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专题突破卷 04 导数中利用构造函数解决题型
题型一 构造新函数比较大小
1．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ， 和 ，利用导数
求解函数的单调性，即可求解.
【详解】令 ， ，则 ，
令 ，则 即 单调递增，所以，故 为增函数，所以 ，可得 ，故 .
令 ，则 ，故 为增函数，所以
0，即 .所以 ，故 ，所以 b
故选：B.
2．已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，通过导数判断单调性，进而利用单调性判断函数值的
大小.
【详解】由题， .令 （ ），则 ，
因为 ，所以 ，所 在 上单调递增，
又 ， ， ， ，故 .
故选：C.
3．已知定义域为R的偶函数 的导函数为 ，当 时， ，若
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造函数 ，根据奇偶性及导数确定单调性，利用单调性即可求解.
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】令 ，由偶函数 知，
当 时， ，
故 为奇函数，
当 时，
则 为减函数，
由奇函数知， 在 上为减函数，
而 ，
所以 ，
即 ，
故选：D
4．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，根据三角函数的性质、利用导数判断单调性，作商比较大小即可得解.
【详解】解：由题意 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即有 .
又因为 ，设 ， ，
则 ，
当且仅当 时等号成立；∴函数 在 上单调递增，
∴当 时 ，即有 ，当且仅当 时等号成立；.
∴ ，即有 .
又因为 ，设 ， ，
则 ，当且仅当 时等号成立；
∴函数 在 上单调递减，
∴当 时 ，即有 ，当且仅当 时等号成立；.
∴ ，即有 .
综上知， .
故选：D.
5．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别构造函数 ， ， ，
利用其单调性判断.
【详解】解：设 ，则 ，
所以 在 上递减，所以 ，即 ，
设 ，则 ， 递增，
则 ，即 ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
令 ，则 ， ，
当 时， ，则 递减，又 ，
所以当 时， ， 递减，
则 ，即 ，
因为 ，则 ，
所以 ，即 ，
故 ，
故选：D
6．设 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，由 时， ，然后构造函数求导，即可判断.
【详解】
对 ，因为 ，则 ，即函数 在 单调递减，
且 时， ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，且当 时， ，
则 ，所以函数 在 单调递增，则 ，即
，先考虑函数 ， ，则
.
故 ，从而 .
再考虑函数 ， ，
则 .
故 ，即 ，故 .
综上， ，
故选：B.
7．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造 ，则 、 、 ，利用导数研究其单调
性，即可判断a，b，c的大小.
【详解】 ， ，
，
令 且定义域为 ，则 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以在 上 ，即 递减，故 ，即 .
故选：A
8．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 ， ，利用导数分析这两个函数的单
调性，可得出 、 的大小， 、 的大小，利用不等式的基本性质可得出 、 的大
小关系，由此可得出 、 、 三个数的大小关系.
【详解】令 ，其中 ，
则 ，所以，函数 在 上为增函数，
故当 时， ，则 ，所以 ，
因为 ，则 ，
当 时，证明 ，令 ，其中 ，则 ，
所以函数 在 上为增函数，故当 时， ，
所以当 时， ，则 ，所以 ，
所以 ，因此 .
故选：D.
9．若 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据 的形式，分别构造函数 和
，利用导数求得函数单调性后，通过比较 和 时的
函数值可得大小关系.
【详解】令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ， ；
，
令 ，则 ，
在 上单调递减， ，即 ， ；
综上所述： .
故选：B.
10．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，利用导数研究单调性，即可比较 ， ，由
，可比较 ， ，从而得到答案
【详解】构造函数 ，所以 ，即 在
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
故选：B
11．已知 ， 满足 （ 是自然对数的底数），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题知 ，令 ，进而构造函数
，再根据函数 的单调性得 ， ，再与 求和整
理即可判断A、B，再由零点存在性定理判断C、D.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，也即 ，
即 ，
令 ，
由 ，即 ，所以 ，
即 ，
令 ， ， 在 恒成立，
所以函数 在定义域 上单调递减，
由 ， ，
所以 ， ，所以 ，则 ，所以 ，故A错误；
又因为 ，得 ，所以 ，解得 ，所以 ，故B错误；
令 ，则 在定义域 上单调递减，
又 ， ，
，
则 在 上存在唯一零点，又 ，所以 ，故C错误；
因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
，
所以 在 上存在唯一零点，即 ，则 ，又 ，
则 ，所以 ，故D正确.
故选：D
12．已知 ， ， ，则m，n，p的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将 换成 ，分别构造函数 ，，利用导数分析其在 的右侧包括
的较小范围内的单调性，结合 即可得出m，n，p的大小关系.
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】令 ，则 ， ，
，
当 ， ，
设 ，则 ，
，
在 单调递减，
，
，
当 ， ，
设 ，
则 ，
在 单调递增， ，
， ，
故选：A.
题型二 构造新函数利用单调性解不等式
13．定义在 上的函数 导函数为 ，若对任意实数x，有 ，且
为奇函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】构造 ，根据导数研究 单调性，结合已知将问题化为 ，
再根据 的单调性即可求出结果.
【详解】设 ，则 ，
对任意实数x，有 ，
所以 ，则 在 上单调递减.
因为 为奇函数，且 的定义域为R，
所以 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以求不等式 的解集，
即求 的解集，即求 的解集，
因为 在 上单调递减，所以 的解集为 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
14．定义在 上的可导函数 满足 ，若 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，并求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于 的不等式，解出即
可.
【详解】令 ，则 ，故 单调递减，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即 ，得 ，解得： .
故选：B.
15．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，根据已知讨论导数符号可得单调性，由
可得 ，将不等式 转化为 ，然
后利用单调性可解.
【详解】记 ，则 ，
因为 ，
所以当 时， ，则 ， 在 上单调递增；
当 时， ，则 ， 在 上单调递减.
又 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 .
故选：B
16．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，恒有，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据 得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解.
【详解】由 得， 的图象关于直线 对称，
令 ，则 是偶函数，又当 时，恒有 ，
故 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，
则 ，
即得
解得 或 .
故选：C.
17．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，不等式转化为 ，构造函数 ，求导得到单调性，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！结合 ，得到 ，根据单调性解不等式，求出解集.
【详解】令 ，则 ，
所以不等式 等价转化为不等式 ，即 ，
构造函数 ，则 ，
由题意， ，所以 为 上的增函数，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 .
故选：B
18．已知定义域均为 的函数 的导函数分别为 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用函数导数的四则运算构造新 , ，
则用新函数的单调性解题即可.
【详解】令 ，则 ，所以 单调递减．
由 ，得 ，所以 ．
故选：B.
19．已知函数 及其导函数 的定义域均为R， 且 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数 ，判断 的单调性，将所求不等式进行同解
变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得.
【详解】设 ，则 ，故 单调递增.
又 ，故 可转化为 ，即
，
由 单调递增可得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选： .
20．已知可导函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为
，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，
故 在 上单调递减，
不等式 可变形为
，
即 ，
所以 且 ，解得 .
故选：A
21．已知函数 的定义域是 ，对任意的 ， ，
都有 ，若函数 的图象关于点 对称，且 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，结合题目给的对任意的 ， ，都有
，得出 的单调性，再利用 的图象关于点 对
称，得到 的奇偶性求解最后的不等式.【详解】因为任意的 ， ，都有 .
所以 令 ，则 ，
令 ，则 在 单调递减，
又函数 的图象关于点 对称，
则 关于 对称，即 为奇函数，
所以 为偶函数，
则 在 上单调递增，
由 ，
可得当 时，
又 ，则
所以当 时，
当 时， ，且 ，
所以 ，
则解集为 或
故选：C.
22．已知函数 及其导数 的定义域均为 ，对任意实数 ， ，
且当 时， .不等式 的解集为（ ）
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，从而结合导数与所给条件得到函数 的单调
性与对称性，在将所给不等式中 化为 即可得解.
【详解】令 ，则 ，
由题意可得，当 时， ，即 在 上单调递增，
由 ，则 ，
即 ，故 为偶函数，故 在 上单调递减，
则不等式 可化为：
，
即 ，则有 ，即 ，
即 ，即 ，
解得 .
故选：B.
23．已知函数 的导函数为 ，且 ，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.
【详解】不等式 等价于 ，即 ，
构造函数 ，所以 ，
因为 时， ，所以 对 恒成立，
所以 在 单调递减，
又因为 ，
所以不等式 等价于 ，所以 ，
即 的解集为 .
故选：A.
24．已知定义在R上的奇函数 ，其导函数为 ， ，当 时，
，则使得 成立的x的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据题意可得函数 为偶函数以及其单调性，再分 以及
讨论即可得出答案．
【详解】设 ，则 ，
由于当 时， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则当 时， ， 在 单调递减，
又 为奇函数， ,则 ，则函数 为偶
函数，
可得函数 在 上单调递增，
又 ，则 ，
当 时，由 ，可得 ，即 ，解得 ；
当 时，由 ，可得 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 , , ．
故选：B．
题型三 构造新函数证明不等式
25．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据选项构造两个函数 ， ，再利用导数思想，来研究在
上是否是单调函数，即可作出选项判断.
【详解】令 ，则 ，令 ，则 恒成
立，
即 在定义域 上单调递增，且 ，因此在区间 上必然存在唯一 ，使得 ，
所以当 时 单调递减，当 时 单调递增，故 ，B均错误；
令 ，当 时，
在区间 上为减函数，
，即 选项C正确，D不正确．
故选：C．
26．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质结合 的单调性分析判断.
【详解】因为 在 上递减，且 ，
所以 ，
因为 在 上递减，且 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上递增，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
27．已知 ，则下列结论正确的序号是（ ）
① ，② ，③ ，④若 ，则
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】B
【分析】推导出 ，利用指数函数的单调性可判断①，利用作差法可判断②④，利用
函数 在 上的单调性可判断③.
【详解】因为 ，即 ，则 ，得
.
对于①，因为指数函数 为 上的减函数，则 ，①对；
对于②， ，则 ，②错；
对于③，构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，则 ，即 ，
故 ，③对；
对于④， ，则 ，则 ，④错.
故选：B.
28．下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由不等式 可得A正确，构造函数 ，利用单调性可得B正确，
作差之后化简可得C错误，构造函数 ，利用单调性可得D正确.
【详解】由 ：令 ，则 ，
所以 上 ， 递减， 上 ， 递增，故 ，
所以 ，而 ，所以 ，所以A正确；
由 知， ：令 ，则 ，
令 得： ，所以 在 上递减，所以 ，
即 ，所以 ，所以B正确；
由于
，
即 ，所以C错误；
由 知， ：令 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ，
令 ，则 ，令 得
所以 在 上递增，所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，所以 在 上递增，
所以 ，即 ，亦即 ，所以D正确.
故选：C
29．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，利用导数可求得 单调性，由单调性可得 ，
利用所得不等式化简整理即可得到大小关系.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 ，
由 得： ， ，即 ；
由 得： ， ，即 ；
综上所述： .
故选：D.
30．已知函数 ，若 ，则 与 的大小关系为（ ）A． B．
C． D．不能确定
【答案】A
【分析】设 ，利用导数先研究函数 和 图象性质，并得到在 上
恒成立，若 ，可知 ，若 ，则显然 ，若 ，
由 ，所以 ，综上所述， .
【详解】由 ， ，
当 或 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
，且 ，
设 ，则 ，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
，
设 ，
则
设 ，则 ，
设 ，则 恒成立，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 在 单调递增， ，
即 恒成立，所以 在 单调递增，
则 ，即 恒成立，
所以 在 单调递增，则 ，
所以在 上 恒成立，在 显然也成立，如图，
若 ，可知 ，
若 ，则显然 ，
若 ，由 ，所以 ，
综上所述，
故选：A
31．下列四个不等式① ，② ，③ ，④ 中正确的个
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先证明 、 ，利用判断①②③，令令 ，
，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可说明④.
【详解】令 ，则 ，所以当 时 ，当 时
，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 （当且仅当 时取等号）；
令 ， ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
所以 （当且仅当 时取等号）；
对于①：当 时 ，所以 ，故①正确；
对于②：因为 （当且仅当 时取等号），所以 ，当且仅当 时取等
号，故②正确；
对于③： （当且仅当 时取等号），故③错误；
对于④：令 ， ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
所以 （当且仅当 时取等号），故④正确；综上可得①②④正确．
故选：C
32．若函数 有两个极值点 ，且 ，则下列结论中不正确的是
（ ）
A． B．
C． 的范围是 D．
【答案】B
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】对于AC，原函数的极值点即为导函数的零点，求导后等价于 与 有两
个交点，结合单调性等函数特征画出图象判断出 ，且 ；对于B，利用
，推导 ，则可得 ；对于D，而 等价于
，构造合适的函数进行分析.
【详解】对于AC， ，有两个极值点 且 ，
所以 ， 有两个零点 ，且在 各自两边 异号，
所以 与 有两个交点 ， ，
记 ，则 ，
易知： 时 ， 时 ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 有最大值 ，且 时 ， 时 ，
又当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷的速率远远超过 趋向于正无穷的速率，
所以 趋向于0，且 ，
由上可得 的图象如下，所以当且仅当 时 与 有两个交点，且 ，故A，C正确；
对于B，又 ，
所以 ，即 ，故B错误.
对于D，令 ，则 ，所以 ，则 ， ，
所以要证 ，只需证 ，
只需证 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，即 时 ，不等式 得证，故D正确.
故选：B.
33．已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据零点可将问题转化为 ，构造 ，求导即可根据函数的单
调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数
，结合函数的单调性即可求解B，根据 可得 ，
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即可求解C，根据不等式的性质即可求解D.
【详解】由 可得 ，令 ，其中 ，
则直线 与函数 的图象有两个交点， ，
由 可得 ，即函数 的单调递增区间为 ，
由 可得 ，即函数 的单调递减区间为 ，
且当 时， ，当 时， ， ，
如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，故A错误；
由图可知， ，
因为 ，由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，则必有 ，
所以， ，则 ，
令 ，其中 ，
则 ，则函数 在 上单调递减，所以， ，即 ，即 ，
又 ，可得 ，
因为函数 的单调递减区间为 ，则 ，即 ，故B错误；
由 ，两式相加整理可得 ，
所以， ，可得 ，故C错误；
由图可知 ，则 ，又因为 ，所以， ，故D正确.
故选：D.
34．已知函数 存在两个极值点，若对任意满足
的 ，均有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 的导数，由导函数的两个零点 求出 的单调区间，求
出 所在区间，再由已知可得 在同一单调递增区间内，进而求得 ，然
后借助对勾函数单调性求出 的范围.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得
，
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由函数 存在两个极值点，得 ，即 有两个不等的正根 ，
则 ，解得 ，当 或 时， ，当 时，
，
于是函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
令 ， ，则直线 与 的图象有3个公共点，
此时 ，显然 ，令 ，求导得 ，
即函数 在 上递增，则 ，即 ，于是 ，
由 ，得 ，
因为对任意满足 的 ，均有 ，
则有 必在同一单调递增区间内，因此 ，而 恒成立，从而 ，
又 ，则 ，显然函数 在 上单调递增，
而 ，因此 ，由 ，得 ，
而函数 在 上单调递减，则 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C
35．已知 ，则 的大小关系是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】观察 的式子结构，构造函数 ，利用导数判断 的单调性，从而
得到 ，再利用对数函数的单调性判断出 ，从而得解.
【详解】因为 ，
，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，所以 ；
又 ，所以 ，即 .
综上， .
故选： .
36．若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先通过构造函数得到当 时， ，再通过构造函数
进一步得到 ， ，可比较大小.
【详解】根据题意， ，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
从而 ，即 ， ，
所以 ， ，
从而当 时， .
故选：D
题型四 构造新函数研究方程的根
37．若方程 恰有三个不相等的实根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为 有三个交点，构造 ，利用导数求解
函数的单调性，即可结合函数图象求解.
【详解】由 可得 ，
记 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，故
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 取得极小值， ，在 处取得极大值， ，
而 时，恒有 成立，方程 恰有三个不相等的实根，即曲线 与直线 恰有三个不相等的交
点，
与直线 图象如下，
由图知，当 时，曲线 与直线 恰有三个不相等的实根；
故选：A
38．若关于 的方程 存在三个不等的实数根，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方程转化为 ，令 ，利用导数求函数单调性和极值，
确定关于 的方程存在三个不等实数根的条件，求出实数 的取值范围.
【详解】关于 的方程 存在三个不等的实数根，
等价于方程 存在三个不等的实数根，
令 ， ， 解得 ， 解得 ，
所以在 上 单调递增，在 上 单调递减，
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！且 时 ， 时 ，当 时， 有极大值 ，
方程 ， ，方程有两个不等的实数根，且两根之积为 ，
则方程 有一正根一负根，且正根位于区间 上，
此时关于 的方程 存在三个不等的实数根，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B.
39．已知关于 的方程 有4个不同的实数根，分别记为 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形给定方程，构造函数 ，利用导数探讨方程 取得两个不等根的
的范围，再借助一元二次方程求解即得.
【详解】显然 不是方程 的根，
则方程 的根即为方程 的根，
令 ，得 ，设 ，求导得 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
即函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增， ，
作出 的大致图象，如图，依题意，方程 有两个不相等的实数根，设为 ， ，
观察图象知，方程 的每一个根，由 得两个不同的 值，
于是 ，且 ，由 ，解得 ，
不妨设 ，
则 ，
由 ，得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：A
40．若方程 有三个不同的解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！C． D．
【答案】B
【分析】由方程得 ，令 ，可得 ，令
，其中 ，作出函数 的图象，根据原方程有三个不同的解可得出
的两根的取值范围，利用二次函数的零点分布得出关于实数 的不等式
组，可求得实数 的取值范围．
【详解】由方程 ，可得 ，
令 ，则 ，
令 ，其中 ，
则 ，令 ，得 ，
列表如下：
，
0
单调递
极大值 单调递减
增
函数 的图象如下图所示：由于方程 有三个不同的解，而关于 的二次方程
至多有两个根．
当关于 的二次方程 有两根时，设这两根分别为 ， ，不妨设 ，
则 ， ①，或 ， ②，或， ， ③，
由①得 ，解得 ，
在②中，将 代入 ，可得 ，
所以 ，与 矛盾，故无解；
在③中， ，代入 ，可得 ，
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，与 矛盾，故无解．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故选：B．
41．已知方程 恰有两个不同的根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，将方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合导数研究函数的图像
与性质，画出函数图像，结合图像即可得到结果.
【详解】
由题知 ，故方程 恰有两个不同的根．设 ， ，
则 与 的图像有两个交点， ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
，当 时， ，
在同一坐标系中做出 与 的大致图像如图所示，
设直线 与 的图像相切时切点的横坐标为 ，，
即 ．设 ，则 ，
易知 在 上单调递增， ，
， ，
由图可知，方程 恰有两个不同的根，则实数 的取值范围为 ，
故选:B．
42．函数 ，则方程 解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性和极值情况，且当 时， ，画出函
数图象，得到 与 的图像有2个交点，从而求出答案.
【详解】 ，函数定义域为 ，
，
令 ，解得 或 ；令 ，可得 或 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递减，在 上单调递增，
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！且当 时， ；当 时，取得极大值 ；当 时，取得极小值
；
因此，函数 的大致图像如图所示，
因为 ，所以 与 的图像有2个交点，
可知方程 有2个解.
故选：C
43．若函数 在定义域内有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，根据极值分析可得 与 有2个变号交点，对 求导，利
用导数判断其单调性和最值，结合 的图象分析求解.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，可得 ，由题意可知 与 有2个变号交点，
则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
可得 ，且当x趋近于0， 趋近于 ，当x趋近于 ， 趋近于
0，
可得 的图象，如图所示：
由图象可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D.
44．若关于x的方程 存在三个不等的实数根．则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 不是方程的根，当 时，变形为 ，构造 ， ，
求导得到函数单调性，进而画出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】当 时， ， ，两者不等式，故 不是方程的根，
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时， ，
令 ，则 ，
当 ， 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
且当 时， ，当 时， ，
画出 的图象如下：
令 ， ，
则 ，当 ， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
且当 时， ，当 时， ，
画出 ， 的函数图象，如下：令 ， ，则 ，
由于 在 上恒成立，
故当 ， 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
其中 ，
从 的函数图象，可以看出当 时， ，
当 时， ，
画出函数图象如下，
要想 有三个不同的根，则 .
故选：D
45．已知函数 有两个极值点 ， （ ），函数
有两个极值点 ， （ ），设 ，则（ ）
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解法一：求出函数的导函数，则 ， 是方程 的两个实数根， ， 是
方程 ，即 的两个实数根，设 ，利用导数求出函数的单
调区间，即可得到 ， ， ，从而得到 ，最后根据对勾
函数的性质计算可得；
解法二：求导可得 ， 是 与 图象交点的横坐标； ， 是 与
图象的交点的横坐标，结合反函数的性质得到 ， ，从而求出 的
取值范围.
【详解】解法一：由 可得 ，则 ， 是方程 的两
个实数根，
由 可得 ，则 ， 是方程 ，
即 的两个实数根.
设 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，则 在 处取得极小值 ，
因为 ， 是方程 的两个实数根， ， 是方程 的两个实数根，且 ， ，所以 ， ， ，
则 ， ， ，
所以 ，
又 在 上单调递增，所以 .
解法二 第一步：对函数求导，将问题进行转化；
由 可得 ，则 ， 是方程 的两个实数根，即
与 图象交点的横坐标.
由 可得 ，则 ， 是方程 的两个实数，
即 与 图象的交点的横坐标.
第二步：构造函数，求得 的取值范围；
由 可得 ，设 ，则 ，
易得 在 处取得极小值，且 ，当 时， ，当 时，
，
所以由方程 有两个实数根可得 ，即 .
（点拨：因为 与 互为反函数，且 与 互为反函数，
所以当 与 的图象有两个交点时， 与 的图象也有两个交点）
第三步：利用反函数的概念对变量进行代换，即可得解；
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设 ， ， ， ，
由 与 互为反函数，且 与 互为反函数，
可得 与 ， 与 分别关于直线 对称，则 ， ，
则 ，
又 在 上单调递增，所以 .
故选：C
46．已知函数 ，若方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】转化为 有两个不相等的实数根，构造 ，分 和 两种
情况，求导，得到函数的单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到实数 的取值
范围，得到答案.
【详解】由题意得 有两个不相等的实数根，
令 ，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
且 ，当 时， 恒成立，
当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
且 ，
画出 的图象如下：
要想 有两个不相等的实数根，则 ，
故 有两个不相等的实数根，则 .
故选：A
47．关于 的方程 至少有两个实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数求出极大值与极小值，再根据给定根的情况结合三次函数的
图象性质列式求解即得.
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】令函数 ，依题意，函数 至少有两个零点，
求导得 ，显然 ，否则恒有 ， 在 上递增， 最多一个
零点，
当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
函数 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，
而 ，由函数 至少有两个零点，得 ，即
，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
48．方程 （x， ， ）解的组数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数组
【答案】C
【分析】将方程 整理为 ，构造函数 ，利用导数研究函数的
单调性得到 的图象，然后结合 且 求解即可.
【详解】由题意得 ，即 ，即 ，令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减，图象如下所示：
因为 ， ，所以当 时成立，
又 ， ，
所以 或 ，即 或 ，
所以方程 的解的组数为2组.
故选：C.
1．已知函数 ，若 使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】将问题转化为 使得 成立，分离参数得到 ，令
， ，即 成立，通过求得导数和单调性，可得 的最
小值，则可得 的取值范围．
【详解】由 得 ，当 时， ，此时 单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，
所以 使得 成立，
即 ，使得 成立，即 成立，
令 ， ，即 ，
因为 ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 在 上单调递减，
所以 ，
则 .
故选：A.
2． ，均有 成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】首先不等式转化为 ，再构造函数 ，转化为函数在
区间 上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求 的取值范围.
【详解】不妨设 ，
由 ，得 ，
即 ，两边同时除以 ，得 ，
令 ，即 ，所以函数 在区间 上单调递减，
，即 恒成立，
所以 ， 上恒成立，函数 在区间 上单调递减，
所以 的最大值为1，
所以 .
故选：B
3．定义在 上的单调函数 ，对任意的 有 恒成立，若
方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件单调函数 ，对任意的 都有 ，故必有
，且 ，即可求得 ，再根据导数研究函数的性质，求得方程
有两个不同的实根满足的条件，求得 的取值范围.
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】由于函数 为单调函数，则不妨设 ，则 ，
且 ，解得 ，所以 .
设 ，
则方程 有两个不同的实数根等价于函数 与 有两个不同
的交点.
，
易得当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
又 ，且当 时， .
故函数 与 有两个不同的交点则 .
故选：B
4．已知 为正实数， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.
【详解】由 得： ，
构造函数 ，则 ，
可知 在 上递增，
结合 ，得 ，即
由基本不等式可知： ，
当且仅当 时等号成立，所以 .
故选：C.
5．已知函数 的导数为 ，若方程 有解，则称函数 是“T函
数”，则下列函数中，不能称为“ 函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，若方程 有解，则函数 是“T函数”，依次
判断选项即可.
【详解】对于A， ，则 ，令 ，
解得： ，则函数 是“T函数”；
对于B， ，则 ，令 ，
所以 ，则 在 上单调递增， ， ，
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！根据零点存在定理可得：存在 ，使得 ，
即方程 有解，则函数 是“T函数”；
对于C， ，则 ，
因为 ，则 ，即方程 无解，则
不是“T函数”
对于D， ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增；由于 ， ，所以存在 ，使得 ，
即 有解，则函数 是“T函数”
故选：C
6．设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a
使得 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 等价于 ，
令 ，函数 )和函数 的图象，一个在直线 的上方，一个在直线 的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可
得出答案．
【详解】函数 的定义域为 ，由 得 ，
所以 .令 ，
由题意得，函数 和函数 的图象，一个在直线 的上方，一个在直线
的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由 得 ，
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递
减，
所以 ， 无最小值，
由 得， ，
若 时，当 时， ， 单调递增，当 时， ，
单调递减，所以 有最大值，无最小值，不合题意，
若 时，当 时， ， 单调递增，当时 ， ，
单调递减，所以 ，则由 即 且 ，
得 .
故选：A.
7．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把 转化为 ，设函数 ，分析
函数 的单调性，问题转化为 ，再设 ，转化为求
恒成立，利用导数求函数 的最小值，利用最小值大于或等于0，可求 的取值
范围.
【详解】由 ，
两边同时加 ，得： .
设 ，则 ，所以 在 上单调递增.
所以 .
设 ， ，则 ，
由 ；由 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
由 .
故选：C
8．已知 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】比较 大小，构造 ，结合单调性即可比较大小；比较 大小，构造 ，结合单调性即可比较大小.
【详解】令 ，则 ，所以 单调递增，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 单调递减，
，即 ，故 ，，即 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
9．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，利用导数说明函数的单调性，即可证明 ，从而判
断 、 ，再令 ，利用导数说明函数的单调性，即可判断 、 ，即可得
解.
【详解】令 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
即 恒成立，当且仅当 时取等号，则 ，即 ；
又 ，
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！令 ，则 ，则 在 上单调递减，
又 ，
当 时 ，所以 在 上单调递增，又 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
综上可得 .
故选：A
10．设 ， ，且 ，则下列结论正确的个数为（ ）
① ② ③
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①②根据指数对数运算和基本不等式判断；③构造函数 ，然后根
据函数单调性判断.
【详解】 ，当且仅当 时等号成立，故①
错；
，当且仅当 时等号成立，故②正确；
由题意得 ，且 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，故③正确.
故选：C.11．设 ，则 大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过证明 确定 的大小关系；通过证明
确定 的大小关系.
【详解】令 ，
，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ， ，
，所以 .
令 ，
，令 ， ，
，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减， ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，即当 时， ，当 时，
，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的最小值为 中一个，
而 ，
62
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ， ，
所以 ，即 .
所以 .
故选：B.
12．已知 ，下列四个结论：① ，② ，③ ，④
.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】构建函数证明 证明 .由 变形化简即可判断
①；证明 再利用对数函数单调性及不等式性质判断②；构造函数
，利用导数证明 即可判断③；根据不等式 可
得 ，即可判断④.
【详解】由 ，可得 ，
因为 ，则 ，可得 ，
构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，对于①：由 可知 ，可得 ，
整理得 ，所以 ，故①正确；
对于②：当 时， ，则 ，
因为 ，即 ，可得 ，
则 ，可得 ，
所以 ，故②错误．
对于③：因为 ，则 ，可得 ，
令 ，则 ，可得 ，
令 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
当 时， ，则 当 时恒成立，
可知 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 ，故③错误；
对于④：因为 ，当且仅当 时取等号，
可得 ，当且仅当 时取等号，
又因为 ，则 ，
可得 ，所以 ，故④错误；
故选：A.
64
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13．已知函数 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数 的奇偶性，利用导数判断函数 的单调性，令
，利用导数判断 的单调性，从而可得 ，进而可
得比较函数值的大小．
【详解】∵ ，
∴ ，∴ 是偶函数，
，
当 时， ，故函数 在 上单调递增，
令 ，则 ，
即函数 在 上单调递减，故 ，
即可 ，而 ，
所以 ，
∴ ．
故选：C．
14．定义在 的函数 ，其导函数为 ，且满足 ，若 ，且 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式，结合单调性判断A；构造函数 ，利用导数探讨单调
性判断C；利用C中信息，赋值计算判断D；构造函数 ，利用
导数探讨单调性，结合C的信息判断B.
【详解】对于A，由 ， ，得 ，即 ，
由 ，得 在 上单调递增，因此 ，A正确；
对于C，令 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
则 ，即 ，两边取对数得 ，
即 ，C正确；
对于D，由选项C知， ，取 ，
则 ，因此 ，D正确；
对于B，令 ，求导得 ，
函数 在 上单调递减， ，即 ，则 ，
于是 ，即 ，因此 ，B错误.
66
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：ACD
15．已知函数 的定义域为 ，对所有的 ，都有 ，
则（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 在 上可能单调递增 D． 在 上可能单调递减
【答案】AC
【分析】应用赋值法及化简判断A,B选项，再根据导函数的正负判断函数单调性即可判断
C,D选项.
【详解】令 ，则 ，
若 ，则 ，即 ，
所以 为常数 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以 为奇函数，故A正确，B错误．
，当 时， 在 上单调递增，故C正确．
结合 是开口向上的二次函数可知， 不可能恒成立，故D错误．
故选：AC.
16．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且对任意的 ，都有
，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD【分析】令 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到
，从而得解.
【详解】令 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，
则 ， ，故AC错误，BD正确．
故选：BD．
17．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
，则不等式 的解集是
.
【答案】
【分析】根据题意可构造函数 ，求得 的单调性，再利用函数对称性解不等
式即可求得结果.
【详解】构造函数 ，则 ；
因为 ，
所以当 时， ，即 ，此时 在 上单调递增；
当 时， ，即 ，此时 在 上单调递减；
68
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又 ，所以 ，即 ；
所以函数 图像上的点 关于 的对称点 也在函数图像上，
即函数 图像关于直线 对称，
不等式 变形为 ，即 ；
可得 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，解得 .
则不等式的解集为 .
故答案为：
18．已知函数 .
(1)当 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若 有两个零点 ，则 .
【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析
【分析】（1）当 时，只需分别求出 即可得解；
（2）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（3）利用分析法，转化要证明：当 时， ，再利用导数
即可得证.【详解】（1）当 ， ，
，
因为 ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 .
（2） 的定义域为 ，则 ，
令 ,得
当 在 上单调递减，
当 在 上单调递增，
，
若 ,则 ,即 ，
所以 的取值范围为 .
（3）由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 ，
要证 ,即证 ，
因为 ,即证 ，
又因为 ,故只需证 ，
70
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即证 ，
即证当 时，有 成立，
下面证明 时， ，
设 ，
则
，
设 ，
所以 ，而 ，
所以 ，所以 ，
所以 在 单调递增，
即 ，所以 ，
令 ，
，
所以 在 单调递减，
即 ，所以 ；
综上, ，所以 .
