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第五章 平面向量及解三角形（提高卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·安徽省定远县第三中学模拟预测（理））已知向量 和 不共线，向量 ，
， ，若 ､ ､ 三点共线，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
2．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量 ， ，若 与 反向共线，则
的值为（ ）
A．0 B．48 C． D．
3．（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2022·江西·模拟预测（文））翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔
——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划
设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7
米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45 ；当他水平后退50米后再次观测塔
顶，仰角约为30 ，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据： ）
A．68 B．70 C．72 D．74
5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）在凸四边形 中 ， ，则以下结
论正确的是（ ）
A． B．四边形 为菱形
C． D．四边形 为平行四边形
6．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））设 ， 是平面内两个不共线的向量， ，
， ，若A，B，C三点共线，则 的最小值是（ ）A．8 B．6 C．4 D．2
7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知锐角 ，其外接圆半径为 ， ， 边上的高的取值范围为
（ ）.
A． B． C． D．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1， ，
，则（ ）
A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形
C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东广州·三模）已知向量 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·江苏苏州·模拟预测）在 中， ， ， ，下列命题为真命题的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为锐角三角形
C．若 ，则 为直角三角形
D．若 ，则 为直角三角形
11．（2022·辽宁·育明高中一模）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，
其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为
2，点P是圆O内的定点，且 ，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值 B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12
12．（2022·浙江·嘉兴一中高一期中）在△ABC中， ， ，O为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则 B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则 D．若O为△ABC的垂心，则
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·河南省杞县高中高一阶段练习）已知点 ， ， ， ，则向量 在
向量 方向上的投影向量为______．
14．（2022·北京·二模）已知 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使 成立的一
组A，B的值是________．
15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知向量 ，其中 且
其中 设 与 的夹角为 ，若对于任意 ，总有 ，则 的最小值为
__________．
16．（2022·浙江·模拟预测）已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，与BC交于点D，M是AD的中
点，延长BM交AC于点H， ， ，则 ___________， ___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
，
(1)若 ，求角B.
(2)设 ， ，试求 的最大值.
18．（2022·陕西西安·模拟预测（文））在① ，② 这两个条件中任选
一个作为已知条件，然后解答问题．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A；
(2)若 ， ，求 的BC边上的中线AD的长．
19．（2022·广东·华南师大附中三模）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足 ， ，
(1)求B；
(2)设 ， ，求函数 的值域．
20．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①
，② ，③ 中任选一个，
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 周长的最大值．
21．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）如图，某城市有一条 从正西方通过市中心 后转向东偏
北60°方向 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 ，并在 ， 上分别设置两个出口A， ， 在A的东偏北 的方向（A， 两点之间的高速路可近似看成直线段），由于
A， 之间相距较远，计划在A， 之间设置一个服务区 .
(1)若 在 的正北方向且 ，求A， 到市中心 的距离和最小时 的值；
(2)若 到市中心 的距离为 ，此时 设在 的平分线与 的交点位置，且满足
，则求A到市中心 的距离最大时 的值.
22．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设 ， ，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
