文档内容
第 05 讲 难点探究专题：利用勾股定理解决折叠问题
(6 类热点题型讲练)
目录
【模型一 长方形中折痕过对角线模型】................................................................................................................1
【模型二 长方形中折痕过一顶点模型】................................................................................................................5
【模型三 长方形中折痕过任意两点模型】..........................................................................................................16
【模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】...................................................21
【模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】..................................................................................25
【模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】...................................................29
【模型一 长方形中折痕过对角线模型】
【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线 折叠，若
，求 的长．
【变式训练】1．如图，在长方形ABCD中， ，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，
，则 （ ）
A． B．3 C． D．6
2．如图，长方形ABCD中， ， ，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，
那么图中阴影部分的面积是______．
3．如图，在长方形纸片ABCD中，AB 8cm，AD6cm. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B落在点
E处，AE交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）
25 15 13
A． cm B． cm C． D． cm
4 2 7cm 2
4．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形 中， ，
， ．点 为 上的一个动点，把 沿直线 翻折得 ．
(1)当 点落在 边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长．【模型二 长方形中折痕过一顶点模型】
【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEF是等腰三角形。
例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片 中，已知 ，折叠纸片使 边与
对角线 重合，点B落在点F处，折痕为 ，且 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对角线 上，折痕为 ，且D点落在对角线上 处，若 ，则 的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形 沿 折叠，点D恰好落在 边的F点上，已知
， ，则 ．
3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．现折叠该
纸片使得 边与对角线 重合，折痕为 ，点 落在 处，求 ．
4．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形 中， ，点E为线段 的中点，
连接 ，点F在边 上，连接 ，将 沿 翻折得到 ，点G在线段 上，则 的长为
．
5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，长方形纸片 ， ，点P在 边上，
将 沿 折叠，点C落在E处， ， 分别交 于点O，F，且 ，则 长为 ．6．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，长方形 中， ， ， 为 上一点，
将 沿 翻折至 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
7．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形 中，
．
(1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时，
求 的长；
(2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求
的长．8．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张
长方形纸片 放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上， ，
，P为边 上一动点，连接 ，将 沿 折叠，点C落在点 处．
(1)如图1，连接 ，当点 在线段 上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿 将 折叠得 ， 与x轴交于点E，求 的面积．
(3)是否存在点P，使得点 到长方形的两条较长边的距离之比为 ？若存在，直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【模型三 长方形中折痕过任意两点模型】
【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片 中， ， ，将此长方形纸
片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 的位置，折痕为 ，则 的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使顶点C恰好落在 边的
中点 上．若 ， ，求 的长．
2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图长方形 中， ， ，将此长方
形折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，求 的面积．
3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形 中 ，边 ， ．将此长
方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处．
(1)证明 ；
(2)求 的面积．4．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，使其对角顶
点 与 重合， 与 重合．若长方形的长 为 ，宽 为 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长；
(3)求阴影部分 的面积．
【模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】
【模型解读】
（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块 的纸片， ， ，
，将 沿 折叠，使点 落在 上的 处，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ，，将斜边 翻折，使得点B恰好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的
长为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点P是
边 上任意一点，连接 ，将 沿 翻折，点B的对应点为 ，当 有一边与 垂直时，
的长为 ．
3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形 纸片， ， ， ．
(1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长；
(2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长．
【模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】
【模型解读】
（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将
如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图， 在直角坐标系中， C点在线段 上，
D点在线段 上，将 沿直线 折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ．
2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．将
按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为 ．求 的长．3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、 为一块直角三角形纸片， ．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而
通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若
，求 的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】
【模型解读】
（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例题：在 中， ，将 沿直线 折叠，使B落在 的三等分点
处，求 的长．【变式训练】
1．（2024·山东滨州·三模）如图，在 中， ， ， ．将 折叠，使点
落在 的中点 处，折痕为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
2．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在 中， ， ， ，将它的锐角
翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点D、E分别
在 、 上．现将 沿 翻折，使点C落在点 处．连接 ，则 长度的最小值．
（ ）
A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在
4．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知 为等腰直角三角形， ，点E为 上一点，
且 ，点D为边 上一点，连接 ，将 沿 折叠得到 ，若 的延长线恰好经过点
B，则 ．5．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在 中， ， ， ， 分别是斜
边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ．
(1)如图1，若点 和顶点 重合，求 的长；
(2)如图2，若点 落在直角边 的中点上，求 的长．
