专题3.4圆周角与圆心角的关系-九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）北师大版_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第1套）

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题3.4圆周角与圆心角的关系 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑 色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．（2021•镇江一模）如图，在 中， ，点 在劣弧 上， ，则 的度 数为 A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理得出 ，求出 的度数，再求出答案即可． 【解析】 ， ， ， ， 故选： ． 2．（2020•仪征市二模）如图， 是 的直径，点 、 在圆周上， ，则 的度数为A． B． C． D． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得 ，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对 的圆周角相等求得 ． 【解析】 是 的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ， （直角三角形的两个锐角互余）， （同弧所对的圆周角相等）； 故选： ． 3．（2021秋•吉林期中）如图， 是 的直径， 和 是 上两点，连接 、 、 、 ， 若 ，则 A． B． C． D． 【分析】利用圆周角定理证明 ， 即可解决问题． 【解析】 是 的直径， ， ， ， 故选： ． 4．（2021•绿园区二模）如图， 是 的直径， 是弦（点 不与点 ，点 重合，且点 与点 位于直径 两侧），若 ，则 等于A． B． C． D． 【分析】连接 ，求出 和 ，即可得到答案． 【解析】连接 ，如图： 是 的直径， ， ， ， ， 故选： ． 5．（2019秋•青龙县期末）如图， 是 的直径， 是弦，点 是 （含端点）上任意一点，若 ， ，则 的长不可能是 A．4 B．5 C．12 D．13 【分析】如图，连接 ，利用圆周角定理得到 ，利用勾股定理得出 ，则 ， 可得出答案．【解析】连接 ，如图， 是 的直径， ， ， 点 是劣弧 （含端点）上任意一点， ， 即 ． 故选： ． 6．（2019秋•镇江期中）如图， 为 的直径，点 为圆上一点， ，将劣弧 沿弦 所在的直线翻折，交 于点 ，则弧 的度数等于 A． B．50 C． D．100 【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再 根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角， 计算求得 的度数，即可求得弧 的度数． 【解析】如图，连接 ， 是直径， ，， ． 根据翻折的性质， 所对的圆周角为 ， 所对的圆周角为 ， ， ， ， 弧 的度数为 故选： ． 7．（2019秋•东海县期中）如图，在 中，点 在优弧 上，将 沿 折叠后刚好经过 的中点 ，连接 ， ．则下列结论中错误的是 ① ；② ；③ ；④ 平分 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据折叠的性质可得 ；根据线段中点的定义可得 ；根据垂径定理可作判断③； 延长 交 于 ，连接 ，根据垂径定理可作判断④． 【解析】过 作 ，交 于 ，连接 、 ， 由折叠得： ， ， ， 故①正确； 点 是 的中点，， ，故②正确； ， 由折叠得： ， ； 故③正确； 延长 交 于 ，连接 ， ， ， 不平分 ， 故④错误； 故选： ． 8．（2021•中江县模拟）如图， 是 直径， 是 的弦，如果 ，则 的大小为 A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理得出 ， ，求出 的度数即可． 【解析】 是 的直径， ，， ， ， 故选： ． 9．（2019•长春模拟）如图，把一张圆形纸片折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 所对圆心角 的度数是 A． B． C． D． 【分析】如图，作 于 ，连接 ．由 ，推出 即可解决问题． 【解析】如图，作 于 ，连接 ． 由题意 ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 10．（2021•武汉）如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于点 ，再将 沿 翻折交 于点 ．若 ，设 ，则 所在的范围是A． B． C． D． 【分析】如图，连接 ， ， ．证明 ，利用三角形内角和定理求出 ，可得结论． 【解析】如图，连接 ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ，故选： ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2021•惠山区模拟）如图，已知 的直径为 ， 、 、 三点在 上，且 ，则 长 ． 【分析】连接 ， ．证明 是等边三角形即可． 【解析】连接 ， ． ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为 ． 12．（2019秋•金坛区期中）如图，四边形 内接于 ，点 在 的延长线上，若 ， 则 5 5 ．【分析】先利用圆周角定理得到 ，然后根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内 对角求解． 【解析】 ， ， ． 故答案为55． 13．（2021•东莞市一模）如图，四边形 是 的内接四边形，对角线 是 的直径， ， ，则 的半径长为 ． 【分析】利用圆周角定理得到 ， ，则可判断 为等腰直角三角形， 所以 ，从而得到 的半径长． 【解析】 是 的直径， ， ， 为等腰直角三角形， ， 的半径长 ． 故答案为 ． 14．（2021秋•海陵区校级月考）如图，半径为 3的 中，弦 ， ，设 ， ，则 3 6 ．【 分 析 】 如 图 ， 过 点 作 于 点 交 于 点 ． 证 明 ， 推 出 ，再根据 ，可得结论． 【解析】如图，过点 作 于点 交 于点 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ，， ． 故答案为：36． 15．（2021•怀宁县模拟）如图，若 是 的直径， 是 的弦， ，则 3 5 ． 【分析】连接 ．首先证明 ，求出 即可解决问题． 【解析】连接 ． 是直径， ， ， ， ， 故答案为 ． 16．（2021•铁岭三模）如图，点 ， ， 是 上三点， ， ， 垂足 为 ， ，则 的半径的长为 ．【分析】连接 ， ，根据三角形内角和得出 ，根据圆周角定理得出 ，进而得到 为等腰直角三角形，解直角三角形即可得解． 【解析】连接 ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在 中， ， ， ， ， 故答案为： ． 17．（2021•安乡县二模）如图， 为 的直径， 、 是 上两点， ， 与 交于点 ． ，则 ．【分析】在 中，求出 即可解决问题． 【解析】 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 18．（2019•无锡模拟） 为半圆 的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点 在半圆上， 斜边过点 ，一条直角边交该半圆于点 ．若 ，则线段 的长为 ． 【分析】连接 ， ，根据圆周角定理可得出 ， ，故 是等腰直角 三角形，根据勾股定理即可得出结论． 【解析】连接 ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． ，， ． 故答案为： 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2020秋•台江区期中）如图，已知 是 的一条弦， ，垂足为 ，交 于点 ，点 在 上，连接 、 、 ． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ，弦 ，求 的半径长． 【分析】（1）根据垂径定理得到 ，利用圆心角、弧、弦的关系得到 ，然后 根据圆周角定理得到 的度数； （2）设 的半径为 ，则 ，根据垂径定理得到 ，然后利用勾股定理得到 ，再解方程即可． 【解析】（1） ， ， ， ； （2）设 的半径为 ，则 ，， ， 在 中，由勾股定理得： ， 解得： ， 即 的半径长为5． 20．（2021•黄冈一模）如图，在 中， 是 上的一点， ，弦 ，弦 平分 交 于点 ，连接 ， ． （1）求 半径的长； （2）试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）连接 、 ，过 作 于点 ，由圆内接四边形的性质求得 ，再求得 ，最后解直角三角形得 便可； （2）在 上截取 ，连接 ，证明 ，再证明 ，得 ，进而得结 论． 【解析】（1）连接 、 ，过 作 于点 ，如图1，， ， ， ， ， ， ， 故 的半径为2； （2） ，理由如下： 在 上截取 ，连接 ，如图2， ， 平分 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 21．（2021秋•南京月考）如图， 是 的直径， 为 上一点， 在 上，且 ， 的 延长线与 交于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的度数． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是 得出 ，再根据直角三角形的性质及三角形的内角 和即可推导得解； （2）连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 ， ，根据勾股定理得出 ， 即 可 得 到 ， 结 合 ， ， 进 而 得 出 ，由（1）知 ，据此即可得解． 【解析】（1）证明： 是圆的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，连接 并延长交 于点 ，连接 ， 与 都是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， 又 ， ， ． 22．（2021秋•海淀区校级月考）如图， ， 为 的直径， 、 分别交 于点 、 ，连接 、 ． （1）试判断 与 是否相等，并说明理由； （2）如果 ， ，求 的直径． 【分析】（1）可通过连接 ， 就是等腰三角形 底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点， 可得出 ， ，根据圆周角定理即可得出 ，便可证得 ； （2）设 的半径为 ，则 ， ，根据勾股定理得到 ，解 方程即可得解． 【解析】（1） ，理由如下： 连接 ， 为 的直径， ， ， ， ， ， ，， ； （2） 为 的直径， ， ， 设 的半径为 ， 则 ， ， 在 中， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， 或 （舍去）， ， 即 的直径为8． 23．（2021 秋•诸暨市月考）如图，四边形 内接于 ， 为直径， 和 交于点 ， ． （1）求 的度数； （2）过 作 的平行线，交 于 ，试判断线段 ， ， 之间满足的等量关系，并说明理由．【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案； （2）线段 ， ， 之间满足的等量关系为： ．如图2，设 ， ， 先 证 明 ， 再 过 作 ， 使 ， 连 接 ， 判 定 、 ，然后在 中，由勾股定理得： ，将相关线段代入即可得出结 论； 【解析】（1）如图1， 为直径， ， ， ， ， ； （2）线段 ， ， 之间满足的等量关系为： ．理由如下： 如图2，设 ， ，， ， 又 ， ， 过 作 ，使 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 在 中， ， ； 24．（2021•淅川县一模）如图，在 中， ， 经过点 ， 且与边 ， 分别交于点 ， ，点 是 上一点，且 ，连接 ， ， ． （1）求证： ； （2）若 为 的直径，填空： ①当 时，四边形 为菱形； ②当 时，四边形 为正方形．【分析】（1）先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论； （2）①先判断出点 是 的中点，再利用 ，点 是 的中点，即可得出 ，即可得 出结论； ②先判断出 ， ，进而得出 ，再判断出 ，即可得出 ，即可得出结论． 【解析】证明：（1） ， ， 是圆内接四边形 的外角， ， 在 和 中， ， ； （2）如图，①连接 ， 是直径， ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， （经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），， （经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边）， ， （垂直平分线上的点到两端点的距离相等）， ， ， 是等边三角形， ； 故答案为： ； ② 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． ． 故答案为： ．