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专题 3.4 圆的对称性（专项练习）
一、单选题
知识点一、圆的相关概念
1．下列说法错误的是( )
A．圆上的点到圆心的距离相等 B．过圆心的线段是直径
C．直径是圆中最长的弦 D．半径相等的圆是等圆
2．①直径是弦②弦是直径③半圆是弧④弧是半圆，以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
3．下列判断结论正确的有（ ）
（1）直径是圆中最大的弦．
（2）长度相等的两条弧一定是等弧．
（3）面积相等的两个圆是等圆．
（4）圆上任意两点间的部分是圆的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列命题中的假命题是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D．同圆中，相等的弧所对的弦相等
知识点二、圆心角、弧、弦的关系
5．如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
6．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是 的三等分点，半径OC、OD分别与弦
AB交于点E、F，下列说法错误的是( )A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB
C．EC＝FD D．∠DFB＝75°
7．如图， 是 的直径， 是 上位于 异侧的两点．下列四个角中，一定
与 互余的角是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为 的中点，连接AF、BF、AC，AF交
CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：① ；②HC＝BF：③MF＝FC：
④ ，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
知识点一、圆的相关概念
9．已知⊙O的直径为 cm，点A在⊙O上，则线段OA的长为______cm．
10．圆是轴对称图形，它有 ______条对称轴，圆又是 ______对称图形，圆心是它的
__________；
11．已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，
5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC的距离为4，则点A'的坐标可能为______．
12．如图，在⊙O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是
．
知识点二、圆心角、弧、弦的关系
13．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若 的度
数为35°，则 的度数是_____．
14．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到 ，则 的度数是______度．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是 上的点，且有
，则∠OCG=___．16．菱形ABCD中，∠A=40°，点P在以A为圆心，对角线BD长为半径的圆上，且
BP=BA，则∠PBD的度数为______.
三、解答题
17．如图，⊙ 中，弦 与 相交于点 , ,连接 .
求证：⑴ ；
⑵ .
18．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点
A、B重合）OD⊥B C，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当 时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出是哪条边，并求其长度；
如果不存在，请说明理由．19．已知：如图所示，AB，CD是 的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且 ，
求证： .
20．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
21．如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，
0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．
22．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．
求证：（1）AB＝CD；（2）AE＝CE．
参考答案
1．B
【分析】根据圆的定义，平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，判断
A的正误；由直径是通过圆心且两个端点都在圆周上的线段，判断B的正误；根据直径和
弦的关系可知直径是圆中最长的弦，判断C的正误；根据半径相等的圆是等圆，判断D的
正误.
解：A,根据圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,知A正确;
B,根据直径的定义:直径是通过圆心且两个端点都在圆周上的线段,知B错误;
C,根据直径和弦的关系可知直径是圆中最长的弦,故C正确;
D,根据等圆的定义:半径相等的圆是等圆,故D正确.
故选B.
【点拨】本题考查圆的相关概念.
2．D
【分析】根据直径和弦的关系判断说法①、②的正误；
再根据半圆和弧的关系判断说法③、④的正误，从而确定正确说法的个数.
解：根据直径和弦的定义可知：直径是弦，但弦不一定是直径，故①正确，②错误；
再根据半圆和弧的定义可知：半圆是弧，但弧不一定是半圆，故③正确，④错误；
综上所述：正确的有①、③，共2个.
故选D.
【点拨】本题考查圆的基础知识，掌握基础定义是解题的关键.
3．B
【分析】根据圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
解：（1）直径是圆中最大的弦，正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，错误；（3）面积相等的两个圆是等圆，正确；（4）圆上任意两点间的部分是圆的弦，错误.
故选B．
【点拨】本题考查了与圆有关的概念，解题的关键是能够了解圆的有关概念．
4．A
【分析】根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分
析判断后利用排除法求解．
解：A、应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B、三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；
C、同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；
D、同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．
故选A．
【点拨】本题主要考查了确定圆的条件，一定要注意是不在同一直线上的三点确定一个圆，
还考查了圆心角、弧、弦的关系，需要熟练掌握．
5．A
解：如图，在⊙ O中，
∵ ，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A= .
故选A.
6．A解：试题分析：利用点C，D是 的三等分点，得出AC=CD=DB，
∠AOC=∠COD=∠BOD= ∠AOB=30°，再求出∠OBA的度数，利用外角求出∠BFD的度
数，通过证△AOE≌△BOF，得出OE=OF，则EC＝FD.连接AC，在△ACE中，求证
AE=AC，则可证CD=AE=BF，再根据CD>EF得AE、EF、FB 关系.
解：∵点C，D是 的三等分点，
∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD= ∠AOB=30°，
∴选项B正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°，
故选项D正确.
∴∠AEO=∠BFO，
在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO，
∴△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∴EC＝FD,故选项C正确.
在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO= （180°-30°）=75°，
∴∠ACO=∠AEC，
∴AC=AE，同理BF=BD，
又∵AC=CD=BD，
∴CD=AE=BF，
∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD，
∴EFEF，故A错误.
故选A．
7．D
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，
∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.8．C
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即
可．
解：∵F为 的中点，
∴ ，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴ ，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴ ＝180°，
∴ ＝180°，
∴ ，故④正确，
故选：C．
【点评】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
9．
试题解析：∵⊙O的直径为 cm，∴⊙O的半径为 cm，
∵点A在⊙O上，
∴线段OA= cm．
故答案为： ．
10．无数 中心 对称中心
【分析】根据轴对称图形的定义以及中心对称的概念解答即可.
解：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形，
对称中心是圆心.
【点拨】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且有无数条对称轴.
11．（√19，9）、（−√19，9）或（−3√11，1）
【分析】将对称的动点问题看作是画圆的问题，即可将问题转化为直线与圆的交点问题，
再通过勾股定理即可求解．
解：如图，点A关于OP的对称点为A′，
由对称性可知△AA′O为等腰三角形，且腰为OA＝10，
所以距离CB直线为4的点分布在直线BC的两侧，
A′可以看作是以O为圆心，OA为半径的圆与直线y＝9，与直线y＝1的交点
由勾股定理可得，当A′在y轴左侧BC上方时，A′（−√19，9），
当A′在y轴左侧BC下方时，A′（−3√11，1），
当A′在y轴右侧BC上方时，A′（√19，9）
【点拨】本题考查了轴对称问题，对称过程中会生成等腰三角形，并根据实际条件，将点
的问题转化为直线与圆的问题是本题解题的关键．12．1
试题分析：连接OB，OC，根据∠BAC=30°可得∠BOC=60°，则△OBC为等边三角形，则
OB=BC=1，即圆的半径是1．
考点：圆的基本性质．
13．105°．
【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角
形的性质和三角形内角和定理计算即可．
解：连接OD、OE，
∵ 的度数为35°，
∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，
∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，
∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴ 的度数是105°．
故答案为105°．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等．
14．20
【分析】先根据旋转的性质得 ,则根据圆心角、弧、弦的关系得到
∠DOC=∠AOB=20°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数即可得解.
解：∵将 旋转n°得到 ,
∴
∴∠DOC=∠AOB=20°，
∴ 的度数为20度．
故答案为20．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了旋转的性质．
15．30°．
解：∵ = = = = = ,
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°,
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC= （180°-120°）=30°.
故答案为30°.
16．110°或30°
【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
解：如图，当点P与D点在直线AB的同侧时．连接AP．
∵四边形ABCD是菱形
∴AD=AB
∵∠BAD=40°，
∴∠ABD=∠ADB=70°，
∵AD=AB=BP，BD=AP，BA=AB，
∴△ABD≌△BAP，∴∠ABP=∠BAD=40°，
∴∠PBD=∠ABD-∠ABP=30°，
当点P与D点在直线AB的异侧时，同法可得∠ABP′=40°，
∴∠P′BD=40°+70°=110°，
故答案为30°或110°．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学
会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由AB=CD知 ，即 ，据此可得答案；
（2）由 知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从
而得出答案．
解：证明（1）∵AB=CD，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点拨】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在
同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，
一项相等，其余二项皆相等．18．（1）OD＝ ；（2）DE的长保持不变，理由见解析.
【分析】（1）根据垂径定理得到BD= BC= ，根据勾股定理计算；
（2）连接AB，根据勾股定理求出AB，根据垂径定理，三角形中位线定理计算．
解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD＝ BC＝ ，
∴OD＝ ＝ ；
（2）DE的长保持不变，
理由如下：连接AB，
由勾股定理得，AB＝ ＝ ，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD＝CD，AE＝EC，
∴DE＝ AB＝ ．
【点拨】本题考查的是垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，掌握垂直于弦的直径平
分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
19．详见解析
【分析】过点O作 于点M.由等腰三角形的性质可证 ，
，从而可得 ，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求
得结论.
解：证明：如图，过点O作 于点M.
，.
同理， .
.
.
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两
条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角
形三线合一的性质.
20．见解析
【分析】根据AB＝CD得到 ，推出 ，得到 ，由此得到结论．
解：证明：∵AB＝CD，
∴ ，
∴ ,
即 ，
∴ ，
∴CE＝BE．
【点拨】此题考查同圆中弦、弧的关系，圆周角的性质，等角对等边的判定，正确推导出
是解题的关键．
21．O′P＞r，点P在⊙O′外；O′Q＜r，点Q在⊙O′内；O′R＝r，点R在⊙O′上．
【分析】点与圆的位置关系由三种：设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d
＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
解：∵OO′＝r＝√12+12＝√2 ，O′P＝√(−1−1) 2+(1−1) 2＝2同理可得：O′Q＝1，O′R＝√2 ，
∴O′P＞r，点P在⊙O′外；
O′Q＜r，点Q在⊙O′内；
O′R＝r，点R在⊙O′上．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）欲证明AB=CD，只需证得 ＝ ；（2）连接AC，由 ＝ 得出
∠ACB=∠CAD，再由等角对等边即可证的AE＝CE.
解：证明：（1）∵AD＝BC
∴ ＝
∴ － ＝ －
即 ＝
∴AB＝CD
（2）连接AC
∵ ＝
∴∠ACB＝∠DAC
∴AE＝CE
【点拨】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.
