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专题 07 分式方程及其应用【八大题型】
【题型1 由分式方程的解求参数】..........................................................................................................................2
【题型2 解分式方程】..............................................................................................................................................2
【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】.....................................................................................................3
【题型4 由分式方程的取值范围求参数】..............................................................................................................3
【题型5 由实际问题抽象出分式方程】..................................................................................................................4
【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】.....................................................................................................4
【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】.................................................6
【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】.........................................................8
【知识点 分式方程及其应用】
1.定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解法
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的
根。
3.分式方程与实际问题
解有关分式方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
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【题型1 由分式方程的解求参数】
2kx+3 7 4k
【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程 − = 的方程恰好有一个实数解，求k的
x−1 x2−x x
值及方程的解．
m 1
【变式1-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程 − =3的解，那么实数m的值为
2−x x−2
（ ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
【变式1-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）下列分式方程中，解为x=−1的是（ ）
4 1 x+1 2 1 2 1
A． = B． =0 C． + =0 D． − =0
x−1 x x2−1 x−1 x+2 x+1 x+2
【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于x的不等式组¿无解，且关于y的分式方程
5−ay 3
−1= 有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
2−y y−2
A．10 B．12 C．16 D．14
【题型2 解分式方程】
【例2】（2023·河北·统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x结果
2 n
代数
式
3x+1 7 b
2x+1
a 1
x
2 1 1
【变式2-1】（2023·四川·中考真题）关于x的分式方程 − = 的解是 ．
x−1 x+1 1−x
x 3
【变式2-2】（2023·西藏·统考中考真题）解分式方程： −1= ．
x+1 x−1
x x−3
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小迪：
小丁：
解：去分母，得
解：去分母，得x+(x−3)=1
x−(x−3)=x−2
去括号得x+x−3=1
去括号，得x−x+3=x−2
合并同类项得2x−3=1
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合并同类项，得3=x−2
解得x=2
解得x=5
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解
∴原方程的解是x=5
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的
解答过程．
【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】
x m
【例3】（2023·黑龙江·统考中考真题）若分式方程 − =2有增根，则m的值为（ ）
x−1 1−x
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【变式3-1】（2023·河北石家庄·校联考一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不
? 1
清楚： +3= .
x−2 2−x
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方
程中“？”代表的数是多少？
1 ax−2
【变式3-2】（2023·黑龙江鸡西·校考二模）若关于x的分式方程 + =1有解，则a的取值范围是
x−2 2−x
（ ）
3 3
A．a≠ B．a≠−1 C．a=−1 D．a≠ 且a≠−1
2 2
2y+a 2a
【变式3-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）若关于y的分式方程 + =5有解，
y−4 4−y
且关于x的一元一次不等式组¿有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【题型4 由分式方程的取值范围求参数】
a 3
【例4】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若分式方程 =1− 的解为负数，则a的取值范围是
x+2 x+2
（ ）
A．a<−1且a≠−2 B．a<0且a≠−2
C．a<−2且a≠−3 D．a<−1且a≠−3
x+m 2m
【变式4-1】（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）若关于x的分式方程 + =3的解为正实数，则实
x−2 2−x
数m的取值范围是（ ）
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A．m<6且m≠1 B．m<3且m≠2 C．m<6 D．m<6且m≠2
m
【变式4-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程 =1，对于方程的解，甲、乙两人有以
x+6
下说法：甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当m>6时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【变式4-3】（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组¿的解集为x<−2，且关于y的分式方程
a+2 y+2
+ =2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
y−1 1−y
【题型5 由实际问题抽象出分式方程】
【例5】（2023·四川内江·统考中考真题）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名
程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙
的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个
数据，根据题意得方程正确的是（ ）
2640 2640 2640 2640
A． = +2 B． = −2
2x x 2x x
2640 2640 2640 2640
C． = +2×60 D． = −2×60
2x x 2x x
【变式5-1】（2023·广东广州·统考中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动
车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为xkm/h，则下列方
程正确的是（ ）
360 480 360 480 360 480 360 480
A． = B． = C． = D． =
x x+60 x−60 x x x−60 x+60 x
【变式5-2】（2023·湖北十堰·统考中考真题）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购
进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800
元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
1500 800 1500 800 800 1500
A． − =5 B． − =5 C． − =5 D．
x+20 x x−20 x x x+20
800 1500
− =5
x x−20
1
【变式5-3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的 ．
4
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1
在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物 天，运完全部货物．求乙车单独
2
运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ）
1 1 1 1(1 1)
A． + =1 B． + + =1
4 2x 4 2 4 x
1( 1) 1 1 (1 1)1
C． 1+ + =1 D． + + =1
4 2 x 4 4 2 x
【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】
【例6】（2023·湖北武汉·统考中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百
步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行
者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ．
【变式6-1】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比
原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，
人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道
宽度设计是否达标？说明理由．
+
【变式6-2】（2023·内蒙古·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进
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价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的
豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A
厂家购买应付y 元，去B厂家购买应付y 元，其函数图象如图所示：
1 2
①分别求出y ，y 与x之间的函数关系；
1 2
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
【变式6-3】（2023·四川凉山·统考一模）某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，
已知A型口罩每包价格a元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包．
(1)求a的值．
(2)经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图
所示，B型口罩一律按原价销售．
①求y关于x的函数解析式；
②若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包．问购买A型口罩多
少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？
【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】
【例7】（2023·河南南阳·统考一模）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都
南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含
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泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．
某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批
每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为
每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，
求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【变式7-1】（2023·山西吕梁·统考一模）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界
第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至6C的
快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车
所能行驶的路程）比采用4C技术提高了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采
用4C充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程
为多少公里？
【变式7-2】（2023·云南昭通·统考一模）瑞兔迎春，福满万家吉祥物“兔圆圆”拉开2023央视总台兔年
春晚的帷幕．竖直的耳朵、微昂的脑袋、挺起的胸脯等设计巧思，彰显出奋进向上的精气神，某商店用
1500元购进了一批“兔圆圆”玩具，过了一段时间，又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具，所购数量是
第一次购进数量的2倍，但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元．
(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个？
(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售，全部售完后利润不低于1150元，则每个“兔
圆圆”玩具的标价至少是多少元？
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【变式7-3】（2023·河南安阳·统考一模）京东发布的《2023春节假期消费趋势》显示：消费者春节期间购
物品类更加多元，也在节日之外更“日常化”，其中预制菜成交额同比增长超6倍．春节期间，某超市分
别用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制
菜礼盒每盒便宜20元，A，B两类预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元．
(1)求A，B两类预制菜礼盒的进价各是多少元；
(2)第一次进的货很快销售一空，该超市决定第二次购进A，B两类预制菜礼盒共30盒，且购进的A类预制
菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜礼盒
后，获得最大利润？并求出最大利润（此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润）．
【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】
【例8】（2023·安徽·校联考三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，
倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为
6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6210文能买多少株椽？
【变式8-1】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我
国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至
不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，
当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
【变式8-2】（2023·山东·统考中考真题）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著
作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，
但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一
2
种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得6 个克罗索．”
3
(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？
(2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？
【变式8-3】（2023下·山西·八年级统考阶段练习）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学
家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至A处时，
与鹿所在的B处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着AD追去，追了
50步至D处与鹿所在的位置C处还差10步（点A、C、D在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向
西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定
值，请解答这个问题．
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