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专题 3.5-7 与圆有关的位置关系测试卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·江苏盐城·九年级期中）已知 的半径为3cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直
线l与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】C
【分析】根据题意和直线与圆的位置关系，即可得．
【详解】解：∵ 的半径为3cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，
∴ ，
即直线l与 的位置关系是相离，
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的根据数据掌握直线与圆的位置关系．
2．（2022·福建·大同中学九年级期中）如图，已知点 是 的外心，连结 ， ，若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得出 即可得到结果．
【详解】解：∵点O为 的外心， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键．3．（2022·广西·都安瑶族自治县民族实验初级中学九年级期中）如图，点P为 外一点， 为 的
切线，A为切点， 交 于点B， ， ，则切线 的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，由切线的性质可知 ，再根据同圆半径相等得出 ，最后根据含
角的直角三角形的性质即可求出 ，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ 为 的切线，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质，含 角的直角三角形的性质，勾股定理．连接常用的辅助线是解题
关键．
4．（2022·浙江·宁波外国语学校九年级期中）如图， 与正方形 的两边 相切，且 与
相切于E点．若 的半径为4，且 ，则 的长度为（ ）A．5 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据切线性质证四边形 为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得
．
【详解】解：连接 ，
∵ 都与圆O相切，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
则 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线和切线长定理，作辅助线，利用切线长性质求解是关键．
5．（2022·河南·洛阳市第二外国语学校九年级期中）如图， 是 的直径，点 为 外一点， 、是 的切线， 、 为切点，连接 、 ．若 ，则 的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
【答案】D
【分析】如图所示，连接 ，利用切线的性质得到 ，利用四边形内角和定理求出
的度数，即可利用圆周角定理求出答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 、 是 的切线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，四边形内角和定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2022·江苏盐城·九年级期中）如图，已知 、 分别切 于 、 ， 切 于 ， ，
，则 周长为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】C
【分析】根据切线的性质得到 ，根据勾股定理求出 的长，根据切线长定理、三角形周长公式计算即可．
【详解】 、 分别切 于 、 ，
， ，
，
、 分别切 于 、 ， 切 于 ，
， ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理，掌握圆的切线垂直经过切点的半径以及切线长定理是解题的
关键．
7．（2022·山东潍坊·九年级期中）课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是 的外心，
，求 ”．小亮的解答为：如图，画 以及它的外接圆O，连接 ，由
，得 ．而小莹说：“小亮考虑的不周全， 应该还有另一个不同的值”．
下列判断正确的是（ ）
A．小亮求的结果不对， 应该是 B．小莹说的不对， 就是
C．小莹说的对， 的另一个值是 D．两人说的都不对， 的值有无数个
【答案】C
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示： 还应有另一个不同的值 与 互补，
故 ．
故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，正确分类讨论是解题
的关键．
8．（2022·江苏常州·九年级期中）如图，在 中， ， ，点D是 边上一
个动点，以点D为圆心r为半径作 ，直线 与 切于点E，若点E关于 的对称点F恰好落在
边上，则r的值是( )
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】连接 、 、 ，由 与 相切于点 ，得 ，由点 与点 关于
对称，得 垂直平分 ，则 ， ，所以 ， ，即可证
明 ，由 ， ，得 ， ，所以
，由勾股定理得 ，则 ，而 ，所以
，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接 、 、 ，如图，与 相切于点 ，
，
，
点 与点 关于 对称，
垂直平分 ，
， ，
， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆的切
线的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关
键．
9．（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院模拟预测）如图，已知点 ，直线l经过A、B两点，点
为直线l在第一象限的动点，作 的外接圆 ，延长 交 于点Q，则 的面积最小值为（ ）
A．4 B．4.5 C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得 ，从而在在 中，利用勾股定理求出 的长，再根据直径所
对的圆周角是直角可得 ，然后利用同弧所对的圆周角相等可得 ，从而可得
，进而可得 ，最后根据垂线段最短可知，当 时， 最小，从而可得
的面积最小，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点 ，
∴ ，
在 中， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积= ，∴当 最小时， 的面积最小，
∴当 时， 最小，
∵ 的面积 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积的最小值 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆，圆周角定理，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三
角函数的定义是解题的关键．
10．（2022·江苏江苏·九年级期中）如图， 是 的直径，半径 于点 ， 平分 ，交
于点 ，交 于点 ，连接 ， ，给出以下四个结论：① ；② ；③
；④ ．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】设 的半径为 ，证 ∽ ，由 ， ，可得①正确；同
理，由 ∽ ，可得 ，故②错误；由 平分 ，可得 ，结合
是 的直径，半径 于点 ，推出③正确；由 ， ，证明
∽ ，得 ，所以 ，即可证明 ，可判断 正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：设 的半径为 ，则 ，
， ，
平分 ，
，
，
，
∽ ，
，
，
，
，
∽ ，
，
故 正确，符合题意；
，
，
，
又 ∽ ，
，
，
故 错误，不符合题意；
平分 ，
，
，
是 的直径，半径 于点 ，，
故 正确，符合题意；
，
又 是 的直径，半径 于点 ，
， ，
，
，
∽ ，
，
，
，
，
，
故 正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题重点考查圆的有关概念和性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，
证明 ∽ 及 ∽ 是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022·江苏南京·九年级期中）已知 的半径为 ，圆心O到直线l的距离为 ，则直线l与
的位置关系是______．
【答案】相离
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系即可得出答案．
【详解】解：∵圆心到直线的距离大于半径，
∴直线l与 相离，
故答案为：相离．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级专题练习）在下图中， 是 的直径，要使得直线 是 的切线，需要添
加的一个条件是________．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：
∠ABT=∠ATB=45°即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
13．（2022·江苏常州·九年级期中）工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺
按如图摆放，测得 cm，由此可算得该圆木的直径为_____cm．
【答案】
【分析】如图， 切三角板的斜边于 点，连接 、 ，利用邻补角计算出 ，再根据切线长定理和切线的性质得到 平分 ， ，所以 ， ，然后利用含30
度角的直角三角形三边的关系得到 的长，从而得到圆的直径．
【详解】解：如图， 切三角板的斜边于 点，连接 、 ，则 ，
与三角板和直尺相切，
平分 ， ，
， ，
在 中，
，
cm，
该圆木的直径为 cm．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，熟练掌握切线的性质及切线长定理是解题的关键．
14．（2022·河北·石家庄市第二十八中学九年级期中）如图， 外接圆的圆心坐标为______．
【答案】
【分析】根据外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，进行解答即可．【详解】解：如图：外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，
∵垂直平分线的交点坐标为 ，
∴ 外接圆的圆心坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形外接圆的圆心，熟知三角形外接圆的圆心即为三角形三边的垂直平分线的交点
是解本题的关键．
15．（2022·江苏南京·九年级期中）如图， 的内切圆 分别与 相切于点D、E、F，
若 则 的长为______．
【答案】
【分析】设 ，根据切线长定理得出 求出 ，
根据 ，代入求出 的值即可．
【详解】解：设 ，
的内切圆 与 相切于点D、F、E，∵
∴ ，
∵ ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．
16．（2022·江苏南通·一模）如图，等边△OAB中OB＝3，将同一平面内边长为2的等边△OCD绕点O旋
转一周的过程中，点B到直线CD的距离最大值为 _____．
【答案】 ##
【分析】如图1，OG⊥CD于G，⊙O的半径为OG，⊙B的半径为OB+OG，利用直线与圆相交时，圆心
到直线的距离小于半径，便可解答；
【详解】解：如图1，OG⊥CD于G，⊙O的半径为OG，⊙B的半径为OB+OG，OG⊥CD，△OCD是等边三角形，OC=2，则CG= =1，由勾股定理可得OG= ，
当边CD绕O点旋转时，CD的中点G在⊙O上运动，当G点不在BO延长线上，则CD所在直线必定与
⊙B相交，即B点到直线CD的距离小于⊙B的半径；当点G在BO延长线上时，CD所在直线与⊙B相切，
此时 B点到直线CD的距离等于⊙B的半径；
∴点B到直线CD的最大距离为OB+OG= ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，旋转的特征等知识；掌握直线
与圆相交的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·江苏镇江·九年级期中）已知：Rt ABC，∠C＝90°．
（1）点E在BC边上，且△ACE的周长为AC△＋BC，以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都
相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置；
（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及角平分线的性质作图即可；
（2）先根据勾股定理得出AB的长，再根据S ＝S ＋S 即可得出⊙O的半径．
ABE AOB BOE
△ △ △
【详解】（1）如图，点E、O即为所求作点，
（2）解：设AE＝BE＝x，则CE＝8－x
在Rt ACE中，42＋（8－x）2＝x2
x＝5△在Rt ABC中，AB＝ ＝
△
∵S ＝S ＋S
ABE AOB BOE
△ △ △
∴ ×5×4＝ × r＋ ×5r
∴r＝ ．
【点睛】本题考查了尺规作图—垂直平分线和角平分线，以及它们的性质，以及三角形的面积，熟练掌握
相关的知识是解题的关键．
18．（2022·江苏泰州·九年级期中）如图， 为 的外接圆 的直径，点M为 的内心，连接
并延长交 于点D，连接 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先根据圆周角定理求出 ，再根据内心定义，推出 度数，进而根据得出
的值；
（2）连接 ，证明 即可．
【详解】（1）解： 为 的外接圆 的直径，
，
为 的内心，
，
；
（2）解：如图，连接 ，
为 的内心，
， ，，
，
，
， ，
，
；
∴DM=CD=4．
【点睛】本题考查了内心的定义，圆周角定理，等腰三角形判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握内心
的性质．
19．（2022·江苏南京·九年级期中）如图，在 中， 是 的直径， 是 的切线，切点是 ，
连接 ，过点 作 ，与 交于点 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为3， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 是 的切线，得出 ，证明 ，得出 ，
即可得证；
（2）根据 是 的直径，得 ，进而得出 ，根据垂径定理可得 ，勾股定理得出 ，等面积法求得 的长，继而求得 的长，在 中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图，连接 交 于点 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂径定理，掌握以上知识
是解题的关键．
20．（2021·浙江宁波·二模）已知反比例函数 的图象经过点 ．
（1）填空： _________， __________；
（2）若直线 的解析式为 ，请根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 的取值
范围；
（3）若 为线段 上一点， 的半径为2，且与坐标轴不相交，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）当 或 时， ；（3） ．
【分析】（1）利用点在函数图像上，点的坐标满足解析式代入A点坐标，求出m，再求n即可；（2）由反比例函数图像在一次函数图像上方可知在交点A的左侧，和交点B的右侧和y轴左侧即可；
（3）∵ 利用待定系数法求线段AB解析式为 ，当圆P与x轴相切时，
y=2，求出 ，当圆P与y轴相切时， ，与坐标轴不相交即可求出结果 ．
【详解】解：（1）反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：-7；7；
（2）反比例函数的值大于一次函数的值，就是反比例函数图像在一次函数图像上方，
在交点A的左侧，和交点B的右侧和y轴左侧，
∴ 的 取值范围是 或 ；
（3）∵ ，
线段AB解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
当圆P与x轴相切时，y=2， ，
当圆P与y轴相切时， ，
∴ 为线段 上一点， 的半径为2，且与坐标轴不相交， ．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数大小比较方法，动点圆与x轴和y轴的位
置关系，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数大小比较方法，动点圆与x轴和y轴的位置关
系是解题关键．
21．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图， 是 的直径，点 是 外一点，连接 交 于点
，作 ， 分别切 于点 ， ，连接 ， ．
(1)求证： ∥ ；
(2)连接 ，若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质可得 ，从而证明 ≌ ，进而
可得 ，然后根据圆周角定理可得 ，从而可得 ，
最后利用平行线的判定即可解答；
（2）连接 ，利用（1）的结论可得 ，然后在 中，利用锐角三角函数
的定义可得 ，从而可得 ，进而在等腰直角三角形 中求出 ， 的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可得 ，再利用勾股定理进行计算即可解答．
（1）
证明：连接 ，
， 分别切 于点 ， ，
，
， ，
≌ ，
，
，
，
；
（2）
解：连接 ，
，
，在 中， ，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
，
或 （舍去），
线段 的长为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线
的性质，以及解直角三角形是解题的关键．
22．（2022·全国·九年级期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A
在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连接AB、AC．
(1)在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
(2)若BC＝2，求弦AC的最大值．(3)【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN
的最大值为 ．
【答案】(1)不变，45°，理由见详解
(2)
(3)
【分析】（1）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可说明；
（2）AC的最大值为直径，有直角三角形OBC求出半径OC的长度即可；
（3）与第（2）问类似，MN为 的中位线，AC最大时，可知MN最大，作 的外接圆，AC最大
值为直径，因此求出 的外接圆的半径即可．
【详解】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：
∵ ，∠BOC＝90°，
∴ ；
（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，
在Rt BOC中，∠BOC＝90°，
根据勾△股定理，得 ，
∵OB＝OC，
∴ ，
∴ ，
即AC的最大值为 ；
（3）如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝ BC＝2，
∴OB＝ ，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝ AC，
∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝ ，
∴MN最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的相关知识，有等弧或同弧的圆周角等于圆心角的一半，有动点问题，有直角三角
形求直角边，也有普通三角形求外接圆的半径，熟练掌握同弧或等弧中的圆周角与圆心角的关系是解本题
的关键．
23．（2021·河北石家庄·二模）如图1和图2，点 在数轴上对应的数为16，过原点 在数轴的上方作射
线 ，且 .点 从点 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点
出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点 到达点 时，点 ， 都停止运动.以点 为
圆心， 为半径的半圆与数轴正半轴交于点 ，与射线 交于点 ，连接 ，设运动时间为 秒
，点 在数轴上对应的数为 ．（1）用含 的式子表示 的长为______，当点 与点 重合时， ______；
（2）若 与半圆 相切，求 ；
（3）如图2，当 时，半圆 与 的另一个交点为 ，求 的度数及 的长；
（4）若半圆 与线段 只有一个公共点，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，6；（2） ；（3） ， ；（4） 或 ．
【分析】（1）连接CF，过F点作OA垂线，垂足为G， ，设 ，可得
，解得m的值即可求得OC的长；当点 与点 重合时： ，解得t的值，代入
求得OE即可；
（2）当半圆 与 相切时，则 ，又因为 ，设 ， ，则 ，
可列 ，求出t值，解出OE值即可；
（3）连接CD，因为 为半圆 的直径， ，当 时，由勾股定理可以求得 值，
，最终得到 ，即 为等腰直角三角形，
由此可知 的度数；连接 ， ， ，可知 ，根据弧长
公式求解即可；
（4）若半圆 与线段 相切时，可以求得x的值；当点 与点 重合时，可以求出x的值，解出相应取
值范围即可．
【详解】解：（1）连接CF，过F点作OA垂线，垂足为G，∵F为半圆圆心，
∴OF=FC=t，
∴ ，
∵ ，
设 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当点 与点 重合时：
解得： ，
当 时， ；
故答案为： ，6．
（2）当半圆 与 相切时，则 .
在 中， ，设 ， ，则 ，
，
.
..
时，半圆 与 相切.
此时 .
（3）如图，连接 ，
为半圆 的直径，
，
由（2）可知， .
在 中， ，
，
当 时， ， ， ，
由勾股定理，得 .
，
，即 为等腰直角三角形，
.
连接 ， ， .
为直径，
.
.
..
（4）若半圆 与线段 相切时， ， ，
，解得 ，此时x等于10，
∴当 时，半圆 与线段 只有一个交点，
当点 与点 重合时，由（1）得： ，
∴当 时，半圆 与线段 只有一个交点，
综上所述： 或 .
【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，锐角三角函数，相似三角形等知识点，本题属于圆与动点问
题的结合，难度较大，找到圆与直线特殊的位置关系，列出相应关系式是解题关键．
