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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.5第3章变量之间的关系单元测试（培优提升卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021春•烟台期末）一个蓄水池有水50m3，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，
下面说法不正确的是（ ）
放水时间（分） 1 2 3 4 …
水池中水量（m3） 48 46 44 42 …
A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量
B．每分钟放水2m3
C．放水10分钟后，水池里还有水30m3
D．放水25分钟，水池里的水全部放完
【分析】根据题意可得蓄水量y＝50﹣2t，从而进行各选项的判断即可．
【解答】解：设蓄水量为y，时间为t，
则可得y＝50﹣2t，
A、放水时间是自变量，水池里的水量是因变量，故本选项符合题意；
B、蓄水池每分钟放水2m3，故本选项不合题意；
C、放水10分钟后，水池中水量为：y＝50﹣2×10＝30m3，故本选项不合题意；
D、蓄水池一共可以放水25分钟，故本选项不合题意；
故选：A．
2．（2019•宁波模拟）从长度50m的电缆中截下xm长，称得质量为2kg，原电缆质量为ykg，则y关于x
的函数关系式是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝100x D．y＝25x
【分析】根据题意得出关系式即可．
【解答】解：当x＝10时，y＝250，而长度50米电缆是长度10米电缆的质量5倍，可得：y关于x的函数关系式为：y＝ ，
故选：A．
3．（2021春•大东区期末）小明同学喜欢看书，周日他先从家步行到书店，在那里看了一会书，突然接到
妈妈的电话后原路跑步回家，下面能反映小明离家距离y与所用时间x之间关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
【解答】解：∵小明从家步行到书店，
∴随着时间的增加离家的距离越来越远，
∵他在那里看了一会书，
∴他离家的距离不变，
又∵再跑步回家，
∴他离家越来越近，而且跑步回家比步行到书店用的时间少，
∴能反映小明离家距离y与所用时间x之间关系的图象是A．
故选：A．
4．（2021秋•淮安期末）小明晚饭后出门散步，行走的路线如图所示，则小明离家的距离h与散步时间t
之间的函数关系可能是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据小明的行走路线，判断小明离家的距离，由此再得出对应的函数图象即可．
【解答】解：根据函数图象可知，小明距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段
弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有C符合题意．
故选：C．
5．（2021秋•湖北期末）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设
B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2；利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE，得y的最
大值为AE＝10；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．
【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2．
利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝10．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，
设BE的长度为t，则AB＝t+2，
∴（t+2）2+t2＝100，
即：t2+2t﹣48＝0，
∴（t+8）（t﹣6）＝0，
解得t＝﹣8或t＝6，
由于t＞0，
∴t＝6．
∴AB＝t+2＝6+2＝8，
故选：C．
6．（2021秋•长丰县期末）小明上午8：00从家里出发，跑步去他家附近的抗日纪念馆参加抗美援朝 70
周年纪念活动，然后从纪念馆原路返回家中，小明离家的路程y（米）和经过的时间x（分）之间的函
数关系如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．从小明家到纪念馆的路程是1800米
B．小明从家到纪念馆的平均速度为180米/分
C．小明在纪念馆停留45分钟
D．小明从纪念馆返回家中的平均速度为100米/分
【分析】仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，可对选项A、C作出判断；
根据“速度＝路程÷时间”，可对选项B作出判断；
根据小聪从超市返回家中的平均速度，求出小聪返回所用时间，可对选项D作出判断．
【解答】解：A．观察图象发现：从小明家到超市的路程是1800米，故本选项正确，不合题意；
B．小明去超市共用了10分钟，行程1800米，速度为1800÷10＝180（米/分），故本选项正确，不合题
意；
C．小明在超市逗留了45﹣10＝35（分钟），故本选项错误，符合题意；
D．（1800﹣1300）÷（50﹣45）＝500÷5＝100（米/分），所以小明从超市返回的速度为100米/分，故
本选项正确，不合题意；
故选：C．7．（2021秋•沛县期末）如图1，在矩形ABCD中，点P从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处
停止．设点P运动的路程为x，△PBC的面积为y，已知y关于x的函数关系如图2所示，则长方形
ABCD的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值即可得出长方形ABCD的面积．
【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，
△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝5时，y开始不变，说明BC＝5，x＝11时，接着变化，说明
CD＝11﹣5＝6．
长方形ABCD的面积为：5×6＝30．
故选：D．
8．（2021秋•沙坪坝区期末）已知甲、乙两地相距720米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中分别
表示甲、乙两人离B地的距离y（单位：米），下列说法正确的是（ ）A．乙先走5分钟
B．甲的速度比乙的速度快
C．12分钟时，甲乙相距160米
D．甲比乙先到2分钟
【分析】根据图象可判断选项A、D，根据题意结合图象分别求出甲乙两人的速度，进而判断选项 B、
C．
【解答】解：A．由图象可知，甲先走5分钟，故本选项不合题意；
B．甲的速度为：720÷12＝60（米/分），乙的速度为：720÷（14﹣5）＝80（米/分），60＜80，故本选
项不合题意；
C．12分钟时，甲乙相距：80×（12﹣5）＝560（米），故本选项不合题意；
D．由图象可知，甲比乙先到2分钟，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（2021秋•密云区期末）如图，一个矩形的长比宽多 3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当
x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）A．S＝4x+6 B．S＝4x﹣6 C．S＝x2+3x D．S＝x2﹣3x
【分析】根据已知可得矩形的长为x+3，然后利用矩形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
S＝x（x+3）
＝x2+3x，
∴S与x满足的函数关系是：S＝x2+3x，
故选：C．
10．（2021秋•龙华区期末）如图①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x
的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公交公
司应降低运营成本，实现扭亏，公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏根据这两种意见，
把图①分别改画成图②和图③，则下列判断不合理的是（ ）
A．图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元
B．图②能反映公交公司意见
C．图③能反映乘客意见
D．图②中当乘客量为1.5万时公交公司收支平衡
【分析】根据图②中提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡判断D选项错误即可．
【解答】解：图②中实线表示提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡，
∴D选项表达不合理，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．（2020春•沙坪坝区期末）声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称声速）与气温x（℃）的关系如下
表所示：
气温x/℃ 0 5 10 15 20 …
声速y/（m/s） 331 334 337 340 343 …
照此规律可以发现，当气温x为 3 5 ℃时，声速y达到352m/s．【分析】观察图表数据，气温每升高5℃，音速增加3，然后写出x的表达式，把音速y＝352代入函数
解析式，求得相应的x的值即可．
【解答】解：根据表中数据可知y与x成一次函数关系，
故设y＝kx+b，取两点（0，331），（5，334）代入关系式得
，解得 ，
∴函数关系式为y＝ x+331．
当y＝352时，352＝0.6x+331，
解得x＝35．
即当声音在空气中的传播速度为352米/秒，气温是35℃，
故答案为35．
12．（2021春•杏花岭区校级期中）下表为研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格．
所挂物体质量x（kg） 1 2 3 4
弹簧长度y（cm） 10 12 14 16
则当所挂物体质量为3.5kg时，弹簧比原来伸长了 7 cm．
【分析】设y与x的关系式为y＝kx+b，然后通过待定系数法求解．
【解答】解：设弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系式为y＝kx+b，
将x＝1，y＝10与x＝2，y＝12分别代入解析式中可得：
，
解得 ，
∴y＝2x+8，
当x＝0时y＝8，即弹簧原来长度为8cm，
x＝3.5时，y＝15，
15﹣8＝7（cm），
故答案为：7．
13．（2021秋•花都区期末）长方形的面积为20，长与宽分别为x，y，则y与x的函数关系式为 y ＝
．
【分析】根据矩形的面积公式可得y与x的函数关系式．【解答】解：由矩形的面积公式可得，
xy＝20，
即y＝ ，
故答案为：y＝ ．
14．（2021春•莱阳市期末）周末，小明骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．他从家出发后所用时
间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：①小明中途
休息了2分钟；②小明休息前的骑车速度为每分钟400米；③小明所走的路程为4400米；④小明休
息前的骑车速度小于休息后的骑车速度．其中正确结论的序号是 ①② ．
【分析】根据函数图象可知，小依4分钟所走的路程为1600米，4～6分钟休息，6～10分钟骑车
（2800﹣1600）米，骑车的总路程为2800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可．
【解答】解：①根据图象可知，在4～6分钟，路程没有发生变化，所以小依中途休息的时间为：6﹣4
＝2分钟，故①正确；
②根据图象可知，当t＝4时，s＝1600，所以小依休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟），
故②正确；
③根据图象可知，小依在上述过程中所走的路程为2800米，故③错误；
④小依休息后的骑车的平均速度为：（2800﹣1600）÷（10﹣6）＝300（米/分），小依休息前骑车的
平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟），
400＞300，所以小依休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，故④错误；
综上所述，正确的有①②2个．
故答案为：①②．
15．（2020春•牡丹区期末）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点
A停止，设点P的运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形
ABCD的周长是 1 6 ．【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，根据长方形的周长公式得出长方形ABCD的周
长．
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间
时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＞3时，y不发生变化，说明BC＝3，x＝8时，接着变化，说明
CD＝8﹣3＝5，
∴AB＝5，BC＝3，
长方形ABCD的周长是：2（AB+BC）＝16，
故答案为：16
16．（2020春•台州期末）小亮从家骑车上学，先经过一段平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡
到达学校，所行驶路程s（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的
速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是 16. 5 分钟．
【分析】根据图象可知：小明从家骑车上学，平路路程是1千米，用3分钟；上坡的路程是1千米，用
6分钟，则上坡速度是 千米/分钟；下坡路程是2千米，用3分钟，因而速度是 千米/分钟，由此即可
求出答案．
【解答】解：根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用6分钟，
则上坡速度是 千米/分钟；
下坡路长是2千米，用3分钟，则速度是 千米/分钟，
他从学校回到家需要的时间为：2÷ +1÷ +3＝16.5（分钟）．
故答案为：16.5．
17．（2020•五通桥区模拟）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点
P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，
则（1）AB的长为 5 ；
（2）△ABC的面积是 1 2 ．
【分析】由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y＝BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对
应图2可得此时y＝5，即BC＝5；点P从C运动到A的过程中，y＝BP先减小，到达BP⊥AC时达到最
小，对应图2可得此时BP＝4；而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y＝5，即BA＝5，所以
△ABC为等腰三角形．作AC边上的高BD＝4，即能求得AD＝CD＝3，即AC＝6，再求得△ABC面积．
【解答】解：（1）由图形和图象可得BC＝BA＝5，
故答案为5；
（2）当BP⊥AC时，BP＝4，
过点B作BD⊥AC于D，则BD＝4，
∴AD＝CD＝ ＝ ＝3，
∴AC＝6，
∴S△ABC ＝ AC•BD＝ ×6×4＝12，
故答案为12．18．（2021春•朝阳区校级月考）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向
运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，三角形MNR的面积为y，如果y随x变化的图象如图2所
示，则三角形MNR的最大的面积是 1 2 ．
【分析】根据题意利用y随x变化的图象可得PN＝4，PQ＝6，进而可以解决问题．
【解答】解：当R在PN上运动时，面积y不断在增大，
当到达点P时，面积开始不变，到达Q后面积不断减小，
由图2可知：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，
当x＝10时，点R与点Q重合，PQ＝10﹣4＝6，
所以矩形PQMN的面积为：4×6＝24，
所以三角形MNR的最大面积是24÷2＝12．
故答案为：12．
三．解答题（共6小题）
19．（2020春•莱州市期末）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的
时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；
（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；
（3）提供变化情况得出结论．
【解答】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出
概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．
20．（2020春•丹东期末）某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下
面的表格是y与x的部分数据．
（1）下表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）请将表格补充完整．
x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y/元 1000 2000 300 0 4000 500 0 6000 …
（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘
坐该路公交车要达到多少人次？（利润＝收入﹣支出费用）
【分析】（1）根据表格数量变化得出，自变量和因变量；
（2）求出单价即可得出答案；
（3）求出毛总收入，依据票价，求出人次．
【解答】解：（1）表格中反映了收入y（元）与人次x（人）两个变量之间的变化关系，其中人次x是
自变量，y是因变量；
（2）补全表格如下：
x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y/元y/元 1000 2000 3000 4000 5000 6000 …
故答案为：3000、5000；
（3）每人次乘坐的票价为：1000÷500＝2（元），由题意得，
2x＝4000+10000，
解得，x＝7000，
答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次．
21．（2021春•昌图县期末）如图，圆柱的底面半径是1cm，圆柱的高由小到大变化．
（1）圆柱的侧面积如何变化？在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？圆柱的侧面积S（cm2）
与圆柱的高h（cm）之间的关系式是什么？
（2）圆柱的体积如何变化？在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？圆柱的体积 V（cm3）与圆
柱的高h（cm）之间的关系式是什么？
（3）当圆柱的高为2cm时，圆柱的侧面积和体积分别是多少？【分析】（1）根据函数的定义，可得答案；
（2）根据圆柱的体积公式，可得答案；
（3）根据自变量的值，可得相应的函数值．
【解答】解：（1）圆柱的铡面积在增加；圆柱的高是自变量，圆柱的侧面积是因变量；
S＝2× ×1×h＝2 h；
（2）圆π 柱的体积π在增加；圆柱的高是自变量，圆柱的体积是因变量；
V＝ ×12×h＝ h；
（3）π 当r＝2cπm时，S＝2 h＝2 ×2＝4 ，V＝ ×12×2＝2 ．
即当圆柱的高为2cm时，π圆柱的π侧面积π和体积π分别是4 cπm2和2 cm3．
22．（2021春•威宁县期末）威宁粮食二库需要把晾晒场π上的120π吨苞谷入库封存．受设备影响，每天只
能入库15吨．入库所用的时间为x（单位：天），未入库苞谷数量为y（单位：吨）．
（1）直接写出y和x间的关系式为： y ＝ 12 0 ﹣ 1 5 x ；
（2）二库职工经过钻研，改进了入库设备，现在每天能比原来多入库5吨．则：
①直接写出现在y和x间的关系式为： y ＝ 12 0 ﹣ 2 0 x ；
②求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少多少天？
【分析】（1）入库所用的时间为x，未入库苞谷数量为y的函数关系式为y＝120﹣15x；
（2）①改进了入库设备，每天入库15+5＝20吨；y和x间的关系式为：y＝120﹣20x；
②120吨苞谷入库封存现在所需天数﹣原来所需天数，即可求得答案．
【解答】解：（1）晾晒场上的120吨苞谷入库封存．每天只能入库15吨，
入库所用的时间为x，未入库苞谷数量为y的函数关系式为y＝120﹣15x；
故答案为：y＝120﹣15x；
（2）①改进了入库设备，每天入库20吨；y和x间的关系式为：y＝120﹣20x；
故答案为：y＝120﹣20x；
② ＝2（天），
答：求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少2天．23．（2021秋•亳州月考）小华骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于
是原路返回刚经过的新华书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小华家离西安交大的距离是多少？
（2）买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？
（3）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？
【分析】（1）根据函数图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；
（2）小华从新华书店去西安交大的路程为4800﹣3000＝1800米，所用时间为28﹣24＝4（分钟），根
据速度＝路程÷时间，即可解答；
（3）根据函数图象，可知本次去西安交大途中，小华一共行驶的路程．
【解答】解：（1）根据函数图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；
（2）小华从新华书店去西安交大的路程为4800﹣3000＝1800（米），
所用时间为28﹣24＝4（分钟），
小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是：1800÷4＝450（米/分）；
（3）根据函数图象，小华一共行驶了4800+2×（4000﹣3000）＝6800（米）．
24．（2021秋•苏州期中）如表是苏州市地铁收费标准：
分段 乘坐里程（公里） 单程票票价
1 0＜里程≤6 2元
2 6＜里程≤11 3元
3 11＜里程≤16 4元
4 16＜里程≤23 5元
5 23＜里程≤30 6元
6 里程20公里以上，每9公里分段 加1元备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠
小明的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12公里，每月按22天上下班计算．
（1）求小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；
（2）地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票130元/50次．
月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是多少元？
请说明理由．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；
（2）根据题意，利用分类讨论的方法，分别求出购买各种月票的较低费用，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）由表格可知，
小明的妈妈每次单程票票价为4元，
故小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费为：4×2×22×0.95＝167.2（元），
即小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费是167.2元；
（2）小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是130元，
理由：∵小明妈妈一个月需要坐地铁22×2＝44（次），
∴当选择A月票时较低的费用为：60×2+4×4×0.95＝135.2（元），
当选择B月票时较低的费用为：85+（44﹣30）×4×0.95＝138.2（元），
当选择C月票时的费用为130元；
∵130＜135.2＜138.2，
∴小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是130元．
