文档内容
专题 04 有理数的加减法与乘除法
考点一 有理数的加法运算 考点二 有理数的减法运算
考点三 有理数的加减法的应用 考点四 有理数的乘法运算
考点五 有理数的除法运算 考点六 有理数的加减乘除混合运算
考点一 有理数的加法运算
例题：（2022·全国·七年级课时练习）计算题
（1）（-20）+16 ； （2）（-18）+（-13）；
（3） ＋（－ ）+ ＋（- ）； （4） ＋（－71）＋ ＋（－9）
【答案】（1）－4；（2）－31；（3） ；（4）－30
【解析】
【分析】
（1）直接根据有理数的加法法则计算即可；
（2）直接根据有理数的加法法则计算即可；
（3）利用有理数加法的交换律和结合律计算即可；
（4）先算绝对值，再利用有理数加法的交换律和结合律计算即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
（3）原式；
（4）原式
．
【点睛】
此题主要考查了有理数的加法运算及绝对值的意义，熟练掌握有理数加法的运算法则及运算律是解决本题
的关键．
【变式训练】（2022·全国·七年级课时练习）计算：
(1) ； (2)
【答案】(1)1
(2)
【解析】
【分析】
对于（1），将两个正数，两个负数分别结合，再计算；
对于（2），先通分，再结合计算即可．
(1)
原式=(4.7+5.3)+(-0.8-8.2)
=10-9
=1；
(2)
原式=
=
= ．【点睛】
本题主要考查了有理数的加法运算，灵活应用有理数的运算律是解题的关键．
考点二 有理数的减法运算
例题：（2021·全国·七年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）168；（4）
【解析】
【分析】
根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
【详解】
（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
【点睛】
本题考查了有理数的减法运算，减法法则关键是抓住两变：一是运算变，即减法变为加法；二是减数变为
其相反数．易出错的是：部分学生忘记减数变为其相反数而导致出错．
【变式训练】（2021·全国·七年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ；
（3） （4）
（5） （6）【答案】（1） ；（2）0；（3） ；（4） ；（5） ；（6）
【解析】
【分析】
根据有理数减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ；
（3）原式＝ ；
（4）原式＝ ；
（5）原式＝ ；
（6）原式＝ ．
【点睛】
本题考查了有理数的减法法则以及绝对值，熟知运算法则是解本题的关键．
考点三 有理数的加减法的应用
例题：（2020·广东·道明外国语学校七年级期中）一只小虫从点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把
向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行的各段路程（单位：cm）依次为：+5，-
3，+10，-8，-6，+12，-10．
(1)通过计算说明小虫是否回到起点P．
(2)如果小虫爬行的速度为0.5 cm/s，那么小虫共爬行了多长时间？
【答案】(1)回到了原点
(2)爬行时间为108秒
【解析】
【分析】
（1）根据向右为正，向左为负，再将所给数据求代数和即可．
（2）根据时间=路程除以速度即可．（1） 小虫回到了起点 ．
（2） 小虫爬的路程为 爬行时间为 ÷ = （s）
【点睛】
本题考查有理数加法相关的实际问题，理解问题实质，建立恰当数学模型为关键．
【变式训练】（2022·陕西咸阳·七年级期末）有一批试剂，每瓶标准剂量为250毫升，现抽取8瓶样品进
行检测，超过或不足标准剂量的部分分别用正、负数表示，记录结果如下（单位：毫升）：
+6，-2，+3，+10，-6，+5，-15，-8．
(1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？
(2)若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费为10元/毫升，求将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量需要
多少人工费？
【答案】(1)1993毫升；
(2)550元
【解析】
【分析】
（1）利用基准数求和，可根据和=基准数×个数+浮动数，来得出8瓶样品的总重量；
（2）计算8瓶样品的增加和减少总量，乘以人工费10元/毫升即可．
（1）250×8+（+6-2+3+10-6+5-15-8）=2000-7=1993（毫升），所以这8瓶样品试剂的总剂量是1993毫升．
（2） （毫升），55×10=550
（元），答：将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量需要550元人工费．
【点睛】
此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，弄清基准数、原数、浮动数之间的关
系．
考点四 有理数的乘法运算
例题：（2022·全国·七年级专题练习）计算：
（1） ； （2）
【答案】（1）5；（2）-1
【解析】
【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可；
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法运算，熟知运算法则是解本题的关键．
【变式训练】（2022·全国·七年级）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）6
【解析】
【分析】
根据有理数乘法法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当
负因数个数是偶数时，结果为正” ．
【详解】
解：（1）
；（2）
．
【点睛】
本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个
数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
考点五 有理数的除法运算
例题：（2021·北京师范大学实验华夏女子中学七年级期中）
【答案】
【解析】
【分析】
利用有理数乘除运算法则即可求解．
【详解】
解： ，
，
．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，解题关键是掌握有理数乘除运算法则．
【变式训练】（2022·全国·七年级课时练习）
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；
（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可．
【详解】
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
．
【点睛】
本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：除以一个数等于乘以这个数的倒数．
考点六 有理数的加减乘除混合运算
例题：（2022·全国·七年级专题练习）简便运算：
(1) ； (2)
(3) ； (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【解析】
【分析】
（1）先去括号，然后根据有理数加法的交换律求解即可；
（2）根据有理数乘法的分配律求解即可；
（3）根据有理数乘法的交换律求解即可；
（4）根据有理数乘法的结合律求解即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
；
(3)
解：
；(4)
解：
．
【点睛】
本题主要考查了有理数的简便计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式训练】（2022·全国·七年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)1
(2)-27
(3)-2
(4)9
【解析】
【分析】
（1）把小数化分数，同分母相加，再计算减法即可；
（2）先确定积的符号，把带分数化为假分数，计算乘法，再加法即可；
（3）先确定积的符号，把带分数互为假分数，然后化除为乘，最后计算乘法即可；
（4）利用乘法分配律简算，再计算乘法，最后加法即可．
(1)
解： ，
= ，
= ，=1；
(2)
解： ，
= ，
=-36+9，
=-27；
(3)
解： ，
= ，
=- ，
=-2；
(4)
解： ，
= ，
= ，
=9．
【点睛】
本题考查有理数加减乘除混合运算，掌握有理数加减乘除混合运算法则，先乘除，再加减，注意括号的运
用是解题关键．
一、选择题
1．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】C【解析】
【分析】
先把减法转化为加法，再按照有理数的加法法则运算即可．
【详解】
解： ．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则进行运算是解题的关键．
2．（2022·安徽合肥·七年级期末）某地一天早晨的气温是﹣2℃，中午温度上升了6℃，半夜比中午又下降
了8℃，则半夜的气温是（ ）
A．﹣2℃ B．﹣4℃ C．﹣6℃ D．﹣8℃
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的加减混合运算的运算方法，用早上的温度加上中午上升的温度，再减去半夜又下降的温度，
求出半夜的气温是多少即可．
【详解】
﹣2+6﹣8＝4﹣8＝﹣4（℃）．
答：半夜的气温是﹣4℃．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数加减法统一成加
法．
3．（2022·全国·七年级课时练习）三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简
的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B【解析】
【分析】
根据数轴的性质，得 ，再根据有理数加减和绝对值的性质计算，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴、绝对值、有理数加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、数轴的性质，从而完
成求解．
4．（2022·河北邯郸·七年级期末）下面是嘉嘉计算 的过程，现在运算步骤后
的括号内填写运算依据．其中错误的是（ ）
解：原式＝ （有理数减法法则）
＝ （乘法交换律）
＝ （加法结合律）
＝（﹣5）+0（有理数加法法则）
＝﹣5
A．有理数减法法则 B．乘法交换律
C．加法结合律 D．有理数加法法则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目中的解答过程，可以发现第二步的依据错误，然后即可判断哪个选项是符合题意的．
【详解】
解：由题目中的解答过程可知，第二步的依据是加法的交换律，而不是乘法交换律，
故选：B．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和用到的哪些运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等）．
二、填空题
5．（2022·湖南湘西·七年级期末）计算: ____________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用减法法则对式子进行变形，计算即可得到结果．
【详解】
解：原式= ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键．
6．（2021·江西萍乡·七年级期末）潜水艇原停在海平面下800米处，先上浮150米，又下潜200米，这时
潜水艇在海平面下______米处．
【答案】850
【解析】
【分析】
将海平面看作是0，上升为正，下降为负，然后列出算式求解即可．
【详解】
解：根据题意得：-800+150+（-200）=-850．
答：这时潜水艇在海平面下850米处．
故答案为：850
【点睛】
本题主要考查的是正负数的应用、有理数的加法的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
7．（2022·全国·七年级课时练习）一个正方体的平面展开图如图所示。若将展开图折叠成正方体后，相对
面上所标的两个数互为相反数，则 的值为______．
【答案】-18【解析】
【分析】
根据正方体表面展开图的特征判断对面，根据相反数的定义求出a、b、c，再代入计算即可．
【详解】
解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知：
“a”的对面是“-7”，
“b”的对面是“9”，
“c”的对面是“-2”，
又∵相对面上所标的两个数互为相反数，
∴a=7，b=-9，c=2，
∴b-a-c=-9-7-2=-18，
故答案为：-18．
【点睛】
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征以及相反数的定义是正确计算的前提．
8．（2021·全国·七年级专题练习）已知： 表示不超过 的最大整数．例： ， ．现定
义： ，例： ，则 ________．
【答案】1.1
【解析】
【分析】
根据题意列出算式解答即可．
【详解】
解：根据题意可得：
=1.1．
故答案为：1.1．【点睛】
本题考查了有理数的加减混合计算，新定义的运算，关键是理解题意并准确列出算式解答．
三、解答题
9．（2020·河南南阳·七年级阶段练习）计算
(1)
(2)|-22| - （-12）-52 - （-5）；
(3) ；
(4)（-3.5）+（- ）+（- ）+（+ ）+0.75+（- ）．
【答案】(1)-12
(2)-13
(3)-1
(4)
【解析】
【分析】
（1）先去括号，去绝对值，再进行有理数的加减混合运算即可；
（2）先去括号，去绝对值，再进行有理数的加减混合运算即可；
（3）先去括号，再进行有理数的加减混合运算即可；
（4）先去括号，再进行有理数的加减混合运算即可．
(1)
解：原式 ；
(2)
解：原式 ；
(3)
解：原式 ；
(4)
解：原式 ．
【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，绝对值的定义，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．
10．（2022·全国·七年级课时练习）计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）1；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）1002
【解析】
【分析】
（1）、（2）、（3）、（4）直接根据有理数加减混合运算法则求解即可；
（5）先根据绝对值的性质去绝对值符号，然后再结合有理数加减混合运算法则求解即可；
（6）先观察得出相邻两项之和为1，从而利用规律求解即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式=
．
【点睛】
本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的相关运算法则，并注意运算规律与顺序是解题关键．
11．（2022·江苏·七年级专题练习）公路养护小组乘车沿南北公路巡视维护，某天早晨从A地出发，晚上
最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18.5，﹣9.3，+7，﹣
14.7，+15.5，﹣6.8，﹣8.2，请通过计算回答：
(1)B地在A地何方，相距多少千米？
(2)若汽车行驶每100千米耗油8升，出发时汽车油箱有油20升，晚上到达B地时油箱还剩油多少升？
【答案】(1)北方，2千米
(2)13.6升
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案；（2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得总耗油量，根据原有油量减去耗油量，可得答案．
(1)
解： +18.5﹣9.3+7﹣14.7+15.5﹣6.8﹣8.2＝2（千米），
2＞0，在北方，
答：B地在A地北方，相距2千米；
(2)
路程＝18.5+|﹣9.3|+7+|﹣14.7|+15.5+|﹣6.8|+|﹣8.2|＝80（千米），
每千米的耗油量8÷100＝0.08升，
耗油量80×0.08＝6.4（升），
20﹣6.4＝13.6（升），
答：晚上到达B地时油箱还剩油13.6升．
【点睛】
本题考查了正数和负数，有理数的加减法运算是解题关键．
12．（2022·江苏·七年级专题练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：
计算： ．
解：原式＝
＝
＝0+
＝ ．
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方法计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)(2)0
【解析】
【分析】
根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案．
(1)
解：原式＝28+ +（﹣25﹣ ）
＝28+ ﹣25﹣
＝3+
＝ ．
(2)
解：原式＝（﹣2021﹣ ）+（﹣2022﹣ ）+4044﹣
＝﹣2021﹣ ﹣2022﹣ +4044﹣
＝（﹣2021﹣2022+4044）+（﹣ ﹣ ﹣ ）
＝1+（﹣1）
＝0．
【点睛】
本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法，本题属于基础题型．
13．（2022·江苏·七年级专题练习）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，
向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．问：
(1)小虫是否回到原点O？
(2)小虫离开出发点O最远是多少厘米？
(3)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
【答案】(1)能回到原点O
(2)12厘米
(3)54粒
【解析】【分析】
（1）将爬过的路程相加即可求出答案．
（2）计算出每次爬行否离开原点的距离即可判断．
（3）求出每次路程的绝对值之和即可求出答案．
(1)
由题意可知：+5-3+10-8-6+12-10=0，
故小虫回到原点O；
(2)
第一次爬行，此时离开原点5厘米，
第二次爬行，此时离开原点5-3=2厘米，
第三次爬行，此时离开原点5-3+10=12厘米，
第四次爬行，此时离开原点5-3+10-8=4厘米，
第五次爬行，此时离开原点5-3+10-8-6=-2厘米，
第六次爬行，此时离开原点5-3+10-8-6+12=10厘米，
第7次爬行，此时离开原点5-3+10-8-6+12-10=0厘米，
故小虫离开出发点最远是12厘米；
(3)
小虫共爬行的路程为：5+|-3|+10+|-8|+|-6|+12+|10|
=5+3+10+8+6+12+10
=54厘米，
∵每爬行1厘米奖励一粒芝麻，
∴小虫共可得到54粒芝麻．
【点睛】
本题考查正数与负数的意义，解题的关键是熟练运用正数与负数的意义．
14．（2022·江苏·七年级专题练习）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股30元买进某公司股
票若干股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单位：元）．
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
+2 ﹣0.5 +1.5 ﹣1 +1
（元）
(1)星期五收盘时，该股票每股多少元？
(2)这周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？【答案】(1)33元
(2)这周内该股票收盘时的最高价是33元，最低价是31.5元
【解析】
【分析】
（1）求出表格中的数的和，再加上30即可；
（2）分别求出每天收盘时的价格，找出最高与最低即可．
(1)
根据题意得：30+2﹣0.5+1.5﹣1+1＝33（元）；
答：星期五收盘时，该股票每股33元；
(2)
一周的股价分别为：32（元）；32﹣0.5＝31.5（元）；31.5+1.5＝33（元）；33﹣1＝32（元）；32+1＝33
（元）；
这周内该股票收盘时的最高价是33元，最低价是31.5元．
【点睛】
本题考查正数和负数以及有理数的加减混合运算，解答本题的关键是理清正负数在题目中的实际意义．
15．（2022·江苏·七年级专题练习）某食品厂从生产的食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标
准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，记录如表：
与标准质量的差值（克） ﹣5 ﹣2 0 1 3 6
袋数（袋） 2 4 5 5 1 3
(1)若每袋标准质量为350克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克？
(2)若该食品的包装袋上标有产品合格要求为“净重350±2克”，则这批样品的合格率为多少？
【答案】(1)这批抽样检测样品总质量是7008克．
(2)这批样品的合格率为70%．
【解析】
【分析】
（1）总质量＝标准质量×抽取的袋数＋超过（或不足的）质量，把相关数值代入计算即可；
（2）找到所给数值中，绝对值小于或等于2的食品的袋数占总袋数的多少即可．
(1)
解：超出的质量为：
−5×2＋（−2）×4＋0×5＋1×5＋3×1＋6×3＝−10−8＋0＋5＋3＋18＝8（克），
总质量为：350×20＋8＝7008（克），答：这批抽样检测样品总质量是7008克．
(2)
解：因为绝对值小于或等于2的食品的袋数为：
4＋5＋5＝14（袋），
所以合格率为： ×100%＝70%，
答：这批样品的合格率为70%．
【点睛】
本题考查了正数与负数，有理数加减混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键．
