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第 03 讲 复数
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广西·统考模拟预测）已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，∴ .
故选：B.
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设 ，则在复平面内 所表示的区域的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】满足条件 的复数 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为 的圆，
满足条件 的复数 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为 的圆，
则在复平面内 所表示的区域为圆环，如下图中阴影部分区域所示：
所以，在复平面内 所表示的区域的面积是 .
故选：C.
3．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若复数 满足 .则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司 1所以 ，解得： ，
，故 .
故 .
故选：C.
4．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知复数 为纯虚数，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】因 为纯虚数，
所以 ，
解得 ，
所以 .
故选：C.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知复数z满足 ，则复数z的虚部为
（ ）
A．1 B．-1 C．i D．-i
【答案】B
【解析】由已知可得， ，所以 ，
所以，复数z的虚部为 .
故选：B.
6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）若虚数 是关于x的方程 的一个根，
且 ，则 （ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设 （ 且 ），代入原方程可得 ．
所以 ，解得 ，因为 ，所以 ．
故选：C．
7．（2023·江西赣州·统考二模）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司 2【解析】设复数 在复平面中对应的点为 ，
由题意可得： ，表示复平面中点 到定点 的距离为1，
所以点 的轨迹为以 为圆心，半径 的圆，
因为 表示表示复平面中点 到定点 的距离，
所以 ，即 的最大值为3.
故选：C.
8．（2023·河南安阳·统考三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉
时代”.1735年，他提出公式：复数 是虚数单位 .已知复数 ，
设 ，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
，
依题意， ，当 时， ，B正确，ACD错误.
故选：B
9．（多选题）（2023·山东潍坊·统考二模）在复数范围内关于 的实系数一元二次方程 的两
根为 ，其中 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为 且实系数一元二次方程 的两根为 ，
所以 ，可得 ，故B正确；
又 ，所以 ，故A错误；
由 ，所以 ，故C错误；
学科网（北京）股份有限公司 3，故D正确.
故选：BD
10．（多选题）（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知复数z的共轭复数为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B． 一定是实数
C．若复数 ， 满足 ．则
D．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数
【答案】BD
【解析】当复数 时， ， ，故A错；
设 （a， ），则 ，所以 ，故B对；
设 （ ， ）， （ ， ），
由 可得 ，
所以 ，
而 ，不一定为0，故C错；
设 （a， ），则 为纯虚数．
所以 ，则 ，故D对．
故选：BD．
11．（多选题）（2023·山西忻州·统考模拟预测）下列关于非零复数 ， 的结论正确的是（ ）
A．若 ， 互为共轭复数，则 B．若 ，则 ， 互为共轭复数
C．若 ， 互为共轭复数，则 D．若 ，则 ， 互为共轭复数
【答案】AC
【解析】设 ，由 ， 互为共轭复数，得 ，则 ，故A正确．
当 ， 时， ，此时， ， 不是共轭复数，则B错误．
由 ， 互为共轭复数，得 ，从而 ，即 ，则C正确．
当 ， 时， ，即 ，此时， ， 不是共轭复数，则D错误．
学科网（北京）股份有限公司 4故选:AC
12．（多选题）（2023·重庆·二模）下列关于复数的四个命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的共轭复数的虚部为1
C．若 ，则 的最大值为3
D．若复数 ， 满足 ， ， ，则
【答案】ACD
【解析】设 ，
对A， ， ，故正确；
对B， ，所以 ，
，其虚部为 ，故错误；
对C，由 的几何意义，知复数 对应的动点 到定点 的距离为1，
即动点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆， 表示动点 到定点 的距离，由圆的性质知，
，故正确；
对D，设 ，因为 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以
，故正确.
故选：ACD
13．（2023·天津和平·统考二模）复数 满足 ，则 __________．
【答案】 /
【解析】因为复数 满足 ，所以 ，
故答案为： .
14．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若 为虚数单位，则计算
___________．
【答案】
【解析】设 ，
，
学科网（北京）股份有限公司 5上面两式相减可得，
，
则 ．
故答案为： ．
15．（2023·上海·统考模拟预测）设 且 ，满足 ，则 的取值范围为
________________．
【答案】
【解析】设 ，
，则 ，
所以 ，
，所以 ，
即 对应点 在以 为圆心，半径为 的圆 上.
， 对应点为 ，
与 关于 对称，
所以点 在以 为圆心，半径为 的圆 上，
表示 与 两点间的距离，
圆 与圆 相交，圆心距为 ，如图所示，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
16．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 的最大值为
学科网（北京）股份有限公司 6__________
【答案】 /
【解析】因为复数 满足 ，
所以根据复数的几何意义有，复数 对应的点 到点 的距离为1，即点 的轨迹为以 为圆
心，半径 的圆，
所以 的最大值为 ，
故答案为： .
1．（2023•北京）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，
，
则 的共轭复数 ，
故选： ．
2．（2023•甲卷）若复数 ， ，则
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【解析】因为复数 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
故选： ．
3．（2023•乙卷）设 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 7，
．
故选： ．
4．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内， 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【解析】 ，
则在复平面内， 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选： ．
5．（2023•新高考Ⅰ）已知 ，则
A． B． C．0 D．1
【答案】
【解析】 ，
则 ，
故 ．
故选： ．
6．（2022•浙江）已知 ， ， 为虚数单位），则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】 ， ， ，
， ，
故选： ．
7．（2022•新高考Ⅱ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ．
故选： ．
学科网（北京）股份有限公司 88．（2022•甲卷）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ，
则 ．
故选： ．
9．（2022•北京）若复数 满足 ，则
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】
【解析】由 ，得 ，
．
故选： ．
10．（2022•新高考Ⅰ）若 ，则
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】由 ，得 ，
，则 ，
．
故选： ．
11．（2023•上海）已知复数 为虚数单位），则 ．
【答案】 ．
【解析】 ，
．
故答案为： ．
12．（2023•天津）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 ．
学科网（北京）股份有限公司 9【解析】 ．
故答案为： ．
13．（2022•天津）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 ．
【解析】 ，
故答案为： ．
学科网（北京）股份有限公司 10
