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第 05 讲 有理数的乘除运算（3 个知识点+5 种题型+过关
检测）
知识点1．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a• ＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是 ．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是
伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
1
学科网（北京）股份有限公司注意：0没有倒数．
知识点2．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积
为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
知识点3．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相
除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于 0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意
两个原则：①变除为乘，②从左到右．
题型一、多个有理数的乘法运算
1．（2024·河北·模拟预测）如果三个连续整数n、 、 的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐
数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ）
A． B． C．1 D．3
2．（2024七年级上·全国·专题练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！
（1）当 时，若 ，则 0；
2
学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，若 ，则c 0；
（3）已知a，b，c是非零有理数，则 ．
3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型二、有理数乘法的实际应用
4．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）100张我们现在考的这样的试卷纸的厚度最接近（ ）
A．8毫米 B．8厘米 C．8分米 D．8米
5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小龙家住在6楼，他从6楼乘坐电梯到地下1层的车库，假设每层的楼高
为3米，则电梯一共下降的高度为 米．
6．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某天上午，一出租车司机始终在一条南北走向的笔直马路上营运，（出发
点记作为点0，约定向南为正，向北为负），期间一共运载6名乘客，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：
， ， ， ， ， ．
(1)出租车在行驶过程中，离出发点O最远的距离是________千米；
3
学科网（北京）股份有限公司(2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点O多远？在O点的什么方向？
(3)出租车收费标准为：起步价（不超过3千米）为8元，超过3千米的部分每千米的价格为1.5元，求司机这天上午
的营业额．
题型三、有理数的除法运算
7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知： ，且a，b，c都不等于0，则a，b，c中最小的数是
（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
8．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）已知有理数a、b满足 ，则 ．
9．（24-25七年级上·全国·课后作业）数学老师布置了一道思考题：“计算： ”小明仔细思考了一番，
用了一种特别的方法解决了这个问题：
原式的倒数为 ，
所以 ．
请你运用小明的方法计算： ．
4
学科网（北京）股份有限公司题型四、有理数除法的应用
10．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）下面各年份中，不是闰年的是（ ）
A．1942 B．2000 C．2004 D．2020
11．（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）小英用 小时走了 千米，则小英行走的速度是每小时 千米．
12．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图①为种植行业常见的塑料大棚，塑料大棚有助于保持室内温度，为植
物提供良好的生存环境，可以将其简化为图②所示的立体图形，上方为半圆柱体．已知
(1)这样一个塑料大棚的种植面积为多少平方米？
(2)围起一个这样的大棚需要多大面积的塑料薄膜？
(3)这样一个大棚的空间为多少立方米？
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学科网（北京）股份有限公司题型五、有理数乘除混合运算
13．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若规定“！”是一种数学运算符号，
， 的值为（ ）
A． B． C． D．1
14．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）我们把 记作 ， 记作 ．
（1）
（2）
15．（24-25七年级上·全国·课后作业）【阅读材料】
当有理数 不等于 时，
把 个相同的有理数 的除法运算记作 ；
把 个相同的有理数 的除法运算记作 ；
把 个相同的有理数x的除法运算记作 ；
；
特别地，规定 ．
【解决问题】
(1)若 ，则 ______﹔
(2) _______；
6
学科网（北京）股份有限公司(3)计算： ．
一、单选题
1．计算 的结果是（ ）
A．6 B．36 C． D．1
2．2022的倒数是（ ）
A． B． C．2022 D．
3．下列说法正确的个数是（ ）
① 的相反数是 ；② 的绝对值是2022；③ 的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
4．计算 的结果是（ ）
A．9 B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A． 的相反数是 B． 的绝对值是
C． 的倒数是 D．数轴上表示 的点在表示 的点的右侧
6．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
7
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列语句说法正确的个数是（ ）
（1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正．
（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数．
（3）加上一个数等于减去这个数的相反数．
（4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数．
（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．用简便方法计算计算 时，最合适的变形是（ ）
A． B． C． D．
10．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式的符号为正的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11． 的倒数的绝对值是 ．
12．两个非零有理数的商是 ，则他们的和为 ．
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学科网（北京）股份有限公司13． 的倒数是 ；绝对值等于4的数是 ．
14．计算： ；
15． ；
16．计算： .
17．若 是有理数，定义新运算 ： ．例如： ．试计算
．
18．下列说法中：①若 ，则 ；②若 ， ，则 ；③式子 是七次三项式；④若
，m是有理数，则 ；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数时积为负．其中说法正确的是
．
三、解答题
19．已知 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)若 ，求 的值．
20．快过年了，小刚的妈妈计划买1张餐桌和6把椅子来替换家里的旧餐桌和椅子，妈妈从甲、乙两商场了解到：同
一型号的餐桌报价每张均为800元，椅子的报价每把均为80元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送两把椅子；乙商场
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学科网（北京）股份有限公司决定：餐桌、椅子均按报价的八五折销售，你认为小刚的妈妈应该到哪一家商场购买呢？
21．已知有理数－16，－10，c在数轴上对应的点分别是A，B，C三点，BC－AB＝4．
(1)请在数轴上画出点A，B，并求B，C两点间的距离；
(2)求AC中点表示的数
22．快递员王师傅配送快件，在东西向某段路进行配送快递，若规定向东为正，向西为负，王师傅从单位出发配送的
10户的里程如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， （单位：千米）
(1)请问王师傅最后所在的位置在单位的什么地方，距离单位多远？
(2)如果小电车每千米耗电量0.02度电，想问王师傅这一上午耗电量多少？
23．一个多位数是整数， 代表这个整数分出来的左边数， 代表这个整数分出来的右边数，其中 ， 两部分数的
个数相同，若 正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，
例如：357满足 ，357是平衡数；233241满足 ，233241是平衡数．
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学科网（北京）股份有限公司(1)判断：468____平衡数；314567____平衡数；（填“是”或“不是”
(2)证明任意一个三位平衡数一定能被3整除．
24．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶
纪录如下．(单位： )
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
(1)在第_______次纪录时距A地最远？
(2)求检修小组收工时在A地的何处？距A地有多远？
(3)若每千米耗油0.15升，每升汽油需8元，问这天检修小组工作一天回到出车地时需汽油费多少元？
25．“十一”长假期间，我市银杏公园7天中每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比9月 日多的人数，负数
表示比9月 日少的人数）：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化千人
(1)请判断7天内游客人数量最多和最少的各是哪一天？它们相差多少千人？
(2)如果9月 日旅游人数为2千人，平均每人公园内消费 元，请问银杏公园在此7天内总收入为多少万元？
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学科网（北京）股份有限公司26．2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别为“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，在亚运会期间，某电商平台开启了为期一
周的直播公益活动，活动如下：每销售一只亚运会吉祥物．
就从销售额里拿出一部分作为慈善基金捐赠给某希望中学用于购买学生体育用品．规定：当天吉祥物销售量超过300
只的部分记为“ ”，不足300只的部分记为“ ”，下表是公益活动一周的销售量：
时间
销售量超过或不足部分（单位：
只）
(1)求这一周公益活动期间的吉祥物总销售量；
(2)吉祥物的销售价格为每只80元，捐赠方案如下：每天销售量中不超过300只的部分，按每只销售价的 捐赠：每
天销售量中超过300只的部分，按每只销售价的 捐赠．求直播公益活动期间一共捐赠了多少钱．
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