文档内容
第 06 讲 有理数的乘方与混合运算 （10 个知识点+4 种
题型+过关检测）
知识点1．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可
以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是
0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
1
学科网（北京）股份有限公司知识点2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
知识点3．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有
括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行
约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两
个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
知识点4．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现
出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
知识点5．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法
叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数
2
学科网（北京）股份有限公司一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个
负号．
知识点6．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0
的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n
＜10
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的
0）
知识点7．科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记
数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表
示一个数是否正确的方法．
知识点8．科学记数法与有效数字
（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是
有效数字；
（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后
一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是
千位，即精确到千位．
知识点9．计算器—基础知识
（1）计算器的面板是由键盘和显示器组成．
3
学科网（北京）股份有限公司（2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键．
（3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第
二功能，需要切换成才能使用．
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键 ”和 的第二功能键“ ”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE．
（7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，
此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按
二次MRC．
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．
知识点10．计算器—有理数
计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下： （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错
可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字． （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一
功能相应的计算．
（3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值．
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键 ”和 的第二功能键“ ”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键 ，再输入数字后按“＝”即可．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．
题型一、有理数的乘方运算
1．（24-25七年级上·全国·单元测试）若 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．无法计算
4
学科网（北京）股份有限公司2．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）若a，b互为倒数，则 ．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ．
题型二、乘方的应用
4．（2024·河南周口·三模）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，
万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截
取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为 ．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个．
(1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个．
(2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子
里有 个细菌．
(3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？
5
学科网（北京）股份有限公司题型三、有理数四则混合运算
7．（24-25七年级上·全国·课后作业） 等于（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）若“ ”表示一种新运算，规定 ．则 ．
9．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）对于有理数a、b， 定义运算：
(1)计算：
(2)计算：
(3)将（1）、（2）的计算结果进行归类 （在如下选项中选择）
（1）的计算结果是 ；（2）的计算结果是 ．
A．正分数 B．负分数 C．正整数 D．负整数．
6
学科网（北京）股份有限公司题型四、含乘方的有理数混合运算
10．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义新运算“&”，对任意有理数a、b，规定： ，则
的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2022 D．2025
11．（2024七年级上·全国·专题练习） ．
12．（24-25七年级上·全国·期中）计算： ．
一．选择题
1．（2024秋•太康县校级月考）已知 与 互为相反数，那么
A．3 B． C． D．9
2．（2024秋•五华区校级月考）2023年11月26日，云南省丽江至香格里拉铁路开通运营，迪庆藏族自治州结束了不
通铁路的日子．据中国铁路昆明局集团消息，截至 2024年4月26日，累计发送旅客超280000人次，数据“280000”
用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
3．（2024•远安县模拟）某会议参会人数准确数为513人，新闻报道参会人数约为5百人，报道理由是
A．人数统计精确到百位 B．人数统计精确到十位
C．人数统计精确到个位 D．人数统计精确到十分位
7
学科网（北京）股份有限公司4．（2024•任丘市校级一模）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米
米，那么700纳米用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
5．（2024•南开区三模）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步．”“学习强国”平台上线的某天，全国大约
有 人在此平台上学习，用科学记数法表示的数 的原数为
A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000
6．（2023秋•芝罘区期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为 ，则计算器显示结
果与下列各数最接近的一个是
A．1.2 B．2.0 C．2.2 D．2.3
7．（2024秋•朝阳区校级月考）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
8．（2023秋•秦淮区校级期末）用四舍五入法对数3465983取近似数精确到万位，结果是
A．347 B．3.46 C． D．
9 ． （ 2023 秋 • 新 昌 县 期 末 ） 用 计 算 器 进 行 计 算 ， 按 下 列 按 键 顺 序 输 入 ：
则它表达的算式正确的是
A． B． C． D．
10．（2024秋•榆树市校级月考）根据有理数加法法则，计算 过程正确的是
A． B． C． D．
二、填空题
11．用四舍五入法将2.693精确到0.01，所得到的近似数是 ．
12．用“四舍五入法”将4.028精确到0.01，所得到的近似数为 ．
13．在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门经济社会发展成效持续显现，工业和出口较快增长，
投资和消费稳步恢复，就业和物价总体稳定，基本民生保障有力，国民经济持续稳定恢复．1-2月份，社会消费品零
8
学科网（北京）股份有限公司售总额达69737亿元．将数据69737用科学记数法表示为 ．
14．对非零有理数a，b，定义运算： ，则 ．
15．奇瑞汽车连续20年位居中国汽车品牌乘用车出口销量第一，远销全球80多个国家和地区；奇瑞汽车计划在2024
年冲击全年4000000台的销量目标．4000000用科学记数法表示为 ．
16．下列各数|﹣2|，﹣（﹣2），（﹣2）2，（﹣2）3，﹣22中，负数的个数为 个．
17．给出下列算式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正
确的算式有 ．（把你认为正确的答案序号都填上）
18．符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则数组 ， ， ，…， 中，
共有 个不同的数．
三、解答题
19．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；（要求用简便方法）
(5) ；
(6)
20．观察下列式子中的运算规律：
；
9
学科网（北京）股份有限公司；
；
(1)观察规律，写出第 个等式：______ ；
(2)设 表示自然数，请根据这个规律把第 个等式表示出来，并利用所学知识来证明这个等式成立．
21．第19届杭州亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会的口号是：心心相融，＠未来．为了更好的护航
亚运，在前期准备中，各个部门不断调试，其中检修小组从A地出发，在东西路上检修线路．如果规定向东行驶为正，
向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：km）：
，
(1)求收工时距A地多远？
(2)若每千米耗油 升，当天从出发到收工共耗油多少升？
22．峨眉某公司粮库上周一至上周五进出面粉的吨数如下（进库为正，单位∶吨）:
， ， ， ， ．试解决以下问题:
(1)经过这 天，该粮库里的面粉是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？
(2)经过这 天，若粮库管理员发现粮库里还有 吨面粉，则 天前粮库里有多少吨面粉？
10
学科网（北京）股份有限公司(3)如果面粉进出的装卸费都是每吨 元，那么这 天要付多少装卸费？
23．请画出一条数轴，在所画数轴上表示下列各数，并把这五个数按从小到大的顺序，从左到右串一串糖葫芦，填写
到给定的图中．（请填写题中原数）
0， ，1.5， ，
24．如图是小明坐出租车去参观博物馆的路线图，已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价9元计算，以后每
增加1千米车费就增加 元．请你按图中提供的信息算一算，小明完成这次参观（单程）一共要花多少元出租车费？
11
学科网（北京）股份有限公司25．小王看到两个商场的促销信息如图所示．
甲商场海报 乙商场海报
1． 购买不超过 100 元的不给予优惠；
全场9折 2． 购买超过 100 元但不超过 200 元的， 整单享9.5折优惠；
3． 购买超过 200 元的， 超过部分享8 折优惠．
(1)当一次性购物标价总额是 200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？
(2)小王两次到乙商场分别购买标价 98 元和150 元的商品，若他一次性在该商场购买这些商品，请通过列式计算，
他可以节省多少钱．
26． 年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产
个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是二月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：
个）．
星
一 二 三 四 五 六 日
期
增
减
(1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩；
(2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩 元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？
12
学科网（北京）股份有限公司
