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1.3 复数（精讲）
一．复数的有关概念
1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．（虚部不含
i）
2.复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
4.共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．（实同虚反）
5.复数的模：
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
二．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
三．复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除运算法则：
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)
2.几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝
1 2
OZ2－OZ1.
一．解决复数概念问题的方法
1.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
2.复数绝大部分问题可以转化为复数的实部与虚部，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方
程(不等式)组即可．
二．复数代数形式运算问题的解题策略
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，
复数的加减法
虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不
复数的乘法
含i的看作另一类同类项，分别合并即可
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形
复数的除法
式
三．复数的几何意义
1.进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
2.把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四．常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
考点一 复数的计算
【例1-1】（2023·甘肃·统考二模）已知 ， 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 .故选：C.
【例1-2】（2023·新疆·校联考二模）复数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，故选：C．
【例1-3】（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ．故选：A.
【例1-4】（2023·广东深圳·统考二模）已知复数 满足 ，则 _____________.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，即 ，
所以， 或 ，
若 ，则 ，则 ，
若 ，则 ，则 .
综上所述， .
故答案为： .
【一隅三反】
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 .故选:B.
2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 .故选：B.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，有 ，所以 .故选：D
4．（2023·山西临汾·统考二模）复数 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．2048 C． D．-2048
【答案】C
【解析】 .故选：C.
5．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若 为虚数单位，则计算
___________．
【答案】
【解析】设 ，
，
上面两式相减可得，
，
则 ．
故答案为： ．
考法二 复数的实部与虚部
【例2-1】（2023·广西南宁·统考二模）已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 的虚部为1，故A，B，D错误.故选：C.
【例2-2】（2023·江西九江·校联考模拟预测）若复数 （ 是虚数单位）的共轭复数是 ，则 的
虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】复数 是虚数单位）的共轭复数是 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
，
则 的虚部是 .故选：D
【一隅三反】
1．（2023春·河南商丘）已知复数 ，则z的虚部为（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】 ，则z的虚部为 ．故选：B.
2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数 的实部与虚部之和为_______.
【答案】
【解析】因为 ，所以 的实部与虚部之和为 .
故答案为： ．
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设i为虚数单位，且 ，则 的虚部为（ ）
A． B．2 C．2i D．
【答案】B
【解析】由 可得： ，
则 ，所以 的虚部为2.故选：B.
考法三 复数的分类
【例3-1】（2023·辽宁·校联考二模）已知 ， 为纯虚数，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 为纯虚数，所以 ，且 ，
所以 .故选：B.
【例3-2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数 是实数，则
的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
复数 是实数， ，解得 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，则 ，有 .故选：A
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设 是纯虚数，若 是实数，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，
因为 是实数，
所以 ，即 ，
所以 ，故 的虚部为3.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D.
3．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知 是纯虚数， 是实数，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是纯虚数，故可设 ，
所以 ，
因为 是实数，所以 ，即 ，
所以 .
故选：A
考点四 复数的几何意义
【例4-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若复数 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由 .故选：B
【例4-2】（2023·广东湛江·统考二模）设复数 在复平面内对应的点为 ，则 在复平面内对应的点
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，则 ，所以 在复平面内对应的点为 ，故选：
A
【例4-3】（2023·全国·校联考二模）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】 ， ，
，实部为1，虚部为-1，所以 在第四象限；
故选：D.
【例4-4】．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足 ，若 ，
则复数z为（ ）．
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】由 有 ，即 ，解得 ，
当 时， ,
当 时， .故选：C
【一隅三反】
1．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】 ， .故选：A
2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知 ，则复数z在复平面上对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
∴由 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 ， ，
∴复数 在复平面上对应的点 在第一象限．
故选：A．
3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若复数 满足 ，则复数 的共轭复
数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由已知可得 ，
所以复数 的共轭复数 ，
所以，复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，该点在第一象限.
故选：A.
4．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知复数 ， ，若 在复
平面上对应的点在第三象限，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
则 ，解得 ，
因为复数 在复平面上对应的点在第三象限，则 ，解得 ，
因此， .
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法五 复数范围内解方程
【例5】（2023·福建·统考模拟预测）已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则| |=（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为方程x2-2x+2=0是实系数方程，且 ，
所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，
即 ，即 ，
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z是方程 的一个根，且复数z在复平面内对应的点
位于第三象限，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】复数范围内方程 的根为 ，
因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以 ，则 ．
故选：D.
2．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知复数 是一元二次方程 的一个根，
则 的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】 复数 是一元二次方程 的一个根，
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】该方程的根为 ，
即 或 ，则 .
故选：B．
考法六 复数模的相关轨迹问题
【例6-1】（2023·全国·校联考三模）已知复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 的最大值为 ．
故选：B
【例6-2】（2023·重庆·统考二模）复平面内复数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以点 是以 ， 为焦点，半实轴长为1的双曲线，则 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
设 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选：B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数 ，其中 为虚数单位，且 ，则复数 的模的
最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 ，则 表示复数 对应点的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
则|z|表示圆上的点到原点的距离，由图可知， 的最大值为3.
故选：C
2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【解析】设 ，
因为 ，所以 ，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：
，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
所以 表示圆C上的动点到定点 的距离，
所以 为 ，
故选：B．
3．（2023·广东·统考一模）在复平面内，已知复数 满足 （ 为虚数单位），记 对应的
点为点 对应的点为点 ，则点 与点 之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，代入到 ，
得 ，
即 ，
整理得 ，
即点 在直线 上，
所以点 到 之间的距离的最小值，即 到直线 的距离，
由点到直线的距离公式可得 ，
所以点 与点 之间距离的最小值为 .
故选：C.
考法七 复数的综合运用
【例7】（2023·重庆·统考二模）（多选）已知复数 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若 ，则 B．若 ，则 或
C．若 且 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若 ，例如： ，则 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，所以 或 至少有一个成立，即 或 ，故B正
确；
对于C，由 ，则 ，∵ ，∴ ，故C正确；
对于D：若 ，则 ，故D正确.
故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2023·广东佛山·统考二模）（多选）设 ， ， 为复数，且 ，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 在复平面对应的点在一条直线上
【答案】ACD
【解析】设 ， ， ，
对A， 若 ，即 ，则 ，
所以 ， ，故A正确；
对B，若 ，则 ，而 ，故B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对C， ， ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，则 至少有一个不为零，
不妨设 ，由 ，可得 ，
所以 ， ，即 ， ，故C正确；
对D，由 ，可得 ，
所以 ，又 不全为零，
所以 表示一条直线，即 在复平面对应的点在一条直线上，故
D正确.
故选：ACD.
2．（2023·山西运城·统考二模）（多选）设 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【答案】BC
【解析】对于A项，取 ， 时， ，但虚数不能比较大小，故A项错误；
对于B项，由 ，得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ，所以 ，故B项正确；
对于C项，因为 ，所以 ，故C项正确；
对于D项，取 ， ，满足 ，但是 ，故D项错误.
故选：BC.
3．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）（多选）对于 ， ，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 是纯虚数
C． D．
【答案】AC
【解析】A： ，则 的虚部为0，故 ，正确；
B：当 时， 成立，而 不是纯虚数，错误；
C：令 且 ，则 ，则 ，正确；
D：令 且 ， 且 ，则
可能为虚数，而 为实数，错误.
故选：AC
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