专题 30 双曲线及其性质
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
圆锥曲线近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第11题,5分 直线与圆的位置关系， 参数方程
2023年全国乙（文科），第13题,5分 根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第5题,5分
根据标准方程确定圆的圆心和半径 几何概型
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第11题,5分
直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标
2023年全国乙（文科），第12题,5分
2023年全国乙（理科），第12题,5分 直线与圆的位置关系 向量的数量积
2023年全国乙（理科），第20题,12分 1、根据离心率求椭圆方程；
2023年全国乙（文科），第21题,12分 2、椭圆中的定点问题；
2023年全国甲（文科），第7题,5分 椭圆中焦点三角形的面积问题
2023年全国甲（理科），第8题,5分
双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦
2023年全国甲（文科），第9题,5分
2023年全国甲（理科），第12题,5分 椭圆的定义、焦点三角形
1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线
2023年全国甲（理科），第20题,12分
方程；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
2、抛物线中的三角形面积问题
2. 命题规律及备考策略
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【命题规律】1.根据定义Ⅰ，平面内 、 是两定点，动点 到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小
于定点间距离)，即 ( 为常数)，则动点 的轨迹是双曲线。
根据定义Ⅱ，若动点 到定点 与到定直线的距离之比是常数 ，则动点 的轨迹是
双曲线；
2.双曲线在坐标轴上的取值区域为 、 或者 、 ；双曲线关于坐标轴
和原点对称；
3.双曲线有两个顶点 、 ，这两点在横轴上，且 叫做双曲线的实轴，长
度为 ；另外，还有两个顶点 、 ，这两点在纵轴上，且 叫做双曲线的
虚轴，长度为 ；
4.双曲线有两条渐近线，横轴为 ，竖轴为 ；
5.双曲线的离心率 ，其中 是双曲线的半焦距。离心率取值范围为 ；
6.双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率；
7.圆锥曲线上任意一点到焦点距离可以通过焦半径公式计算。过右焦点的半径 ，
过左焦点的半径 ；
8.当双曲线的实轴与虚轴长相等时，即 ，双曲线的离心率 √2；
【备考策略】1.了解双曲线产生的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质.
3.通过对双曲线的学习,进一步体会数形结合的思想.
【命题预测】1.双曲线的定义和基本属性可能会继续是考查的重点。这包括双曲线的定义、取值范围、对
称性、顶点、渐近线等；
2.双曲线的几何性质也是一个可能的考查重点。双曲线的离心率和焦半径公式等，这些不仅
涉及到双曲线的形状和大小，还涉及到双曲线与坐标轴和焦点等的关系；
3.在考查双曲线的计算时，可能会在复杂度上有所提升；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】知识讲解
一、双曲线的定义
平面内到两个定点 的距离之 差 的绝对值等于常数 (小于| |)的点的集合叫作双曲线,
这两个定点 叫作双曲线的 焦点 ,两焦点 间的距离叫作双曲线的 焦距 .
(1)定义的数学表达式为 ||PF |-|PF ||= 2 a (0 < 2 a<|F F | ) .
1 2 1 2
(2)在双曲线的定义中,当 时,动点的轨迹是 两条射线 ;当| | 时,动点的轨迹 不
存在 .
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
(续表)
标准方程
范围 或 , , 或
性
质 对称 对称轴: 坐标轴 ,对称中心: 原点
性
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】顶点
渐近
线
离心
率
, (1 , +∞ ) ,其中
线段 叫作双曲线的实轴,它的长| |= 2 a ;线段 叫作双曲线的虚轴,它的长| |
轴
= 2 b . 叫作双曲线的实半轴长, 叫作双曲线的虚半轴长
, ,
a 2 + b 2
的关系
三、等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为 y=± x ,离心率e=√2.
双曲线的几个常用结论
(1)与双曲线 有共同渐近线的双曲线系的方程为 .
(2)焦点到渐近线的距离为 .
(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 .
四、直线和双曲线的位置关系
1.直线和双曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.
设双曲线方程为 ,直线方程为 ,
将直线方程与双曲线方程联立,消去 得到关于 的方程 ,
(1)若 ,当 时,直线与双曲线有两个公共点;当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点;当Δ<0时,直
线与双曲线无公共点.
(2)若 ,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.
2.弦长公式:设直线 交双曲线于点 ,
则 ,
或 .
3.双曲线的切线方程
双曲线 在其上一点 处的切线方程为 .
双曲线的定义及应用
(1)利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常用定义,运用平方的方法,建立 与
的联系.
求双曲线的标准方程的方法
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 或 ,从而求出 ,写出
双曲线方程.
2.待定系数法:先确定焦点在 轴上还是在 轴上,设出标准方程,再由条件确定 的值,即“先定型,
再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为 ,再根据条件求 的值.
求双曲线的离心率或其范围的方法:(1)求 的值,由 直接求 ;(2)列出含有
的齐次方程(或不等式),借助于 消去 ,然后转化成关于 的方程(或不等式)求解.
求与渐近线有关的双曲线方程的常用方法:(1)与双曲线 共渐近线的方程可设为
;(2)若双曲线的渐近线方程为 ,则双曲线的方程可设为 .
求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法
(1)点在双曲线上,求相关式子(目标函数)的取值范围,常转化为函数的最值问题解决.
(2)求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值的方法,在使用
均值不等式求最值时,要检验等号是否成立.
(1)解答直线与双曲线的公共点问题时,不仅要考虑判别式,更要注意当二次项系数为0时,直线与渐近线平
行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的问题,应分两种情况讨论:双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近
线平行.
(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论.
解决综合问题时,可以仿照椭圆的处理思路,借助于方程思想,将问题进行化归,然后利用直线与双曲线的位置
关系进行求解.
(1)解决与双曲线有关的应用问题时,除了要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念之外,还要注意
双曲线的定义的灵活运用.
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量的取值范围.
考点一、双曲线的定义及应用
1．双曲线 的两个焦点分别是 ，点 是双曲线上一点且满足 ，则 的面积
为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，可得 ， 中再利用余弦定理可得 ，由面积公
式即可求得答案.
【详解】 ，所以 ， ， ，
在双曲线上，设 ， ，
①，
由 ，在 中由余弦定理可得：
，
故 ②，
由①②可得 ，
直角 的面积 .
2．（2020年浙江省高考数学试题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|
=2，且P为函数y= 图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点 既在双曲线的一支上，又在函数 的图象上，即可求出点 的坐标，
得到 的值．
【详解】因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右支上，
由 可得， ，即双曲线的右支方程为 ，而点 还在函数
的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ．
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算
能力，属于基础题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆
上一动点，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C． D．5
【答案】A
【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.
【详解】如图，圆 的圆心为 ，半径为1， ， ，当
， ， 三点共线时， 最小，最小值为 ，而 ，所以 ．
故选：A
4．（2023届广东省教学质量检测数学试题）已知 为双曲线 的左焦点， 为其右支上一点，
点 ，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设双曲线的右焦点为 ，由双曲线方程可求出 ，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即
可求出 的周长的最小值．
【详解】设双曲线的右焦点为 ，由双曲线的方程可得： ，则 ，
所以 ，且 ，所以 ，
的周长为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则 周长的最小值为 ．
5．若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义可知 与 同号，从而可求出m的取值范围
【详解】因为方程 表示双曲线，
所以 ，解得 .
1．设 ， 分别是双曲线 的左､右焦点， 是该双曲线上的一点，且 ，则
的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线定义得到 ， ，用余弦定理和面积公式求出答案.
【详解】设 ， ，则由双曲线的定义可得： ，所以 ，
故 ， ，又 ，故 ，故 ，所以
的面积为 .
2．已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为
（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】由双曲线方程求出 ，再根据点 在双曲线的两支之间，结合 可求得答案
【详解】由 ，得 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以左焦点为 ，右焦点 ，
则由双曲线的定义得 ，
因为点 在双曲线的两支之间，所以 ，
所以 ，当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为9.
3．双曲线 过焦点 的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为 ，则
的周长为（ ）．
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
【答案】C
【分析】由双曲线定义得到 ， ，两式相加得到 ，进而
求出周长.
【详解】由双曲线的定义得： ①， ②，两式相加得：
，即 ，
所以 ，故 的周长为 .
4．（2023届广东省联考数学试题）“k<2”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义，双曲线方程的定义进行分析即可
【详解】∵方程 为双曲线，∴ ，
∴ 或 ，∴“ ”是“方程 为双曲线”的充分不必要条件.
考点二、双曲线的标准方程
1．（2022年高考天津卷数学真题）已知抛物线 分别是双曲线 的左、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标
准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的方
程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
2．已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线 的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得 的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为 ，可得 ，即 ，
因为双曲线 的焦点与椭圆 的焦点相同，所以双曲线 中，半焦距 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为双曲线 满足 ，即 ，
又由 ，即 ，解得 ，可得 ，
所以双曲线 的方程为 .
3．设双曲线C： （ ， ）的左焦点为F，直线 过点F且与双曲线C在第
二象限的交点为P， ，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将左焦点坐标代入 中可求出 ，设右焦点为N，连接 ， ， ，则三角形
为直角三角形，可得 ， ，然后利用双曲线的定义列方程可求出 ，从而可求出双曲
线的方程
【详解】设左焦点F的坐标为 ，由点F过直线 ，
所以 ，解得 ，
设右焦点为N，连接 ， ， .
由 ，故三角形 为直角三角形，即 ,
又因为直线斜率为 ，设直线倾斜角为 ，则 .
又 ，则 ， ，
由双曲线定义，则 ，
所以 ，
所以
所以双曲线C的方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2021年北京市高考数学试题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方
程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
2．（2023年新高考天津数学高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ．过
作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先由点到直线的距离公式求出 ，设 ，由 得到 ， .再由
三角形的面积公式得到 ，从而得到 ，则可得到 ，解出 ，代入双曲线的方程即可得到答
案.
【详解】如图，
因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线的方程为 .
3．与双曲线 有公共焦点，且过点 的双曲线方程为 ．
【答案】
【分析】设双曲线方程为 ，将点 代入，解得 ，即可求解．
【详解】解：设双曲线方程为 ，将点 代入，
即 ，解得 或 （舍去），故所求双曲线方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点三、双曲线的几何性质
1．已知双曲线C的离心率为 是C的两个焦点，P为C上一点， ，若 的面积
为 ，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义，在 中，运用余弦定理，并结合 和 的面积建立方
程，解出方程即可
【详解】根据双曲线的定义，可得：
又：
解得： ，
双曲线C的离心率为 ，则有：
在 中，由余弦定理，可得：
则有：
的面积为 ，可得：
解得：
故双曲线C的实轴长为：2
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知F是双曲线C： 的
右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则 的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所以 ，又点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为 ．
点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得 ，结合PF与x轴垂直，
可得 ，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．
3．若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（ ）
A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程，即可得出结论.
【详解】双曲线 可化为 ，
因为双曲线的焦点在 轴上，所以 ，即 ．
1．设 表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）.
A． B．2k C． D．
【答案】C
【分析】先整理双曲线方程，得到 ， ，从而求出双曲线的虚轴长.
【详解】 整理为： ，
由题意得： ，故焦点在 轴上， ，所以 ，该双曲线的虚轴长为 .
2．双曲线 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线上，若 ，则点 到 轴的距离为
（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】设点 ，根据题意得 ，进而与双曲线方程联立得 ，即可得答案.
【详解】设点 ，由双曲线 可知 、 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，∴ ，∴ ，
代入双曲线方程 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 到 轴的距离是 ．
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（ ）
A．4 B．－4 C．－ D．
【答案】C
【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的 倍列方程，解方程求得 的值.
【详解】依题意，双曲线的标准方程为 ，即 ，由于虚轴长是实轴长的 倍，所
以 ，即 ，也即 .
【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.
考点四、双曲线的离心率
1．已知双曲线 ，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰
好过双曲线的右焦点F，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，由题意可得 ，设 ， ，根据
对称性可得 ， ，根据双曲线的定义可得 ， ， ，
整理可得关于 ， 的齐次方程，再由离心率公式即可求解.
【详解】解：设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，
因为以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ，
所以 ，圆心为 ，半径为 ，
根据双曲线的对称性可得四边形 是矩形，设 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，由 可得 ，
所以 ，所以 ，所以 .
2．（2023届湖北省调研测试数学试题）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，
过 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲
线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 可知 ，再根据角平分线定理得到 的关系，再根据双曲线定义分
别把图中所有线段用 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.
【详解】
因为 ，所以 ∽ ，
设 ，则 ，设 ，则 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平分 ，由角平分线定理可知， ，
所以 ，所以 ，
由双曲线定义知 ，即 ， ，①
又由 得 ，
所以 ，即 是等边三角形，
所以 ．
在 中，由余弦定理知 ，
即 ，化简得 ，
把①代入上式得 ，所以离心率为 ．
3．已知 、 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线l与双曲线C交于M，N两点，
且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得 为等边三角形，从而得 ，然后在
中，利用余弦定理化简可得到 ，从而可求出离心率的值.
【详解】设 ，则 ，设 ，则由双曲线的定义得，
，解得 ，
所以 ， ， ， ，
所以 为等边三角形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，则 ，
在 中，由余弦定理得， ,
即 ，化简得 ， ，
所以双曲线的离心率为 .
1．如图所示， ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，过 的直线与 的左、右两支
分别交于A， 两点．若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不妨令 ， ， ，根据双曲线的定义可求得 ， ，再利用勾
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】股定理可求得 ，从而可求得双曲线的离心率．
【详解】 ，不妨令 ， ， ，
， ，
又由双曲线的定义得： ， ，
，
， ．
在 中， ，又 ， ，
双曲线的离心率 ．
2．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线的右支于 ，
两点.点 满足 ，且 ，若 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据给定条件可得AM垂直平分 ，再结合双曲线定义及三角形余弦定理列式计算作答.
【详解】因 ，则点 是线段 中点，由 得 ，即AM垂直平分 ，
则有 ， ，而 ，则 ，
又 ，令双曲线 的半焦距为c，在 中， ， ，
由余弦定理得： ，即 ，
化简得 ，所以双曲线的离心率是 .
3．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设 , 是双曲线 （ ）的左、右焦点，
是坐标原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：由双曲线性质得到 ， 然后在 和在 中利用余弦定理可得．
详解：由题可知
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，
在 中,
,
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
考点五、双曲线的渐近线
1．（2023届山东省一模数学试题）已知双曲线 的左焦点为 ，M为C上一点，
M关于原点的对称点为N，若 ，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对称性知四边形 为平行四边形，可求得 及 ，在 中，由余弦
定理建立 的关系，从而求得渐近线方程.
【详解】如图所示，不妨设 在左支，
设右焦点为 ，连接 ，
由对称性知四边形 为平行四边形，
由 得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由双曲线定义知： ，所以 ，
因为 ，所以
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，即 ，所以 ，则C的渐近线方程为 .
【点睛】求双曲线的渐近线就是求 与 的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于 的一个齐次
等式，求解 均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、
正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.
2．（2023年山西省调研数学试题）已知双曲线 的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲
线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线几何性质解决即可.
【详解】由题知双曲线 中 ，
所以 ，双曲线焦点在 轴上，
所以双曲线的渐近线方程为 .
3．已知双曲线 (a＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据离心率求得 ，即可求得渐近线方程.
【详解】因为双曲线 的离心率为2，则 ，解得 ，
故双曲线的渐近线方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023届广东省调研测试数学试题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 （ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程的特点确定m为负，再求出双曲线渐近线方程作答.
【详解】在双曲线 中， ，其实半轴长 ，虚半轴长 ，
因双曲线 的渐近线方程为 ，于是得 ，解得 .
2．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作圆 的切线，交双曲线右
支于点M，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作 于点 ， 于点 ，可得 ， ， 根据
求出 和 ，结合双曲线定义可得 的关系，从而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
如图，作 于点 于点B，因为 与圆 相切，
所以 ，
在 中， ，所以 ．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
整理得： ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 ．
3．若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【分析】根据离心率得出 ，结合 得出 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率 ，即 ，又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
考点六、双曲线相关的轨迹方程
1．在直角坐标系 中，已知点A，B分别是定直线 和 上的动点，若 的面积为
定值S，则线段 的中点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【分析】设 ，由于 的面积为定值，可得出 为定值，设 ，设线段
的中点为M，因为 ，即可得出线段 的中点的轨迹为双曲线.
【详解】设 ，
则 .
由于 的面积为定值且 为定值，从而 为定值，设 .
设线段 的中点为M，则 ， ，
故 为定值，
从而线段 的中点的轨迹为双曲线.
2．已知圆C ：（x＋3）2＋y2＝1和圆C ：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设动圆圆心 的坐标为 ，半径为 ，由题意可得 ，可得点 的轨迹是
以 、 为焦点的双曲线的左支．根据 ， ，求得 的值，可得点 的轨迹方程．
【详解】设动圆圆心 的坐标为 ，半径为 ，
则由题意可得 ， ，相减可得 ，
故点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支，
由题意可得 ， ， ，
故点 的轨迹方程为 ．
1．已知两条直线 ： ， ： ，有一动圆（圆心和半径都在变动）与 ， 都相
交，并且 ， 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 ， ，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
【答案】C
【分析】利用几何法列式得圆的弦长与圆心到直线的距离之间的关系，由点到直线的距离公式表示出 ，
，从而代入求解轨迹方程，即可判断.
【详解】设动圆圆心的坐标为 ，半径为 ，
圆心到 ， 的距离分别是 ， ，
则 ， ，
所以 ，又因为 ，
，即 ，
得 ，即 .所以动圆圆心的轨迹方程为 ，
由方程可知，动圆圆心的轨迹为双曲线.
2．（2023年浙江省联考数学试题）已知圆 ： ， 为圆心， 为圆上任意一点，定点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，线段 的垂直平分线 与直线 相交于点 ，则当点 在圆上运动时，点 的轨迹方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为线段 的垂直平分线 与直线 相交于点 ，
所以有 ，
由 ，得 ，该圆的半径为 ，
因为点 在圆上运动时，
所以有 ，于是有 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点的双曲线，所以 ，
所以点 的轨迹方程为 .
3．已知平面内两定点 ， ，动点M满足 ，则点M的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可.
【详解】由题意知： ， ，故M的轨迹是以 为焦点，实轴长 的双曲
线，
设双曲线方程为 ，由 可得 ，故点M的轨迹方程是 .
考点七、与双曲线有关的最值问题
1．（2023年河南省质量检测文科数学试题）已知点 是双曲线 的右焦点，点 是双曲线上位于
第一象限内的一点，且 与 轴垂直，点 是双曲线渐近线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由双曲线的方程可得点 坐标及渐近线方程，进而求得点 坐标，利用点到直线的距离公式即可
求解.
【详解】解：由双曲线方程可得，点 坐标为 ，将 代入双曲线方程，得 ，
由于点 在第一象限，所以点 坐标为 ，
因为双曲线的渐近线方程为 ，
所以，点 到双曲线的渐近线的距离为 ．
因为 是双曲线渐近线上的动点，所以 的最小值为 ．
2．长为11的线段AB的两端点都在双曲线 的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用A、B两点的坐标表示出 和 ，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用
，求得m的最小值.
【详解】
由双曲线 可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m， ，
则 ， ，
，当且仅当F、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A、B共线且 不垂直 轴时，m取得最小值，此时 ．
检验: 如图，当F、A、B共线且 轴时， 为双曲线的通径，则根据通径公式得
,所以 轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且 不垂直 轴时，m取得最小值，此时 ．
3．已知双曲线 的右焦点为F， ，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，
且 ，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则 的最大值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．42
【答案】A
【分析】由已知可确定 点坐标，从而确定以 为直径的圆，连接 ，可将 转化为
，进一步利用向量的线性运算得到 ，由双曲线性质可确定结果；
【详解】由双曲线方程知：右焦点 ， 在双曲线上，
直线 方程为 ，令 ，解得： ， ；
以 为直径的圆的圆心为 ，且 ．
连接 ，
在以 为直径的圆上， ， ，
；
为双曲线上一点，且 ， ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中的最值问题的求解，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采
用几何法转化为关于 的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于 点横坐标的函数的最值的求
解.
4．已知 分别为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线右支上任一点，则 最小值为
（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【答案】B
【分析】设 且 ，应用两点距离公式及P在双曲线上，结合基本不等式求 的范围，注意
等号成立条件，进而可求目标式的最小值.
【详解】令 且 ，则 ，而 ，
所以 ，令 ，
则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即最小值为23.
1．已知双曲线 ， ， 为坐标原点， 为双曲线上任意一点，则 的最小值是（
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点 ，可得 或 ，且有 ，求得 ，设
，利用二次函数的基本性质求得函数 在 上的值域，进而求解.
【详解】设点 ，则 或 ，且有 ，可得 ，
则 ， ，
所以 ，
令 ，其中 或 ，
二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 .
当 时，函数 单调递减，此时 ；
当 时，函数 单调递增，此时 .
综上所述，函数 在 上的值域为 .
因此， 的最小值是 .
2．（2023届江西省摸底测试数学（理）试题）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据化简可得该方程表示双曲线的右支，再结合双曲线的性质判断.
【详解】由 ，左右两边同时平方得 ，
即 ，
该方程可表示双曲线的右支，如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 的最小值为 .
3．（2023年河南省联考数学试题）已知P是双曲线 上的动点，Q是圆 上的动点，
则P，Q两点间的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出圆的圆心坐标，求出圆心到 的距离，再求 得出答案.
【详解】P是双曲线 上的动点，Q是圆 上的动点，
由已知圆 的圆心为 ，半径为2，P，Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的距离
的最小值减去半径，
设 ，可知 ，即 ，可得 ，当且仅当
时取等号，
所以P，Q两点间的最短距离为： .
4．已知点 是双曲线 上的动点， ， 分别为其左，右焦点， 为坐标原点.则 的
最大值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】设 在右支上，根据双曲线的性质求得 、 且 ，由已
知双曲线有 ，结合 的范围求范围，即可得结果.
【详解】由双曲线的对称性，假设 在右支上，即 ，
由 到 的距离为 ，而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
综上， ，同理 ，则 ，
对于双曲线 ，有 且 ，
所以 ，而 ，即 .
【点睛】关键点点睛：双曲线上点到焦点距离与到 距离的比值为 ，求焦半径 、 ，进而
结合已知双曲线求目标式范围.
考点八、双曲线的实际应用
1．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆
O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
，则该双曲线的焦距为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.
【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为 ，
则该双曲线过点 ，且 ，
所以 ，
解得 ，所以 ，得 ，
所以该双曲线的焦距为 .
2．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延
长线经过左焦点 ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双
曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为 ， 分别为其左、右焦点，若从右焦
点 发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（ ，A，B在同一直线上），满足
，则该双曲线的离心率的平方为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，根据题意可得 ，由双曲线定义得 、 ，进而求出 （用
表示），然后在 中，应用勾股定理得出 的关系，求得离心率．
【详解】易知 共线， 共线，如图，设 ，
则 .因为 ，所以 ，
则 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ,
在 中， ，即 ，
所以 .
3．北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线
造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的
外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为 ，底座直径为
25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】建立双曲线标准方程下的直角坐标系，得双曲线方程为 ，利用实轴长为20，
（ ）， （ ）在双曲线上，且 ，可求得 ，得离心率．
【详解】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在 轴，
如图，
双曲线方程为 ，
则 ， ， （ ）， （ ）在双曲线上，且 ，
由 ，即 ， ， ，
由 ，得 ，所以 ， ， ，
离心率为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个
焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴
为渐近线的等轴双曲线 ： 的图象以直线 为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射
后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与 的交点到中心的距离为 .
【答案】2
【分析】根据直角三角形的性质，可知 ，根据对称轴与双曲线的交点可得实半轴的长a，
利用等轴双曲线可求出c，即可得解.
【详解】 是双曲线的焦点， ， 分别为入射光线、反射光线，且 ，如图，
由 解得 ，故 ，又双曲线为等轴双曲线，
所以 ，所以 ，即 ,
所以 .
2．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高
度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为 米，
则该双曲线的离心率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为 轴，垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，设双曲
线的方程为 ，由题意求出 可得答案.
【详解】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为 轴，垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为 ，由题意知 ，
所以 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
3．青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为
单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截
面圆的最小直径为16 ，上瓶口圆的直径为20 ，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12 ，则该双曲
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线的离心率为 .
【答案】
【分析】由题意作出轴截面，最短直径为 ，根据已知条件点 在双曲线上，代入双曲线的标
准方程，结合 ， ， 的关系可求得离心率 的值．
【详解】由题意作出轴截面如图：以花瓶最细处横截面圆的直径 为x轴， 的中垂线为y轴，建立
平面直角坐标系，
设双曲线的方程为： ，
花瓶最细处横截面圆直径为 ，设B为花瓶上瓶口轴截面上的点，
则由已知可得 是双曲线上的点，且 ,
故 ,解得 ，故
故 ．
考点九、直线与双曲线的关系
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．过双曲线 的左焦点 作一条直线 交双曲线左支于 ， 两点，若 ， 是双曲线的
右焦点，则 的周长是 .
【答案】24
【分析】利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可.
【详解】由双曲线定义知： ，
所以 ， ，而 ，
故 ，故 的周长为 .
2．（2023届福建省联考数学试题）双曲线C： 的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线
PA，PB与 分别交于M，N两点，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】设 ， ， ， ，写出直线方程求得 点纵坐标后，求出 ，然
后利用导数求得最小值．
【详解】由题意 ， ，设 ， ， ， ，
直线 方程为 ，令 ，得 ，
直线 方程为 ，令 ，得 ，
，
设 ，则 ，
得 ，
时， ， 时， ，
∴ 在 上递减，在 上递增，
时， ，所以 ．
3．（2023届江苏省调研测试数学试题）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦点 的
直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
【答案】(1) ;(2)证明见解析;
【分析】（1）根据题意，可得 ， ，进而求解；
（2）设 方程为 ， ，联立直线和双曲线方程组，可得
，以 为直径的圆的方程为 ，由对称性知以
为直径的圆必过 轴上的定点，进而得到 ，进而求解.
【详解】（1）当 轴时， 两点的横坐标均为 ，
代入双曲线方程，可得 ， ，即 ，
由题意，可得 ，解得 ， ， ，
双曲线 的方程为： ；
（2）方法一：设 方程为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】以 为直径的圆的方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点，令 ，可得
，
而 ，
，
对 恒成立， ，
以 为直径的圆经过定点 ；
方法二：设 方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点.
设以 为直径的圆过 ，
，
而
，
，
，即 对 恒成立，
，即以 为直径的圆经过定点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023年四川省阶段性测试数学试题）在平面直角坐标系 中，已知 ， 是双曲线
上一点，则直线 和直线 的斜率之积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，由斜率公式可表示出 ，令 ，利用判别式法可求得 的范
围，进而得到最大值.
【详解】设 ，则直线OP斜率 ，直线AP斜率 ，
，
令 ，则 ，即方程 有解；
当 时， ，解得： ，符合题意；
当 时， ，解得： 或 ；
综上所述： ，则直线 和直线 的斜率之积的最大值为 .
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为
D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，利用正弦定理结合三角变换、
双曲线的定义得到 或 ，即可得解，注意就 在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，
则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．已知双曲线 的一条渐近线斜率为 ，且双曲线C经过点 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为 的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为 、 ，若
，求直线l的方程．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由渐近线方程及双曲线所过的点可得 ，求参数，写出双曲线C的方程；
（2）设 ， ， ，联立双曲线方程应用韦达定理及 求出参数t，即可
得直线l的方程．
【详解】（1）由题设可得： ，
∴ .
（2）设 ， ， ，
联立 ，则 ，
∴ ，
由 ，可得 ，故 ，
∴ .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【基础过关】
1．设 为椭圆 和双曲线 的一个公共点，且 在第一象限， 是 的左焦点，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线方程可知二者共焦点，利用椭圆和双曲线定义可构造方程组求得结果.
【详解】由椭圆 方程知其焦点为 ；由双曲线 方程知其焦点为 ；
椭圆 与双曲线 共焦点，设其右焦点为 ，
为椭圆 与双曲线 在第一象限内的交点，
由椭圆和双曲线定义知： ，解得： .
2．若方程 表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
【答案】D
【分析】由方程表示双曲线有 ，即可求参数范围.
【详解】由题设， ，可得 .
3．“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据双曲线标准方程的特征求出a的范围即可判断．
【详解】方程 表示的曲线为双曲线，则a(2a-1)＜0，解得0＜a＜ ，
故“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的充要条件．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））等轴双曲线 的中心在原点，焦点在
轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设C： － ＝1．
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立 － ＝1和x＝－4得A(－4， )，B(－4，－
)，
∴|AB|＝2 ＝4 ，
∴a＝2，∴2a＝4．
∴C的实轴长为4．
5．双曲线 ： 与双曲线 ： 的（ ）
A．实轴长相等 B．焦点坐标相同
C．焦距相等 D．离心率相等
【答案】C
【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，
即可做出判定.
【详解】设双曲线 的实半轴，虚半轴，半焦距分别为 .
由双曲线 的方程可得： , .
双曲线 的实轴长分别是 , ,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误；
因为双曲线 的焦点在x轴上，双曲线 的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误；
因为 ，∴ ∴ ，即两个双曲线的焦距相等，故
C正确；
因为离心率 ， ， ， 不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误.
6．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））双曲线 的离心率
为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选A.
点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： .
7．（2020年天津市高考数学试题）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和
点 的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为 ，再根据双曲线的渐
近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，
属于基础题．
8．设 ， 是双曲线 的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当 时， 面
积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义可得 ，又 ，进而即得.
【详解】∵双曲线 ，∴ ，又点P在双曲线C的右支上， ，
所以 ， ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，∴ 面积为 .
9．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知双曲线 的离心率为 ，则点
到 的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由离心率计算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解： ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，所以点（4，0）到渐近线的距离
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
10．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设F为双曲线C： （a>0，b>0）
的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，又 ，
为以 为直径的圆的半径， 为圆心 ．
，又 点在圆 上， ，即 ． ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代
数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，
才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
11．已知双曲线 （其中 ， ）的焦距为 ，其中一条渐近线的斜率为2，则
．
【答案】2
【分析】根据渐近线斜率求得 ，根据焦距求得c的值，利用a,b,c的平方关系得到关于a的方程，求
得a的值.
【详解】双曲线 的的渐进线方程为 ，
∵一条渐近线的斜率为2，∴ ，即 ,
又∵ ，∴ ，
∴ ,
∴ .
12．（2023届福建省适应性练习卷（省质检）数学试题）已知双曲线C： （a>0，b>0）的离心
率为 ，左，右焦点分别为 ， 关于C的一条渐近线的对称点为P.若 ，则 的面积为
（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】设 与渐近线交于 ，由对称性知 且 ，在直角 中可求得 ，再由
求得 的面积.
【详解】
设 与渐近线 交于 ，则 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，
由 分别是 与 的中点，知 且 ，即 ，
由 得 ，所以 .
13．（2023届浙江省教学质量检测（二模）数学试题）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中
可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（ ， 为焦点）上一点，点P处的切线平分
．已知双曲线C： ，O为坐标原点，l是点 处的切线，过左焦点 作l的垂线，
垂足为M，则 ．
【答案】2
【分析】延长 交 延长线于点 ，结合题意得点 为 的中点， ，从而得到
，再结合双曲线的定义即可求解．
【详解】如图，延长 交 延长线于点 ，
因为点 是 的角平分线上的一点，且 ，
所以点 为 的中点，所以 ，
又点 为 的中点，且 ，
所以 ．
14．已知椭圆 的左右顶点是双曲线 的顶点，且椭圆 的上顶点到双
曲线 的渐近线距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线 相交于A、B两点，若直线FA、FB的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样
的定点，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在， .
【分析】（1）由双曲线顶点求出a，再由点到直线距离求出b作答.
（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算、推理作答.
（1）
双曲线 的顶点坐标为 ，渐近线方程为 ，
依题意， ，椭圆上顶点为 到直线 的距离 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）
依题意，设直线l的方程为 ， 、 ，点 ，
由 消去y并整理得 ，则 ， ，
直线FA、FB的斜率之和为 ，
即 ，有 ，整理得 ，
此时 ， ，否则 ，直线l过F点，
因此当 且 ，即 且 时，直线l与椭圆 交于两点，直线l： ，
所以符合条件的动直线l过定点 ．
15．（2023届江苏省调研测试数学试题）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦点 的
直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
【答案】(1) ；(2)证明见解析；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）根据题意，可得 ， ，进而求解；
（2）设 方程为 ， ，联立直线和双曲线方程组，可得
，以 为直径的圆的方程为 ，由对称性知以
为直径的圆必过 轴上的定点，进而得到 ，进而求解.
【详解】（1）当 轴时， 两点的横坐标均为 ，
代入双曲线方程，可得 ， ，即 ，
由题意，可得 ，解得 ， ， ，
双曲线 的方程为： ；
（2）方法一：设 方程为 ， ，
以 为直径的圆的方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点，令 ，可得
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，
，
对 恒成立， ， 以 为直径的圆经过定点 ；
方法二：设 方程为 ，
由对称性知以 为直径的圆必过 轴上的定点.
设以 为直径的圆过 ， ，
而
，
, ，
，即 对 恒成立，
，即以 为直径的圆经过定点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【能力提升】
1．已知F，F 是双曲线C： （ ， ）的两个焦点，C的离心率为5，点 在C上，
1 2
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】当 时，得 ，要由 ，解得 ，故当 时，
即可得到答案.
【详解】设 的焦距为 ，离心率为 ．当 时，由平面几何知识得
，解得 ．∵ ，∴ ．根据双曲线 上点的横坐标的取
值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当 时，实数 的取值范围是 ．
2．（2023年江西省模拟数学试题）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用椭圆和双曲线的定义及 可以列出关于 ， 的方程，再利用均值定理即可得到
的最小值
【详解】设椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，（ ） ，
则 ，解之得
又
则
则 ，则
则 ，则 （当且仅当 时等号成立）
则 的最小值为 .
3．若实轴长为2的双曲线 上恰有4个不同的点 满足 ，
其中 ， ，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点 ，由 结合两点间的距离公式得出点 的轨迹方程，将问题转化为双曲线
与点 的轨迹有 个公共点，并将双曲线 的方程与动点 的轨迹方程联立，由 得出 的取值范围，
可得出答案．
【详解】依题意可得 ，设 ，则由 ，
得 ，整理得 .
由 得 ，
依题意可知 ，解得 ，则双曲线C的虚轴长 .
4．已知 为椭圆 ： ( )与双曲线 ： ( )的公共焦点，点M
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是它们的一个公共点，且 ， 分别为 ， 的离心率，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设椭圆 、双曲线 的共同半焦距为c，利用椭圆、双曲线定义及余弦定理建立关系，再借助均
值不等式计算作答.
【详解】设椭圆 、双曲线 的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M在第一象限，
由椭圆、双曲线定义知： ，且 ，则有 ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，整理得： ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
从而有 ，所以 的最小值为 .
5．在平面直角坐标系 中， 分别是双曲线C： 的左，右焦点，过 的直线 与
双曲线的左，右两支分别交于点 ，点 在 轴上，满足 ，且 经过 的内切圆圆心，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义先推出 为正三角形，然后根据余弦定理解决.
【详解】 ，∴ ，∴ ，
∵ 经过 内切圆圆心，∴ 为 的角平分线，
∴ ．∴ ，∴ ，
， ，
∴ ，于是 ，
∴ 为正三角形， ．
中，由余弦定理， ∴ .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．已知双曲线 的两个焦点为 ， ， 为双曲线上一点， ， 的内切圆的圆
心为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得 ， ， ， ，进而在 中，利用等面积法得
的内切圆的半径 ，再设 的内切圆与边 相切于点 ，进而在 中结合勾股定理
求解即可.
【详解】解：因为双曲线 的两个焦点为 ， ， 为双曲线上一点， ，
所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，
设 的内切圆的半径为 ，
则 ，即 ，解得 ，
如图，设 的内切圆与边 相切于点 ，则 ， ，
所以 ，
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点 ､ ，曲线 和 在第一象限相交于点P.且 ，若椭
圆 的离心率的取值范围是 ，则双曲线 的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】设 ，由椭圆、双曲线的定义可得 ， ，由余弦定理可建立方程，
转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.
【详解】设椭圆 ，双曲线： ，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心
率 ，双曲线离心率 ， ，如图，
由椭圆定义可得： ，由双曲线定义可得： ，
联立可得 ， ，
由余弦定理可得：
即 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ， ，可得 ，
故 ，故答案为：
8．（2023届湖南省一模数学试题）已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，
双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，且 ，则 的最大
值为 .
【答案】
【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得 ，设 ，
利用三角换元求出 的最大值即可.
【详解】设椭圆 ，双曲线 ，
且设 ，
由椭圆的定义得 ①，
由双曲线的定义得 ②，
得， ，
得， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ③，
设 ，
所以 ，
当 即 时， 取最大值为 .
9．（2023届安徽省教学质量检测数学试题）已知双曲线E： 的左右焦点分别为 ，
，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线 与 轴交于Q点．若 ，则双曲线E的离心率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意设点 并解出Q点坐标为 ，再根据 可得 ，即可解得
，由P为双曲线右支上一点可得 ，解不等式即可求得离心率的取值范围.
【详解】如下图所示，根据题意可得 ，
设 ，则直线 的方程为 ，
所以直线 与 轴的交点 ，
由 可得 ，即 ，
整理得 ，即 ；
又因为P为双曲线右支上一点，所以 ，
当 时， 共线与题意不符，即 ；
可得 ，整理得 ，即 ，
解得 或 （舍）；
即双曲线E的离心率的取值范围为 .
10．已知双曲线 ， ， 分别为双曲线的左右焦点， 为双曲线 上一点，且位于第
一象限，若 为锐角三角形，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将锐角转化数量积大于零，解出 的范围即可 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由双曲线 ，得 ， ，
位于第一象限， 恒为锐角，
又 为锐角三角形， 均为锐角．
由∠ 为锐角，得 ， ．
， ，
由∠ 为锐角，得 ，
，
即 ，
又 ， ．
即 ，又 ， ．综上所述， ．
11．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ， 为双
曲线的左支上一点，且直线 与 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．若 ，且 ，则
C．以线段 ， 为直径的两个圆外切
D．若点 到 的一条渐近线的距离为 ，则 的实轴长为4
【答案】C
【分析】设 ，则 ，根据两点坐标求斜率的方法求得 ，再由
求出结果，即可判断A选项；由 ，得 ，根据双曲线的定义可得 ，
根据题意得出 和 ，可得出 的值，即可判断B选项；设 的中点为 ，
为原点，则 为 的中位线，所以 ，根据两个圆的位置
关系即可判断C选项；由点 到 的一条渐近线的距离为 ，得出 ，而 得出 的值，即可
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得出 的实轴长，即可判断D选项.
【详解】解：对于A，设 ，则 ，
因为 ，直线 与 的斜率之积等于3，
所以 ，得 ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
而 为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，则 ，
由 ，可得 ，
即 ，解得： ，故B错误；
对于C，设 的中点为 ， 为原点，则 为 的中位线，
所以 ，
则以线段 为直径的圆，圆心为 ，半径 ，
以线段 为直径的圆，圆心为 ，半径 ，
所以 ，故两个圆外切，故C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，因为点 到 的一条渐近线的距离为 ，所以 ，
又由前面的推理可知 ，所以 ，故 的实轴长为 ，故D错误.
12．已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值
为 ，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条
渐近线于M、N两点，证明： MON的面积为定值，并求出该定值．
△
【答案】(1) ；(2)证明见解析， ﹒
【分析】(1)由双曲线 的一个焦点坐标为 可求c，根据一条渐近线的倾斜角的正切值为 可求 ，
结合a、b、c的关系求解 、 得到双曲线方程；
(2)设直线 的方程为 ， ，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k与m的关
系．联立l与渐近线方程求出M和N的坐标，通过 ，化简即可．
【详解】（1）由题可知 ，解得 ，则 ： ；
（2）由于直线 与双曲线 右支相切(切点不为右顶点)，则直线 的斜率存在且不为0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设直线 的方程为 ， ，
令 ，则 ，则 ．
联立 得， ，
则 ，即 ．
双曲线两条渐近线方程为 ，联立 得， ，
联立 得， ，
，故 的面积为定值 ．
13．已知双曲线 过点 ，离心率为 ，直线 交 轴于点 ，过点
作直线交双曲线 于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)设 是直线 上关于 轴对称的两点，直线 与 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【答案】(1) ；(2) 或 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析
【分析】（1）根据题意，列出方程组，结合 ，求得 的值，得出双曲线的标准方程，
（2）设 ，则 ，联立方程组，求得 的坐标，即可求得直线 的方程；
（3）设 ，得到 ，联立方程组，求得 ，再由直线 和 的方程，
求得交点的横坐标，即可求解．
【详解】（1）由题意得： ， ， .
解得 ， ，所以双曲线 的标准方程为 .
（2）方法1：设 ，则
依题意有 解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
方法2：设直线 的方程为 ，与双曲线的方程 联立得：
.
当 时
设 ， ，得 ， .
又因为 ，所以 ， ，解得 .
此时 ，所以直线MN的方程为 或 .
（3）方法1：设 ， ，
直线PM的方程为 ，直线ON的方程 ，
联立两方程，可得 ①
结合（2）方法2，可得
代入①得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 .
所以直线PM与QN的交点在定直线 上.
方法2设直线MN的方程为 ，与双曲线的方程 联立得：
.
设 ， ， ， ，由根与系数的关系，得
， .
： ， ： ，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线 上.
【真题感知】
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得 ，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
2．（全国甲卷理科数学试题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆
交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的一条渐近线不妨取 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
4．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点
重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得
，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键.
6．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，
则C的焦距为 ．
【答案】4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解 ，再由
关系式求得 ，即可求解.
【详解】由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中
，故 ，解得 （舍去）， ，故焦距 .
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
7．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为
．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
8．（2022年北京市高考数学试题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】
【分析】首先可得 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 、 ，再跟渐近线方程得到方程，解得
即可；
【详解】解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
