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第 13 讲 第八章 平面解析几何（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·陕西渭南·高一期末）如果 且 ，那么直线 不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
由 且 ，可得 同号， 异号，所以 也是异号；
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以直线 不经过第三象限.
故选：C.
2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直线 与圆 相交于 两点， 且
(其中 为原点)， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
由 可知，圆心 到直线 的距离为 ，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大
教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造饮就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为 ，
则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
双曲线 的渐近线方程为 ，下焦点为 ，
因为双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，
所以 ，
因为焦距为 ，所以 ，
所以 ，
所以
所以双曲线的渐近线方程 ，
故选：B
4．（2022·陕西渭南·高一期末）若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为方程 表示双曲线，
所以 ，解得 ，
故选：A
5．（2022·陕西渭南·高一期末）已知圆 ，圆 ，则同时与圆 和圆
相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条【答案】B
圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 ，因为
，所以 ，即圆 和圆 相交，则
同时与圆 和圆 相切的直线有2条.
故选：B
6．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆 ： 的两个焦点为 ， ，过 的直
线与 交于A，B两点.若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设 ,则 , .
由椭圆的定义可知 ,所以 ,所以 , .
在△ABF 中, .
1
所以在△AFF 中, ,
1 2
即 整理可得： ,
所以
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于
A、B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 ，得 ， ， ，左焦点为 ．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为 ．代入 ，得 ，设 ， ，则 ， ，
又 ，
根据弦长公式得： ，
且 ，
∴ ，
故选：A．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是双曲线 上的动点， ， 为该双曲线的左右焦点，
为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
由双曲线的对称性，假设 在右支上，即 ，
由 到 的距离为 ，而 ，
所以 ，
综上， ，同理 ，则 ，
对于双曲线 ，有 且 ，
所以 ，而 ，即 .
故选：D
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）圆 （ ）
A．关于点 对称B．关于直线 对称
C．关于直线 对称
D．关于直线 对称
【答案】ABC
将圆的一般方程 化为圆的标准方程，
可得 ，
所以圆心的坐标为 ，
圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点 是圆心坐标，所以A选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 过圆心，所以B选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 过圆心，所以C选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 不过圆心，所以D选项不正确.
故选：ABC.
10．（2022·全国·高一）直线 与圆 相交于A，B两点，则线段 的长度可能
为（ ）
A． B． C．12 D．14
【答案】BC
直线 过圆C内一定点 ，当直线经过圆C的圆心时， 有最大值12；当 为线段
中点时， 有最小值 ，所以 ．故选：BC．
11．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”.
如图，已知椭圆 ， 为顶点， 为焦点， 为椭圆上一点，满足下列条件能使
椭圆 为“黄金椭圆”的有（ ）
A． 为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点【答案】BD
解： ，
， ，
对于A： 为等比数列，
则 ，
， 不满足条件，故 错误；
对于B： ,
,
即 解得 或 （舍去）满足条件.
故B正确；
对于C： 轴，且 ，
即 解得 ，
不满足题意，故C错误；
对于D：四边形 的内切圆过焦点 ，
即四边形 的内切圆的半径为 ，
解得 （舍去）或
，故D正确.
故选：BD
12．（2022·云南昆明·高二期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 相交于 、 两
点（点 位于第一象限）， 与 的准线交于 点， 为线段 的中点，准线与 轴的交点为 ，则
（ ）
A．直 的斜率为 B．
C． D．直线 与 的倾斜角互补
【答案】ABD易知抛物线 的焦点为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
若 轴，则直线 与抛物线 的准线平行，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ，即点 ，
因为点 为线段 的中点，则 ，则 ，可得 ，
因为点 在抛物线 上，则 ，可得 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
故直线 的斜率为 ，A对；
联立 ，解得 或 ，即点 、 ，
易知点 ，所以， ， ，则 ，B对；
易知点 ， ， ，
故 ，C错；
， ，则 ，
所以，直线 与 的倾斜角互补，D对.
故选：ABD.
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）关于直线 ： ， ： ，若 ，则
__________.
【答案】若 ，则 ，解得 .
故答案为： .
14．（2022·全国·高二专题练习）椭圆 ： 上的点 到直线 的距离的最小值为
_____.
【答案】
解：设点 的坐标为 ，其中 ，
则点 到直线 的距离
，其中 ，
当 时，等号成立．
所以 取得最小值 ．
故答案为：
15．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线 ： 的右焦点为 ，双曲线 的一条渐
近线为 ，以 为圆心的圆与 交于点 ， 两点， ， 为坐标原点， ，
则双曲线 的离心率的取值范围是______．
【答案】
解：由题可知，点 ，如图所示，不妨取直线 的方程为 ，过点 作 于 ，则 到直线
的距离 ，，且 ，
为等腰直角三角形，
， ，
， ， ，
， ，即 ，
离心率 ，
令 ， ，则 ，即 ]，
．
故答案为： .
16．（2022·广东梅州·高二阶段练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：
“平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字
命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，点 是满足
的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点 为抛物线 上的动点， 在 轴上
的射影为 ，则 的最小值为______．
【答案】 ##
设点 ， ，∴ .
抛物线的焦点为点 ，由题意知 ， ，
∴ .
故答案为： ； .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·全国·高二专题练习）已知直线 的方程为： ．
(1)求证：不论 为何值，直线必过定点 ；
(2)过点 引直线 ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 的方程．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：原方程整理得： ．
由 ，可得 ，
不论 为何值，直线必过定点
(2)解：设直线 的方程为 ．
令 令 ．．
当且仅当 ，即 时，三角形面积最小．
则 的方程为 ．
18．（2022·重庆长寿·高二期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 ， ，
．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l： 截得的弦长．
【答案】(1) (2)
(1)∵ ，
∴BC边的中点D的坐标为 ，
∴中线AD的斜率为 ，
∴中线AD的直线方程为： ，即
(2)设△ABC的外接圆O的方程为 ，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为 ，即 ，
其中圆心O为 ，半径 ,
又圆心O到直线l的距离为 ,
∴被截得的弦长的一半为 ,
∴被截得的弦长为 .19．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知抛物线C： 的焦点与椭圆： 的一个
焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l： 交抛物线C于 ， 两点，O为原点，求证： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
(1)∵椭圆： 的焦点坐标为 ，
∴ ，即 ．
∴抛物线C的方程为： ．
(2)联立方程组 消去x，整理得 ．
∴ ．
∴ ，即 ,
∴ ,
∴ ．
20．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率
为 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 经过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
【答案】(1) (2) 或 ．
(1)解：设椭圆 的标准方程为 ，
抛物线 的焦点为 ，
依题意 ，解得 ．
∴椭圆 的标准方程为 ．
(2)解：由题意得直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，则由 ，消去 整理得 ，且 ．
设 ， ，∴ ，
由 得 ，
∴ 消去 得 ，解得 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 或 ．
21．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在△ABC中， ， ，动点A满足 ，
，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线 交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N
两点，与直线 交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为 ， ， ，
①求证： 是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使 ？若存在，求出所有满足条件的m的值，若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②存在；
(1)∵ ，
∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．
连接PC，则 ，
∴ ，
由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线的右支（右顶点
除外），
， ，则 ，∴E的方程是 ．
(2)①证明：由已知得 ， ，满足 ，
设直线l方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，
， ，
，
同理 ，
∴
对 ，令 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是定值．
②假设存在m的值，使
由①知， ，
则 ，
∴ ，
直线QK的方程为 ，
令 ，
得 ；
直线l的斜率为1，直线l的方程为 ，令 ，得 ；
∴ ，
∴ ，
代入 ，得 ，
整理得， ，
解得 ，或 （∵ ，舍去）
∴ ，存在m的值为 ，使 ．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，半焦距为 ，且
．经过椭圆的左焦点F，斜率为 的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 时，求 的值；
(3)设 ，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为 ，求证： 为定值．【答案】(1) (2) (3)证明见解析
（1）由题意，得 解得 ∴ ，故 的方程为 ．
（2）由（1）知 ，∴直线AB的方程为 ，由 即 ，设 ，
，则 ， ，∴ ．设O点到直线
AB的距离为d，则 ．∴ ．
（3）设AB直线方程 ，设 ， ， ， ，由 由定比分
点坐标公式： ，由于A，C满足椭圆方程，故得 两式作差得
③，将①②代入③可得 ，和①进行联立，即
，解得： 由 同理可得 ，∴
，故 ．
