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第 05 讲 难点探究专题：利用勾股定理解决折叠问题
(6 类热点题型讲练)
目录
【模型一 长方形中折痕过对角线模型】................................................................................................................1
【模型二 长方形中折痕过一顶点模型】................................................................................................................5
【模型三 长方形中折痕过任意两点模型】..........................................................................................................16
【模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】...................................................21
【模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】..................................................................................25
【模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】...................................................29
【模型一 长方形中折痕过对角线模型】
【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线 折叠，若
，求 的长．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明，则 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线 折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【变式训练】
1．如图，在长方形ABCD中， ，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，
，则 （ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF= -EF，在Rt 中，由勾股定理得： ，由
此即可求得EF值．
【详解】解：∵ ， ，∴AD= ， ，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED= ， ， ，
∵ ，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF= -EF，
∴在Rt 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得：EF= ，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．
2．如图，长方形ABCD中， ， ，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，
那么图中阴影部分的面积是______．【答案】
【分析】要求阴影部分的面积就要先求得它的底和高，这个三角形的高就是 ， ，由
此关系就可利用勾股定理求出AE及EF的长，从而求三角形的面积．
【详解】解： 四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，
由折叠的性质，可得 ， ， ， ， ，
设 ，则 ，
，即 ，解得 ， ．故答案为 ．
【点睛】此题考查翻折变换的性质，解题的关键是利用勾股定理求三角形的底和高，从而求三角形的面积．
3．如图，在长方形纸片ABCD中，AB 8cm，AD6cm. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B落在点
E处，AE交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）
25 15 13
A． cm B． cm C． D． cm
4 2 7cm 2
【答案】A
【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-
x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.
【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD
又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm25
在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， x2 (8x)2 62 x
4
cm 故选择A.
【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.
4．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形 中， ，
， ．点 为 上的一个动点，把 沿直线 翻折得 ．
(1)当 点落在 边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长．
【答案】(1)45
(2)
【分析】（1）由 知 ，结合 点落在 边上知 ，从而得
出答案；
（2）由折叠得出 ，再由 得出 ，从而得知 ，可得
，设 ，则 ，在 中，由 得到关于 的方程，解
之可得．
【详解】（1）解：由题意知 ，
，
点落在 边上时， ，
，
故答案为：45；
（2）如图2，由题意知 ，
四边形 是长方形，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由 得：
，解得 ，即 ．
【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的
性质，和勾股定理是解决问题的关键．
【模型二 长方形中折痕过一顶点模型】
【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEF是等腰三角形。
例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片 中，已知 ，折叠纸片使 边与
对角线 重合，点B落在点F处，折痕为 ，且 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，得到 ，进而得到 ，利用勾股定理进行求解
即可；（2）根据折叠的性质，得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵长方形纸片 中， ，折叠纸片使 边与对角线 重合，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵折叠，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对角线 上，折痕
为 ，且D点落在对角线上 处，若 ，则 的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先
利用勾股定理计算出 的长，再根据折叠可得 ，设 ，则
，再根据勾股定理可得方程 ，再解方程即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴根据勾股定理得 ，
根据折叠可得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中： ，即 ，
解得： ，故答案为：B．
2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形 沿 折叠，点D恰好落在 边的F点上，已知
， ，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出 ，设 ，则
，根据勾股定理得出 ，求出 ，即可得出答案．
【详解】解：根据折叠的性质， ，
长方形 中 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：10．
3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．现折叠该
纸片使得 边与对角线 重合，折痕为 ，点 落在 处，求 ．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
先利用勾股定理求出 ，然后根据折叠的性质得到 ， ， ，求出
，然后在 中，利用勾股定理构建方程，即可求出 ．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
由折叠得： ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
4．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形 中， ，点E为线段 的中点，
连接 ，点F在边 上，连接 ，将 沿 翻折得到 ，点G在线段 上，则 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得 ， ，得出 ，因为
，所以 ，连接 ，设 ，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
连接 ，设 ，
可得方程： ，
代入数值可得： ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，长方形纸片 ， ，点P在 边上，
将 沿 折叠，点C落在E处， ， 分别交 于点O，F，且 ，则 长为 ．【答案】 /
【分析】折叠，得到 ，证明 ，得到 ，进
而得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解，进而求出 的长．
【详解】解：∵长方形纸片 ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
设 ，则： ， ，
∴ ，
在 ， ，即： ，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为
x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股
定理列出方程求出答案．
6．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，长方形 中， ， ， 为 上一点，
将 沿 翻折至 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，且 ．(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．
（1）根据折叠的性质可得 ， ， ，结合 ，可证明
，得到 ， ；
（2）推出 ，设 ，则 ， ，推出 ，在 中，
根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明： 四边形 是长方形，
， ， ，
将 沿 翻折至 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，
，
在 和 中，
，
，
， ；
（2）解：∵ ，
，
即 ，
，
设 ，则 ， ，
， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，．
7．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形 中，
．
(1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时，
求 的长；
(2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求
的长．
【答案】(1)5
(2) 或
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）设 ，则 ，根据图形折叠的性质可知 ， ，根据勾股定理即可
求得答案；
（2）分两种情况计算：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时．
【详解】（1）解：设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ．
在 中， ．
则 ．
在 中， ，
即 ．
解得 ．
即 ；
（2）解：①如图所示，当点 在线段 上时．设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ， ．
在 中
．
则 ．
在 中
，即
解得 ．
即 ．
②如图所示，当点 在线段 的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中
．
∴ ．
综上所述， 或 ．
8．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张
长方形纸片 放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上， ，
，P为边 上一动点，连接 ，将 沿 折叠，点C落在点 处．(1)如图1，连接 ，当点 在线段 上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿 将 折叠得 ， 与x轴交于点E，求 的面积．
(3)是否存在点P，使得点 到长方形的两条较长边的距离之比为 ？若存在，直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)点P的坐标为
(2)
(3)点P的坐标为 或
【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论．
（1）首先根据勾股定理求出 ，然后根据折叠的性质得到 ，
， ，设 ，则 ，在 中，利用勾股定
理得到 ，求出 ，得到 ，进而可求出点P的坐标；
（2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到 ，设 ，则 ，在
中，根据勾股定理求出 ，得到 ，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）过点C作 交 于点E，交 于点F，根据题意得到 ，然后分两种情况讨论：
和 ，分别根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵ ， ，
∴
∵将 沿 折叠，点C落在点 处
∴ ， ，
∴
设 ，则
∴在 中，∴
解得
∴
∴
∴点P的坐标为 ；
（2）∵
∴
∵沿 将 折叠得 ，
∴
∴
∴
设 ，则
∴在 中，
∴
解得
∴
∴ 的面积 ；
（3）如图所示，过点C作 交 于点E，交 于点F，
∵ ，
∴
∴四边形 是长方形
∴
当 时，∴ ，
由折叠得，
∴
∴
∴设 ，则
∴在 中，
∴
解得
∴
∴
∴点P的坐标为 ；
当 时，
∴ ，
由折叠得，
∴
∴
∴设 ，则
∴在 中，
∴
解得
∴
∴
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 ．【模型三 长方形中折痕过任意两点模型】
【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。
例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片 中， ， ，将此长方形纸
片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 的位置，折痕为 ，则 的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知 ，设 利用勾股定
理进行分析计算即可．
【详解】解：由折叠可知 ，
设
由勾股定理可得 ，
即 ，
解得 ，
，
故选：B．
【变式训练】1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使顶点C恰好落在 边的
中点 上．若 ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到 ，设 ，则
，由线段中点的定义得到 ，再由勾股定理建立方程 ，
解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得 ，
设 ，则 ，
∵ 是 边的中点，
∴ ，
由长方形的性质可得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图长方形 中， ， ，将此长方
形折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，求 的面积．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，由四边形 是长方形和折叠知 ，再用平行线的性质和
勾股定理即可求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
四边形 是长方形
四边形 是矩形
设 ，
由折叠知 ，
，
在 中，
解得 ，
，
，
又 ，
，
，
∴ 的面积为
【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关
系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形 中 ，边 ， ．将此长
方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处．
(1)证明 ；
(2)求 的面积．【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得 ，通过 即可证明 ，可得结论；
（2）设 ，则 ，在 中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：证明： 四边形 是长方形，
， ，
将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，
， ， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
解得 ，
，
，
的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾
股定理列方程是解题的关键．
4．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，使其对角顶
点 与 重合， 与 重合．若长方形的长 为 ，宽 为 ．(1)求 的长；
(2)求 的长；
(3)求阴影部分 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)阴影部分 的面积为
【分析】（1）由折叠可知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，
求出 的长即可；
（2）过 点作 于 ，在 中，由勾股定理 的长，在 中，由勾股定理即可得
出答案；
（3）过 点作 于 ，根据三角形面积不变性， ，求出 的长，根据
三角形面积求出结果即可．
【详解】（1）解：由折叠可知 ．
设 ，则
在 中， ，
，
解得： ，
；
（2）过 点作 于 ，则 ，
在 中，
，由勾股定理： ，即
．
，
，
，（3）过 点作 于 ，
，
， ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了折的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等
几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．
【模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】
【模型解读】
（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块 的纸片， ， ，
，将 沿 折叠，使点 落在 上的 处，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得 的长. 由题意可得 ，
，由勾股定理即可求得 的长，则可得 的长，然后设 ，则
，由勾股定理 ，即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解： 点 是沿 折叠，点 的对应点，连接 ，
， ，
在 中， ， ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
．
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ，
，将斜边 翻折，使得点B恰好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的
长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出 ，设 ，根据折叠前后对应边
相等得出 ， ，再用勾股定理解 即可．
【详解】解： ， ， ，
，
设 ，则 ，
由折叠的性质可得 ， ，，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
，
故选B．
2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点P是
边 上任意一点，连接 ，将 沿 翻折，点B的对应点为 ，当 有一边与 垂直时，
的长为 ．
【答案】 或1或2
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当 时，当 时，当
时，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：当 时，如图，
在等腰直角三角形 中， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∵将 沿 翻折，
∴ ， ，
∴ ，即 ，解得 ；
∴
当 时，如图，
此时， ；
当 时，如图，
此时，点A，B， 在同一直线上， ；
综上，当 有一边与 垂直时， 的长为 或1或2．
故答案为： 或1或2．
3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形 纸片， ， ， ．
(1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长；
(2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．（1）由勾股定理可得 ，由折叠可知 ， ， ，设 ，
则 ， ，在 中，根据 ，列出方程即可求解；
（2）由折叠知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，列出
方程即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
．
由题意知 ， ， ．
．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
．
解得 ．
．
（2）由题意知 ，
设 ，则 ．
在 中， ，
．
解得 ．
．
【模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】
【模型解读】
（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将
如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ．则 的长是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设 ，再根据图形翻折变换的性质得出
，再根据勾股定理求出 的值．
【详解】解：设 ，则 ，
是 翻折而成，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图， 在直角坐标系中， C点在线段 上，
D点在线段 上，将 沿直线 折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的折叠问题，设 ，由折叠可知， ，在 中，根据
列出方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：设 ，则 ，
由折叠可知， ，
在 中， ，即： ，
解得： ，即 ，∴点 坐标是 ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．将
按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为 ．求 的长．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在 中由于 ， ， ，
所以根据勾股定理可求出 的长，由折叠可知， ，设 ，则 在
中，由 即可求出x的值，故可得出结论．
【详解】解：在 中由于 ， ， ，
由勾股定理得： ，
∵由折叠可知， ，
设 ，则 ．
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ ．
3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、 为一块直角三角形纸片， ．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而
通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若
，求 的长．【学以致用】
（2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1） ，（2） ， 理由见解析．
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．
（1）先求出 ，由由翻折的性质可得 ， ，再进一步得到 即可求解．
（2）过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，先证明 ，得到
，进一步即可得到 ．
【详解】（1）解：在 中，
，
由翻折的性质可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ， 理由如下：
过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，如图：
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】
【模型解读】
（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例题：在 中， ，将 沿直线 折叠，使B落在 的三等分点
处，求 的长．
【答案】 的长度为 或3
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出 的三边的长度，然后利
用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设 ，则 ，再根据翻折
的性质可得 ，然后分两种情况求出 ，再利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设 ，则 ，
沿直线 折叠B落在 处，
，
点 为 的三等分点， ，
或 ，
当 时，在 中，，即 ，
解得： ；
当 时，在 中，
，即 ，
解得： ，
综上所述， 的长度为 或3．
【变式训练】
1．（2024·山东滨州·三模）如图，在 中， ， ， ．将 折叠，使点
落在 的中点 处，折痕为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的
方程是解题的关键．
设 ，由翻折的性质可知 ，在 中利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设 ，
由翻折的性质可知 ，
∵D是 的中点，
，
在 中，由勾股定理得：
即 ，
解得： ，
∴ ，
故选：C．
2．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在 中， ， ， ，将它的锐角
翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出 ，由折叠的性质可得 ，
则 ，再勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解： 点 为 的中点，
，
由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
解得： ，
，
故选：D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点D、E分别
在 、 上．现将 沿 翻折，使点C落在点 处．连接 ，则 长度的最小值．
（ ）
A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．当 落在
上，点B与E重合时， 长度的值最小，根据勾股定理得到 ，由折叠的性质得到结论．
【详解】解：当 落在 上，点B与E重合时， 长度的值最小，∵ ， ， ，
∴ ，
由折叠的性质知， ，
∴ ．
故选：B．
4．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知 为等腰直角三角形， ，点E为 上一点，
且 ，点D为边 上一点，连接 ，将 沿 折叠得到 ，若 的延长线恰好经过点
B，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设 ，由折叠得，
， ，由勾股定理求出 在 中，由勾股定理，求出 的值即可．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
设 ，
由折叠得， ， ，
∴ ， ，在 中，由勾股定理得
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在 中， ， ， ， 分别是斜
边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ．
(1)如图1，若点 和顶点 重合，求 的长；
(2)如图2，若点 落在直角边 的中点上，求 的长．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得 ，设 ，则 ，再由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由题意得 ，由折叠的性质可得： ，设 ，则 ，再由勾
股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：若点 和顶点 重合，由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
，
解得： ，
；（2）解： 点 落在直角边 的中点上，
，
由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
解得： ，
∴ ．
