长线经过左焦点 ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双
曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为 ， 分别为其左、右焦点，若从右焦
点 发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（ ，A，B在同一直线上），满足
，则该双曲线的离心率的平方为（ ）A． B． C． D．
3．北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线
造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的
外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为 ，底座直径为
25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
1．圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个
焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴
为渐近线的等轴双曲线 ： 的图象以直线 为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射
后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与 的交点到中心的距离为 .2．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高
度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为 米，
则该双曲线的离心率为 .
3．青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为
单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截
面圆的最小直径为16 ，上瓶口圆的直径为20 ，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12 ，则该双曲
线的离心率为 .考点九、直线与双曲线的关系
1．过双曲线 的左焦点 作一条直线 交双曲线左支于 ， 两点，若 ， 是双曲线的
右焦点，则 的周长是 .
2．（2023届福建省联考数学试题）双曲线C： 的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线
PA，PB与 分别交于M，N两点，则 的最小值为 .
3．（2023届江苏省调研测试数学试题）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦点 的
直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
1．（2023年四川省阶段性测试数学试题）在平面直角坐标系 中，已知 ， 是双曲线
上一点，则直线 和直线 的斜率之积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为
D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的一条渐近线斜率为 ，且双曲线C经过点 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为 的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为 、 ，若
，求直线l的方程．【基础过关】
1．设 为椭圆 和双曲线 的一个公共点，且 在第一象限， 是 的左焦点，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．若方程 表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
3．“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））等轴双曲线 的中心在原点，焦点在
轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ）A． B． C． D．
5．双曲线 ： 与双曲线 ： 的（ ）
A．实轴长相等 B．焦点坐标相同
C．焦距相等 D．离心率相等
6．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））双曲线 的离心率
为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020年天津市高考数学试题）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和
点 的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， 是双曲线 的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当 时， 面
积为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知双曲线 的离心率为 ，则点
到 的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设F为双曲线C： （a>0，b>0）
的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
（ ）A． B．
C．2 D．
11．已知双曲线 （其中 ， ）的焦距为 ，其中一条渐近线的斜率为2，则
．
12．（2023届福建省适应性练习卷（省质检）数学试题）已知双曲线C： （a>0，b>0）的离心
率为 ，左，右焦点分别为 ， 关于C的一条渐近线的对称点为P.若 ，则 的面积为
（ ）
A．2 B． C．3 D．4
13．（2023届浙江省教学质量检测（二模）数学试题）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中
可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（ ， 为焦点）上一点，点P处的切线平分
．已知双曲线C： ，O为坐标原点，l是点 处的切线，过左焦点 作l的垂线，
垂足为M，则 ．
14．已知椭圆 的左右顶点是双曲线 的顶点，且椭圆 的上顶点到双
曲线 的渐近线距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线 相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样
的定点，请说明理由．
15．（2023届江苏省调研测试数学试题）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦点 的
直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.【能力提升】
1．已知F，F 是双曲线C： （ ， ）的两个焦点，C的离心率为5，点 在C上，
1 2
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023年江西省模拟数学试题）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．若实轴长为2的双曲线 上恰有4个不同的点 满足 ，
其中 ， ，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 为椭圆 ： ( )与双曲线 ： ( )的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且 ， 分别为 ， 的离心率，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．在平面直角坐标系 中， 分别是双曲线C： 的左，右焦点，过 的直线 与
双曲线的左，右两支分别交于点 ，点 在 轴上，满足 ，且 经过 的内切圆圆心，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知双曲线 的两个焦点为 ， ， 为双曲线上一点， ， 的内切圆的圆
心为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点 ､ ，曲线 和 在第一象限相交于点P.且 ，若椭
圆 的离心率的取值范围是 ，则双曲线 的离心率的取值范围是 .
8．（2023届湖南省一模数学试题）已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，
双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，且 ，则 的最大
值为 .9．（2023届安徽省教学质量检测数学试题）已知双曲线E： 的左右焦点分别为 ，
，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线 与 轴交于Q点．若 ，则双曲线E的离心率
的取值范围为 ．
10．已知双曲线 ， ， 分别为双曲线的左右焦点， 为双曲线 上一点，且位于第
一象限，若 为锐角三角形，则 的取值范围为 ．
11．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ， 为双
曲线的左支上一点，且直线 与 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．若 ，且 ，则
C．以线段 ， 为直径的两个圆外切
D．若点 到 的一条渐近线的距离为 ，则 的实轴长为4
12．已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值
为 ，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条
渐近线于M、N两点，证明： MON的面积为定值，并求出该定值．
△13．已知双曲线 过点 ，离心率为 ，直线 交 轴于点 ，过点
作直线交双曲线 于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)设 是直线 上关于 轴对称的两点，直线 与 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【真题感知】
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
2．（全国甲卷理科数学试题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆
交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点
重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，
则C的焦距为 ．
7．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为
．
8．（2022年北京市高考数学试题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则
．
