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专题2.8 实数（知识讲解）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循
环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，
如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，
如 .
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之
对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为
0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念的理解1．用序号将下列各数填入相应的集合内．
① ，② ，③ ，④0，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ ，⑨3.14
（1）整数集合{ …}；
（2）分数集合{ …}；
（3）无理数集合{ …}．
【答案】（1）整数集合 ；
（2）分数集合 ；
（3）无理数集合 ．
【分析】根据实数的分类进行解答．
解：（1）整数集合 ；
（2）分数集合 ；
（3）无理数集合 ．
【点拨】本题考查实数的分类，属于基础题型，熟练掌握基础知识是关键．
【变式1】将下列各数填人相应的集合内．
-7，0．32， ，0， ， ，- ，π，0.303003．．．
(1)有理数集合：( )；
(2)无理数集合：( )；
(3)负实数集合：( )；
【答案】（1）-7，0.32， ，0，- ；（2） ， ，π，0.303003 ；（3）-
7，-
【分析】（1）根据有理数定义解答即可；（2）根据无理数定义解答即可；
（3）根据实数定义解答即可.
解：（1）-7，0.32， ，0，- ；
（2） ， ，π，0.303003 ；
（3）-7，- .
【点拨】此题考查了有理数的定义，无理数的定义，实数的定义，正确理解各定义并
掌握三者之间的区别是解答问题的关键.
【变式2】把下列各数填入表示它所在的数集的大括号： ，－ …， ，
，－ ， ，－ ，|－4|
正数集合：｛ …｝；
负无理数集合：｛ …｝
整数集合：｛ …｝；
负分数集合： ｛ …｝
【答案】见解析
【分析】把|-4|先化简,利用正数、整数、无理数、负分数的意义,直接选择填入相对应
的括号内即可.
解：正数集合： ｛ ， ，|－4|， …｝
无理数集合：｛ ， …｝
整数集合： ｛ ， ，|－4| ， …｝
负分数集合：｛－3.171717…，－ ，－ ， …｝
【点拨】此题考查了实数,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
类型二、实数的分类2．已知七个实数 ， ，4，5.3， ，0， ，其中三个数已在数轴上
分别用点A、B、C表示．
（1）点A表示数_______，点B表示数______，点C表示数______．
（2）在数轴上精确地表示出剩下的4个数（提示：注意观察正方形 的面积），
并将轴上精确地表示所有的数用“＜”连接．
∴______<_______<_______<_______<_______<_______<_______<
（3）将上列各数分别填入相应括号的横线上：
整数：{___________________}
分数：{___________________}
无理数：{___________________}
【答案】（1）0，π，5.3；（2）数轴表示见解析，
；（3）见解析
【分析】（1）根据各点在数轴上的位置，结合数的大小填写即可；
（2）结合正方形的边长，在数轴上表示其他数，再按照从左往右的顺序排列各数；
（3）根据实数的分类填写．
解：（1）由图可知：
点A表示数是0，点B表示数是π，点C表示数是5.3；
（2）如图所示：用“＜”连接为： ；
（3）整数：{4， ，0，...}
分数：{ ，5.3，...}
无理数：{ ， ，...}
【点拨】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，实数的分类，实数的大小比较，
知识点较多，比较基础，要熟练掌握．
【变式1】把下列各数分别填入相应的集合内：
0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的
个数逐次增加1）
有理数集：______________________
无理数集：______________________
整数集：________________________
分数集：________________________
【答案】有理数集： ， ， ， ，0；无理数集： ， ，π， ，
， ，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）；整数集： ，0；分数集合： ， ，
【分析】根据有理数、无理数、整数、分数的定义逐一判断即可．
解：有理数集： ， ， ， ，0；
无理数集： ， ，π， ， ， ，0.3737737773……（相邻两个3之间
7的个数逐次增加1）；
整数集： ，0；
分数集： ， ， ．
【点拨】本题考查实数的分类，掌握有理数、无理数、整数和分数的定义是解题的关
键．
【变式2】把下列各数分别填在相应的横线上：
－1 ，500%， ，0.3，0，－1.7，21，－2，1.010 01，＋6，π．
（1）正数：____；
（2）负数：____；
（3）正整数：____；
（4）整数：____；
（5）分数：____；
（6）非负有理数：____；
（7）有理数：____；
（8）无理数：____．
【答案】（1）正数：500%， ，0.3，21，1.01001，＋6，π；（2）负数：－1 ，
－1.7，－2；（3）正整数：500%，21，＋6；（4）整数：500%，0，21，－2，＋6；（5）分数：－1 ， ，0.3，－1.7，1.01001；（6）非负有理数：500%， ，0.3，
0，21，1.01001，＋6；（7）有理数：－1 ，500%， ，0.3，0，－1.7，21，－2，
1.01001，＋6；（8）无理数：π
【分析】根据正负数，有理数及无理数的定义和分类进行解答即可.
解：（1）正数：500%， ，0.3，21，1.01001，＋6，π；
（2）负数：－1 ，－1.7，－2；
（3）正整数：500%，21，＋6；
（4）整数：500%，0，21，－2，＋6；
（5）分数：－1 ， ，0.3，－1.7，1.01001；
（6）非负有理数：500%， ，0.3，0，21，1.01001，＋6；
（7）有理数：－1 ，500%， ，0.3，0，－1.7，21，－2，1.01001，＋6；
（8）无理数：π.
【点拨】本题考查了实数的分类，有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有
理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所
有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小
数，不能化成分数形式，因而不属于有理数，是无理数．
类型三、实数的性质
3．已知 ,求a+b的值.【答案】- 或- ．
【分析】首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入求值计算．
解：∵ ，
∴
解得：
∴a+b=- 或-
即a+b的值为- 或- ．
【点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式1】在数轴上作出表示 的点.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】4对应的点为4，过B点作数轴的垂线，截取CB=1，然后以原点为圆心，OC
为半径画弧交数轴的正半轴与A点，则A点满足条件．
解：如图，点A表示的数为 .【点拨】本题考查作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一
般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了勾股定理．
【变式2】已知a＝| － |＋|1－ |－| －2|，求－2a＋2的平方根．
【答案】－2a＋2的平方根是0.
【解析】
【分析】先根据绝对值的性质化简a，再代入即可.
解：∵ < ，1< ， >2.
∴a＝ － ＋ －1－ ＋2＝1，
∴－2a＋2＝0，
∴－2a＋2的平方根是0.
【点拨】此题考查了绝对值的性质和平方根是定义，熟练掌握这个性质是解题的关键.
类型四、实数与数轴
4．如图，点 是数轴上表示实数 的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的 的点 ；（保留作图痕迹，不写作
法）
（2）利用数轴比较 和 的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为 ，再利用圆规画圆弧即可
得到点 ．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．解：（1）如图所示，点 即为所求．
（2）如图所示，点 在点 的右侧，所以
【点拨】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌
握无理数在数轴上的表示是关键．
【变式1】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式
的值．
【答案】2．
【分析】先根据数轴的定义可得 ，从而可得 ，再根据
立方根的定义可得 ，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．
解：由数轴的定义得： ，
，
为8的立方根，
，
则 ，，
，
．
【点拨】本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定
义是解题关键．
【变式2】如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，
其中 ，且b的倒数是它本身，且a、c满足 ．
（1）计算： 的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
【答案】（1）13；（2）-8
【分析】（1）根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出a和c的值，再代入求解，即可；
（2）根据倒数的定义，求出b的值，再求出A，B中点所对应的数，进而即可求解．
解：（1）∵ ，
∴ ，
解得： ，
则 ；
（2）∵ ，且b的倒数是它本身，
∴ ，
∵ ，
∴ 和 重合， 和 的中点为 ，
∵ ，
∴与点C重合的点表示的数是 ．【点拨】本题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握倒数，绝对值的意义，是解题的
关键．
类型五、实数的大小比较
5．已知正数 的两个不等的平方根分别是 和 ， 的立方根
为-3； 是 的整数部分；
（1）求 和 的值；
（2）式子 的值 ；
（3）可判断 是 数（填“有理”或“无理”）．
【答案】（1） ， ；（2）34；（3）有理
【分析】（1）根据平方根性质，得 ，通过求解一元一次方程，得
的值，根据乘方的性质，计算得 ；根据立方根的性质，得 ，通过
求解方程即可得到答案；
（2）结合题意，根据算术平方根、实数大小比较的性质，得 ；再根据代数式的
性质计算，即可得到答案；
（3）结合题意，根据算术平方根和实数分类的性质分析，即可得到答案.
解：（1）根据题意，得
∴
∴
∵ 的立方根为-3
∴
∴ ；（2）∵ 是 的整数部分，且 ，即
∴
∴
故答案为：34；
（3）
∴ 是有理数
故答案为：有理．
【点拨】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程、乘方、算术平方根、代数式、
实数的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、一元一次方程、代数式、实数分类
的性质，从而完成求解．
【变式1】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较 与2的大小；
，
，则 ，
，
．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）比较大小： _______3；
（2）比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】（1）＞；（2） ＜ ．【分析】（1）由 ＜ ＜ ，可得： ＜ ＜ ，从而可得答案；
（2）由 ＜ ＜ ，可得 ＜ ＜ ，从而可得： ＜ ，即 ＜
，从而可得答案．
解：（1） ＜ ＜ ，
＜ ＜ ，
故答案为：＞．
（2） ＜ ＜ ，
＜ ＜ ，
＜ ，
＜ ，
＜ ，
＜ ．
【点拨】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
【变式2】把下列各数表示在数轴上，并把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起
来．
0， ， ， ， ，
【答案】画图见解析，
【分析】先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据“在数轴上，右边的数总比左
边的数大”把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来．解： ， ， ， ， ，
在数轴上表示为：
按从大到小的顺序用>连接为： ．
【点拨】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是准确在数轴上表示实数，并
利用数轴对实数的大小进行比较．
类型六、实数的混合运算
6．计算下列各题：
（1） ，
（2） ，
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；
（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；
（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可
得．
解：（1）原式 ，
，
；（2）原式 ，
，
；
（3）原式 ，
，
．
【点拨】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握
各运算法则是解题关键．
【变式1】计算：
（1）﹣2﹣3×（﹣1）；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）1；（2）7；（3）2．
【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序依次计算即可；
（2）根据有理数的混合运算顺序依次计算即可；
（3）根据实数的运算法则依次计算即可．
解：（1）﹣2﹣3×（﹣1）
＝﹣2﹣（﹣3）
＝1．
（2）
＝1+（﹣9）× ﹣16÷（﹣2）
＝1﹣2+8
＝7．（3）
＝4﹣（﹣2+4）
＝4﹣2
＝2．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练运用实数的混合运算法则是解决问题的关
键．
【变式2】（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）-2；（2）
【分析】（1）先去绝对值，计算根式以及乘方，然后再根据运算法则加减得出答案；
（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式乘法法则进行去括号，之后合并同类项得出
答案.
解：（1）
（2）
【点拨】本题考查实数的运算以及整式的乘法混合运算，熟练掌握绝对值、根号以及
非0实数的0次幂的计算方法；整式乘法熟练掌握完全平方公式和多项式乘法的计算法则，
遇到括号要注意去括号后的正负号.
类型七、程序设计与实数运算
7．有一个数值转换器．原理如图．（1）当输入的 为81时，输出的 是多少？
（2）是否存在输入有效的 值后，始终输不出 值？如果存在．请写出所有满足要求
的 的值；如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算
输入的数据可能是什么情况？
（4）若输出的 是 ，试判断输入的 值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】（1） ；（2）0或1；（3）见解析；（4）不唯一，5和25
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0和1的算术平方根即可判断；
（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；
（4）找到使得输出值为 的两个数即可．
解：（1）当x=81时，
=9， =3， 是无理数，
故y= ；
（2）当x=0或1时，始终输不出y值．
因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）∵负数没有算术平方根，
∴输入的数据可能是负数；
（4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是 ，
故输入的 值不唯一，例如5和25．
【点拨】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键．
【变式1】任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．（1）用含m的代数式表示该程序的运算过程
（2）当实数 的一个平方根是 时，求输出的结果．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）直接利用运算程序即可得到关于m的代数式；
（2）把已知数据带入求解即可；
解：（1）由题意可得 ．
（2）原式 ，
当实数 的一个平方根是 时， ，即 ．
所以原式 ．
【点拨】本题主要考查了代数式求值，准确得出运算程序是解题的关键．
【变式2】有一个数值转换器．原理如图．
（1）当输入的 为25时，输出的 是多少？
（2）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算
输入的数据可能是什么情况？
（3）是否存在输入有效的 值后始终输不出 值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；
（4）若输出的 是 ，则输入的 值是2，4，…，等一系列的整数，请写出一个大
于1024的 值（要求写成2的指数幂的形式）．
【答案】（1） ；（2）输入的数据x可能的情况是：x＜0；（3）当x=0或1时，
始终输不出y的值；（4）x=216
【分析】（1）根据数值转换器的运算规则，即可求解；
（2）根据负数没有算术平方根，即可求解；
（3）根据0和1的算术平方根是本身，即可得到结论；
（4）由1024=210，结合条件，即可得到满足条件的数．
解：（1）∵当x=25时， ，是有理数，5的算术平方根是 ，是无理数，
∴y= ；
（2）∵负数没有算术平方根，
∴当x＜0时，该程序屏幕显示“该操作无法运行”，
即：输入的数据x可能的情况是：x＜0；
（3）∵0和1的算术平方根是本身，一定是有理数，程序会一直运行下去，
∴当x=0或1时，始终输不出y的值；
（4）∵1024=210，216＞210，
输入216时经过多轮计算可得到 ，
∴x=216．
【点拨】本题主要考查算术平方根的定义，理解数值转换器的运算原理和算术平方根
的定义，是解题的关键．
类型八、新定义下的实数运算
8．设“#”表示一种新运算，它的运算原则是 ，比如：
（1）求 的值；（2）若 ，求 的值
【答案】（1）-5；（2）
【分析】（1）根据新运算的运算法则进行计算即可；
（2）根据新运算法则得到 ，然后解方程即可．
解：（1） ；
（2）∵
∴ ，
，
，
∴ ．
【点拨】本题考查实数的新运算、解一元一次方程，解题的关键是理解新运算的运算
规则．
【变式1】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b=a +2ab．如：
1*3=1× +2×1×3=15．
（1）求（-4）*2的值；
（2）若（a-1）*3=12，求a的值．
【答案】（1）-32；（2）
【分析】（1）按新定义规则把（-4）*2转化为普通运算法则计算即可；
（2）按新定义规则把（a-1）*3转化为普通运算法则，化简后再解方程即可．
解：（1）∵a*b=a +2ab，∴（-4）*2，
=（-4）× +2×（-4）×2，
=-16-16，
=-32；
（2）由（a-1）*3=12，则
∵（a-1）*3＝（a-1）× +2×（a-1）×3=9（a-1）+6(a-1)=15(a-1)，
∴15(a-1)=12，
∴15a=27，
解得：a= ．
【点拨】本题主要新定义问题，认真阅读题目，掌握新定义的规则，关键是会用新定
义法则把问题转化为普通运算法则计算是解题关键．
【变式2】在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： ，
（1）求： 的值；
（2）求：方程 的解．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】（1）直接利用新定义进而计算得出答案；
（2）直接利用新定义进而计算得出答案．
解：（1） ；
（2） ，
，
，
则 ，解得： 或 ．
【点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，仔细阅读和理解题中新定义运算方式
是解题的关键．
类型九、实数运算的实际应用
9．利用平方根去括号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如： 时，移项 ，两边平方得 ，所以a2-
2a+1=2，即a2-2a-1=0。仿照上述方法完成下面的题目，已知 ，
求：（1）a2+a的值；
（2）a3-2a+2020的值．
【答案】（1） ；（2）2019
【分析】（1）原式移项变形可得 ，两边平方得 ，然后
化简即可求出结论；
（2）将原式 ，然后利用整体代入法求值即可．
解：（1）∵
移项变形可得
两边平方得
∴
∴
（2）=
=
=
=
=2019
【点拨】此题考查的是根据无理数构造整系数方程，读懂材料中的构造方法、掌握等
式的基本性质和整体代入法是解决此题的关键．
【变式1】如图，长方形 的长为 ，宽为 ．
（1）将长方形 进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个
正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为 .
【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线
分割一次，即可补全成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为 ，根据面积相等得到方程，即可求解．
解：（1）如图，
∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，
再拼成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为 ，根据题意得 ，
∴ （负值舍去）
答：拼成的正方形边长为 ．
【点拨】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．
【变式2】已知 ，其中 是整数， ，求 的值．
【答案】
【解析】
试题分析：可以先估算出整数部分 ，再计算出 的值,最后作差.
试题解析：解： ，
，
= ．
类型十、与实数运算的相关规律题
10．观察下列各式： ，
， ，…
（1）猜想① ．
② ，其中n为正整数．
（2）计算：
．【答案】（1）猜想①20182+3×2018+1；②n2+3n+1；（2） ．
【分析】（1）根据已知式子得出结果即可；
（2）对每个式子进行计算即可；
解：（1）猜想① 0182+3×2018+1；
② n2+3n+1；
（2）计算：
1 1 1 1
+ + +
√1+1×2×3×4−1 √1+4×5×6×7−1 √1+7×8×9×10−1 √1+10×11×12×13−1
1 1 1 1
= + + +
12+3×1+1−1 42+3×4+1−1 72+3×7+1−1 102+3×10+1−1
1 1 1 1
= + + +
1×4 4×7 7×10 10×13
1 1 1 1 1 1 1 1 4
= ×（1- + - + - + - ）= ．
3 4 4 7 7 10 10 13 13
【点拨】本题主要考查了证明与猜想，准确分析计算是解题的关键．
【变式1】阅读下列材料：小明为了计算 的值，采用以下
方法：
设 ①，
则 ②，
②–①得： ．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1） ______．
（2） ______．
（3）求 的和（ ， 是正整数，请写出计算过程）．【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据题意，每一项都是前一项的2倍，设 ，计
算2S的值，运用整体思想，将两个式子相减即可解题；
（2）由（1）中的解题思路解题，设 ，计算3S的值，运用整体思
想，将两个式子相减即可解题；
（3）由特殊到一般的思想，设 ，计算 的值，运用整体思想，
将两个式子相减即可解题．
解：（1）设 ①，
则 ②，
②－①得 ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）设 ①，
则 ②，
②－①得 ，
所以 ，
即 ．
故答案为： ．（3）设 ①，
