文档内容
专题 04 期末复习专题：因式分解
目录
【考点一 判断是否因式分解】................................................................................................................................1
【考点二 已知因式分解的结果求参数】................................................................................................................3
【考点三 公因式】....................................................................................................................................................4
【考点四 综合提公因式和公式法因式分解】........................................................................................................6
【考点五 利用因式分解求值】................................................................................................................................9
【考点六 十字相乘法因式分解】..........................................................................................................................10
【考点七 分组分解法因式分解】..........................................................................................................................15
【考点八 因式分解的应用】..................................................................................................................................19
知识点01 因式分解的概念
因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，
也叫做把这个多项式分解因式.
知识点02 提公因式法因式分解
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最
好能一次性提取完.
知识点03 运用公式法因式分解
运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；
运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
【考点一 判断是否因式分解】
例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川泸州·期末）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（ ）A． B．
C． D．
3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列各式的因式分解中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点二 已知因式分解的结果求参数】
例题：（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式 可因式分解为 ，则 的值
为（ ）
A． B．1 C． D．9
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把 分解因式得 ，则常数 的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式 能因式分解为 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．6
3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于 的多项式 可以分解为 ，则
的值是（ ）
A．8 B． C．6 D．
【考点三 公因式】
例题：（24-25八年级上·河北保定·期末）用提公因式法因式分解 时，应提取的公因式是（ ）
A．x B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式 分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）多项式 （ ， 均为大于1的整数）各项的公因式是
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ）
A． 和 B． 和C． 和 D． 和
【考点四 综合提公因式和公式法因式分解】
例题：（24-25八年级上·山东威海·期末）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解：
(1) ；
(2) ．
2．（24-25八年级上·海南海口·期末）把下列多项式分解因式
(1) ；
(2) ．
3．（24-25八年级上·山东威海·期末）将下列各式分解因式．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【考点五 利用因式分解求值】
例题：（24-25八年级上·江西新余·期末）已知 ， ，则： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·期末）已知 ， ，那么 ．
2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若 ，则 的值是 ．
3．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）若 ，则 的值为 ．
【考点六 十字相乘法因式分解】
例题：（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任
务．
2024年12月12日 阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解
因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为
． 例如：将二次三项式 因式分解，这个式
子的二次项系数是1，常数项 ，一次项系数 ，则
，如图所示．
任务：
(1)因式分解： ．
(2)若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料：
将 分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项： ， ．
②交叉相乘，验中项：
．
③横向写出两因式： ．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1) ；
(2) ；
2．（24-25八年级上·河北保定·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：
．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系
可得 ．通过观察可把 中看作以x为未知数，
a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适
当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分
解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式 的二次项系数2与常数项12分别进行适当的
分解，如图2，则 ．根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式： ；
(2)用十字相乘法分解因式： ；
(3)结合本题知识，分解因式： ．
3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料 ：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满
足 且 ，则可以把 因式分解成 ．例如 ，具体做法是先分
解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和
右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．
这样，我们可以得到： ．
材料 ：分解因式：
解：将“ ”看成一个整体，令 ，则原式 ，再将“ ”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．
【迁移运用】
(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
；
(2)结合材料 和材料 ，对下面小题进行因式分解：
； ．
【考点七 分组分解法因式分解】
例题：（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将
分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
原式【类比】（1）请用分组分解法将 分解因式．
【挑战】（2）请用分组分解法将 分解因式．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式
只用上述方法无法分解，如 ，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后
两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分
解因式了．过程如下：
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)已知 的三边长 、 、 满足条件： ，判断 的形状，并说明理由．
2．（24-25八年级上·江西宜春·期末）第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项
分成一组，提出公因式b，从而得： ．这时，由于
中又有公因式 ，于是可提出 ，从而得到 ，因此有：
．这种方法称为分组分解法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1） ________
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解： ．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足 ，试判断这个三角形的形状，并
说明理由．
3．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式
法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将 因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”
是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分
别是 和 （ ），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将
因式分解，再求值．
【考点八 因式分解的应用】
例题：（24-25八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式 及
叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当
的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是
一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负
数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式 的最小值
．可知当 时， 有最小值 ．
根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)当 为何值时，多项式 有最值，并求出这个最值．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践：
【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若 ， ，求 的值；
【拓展应用】
（4）用图3中2张边长为 的正方形，3张边长为 的正方形， 张边长分别为 ， 的长方形纸片拼出一
个长方形或正方形，直接写出 的值．
2．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张
A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长
方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，
由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法．
(1)结合图1、图2试着分解因式： ；
(2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法：
①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为 的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后
的图形；
②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片；
③结合你的拼图过程，分解因式 ．
3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）阅读下列材料，并解答相关问题．
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，如果关于某
一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方
式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：因式分解： ．
解：原式
【材料2】因式分解： ．
解：把 看成一个整体，令 ，则原式 ，再将 代入，得，此题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．
(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解： ．
(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解： ．
(3)当 分别为 的三边，且满足 时，判断 的形状，并说明
理由．
