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专题30 圆锥曲线中的定值问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如
下性质：A，B分别为双曲线 的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引
垂线，垂足为Q，则 为常数．若C的离心率为2，则该常数为（ ）
A． B． C． D．3
【解析】设 ，则 ，又由题得
.则 .
则 .故选：D
2．已知椭圆 ，A，B分别是椭圆C的左、右顶点， ，直线m经过点B且垂直于x轴，P
是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交m于点M，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， ，设 ，则 ，所以 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 .
故选：D.
3．已知F为抛物线C： 的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于
A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（ ）
A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P
【解析】抛物线 ： 的焦点 坐标为 ，
所以直线 的方程为 ，设
则 ，消去 得 ， ，所以 ，
则 .故选：C.
4．过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P.
已知 是一个定值，则该定值为（ ）A．2 B． C． D．
【解析】 ，设 ，
依题意可知直线 的斜率存在，设其方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
则 ，
所以弦 的垂直平分线为 ，
令 解得 ，所以 ，
而 ，所以 .故选：D
5．已知点 ， 在椭圆 上， 为坐标原点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
则直线 ， 的方程分别为 ， ，由 得， ，即 ，
由 得， ，即 ，
所以 ，故选：D6．双曲线 和椭圆 的右焦点分别为 ， ， ，
分别为 上第一象限内不同于 的点，若 ， ，则四条直线
的斜率之和为（ ）
A．1 B．0 C． D．不确定值
【解析】设 为原点，则 ， ，
而 ，得 ，所以 、 、 三点共线.
因为 ，所以 ，且 ，得 ，
所以 ，即 .设 ， ，分别代入双曲线 和 ，
则 ，即 ，所以 ，
，因为 、 、 三点共线，
所以 ，即 .故选：B.
7．双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，离心率为 ，焦距为 .设 是双曲线 上
任意一点，且 在第一象限，直线 与 的倾斜角分别为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．与 位置有关
【解析】由 ，得 ，所以 ，所以双曲线 的方程为 .
所以左顶点 ，右焦点 .设 ，则 .当 时， ，此时 ， ， ，所以 ；
当 ， ， .因为 ，
所以 ，
又由点 在第一象限，易知 ， ，所以 .
综上， 的值为 .故选：C
8．已知P为椭圆 上任意一点，点M，N分别在直线 与 上，且
， ，若 为定值，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ， ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ， ，
联立方程组 ，解得 ， ，
，
， 在椭圆上， ， 为定值，， ． ．故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知抛物线 与圆 交于 、 两点，且 ，直线 过 的焦点 ，
且与 交于 、 两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．存在某条直线 ，使得
D．若点 ，则 周长的最小值为
【解析】由对称性得点 在抛物线 上，所以 ，解得 ，故A选项正确；
设直线 和双曲线交于 两点，设直线方程为 ，
代入抛物线方程可得： ， ，所以 ，
所以：
故B选项正确；
则 ，
当且仅当 时等号成立，故C错误；
如图，过点 作准线的垂线，垂足为 ，交 轴于 ，取 的中点为 ，过点 作 轴的垂线，过 作 垂直于准线，垂足为 ，
所以 的周长为 ，
当且仅当点 的坐标为 时取等号，故D选项正确．
故选：ABD．
10．已知 ， 是椭圆 ： 的左右顶点，过点 且斜率不为零的直线与 交于 ， 两点，
， ， ， 分别表示直线 ， ， ， 的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线 与 的交点的轨迹方程是
【解析】对于A：设交点 ，因为 在椭圆上，故 ，
所以 .选项 正确；
对于B：设 ， ，直线 ： ，联立 ，消去 ，得 ，则 ①， ②，
所以
，故选项B正确；
对于C：联立 和 ，相除得 ，故选项C错误；
对于D：设直线 方程： ③，
直线 方程： ④，联立③④，消 得，
，
结合选项B中①②得 ，
所以 .D正确；
故选：ABD.
11．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线 的左焦
点在直线 上， 、 分别是双曲线 的左、右顶点，点 是双曲线 的右支上位于第一象限
的动点，记 、 的斜率分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为 B．双曲线 的方程为
C． 为定值 D．存在点 ，使得【解析】对于A选项， ，则 ，
所以，双曲线 的渐近线方程为 ，A错；
对于B选项，由题意可得 ，可得 ， ， ，
所以，双曲线 的方程为 ，B对；
对于C选项，设点 ，则 ，可得 ，
易知点 、 ，所以， ，C对；
对于D选项，由题意可知 ， ，则 ， ，且 ，
所以， ，D错.
故选：BC.
12．点 分别为椭圆 的左、右焦点且 ．点P为椭圆上任意一点，
的面积的最大值是1，点M的坐标为 ，过点 且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两
点，则下列结论成立的是（ ）
A．椭圆的离心率
B． 的值与k相关
C． 的值为常数
D． 的值为常数-1【解析】由已知得 ，解得 ，则离心率 ，A正确；
又椭圆方程为 ，
设过点 且斜率为k的直线L的方程为 ，与椭圆方程联立消去 得：
，设 ，则 ，
，
，C正确.
故选：AC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于点 ，过点 的直线交该抛物线于 两点，则直线
与直线 的斜率之和为 ．
【解析】如图，过 作 的垂线 ，垂足为 ，作准线 的垂线 ，垂足为 ，过 作 的垂线
，垂足为 ，作准线 的垂线 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
，
因为 ，所以 ，即 .
14．已知椭圆 的左顶点为A，O为坐标原点，直线 与椭圆C交于M，N
两点，射线 与椭圆C交于点P，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ．
【解析】设 ， ，直线 过定点 ．
设 ，即 ，则 ， ．
因为 ，所以 ，两式作差得 ，
即 ，所以 ，结合 ，得 ， ，由于 ，即 ，而射线 与椭圆C交于点P，故 ，
又 ，故 ，
所以 ，
15．已知点M、N分别是椭圆 上两动点，且直线 的斜率的乘积为 ，若椭圆上任一
点P满足 ，则 的值为 .
【解析】设 ， ， ，又P在椭圆上，
， ，
， ，
， ， .
16．已知A，B是双曲线 上的两个动点，动点P满足 ，O为坐标原点，直线OA
与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点 、 ，使得 为定值，则该定值为 ．
【解析】设 ,则由 ,得 ，
则 ， ， 点 , 在双曲线 上,
，则
，设 分别为直线 , 的斜率,根据题意,可知 ,即 ，
，即
在双曲线 上,设该双曲线的左、右焦点分别为 ，
由双曲线定义可知|| 为定值，该定值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线 ，渐近线方程为 ，点 在 上；
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的两条直线 ， 分别与双曲线 交于 ， 两点（不与 点重合），且两条直线的斜率 ，
满足 ，直线 与直线 ， 轴分别交于 ， 两点，求证： 的面积为定值.
【解析】（1） ， ，依题意， ，所以双曲线 的方程为 .
（2）依题意可知 斜率存在，设方程为 ， ， ，
，
， ①，，
整理得 .
1） ， ，过 舍去，
2） ， ，过点 ，
此时，将 代入①得 ，
与 交于点 ，故 （定值）
18．已知双曲线 ： 实轴 长为4（ 在 的左侧），双曲线 上第一象限内的一点 到两渐
近线的距离之积为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率为 ， ，请从下列的结论中选
择一个正确的结论，并予以证明.
① 为定值；
② 为定值；
③ 为定值
【解析】（1）设 是 上的一点， 与 是 的两条渐近线，
到两条渐近线的距离之积 ，
依题意， ，故 ，双曲线 的标准方程为 ；（2）正确结论：③ 为定值.
证明如下：由（1）知 ， ，设 ， ，
因为 ， 不与 ， 重合，所以可设直线 ： ，
与 联立： ，消去 整理可得：
故 ， ， ，
所以 ，
， ，
① ，不是定值，
② ，不是定值，
③ ，所以 是定值.
19．已知椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为 .点 是椭圆 上不同于顶点的任
意一点，射线 分别与椭圆 交于点 ， 的周长为8.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ， 的面积分别为 .求证： 为定值.【解析】（1）因为 的周长为 ，即
所以 ，可得 ，由椭圆的离心率 ，可得 ，从而 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）证明：设 ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，联立方程 ，整理得 ，
则 ， 同理可得， ．
因为 ，
所以
所以 是定值．
20．如图3所示，点 ， 分别为椭圆 的左焦点和右顶点，点 为抛物线
的焦点，且 （ 为坐标原点）.(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，连接 ， 并延长交抛物线的准线于点 ， ，求证：
为定值.
【解析】（1）因为点 为抛物线 的焦点，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ， ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）证明：由（1）可知： ， ，
设 ， ， ， ，显然直线 的斜率不为0，故可设为 .
由 得： ， ，
， . ， ， 三点共线， .
同理： ，
， ，
故 ，即： .21．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若直线l与 交于M，N两点，与 交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且
，证明： 为定值．
【解析】（1）由题意知 ， ，所以 ，解得 ．
（2）由（1）知 ， ．
设直线 ， ， ， ， ，
根据题意结合图形可知 ，且 ．
联立 ，得 ，则 ，
同理联立 ，得 ，则 ．
由 可得， ，又 ， ，
所以 ，即 ，化简得 ，即 ，
又因为 ， ，所以 ，
再由 ，得 ．联立 ，解得 ，
所以 ， ， ．故 ，所以 为定值.
22．设点F为抛物线C： 的焦点，过点F且斜率为 的直线与C交于A，B两点
（O为坐标原点）
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 作两条斜率分别为 ， 的直线 ， ，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知
，问：是否存在实数 ，使得 为定值?若存在，求 的值，若不存在，请说明
理由.
【解析】（1）抛物线C： 的焦点 ，直线 的方程为 ，
由 消去y并整理得： ，设 ，
则 ， ，
因此 ，而 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 .（2）存在 ，使得 为定值.
依题意，直线 ，直线 ，
由 消去y并整理得 ，设 ，
则 ， ， ，
设 ，同理 ，且有 ，
由 ，得 ，即 ，而 ，则 ，
所以存在 ，使得 为定值0.
