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特训07 期中解答压轴题（第1-5章，期中试题精选）
一、解答题
1．（2023春·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形 为正方形，连接 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若正方形 的边长为4， 是 边上的一个动点．
①请判断线段 与 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接 ，若 ，求线段 长；
③求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①结论： ，理由见解析；② ；③
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得结论．
（2）①延长 ， 交于点H，由“ ”可证 ，可得 ，由四边形内角和
定理可求 ，可得结论．
②过点G作 ，交 延长线于点H，由“ ”可证 ，可得 ，
，由勾股定理可求解．
③说明点G的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，作点D关于直线 的对称点
T，连接 ， ．在 中，可得 ．根据 求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形 为正方形，
， ．
在 和 中，
1；
（2）解：①结论： ．
理由：如图，延长 交于点 ，
∵四边形 为正方形，
， ，
．
即 ．
在 和 中，
，
， ；
，
．
，
，
；
②如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，
2，
．
，
．
又 ， ，
，
，
，
；
③如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ．
由②可知， ，
∴点 的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，
∵在 中， ， ， ，
．
，
．
3，
，
的最小值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
2．（2023春·四川达州·九年级校考期中）如图1，点 是矩形 边 上一点（不与点 ， 重合），
直线 与 的延长线交于点 ．将 沿直线 折叠得到 ，点 在矩形 的内部，延长
交直线 于点 ．
(1)证明： ；
(2)如图2，连接 ，若 ， ，求 周长的最小值；
(3)如图3，连接 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，请判断 与 的数量关
系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）由四边形 是矩形，可得 ，则 ，由折叠得 ，则
，进而可得 ；
（2）由折叠得 ， ，则 的周长为 ，如图1，
连接 ， ，由 ，可知当点 恰好位于对角线 上时， 最小，在
中，由勾股定理得 ，则 的最小值为 ，进而可求 周长的最
小值；
4（3）如图2，由折叠可知 ， ， ，过点 作 ，交 于点 ，则
， ， ，点 是 的中点，由 ，
即 ，可得 ，由 ，可得 ，则 ， ．
由点 为 中点，点 是 中点，可得 ， ，根据
，即 ，可得 ．
【解析】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由折叠得 ， ，
∴ 的周长为 ，
如图1，连接 ， ，
∵ ，
∴当点 恰好位于对角线 上时， 最小，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 周长的最小值为 ；
（3）解： 与 的数量关系是 ，理由如下：
如图2，由折叠可知 ， ， ，过点 作 ，交 于点 ．
5∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是 的中点，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵点 为 中点，点 是 中点，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定
理，外角的性质等．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系 中，已知直线 与
直线 相交于点 ，分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段 延长线上的一个点，
的面积为15．
6(1)求直线 解析式和点P的坐标；
(2)如图2，当点P为线段 上的一个动点时，将 绕点B逆时针旋转90度得到 ，连接 与 ．点
Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式．
(3)在（1）的条件下，直线 上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N
为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线CD的表达式为： ，点
(2)
(3)点N的坐标为 或 或 或
【分析】(1)把 代入 确定其坐标，再代入 确定直线的解析式；根据
，即可求解．
（2）分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，设点 ，则点 ，
，即可求解；
（3）分 为边、 为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可．
【解析】（1）把 代入 ，得 ，
故 ，点 ，点 ；
7把 代入 ，得 ，解得 ，
故直线CD的表达式为： ，
∴点 ，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
故点 ．
（2）如下图，分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，
∵直线CD的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
∵ 绕点B逆时针旋转90度得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
8∵点 ，点 ，
∴ ， ，
故点 ，
令 ，
∴ ．
（3）∵直线 ，直线 上有任意一点F，
∴设点F的坐标为 ，
∵点 ，点 ，
∴ ，
∵点 ，点 ，
∴ ，
当点F与点M重合时， 为菱形的一边时，
9点M沿着 平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，
得到点M平移后的点都是符合题意的，
∵点 ，
∴ ；
当点F在 的左侧， 为菱形的一边时，
点F沿着 平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∵点F的坐标为 ， ，
∴ ，
解得 ，
故点 或 ，
点F沿着 平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，
得到点N平移后的点都是符合题意的，
∴ 或 ，
当 是菱形的对角线时，
设 与 的交点为G，则
10∵ 轴，
∴
∴ ， ，
解得 ，
∴ ，
综上，点N的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解析式的解答，三角形全等、面积的
计算等，菱形的判定和性质，平移思想，分类思想，熟练掌握待定系数法，菱形的判定和性质，平移是解
题的关键．
4．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）将矩形 绕着点 按顺时针方向旋转得到矩形 ，其
中点 与点 ，点 与点 分别是对应点，连接 ．
(1)如图，若点 ， ， 第一次在同一直线上， 与 交于点 ，连接 ．
①求证： 平分 ．
②取 的中点 ，连接 ，求证： ．
③若 ， ，求 的长．
(2)若点 ， ， 第二次在同一直线上， ， ，直接写出点 到 的距离．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③
(2)
【分析】（1）①根据旋转的性质得到 ，求得 ，根据平行线的性质得到
11，于是得到结论；
②如图1，过点 作 的垂线 ，根据角平分线的性质得到 ，求得 ，根据全等三角形
的性质得到 ，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
③如图2，过点 作 的垂线 ，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得到结论．
（2）如图3，连接 ， ，过 作 交 的延长线于 ， 交 的延长线于 ，根
据旋转的性质得到 ， ，解直角三角形得到 ， ，根据三角形的面积
公式即可得到结论．
【解析】（1）解：①证明： 矩形 绕着点 按顺时针方向旋转得到矩形 ，
，
，
又 ，
，
，
平分 ；
②证明：如图1，过点 作 的垂线 ，垂足为Q，
平分 ， ， ，
，
，
， ， ，
，
，
即点 是 中点，
12又 点 是 中点，
；
③解：如图2，过点 作 的垂线 ，过点 作 的垂线 ，
∴
又 ， ，
，
，
，
，
， ，则
；
（2）解：如图3，连接 ， ，过 作 交 的延长线于 ， 交 的延长线于 ，
则 ，
∴四边形 是矩形，则 ，
将矩形 绕着点 按顺时针方向旋转得到矩形 ，
13， ，
点 ， ， 第二次在同一直线上，
， ,
，
，
，又 ，
， ，
，又 ，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定
理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是正确地作出辅助线．
5．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图1所示，在正方形 中， 是 上
一点（点G不与点C、点D重合），延长 到 ，使 ．
(1)求证： ．
(2)将 绕点D顺时针旋转 得到 ，判断四边形 是什么特殊四边形，并说明理由．
(3)如图2所示，过点G作 交 于点 ，交 于点N，连接 ，设 的长为x，正方形
的边长为a（ ）， 的面积为S，试探究S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)平行四边形，理由见解析
(3)
14【分析】（1）由正方形 ，得 ， ，又 ，所以
．
（2）由（1）得 ，又由旋转的性质知 ，所以 ，从而证得四边形 为平
行四边形．
（3）延长 交 于点 ，结合已知条件可以判定四边形 为平行四边形，结合平行四边形的性质
和已知条件推知 ，则 ，所以根据三角形的面积公式进行解答即可．
【解析】（1）解：证明： 四边形 是正方形，
， ．
，
．
在 和 中，
，
；
（2）四边形 是平行四边形．理由如下：
绕 顺时针旋转 得到 ，
．
，
．
四边形 是正方形，
， ．
．
即 ．
四边形 是平行四边形．
（3）如图，延长 交 于点 ，
四边形 是正方形，点 在 的延长线上，
，则 ，
又 ，
四边形 为平行四边形， ．
又由（1）知， ，则 ， ，
15．
， ，
，
，即 ，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形
的判定等知识，解答（3）时，注意辅助线的作法，利用平行线的性质证得 是 的高线是解题的难
点．
6．（2023春·山西晋城·九年级统考期中）综合与实践
问题情境：四边形 是菱形， ，点P是菱形边上或内部一点，连接 ，
，点E在线段 上，点F在线段 上，且 ，连接 ， ，
．
(1)特例感知：如图1，当点P与点C重合时， 的形状是______， ______．
(2)深入探究：如图2，当点P在菱形内部时，连接 ，判断（1）中的两个结论是否仍然成立，并说
明理由．
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ，直接写出四边形 的面积．
【答案】(1)等边三角形，28
(2)（1）中的两个结论依然成立．理由见解析
16(3)
【分析】（1）由菱形的性质及等边三角形的判定即可判定 是等边三角形，易得 ，由勾股定
理即可求得 的值；
（2）连接 交 于点G．证明 ，则易得 是等边三角形，再由已知可得 ，
由勾股定理即可求得 的值不变；
（3）由（2）中 结合已知得 ，则可得 是等边三角形，进而由
的值及 ，可求得 ，从而得到 ；再易得 ，则由
即可求得结果．
【解析】（1）解：∵四边形 是菱形，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：等边三角形，28；
（2）解：（1）中的两个结论依然成立．理由如下：
如图，连接 交 于点G．
∵四边形 是菱形，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ， ．
17∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得： ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
由（2）知， ，即 ，
18解得： ，
∴ ；
设 交于点H，
∵ ， ，
∴
即 ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含 角直角三角形的性质等知
识，有一定的综合性，灵活运用它们是解题的关键．
7．（2021秋·浙江温州·九年级温州市第四中学校考期中）已知：如图1，在长方形 中， ，
， ，点P是 边上的动点，将 翻折得 ，延长 交 于点F，连结 ．
（1）求证： ．
（2）如图2，当 时，点F与点C刚好重合．求此时 的长．
（3）如图3，连结 ，在点P运动过程中，当 和 面积相等时，则 ．（直接写出答
案）
19【答案】（1）见解析；（2） ；（3）2或8
【分析】（1）结合翻折的性质以及矩形的基本性质推出∠FBP=∠FPB即可得出结论；
（2）先在Rt BCE中，运用勾股定理求出CE，然后设AP=PE=x，并分别表示出PC和PD，在Rt PDC中
利用勾股定理△建立方程求解即可； △
（3）分别考虑点P的不同位置，结合全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质求解即可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠FBP，
由翻折的性质可知，∠APB=∠FPB，
∴∠FBP=∠FPB，
∴FP=FB；
（2）当 时， BEC恰为直角三角形，
根据翻折的性质得：AB=△BE=4，AP=PE，
在Rt BEC中，BE=4，BC=10，
△
∴ ，
设AP=PE=x，则 ， ，
在Rt PDC中， ，
△
即： ，
解得： ，
∴此时AP长为 ；
（3）①当点P在靠近A点时，
如图所示，作CQ⊥PF延长线于Q点，则∠Q=∠BEF=90°，
20∵ ， ，
∴当 和 面积相等时，有BE=CQ，
在 BEF和 CQF中，
△ △
∴ BEF≌ CQF(AAS)，
∴△BF=CF，△EF=QF，
∴此时，F点为BC的中点，BF= BC=5，
∵BE=AB=4，
∴在Rt BEF中， ，
△
由（1）可知，BF=PF，
∴PF=5，
∴PE=PF-EF=2，
∴AP=2；
②当点P在靠近D点时，
如图所示，作CQ⊥PE于Q点，
此时，当 和 面积相等时，仍有BE=CQ，
则由①可知，此时 BEF≌ CQF仍然成立，BF=CF，
△ △
∴点F为BC的中点，CF= BC=5，
∵翻折性质可得：AB=BE=CD，
∴CQ=CD=4，
21∴由勾股定理得：FQ=3，
在Rt CPQ和Rt CPD中，
△ △
∴Rt CPQ≌Rt CPD(HL)，
∴PQ△=PD，∠△DPC=∠FPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠FCP，
∴∠FCP=∠FPC，
∴FP=FC=5，
∴PQ=FP-FQ=5-3=2，
∴PD=2，
∴AP=AD-PD=10-2=8；
综上分析，当 和 面积相等时，AP=2或8，
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查矩形的翻折，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理等，
理解矩形的基本性质，掌握翻折变化的性质以及勾股定理的计算是解题关键．
8．（2022秋·北京西城·九年级北京八中校考期中）已知，正方形 ，等腰 ，其中
．连接 ，点G为 的中点，连接 ．
22(1)如图1，若 ，当E，F，D三点共线时， ，则 ______________；
(2)如图2，若点E在 的延长线上，
①补全图形；
②判断 与 的数量和位置关系，并证明；
(3)将图2中的 绕点B逆时针旋转至图3所示位置，在（2）中所得的结论是否仍然成立？若成立，
请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析② ， ；证明见解析
(3)成立；证明见解析
【分析】（1）根据勾股定理可得 的长度，然后证明 是等腰直角三角形即可得出结果；
（2）①根据题意画图即可；②延长 ，相交于点 ；证明 是等腰直角三角形，即可得出
结论；
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ；作 交 于点 ；通过证明
，得出 是等腰直角三角形，即可得出结论；
【解析】（1）解：如图，连接 ；
在正方形 中，
23在 中，
∵
∴
∵点G为 的中点
∴
∴
在 中，
∴
∴
（2）解：①图形如下：
② 且
证明：如图，延长 ，相交于点 ；
∵
∴
24∴
∵点G为 的中点
∴
在 和 中
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
（3）解：成立；理由如下：
如图，延长 至点 ，使 ，连接 ；作 交 于点 ；
∵点G为 的中点
∴
在 和 中
25∴
∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
即：
在四边形 中，
∴
∵
∴
∴
在 和 中
∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
【点睛】本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质；根据中点构造全等三角形是解题的关键．
9．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）阅读材料，解答问题：
【材料1】
26为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫
做换元法．
【材料2】
已知实数 ， 满足 ， ，且 ，显然 ， 是方程 的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数 ， 满足： ， 且 ，求 的值．
【答案】(1) ， ， ，
(2) 或 或
【分析】（1）利用换元法解方程，设 ，则原方程可化为 ，解关于 的方程得到 ，
，则 或 ，然后分别解两个元二次方程即可；
（2）根据已知条件，当 时， ，解关于 的一元二次方程 得 ，则
；
当 时，把 、 看作方程 的两不相等的实数根，则根据根与系数的关系得到
， ，再变形得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
27【解析】（1）解： ，
设 ，则原方程可化为 ，
解得： ， ，
当 时， ，解得： ， ，
当 时， ，解得： ， ，
∴原方程的解为 ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：∵实数 ， 满足： ， 且 ，
当 时， ，解关于 的一元二次方程 ，
得： ，
∴ ；
当 时，则 、 是方程 的两不相等的实数根，
∴ ， ，
∴ ；
∴ 的值为 或 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，
则 ， ；也考查了换元法，解一元二次方程，求代数式的值，运用了恒等变换的思想．
掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10．（2022秋·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：
28解方程： ．
解： ，
方程即为： ，
设 ，原方程转化为：
解得， ， ，
当 时，即 ， ， ；
当 时，即 ，不成立．
综上所述，原方程的解是 ， ．
以上解方程的过程中，将其中 作为一个整体设成一个新未知数 ，从而将原方程化为关于 的一元二次方
程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程： ，若设 ，则利用“换元法”可将原方程化为关于 的方程是
______；
(2)仿照上述方法，解方程： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由 ，得 ，再变形原方程便可；
（2）设 ，则 ，得 ，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
29【解析】（1）设 ，
则 ，
可化为： ，
即 ，
故答案为： ；
（2）设 ，则 ，
原方程可化为： ，
整理得 ，
，
或 ，
或 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， 无解 ，
检验，当 时，左边 右边，
是原方程的解，
故原方程的解为： ．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
11．（2021秋·四川内江·九年级校考期中）阅读下列材料：
材料1：若关于 的一元二次方程 （ ）的两个根分别为 ， ，则 ，
30.
材料2：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值.
解：根据题意可知，实数 ， 是方程 的两个不相等的实数根
根据材料1，得 ，
∴ ， .
∴
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则 ___________， ___________；
(2)已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值；
(3)已知实数 ， 分别满足 ， ，且 ，求 的值.
【答案】(1) ； ；
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出 、 可看作方程 ，据此知 ， ，将其代入计算可得；
（2）把 变形为 ，据此可得实数 和 可看作方程 的两根，
继而知 ， ，进一步代入计算可得．
【解析】（1） ， ；
故答案为 ； ；
31（2） ， ，且 ，
、 可看作方程 ，
， ，
；
（3）把 变形为 ，
∴实数 和 可看作方程 的两根，，
∴ ， ，
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的关键是根据
题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
12．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）在等边 中， ， ，垂足为D，点E为
边上一点，点F为直线 上一点，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)如图1，当点E与点A重合，且 的延长线过点C时，求证：点F为 的中点；
32(2)如图2，当点E与点A重合，且 时，连接 、 ，M、N分别为 、 的中点，连接
、 和 ，求线段 的长；
(3)如图3，点E不与点A，B重合， 延长线交 边于点H，连接 ，设 ，则
________．（用含a的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得 为等边三角形，由 ， 为等边三角形，得 ，
，进而得到 ，即可得出结论；
（2）由 ， 为等边三角形，得 ， ，根据题意得 为等边三角形，
，则 ，进而得到 ，过点N作 交 与点K，又题意得到
，由相似三角形性质得到 ， ，进而得到 ，在 中，利用
勾股定理即可求出 ，由等边三角形 与等边三角形 ，得到 ，
， ， ，证明 ，得到 ， ，根
据M、N分别为 、 的中点，得到 ，得出 ，得到 ，
，即 为等边三角形，即可得出线段 的长；
（3）根据题意得 为等边三角形，得到 ，由 ， 为等边三角形，
，得到A、E、F、H四点共圆，根据同弧所对圆周角相等得到 ，
从而得到 ， ，根据勾股定理求得 ，即可求出 ．
33【解析】（1）证明： 线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，
， ，
为等边三角形，
为等边三角形， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
点F为 的中点；
（2）解： ， 为等边三角形， ，
，
，
线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，
， ，
为等边三角形，
，则 ，
，
过点N作 交 与点K，
， ，
，
34，
，
点 N为 的中点，
，
，
， ，
，
在 中，
，
与 都是等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
M、N分别为 、 的中点，
，
在 和 中，
，
35，
， ，
为等边三角形，
；
（3）解： 线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，
为等边三角形，
，
，
， 为等边三角形，
， ，
，
A、E、F、H四点共圆，如图所示，
，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、勾股定理解直角三角形、三角形全等的判定及
36性质、相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．
13．（2020秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图， 是矩形 的边 上的一点，
是其对角线，连接 ，过点 作 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作
于点 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 是 的中点， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先利用等角的余角相等证明 ，进一步即可证得结论；
（2）先利用等角的余角相等证明 ，进而可证明 ，再利用相似三角形的性质
即可证得结论；
（3）由（1）利用相似三角形的性质可求出 的长，进而利用勾股定理可求出 的长，延长 交
的延长线于点 ，易证 ，于是 ， ，由 可得 ，然
后利用相似三角形的性质可求出 的长，进一步即可求出结果
【解析】（1）解：证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
37；
（2）证明： ，
，
又 ，
，
，
，
，
即 ；
（3） ， ，
，
是 的中点，
，
由（ ）知 ，则 ，即 ，
解得： ，
在 中， ，
延长 交 的延长线于点 ，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
38【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知
识，利用中点构造全等三角形、灵活应用相似三角形的判定和性质解题的关键．
14．（2021秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，在正方形 中，连接 ，点 是边 上一点（不
与 、 重合），将 绕点 顺时针旋转90°得到 ，连接 ，分别交 、 于点 、 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)如图2，当点 是边 的中点时，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）证明 ，可得 ，即可解决问题．
39（3）如图2中，设正方形的边长为 ．用含 的式子表示 ， ， ，证明 ，列出
比例式，即可解决问题．
【解析】（1）证明： 四边形 是正方形，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，
．
（2）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
（3）解：设正方形的边长为 ．
∵ 绕点A顺时针旋转90°得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， 共线，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
40∴ ．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，
平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
15．（2023春·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）【问题情境】如图1，在 中，
，点D，E分别是边 的中点，连接 ．如图2，将 绕点C按
顺时针方向旋转，记旋转角为 ．
【观察发现】如图2，当 时， _________．
【方法迁移】如图3，矩形 中， 点E，F分别是 的中点．四边形 为矩
形，连接 ．如图4，将矩形 绕点A逆时针旋转．旋转角为α ，连接 ．请探究矩
形 旋转过程中， 与 的数量关系；
【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形 改为“平行四边形 ”且 ，矩形 改为
“平行四边形 ”，其他条件不变，如图6，在平行四边形 旋转过程中，直接写出
_________．
【答案】观察发现： ；方法迁移： ；拓展延伸：
【分析】观察发现：由勾股定理求出 根据三角形中位线定理求出 再证
41明 可得结论；
方法迁移：由勾股定理求出 再证明 可得结论；
拓展延伸：先求出 再证明 可得结论．
【解析】观察发现：如图1，∵ 分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ,
由勾股定理得,
∴ ,
如图2，由旋转得
∴ 即
又∵
∴ ,
∴
故答案为
方法迁移：
理由如下：
连接 ，如图，
∵ ，点E，F分别是 的中点，
42∴ ，
在矩形 中 ，
在 中，由勾股定理得 ，
同理可求得
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
拓展延伸：连接 过点A作 于点H，如图5，
∵ ，点E，F分别是 的中点，四边形 分别是平行四边形，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
43同理可得， ；
如图6，连接
由旋转得，
∴
又∵
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的属性持，平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，
能够识别图形，正确作出辅助线是解答本题的关键．
16．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）综合与实践
如图1，在直角三角形纸片 中， ， ， ．
【数学活动】
将三角形纸片 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片 使点 与点 重合，然后展开铺平，得
到折痕 ；第二步：将 沿折痕 展开，然后将 绕点 逆时针方向旋转得到 ，点 ，
的对应点分别是点 ， ，直线 与边 所在直线交于点 （点 不与点 重合），与边 所在
直线交于点 ．
44【数学思考】
(1)折痕 的长为______；
(2) 绕点 旋转至图1的位置时，试判断 与 的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
(3) 绕点 旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题：
①如图2，当直线 经过点 时， 的长为______；
②如图3，当直线 时， 的长为______；
【问题延伸】
(4)在 绕点 旋转的过程中，连接 ，则 的取值范围是______．
【答案】(1)3
(2) ，证明见解析
(3)① ；②3
(4)
【分析】（1）由折叠可知 ， ，再证 是 的中位线，即可得出结论；
（2）连接 ，由旋转知， ， ，再证 ，即可得
出结论；
（3）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得 ，则 ，设 ，然后在
中，由勾股定理求出 的值，即可解决问题；
②过 作 于 ，交 于 ．则四边形 是矩形，得 ，再由三角形面积求出
，然后证 ，得 ，即可得出结论；
（4）连接 ，则 ，当 、 、 三点共线，且点F在线段 上时，
45，此时 最小，由直角三角形的性质得 ，即可求得 最小值为2；当 、
、 三点共线，且点F在 延长线上时， ，此时 最大，即可求得 最大值为8；即
可解决问题．
【解析】（1）解：由折叠的性质得： ， ，
，
，
，
是 的中位线，
（2）解： ，证明如下：
如图1，连接 ，
由旋转的性质得： ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
；
（3）解：①由旋转的性质得： ， ，
，
，
，
46，
，
设 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
；
②如图3，过 作 于 ，交 于 ．
则四边形 是矩形，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
47即 ，
解得： ；
（4）解：如图4，连接 ，
则 ，
当 、 、 三点共线，且点F在线段 上时， ，
此时 的值最小， 最小，
， ，
，
，
的最小值 ，
当 、 、 三点共线，且点F在 延长线上时， ，
此时， 最大，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的
判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本
题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考
常考题型．
17．（2023春·四川南充·九年级统考期中）在矩形 中，点 在 上， ， ， ．
48(1)如图1，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，证明： 是等腰三角形；
(2)如图2，点 在矩形 的边 上（点 不与点 、 重合），连接 ，过点 作 ，交
于点 ，连接 ．求证： ；
(3)如图3，若 交 于点 ， ，其他条件不变，且 的面积是6，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先利用矩形性质得 ，再利用同角的余角相等得 ，根据已知边
的长度计算出 ，则由 证得 ，据此即可求解；
（2）利用两角对应相等证明 ；
（3）作辅助线，构建如图②一样的相似三角形，利用探究得 ，则 ，所以 ，
再利用 的面积是6，列式可得 ，两式结合可求得 的长，利用勾股定理求 ，从而
得出 的长．
【解析】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
49∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图③，过F作 于G，则四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
50∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关
键是熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定和性质，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
18．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）已知：线段 和矩形 如图①摆放（点E与点B重合），
点F在边 上 ， ， ．如图②． 从图①的位置出发，沿 方向运动，速
度为 ；动点P同时从点D出发，沿 方向运动，速度为 ．点M为 的中点，连接 ，
， ， 与 相交于点Q，设运动时间为t ．解答下列问题：
(1)当 时，求t的值；
(2)设五边形 的面积为 ，求S与t的关系式；
(3)当 时，求线段 的长；
(4)当t为何值时，五边形 的周长最小，最小是多少？直接写出答案即可．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)五边形 的周长的最小值为
【分析】（1）通过等量代换得出 ，证明 ，利用相似三角形对应边成比例得
51，代入数值即可求解；
（2） ，用含t的代数式表示出相关线段的长度，代入即可求解；
（3）先证 ，推出 ，再证 ，推出 ，再根据直角
三角形斜边中线的性质可得 ，因此利用勾股定理求出 的长度即可；
（4）作M点关于 的对称点 ，过点 作 ，过点F作 ，相交于点H，则
，可得当D、F、H三点共线时， 的值最小，最小值为
的长度，由此可解．
【解析】（1）解：∵矩形 中， ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵M是 的中点，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
52∴ ，
∵M是 的中点，
∴ ，
∴
；
（3）解：如图，连接 交 于点G，
∵ ，M是 的中点，
∴E是 的中点，
∵ ，
∴P点是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴Q点是 的中点，
∵ ，
53∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：∵ ， ，
∴ ， ，
如图，作M点关于 的对称点 ，过点 作 ，过点F作 ，相交于点H，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
当D、F、H三点共线时， 的值最小，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴五边形 的周长的最小值为 ．
【点睛】本题考查矩形上的动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与
性质，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的性质，利用轴对称求线段的最值，勾股定理等知识点，
综合运用上述知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
19．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）【基础巩固】
54(1)如图1，在 中， 为 上一点， ．求证： ．
(2)【尝试应用】如图2，在平行四边形 中， 为 上一点， 为 延长线上一点， ，
若 ， ，求 的长．
(3)【拓展提高】如图3，在菱形 中， 是 上一点， 是 内一点， ， ，
，则线段 与线段 之间的数量关系为 ，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 的长为9
(3)段 与线段 之间的数量关系为 ，理由见解析
【分析】（1）直接利用两个角对应相等证明 即可得到结论；
（2）首先说明 ，得 ，求出 的长，再利用平行四边形的性质可得 的长；
（3）延长 交于 ，利用两组对边分别平行可得四边形 是平行四边形，得
，在利用 ，得 ，代入化简即可．
【解析】（1）证明： ，
，
，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
55，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图所示，延长 交于 ，
四边形 是菱形，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
56【点睛】本题考查了相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定
与性质，熟练掌握共边共角三角形相似是解题的关键．
20．（2022秋·浙江金华·九年级校联考期中）如图1，在矩形 中， ，点 ， 分别是
， 边上的动点， ，将 沿直线 对折，点 对应点为点 ，连结 ．
(1)如图2，当点 落在对角线 上时，求 的长；
(2)如图3，当 ，求 的长；
(3)若直线 交 于点 ，在点 的运动过程中，是否存在某一位置，使得以 ， ， 为顶点的三角
形与 相似？若存在，请求出 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)存在， 或 或 ．
【分析】（1）连结 ，由矩形的性质和勾股定理得 ，再证 ，得 ，即可
得出结论；
（2）当 时，此时点 ， ， 三点共线，证 ，得 ，设 ，
则 ， ， ，再由勾股定理得 ，然后证 ，得
，解得 ，即可解决问题；
（3）分三种情况，①当点 与点 重合时，点 与点 重合， 与 全等，符合条件．则
．②当 时，③当 时，由折叠的性质和相似三角形的性质分别求解即可．
【解析】（1）解：连结 ，如图2，
57四边形 是矩形，
， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
（2）解：当 时，
此时点 ， ， 三点共线，
由折叠的性质得： ，
，
，
，
设 ，则 ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
58， ，
，
，
即 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
（3）解：①当点 与点 重合时，点 与点 重合，如图4，
此时， 与 全等，符合条件．
．
②当 时，如图5，
则 ，
，
设 ，则 ，
59， ， ， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
， ，
，
，
即 ，
解得： ，
；
③当 时，如图6，
，
，
由折叠的性质得： ， ，
设 ，则 ，
， ， ， ，
，
同②得： ，
，
解得： ，
60；
综上所述，在点 的运动过程中，存在某一位置，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
的长为8或 或 ．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理
以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考
问题．
21．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，已知四边形 和四边形 都是正方形， 是对
角线．
(1)如图1，已知点 在正方形 的对角线 上， 于点 ， 于点 ．
①求证：四边形 是正方形；
②直接写出 的值为 ___________；
(2)如图2，将正方形 绕点 逆时针方向旋转 角 ，写出线段 与 之间的数量关系，
并证明你的结论；
(3)如图3，正方形 在旋转过程中，当 ， ， 三点在一条直线上时，延长 交 于点 ．若
， ，直接写出正方形 和正方形 的边长．
【答案】(1)①见解析，②
(2) ，理由见解析
(3)正方形 的边长为3，正方形 的边长为
61【分析】（1）①先证明四边形 是矩形，再证明 ，即可证明四边形 是正方形；②先根
据正方形的性质得到 ，并证明 ，再由平行线分线段成比例定理即可得到 ；
（2）连接 ，根据旋转的性质得到 ，证明 ，得到 ，由此
即可得到结论；
（3）由 ，推出 ，由此可证 ，得到 ，设
，则 ，可求出 ，则 ， ，再由 ，求出 ，
即 ，则 ， ，由此即可得到答案．
【解析】（1）解：①证明： 四边形 是正方形，
， ，
、 ，
，
四边形 是矩形， ，
，
四边形 是正方形；·
②解：由①知四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
连接 ，
62由旋转性质知 ，
在 和 中， ， ，
，
，
，
线段 与 之间的数量关系为 ；
（3）解： ，点 、 、 三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
则由 ，得 ，
，
∴ ，
63∴ ，
，
，
解得： ，即 ， ，
，
四边形 是正方形，
，
综上，正方形 的边长为3，正方形 的边长为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比
例定理，正确理解题意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
64
