文档内容
七年级上册数学《第 2 章有理数及其运算》
2.2 有理数的加减运算
有理数的加法
知识点一
★有理数的加法法则：
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
3.互为相反数的两个数相加得 0．
4.一个数与0相加，仍得这个数．
【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0．从而确定用
那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
有理数的加法运算律
知识点二
★1、有理数的加法交换律：
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
即a + b = b + a.
★2、有理数的加法结合律：
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c).
有理数的减法
知识点三
★1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
ab a(b)
用字母表示为：
★2、有理数减法的运算方法：①把减号变为加号(改变运算符号)
②把减数变为它的相反数(改变性质符号)
③按照加法运算的步骤进行运算
【注意】
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则
类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
有理数的加减混合运算
知识点四
★有理数的加减混合运算
引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：
a+b−c=
a+b+(﹣c)
方法 步骤
直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算.
(1)利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算;
统一为加法计算
(2)适当运用加法运算律简化运算.题型一 有理数的加法
解题技巧提炼
有理数加法运算的步骤：
1. 先判断类型（同号、异号等）；
2. 再确定和的符号；
3. 最后进行绝对值的加减运算.
1．（2024•河北区二模）计算（﹣2）+（﹣4），结果等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
【分析】根据有理数加法解答即可．
【解答】解：（﹣2）+（﹣4）＝﹣6，
故选：D．【点评】此题考查有理数的加法，关键是根据有理数的加法法则解答．
2．（2024•文昌三模）下列各数中，与2024的和为0的是（ ）
1 1
A．2024 B．﹣2024 C． D．−
2024 2024
【分析】根据相反数的定义、有理数的加法法则进行解题即可．
【解答】解：A、2024+2024＝4048，不符合题意；
B、﹣2024+2024＝0，符合题意；
1
C、 +2024≠0，不符合题意；
2024
1
D、− +2024≠0，不符合题意；
2024
故选：B．
【点评】本题考查有理数的加法、相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（2024•朔州模拟）计算：﹣2024+2023的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣4047 D．4047
【分析】根据负数加正数的计算规则即可求解．
【解答】解：﹣2024+2023＝﹣（2024﹣2023）＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的加法，负数加正数的计算规则是：符号取绝对值较大的加数的符号，数值取
“用较大的绝对值减去较小的绝对值”的所得值．
4．如果a+b+c＝0且|c|＞|b|＞|a|．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数
C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数
【分析】由题意得a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且|c|＝|b|+|a|，所以可能a，b
为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数．
【解答】解：∵a+b+c＝0且|c|＞|b|＞|a|．
∴a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且|c|＝|b|+|a|，
∴可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的加法和绝对值的意义的综合运用能力，关键是能准确理解并运用有理数的
加法法则．
5．（2023秋•宿豫区期末）若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（）
A．一定是正数 B．一定是负数
C．一定是0 D．以上都不对
【分析】根据数轴的性质即可求出答案．
【解答】解：由于两个有理数分布在原点两侧，故必为一正一负，
所以两个数相加所得的和可能是正数或负数或0，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算，本题属于基础题型．
3 2
6．（2023秋•射阳县期末） 的相反数与− 的绝对值的和是 ．
5 5
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
3 2 3 2 1
【解答】解：根据题意得：− +|− |=− + =− ．
5 5 5 5 5
1
故答案为：− ．
5
【点评】此题考查了有理数的加法，相反数，以及绝对值，列出正确的算式是解本题的关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．两数之和大于每一个加数
B．两数之和一定大于两数绝对值的和
C．两数之和一定小于两数绝对值的和
D．两数之和一定不大于两数绝对值的和
【分析】可以利用特殊值法判断．
【解答】解：A、由﹣1+2＝1，1＞﹣1，1＜2知，选项A不符合题意；
B、由﹣1+2＝1＜|﹣1|+|2|＝3知，选项B不符合题意；
C、由1+2＝3＝|1|+|2|＝3知，选项C不符合题意；
D、由﹣1+（﹣2）＝﹣3＜|﹣1|+|﹣2|＝3，结合B、C选项知，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的加法运算法则“同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的
异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”．本题可用特殊值法判断
也可以利用分类讨论的思想进行判断．
8．计算：1
（1）（－3）＋（－7） （2）0＋（＋5 ）
6
2 5
（3）（﹣2.2）＋（＋3.8） （4）(+ )+(− )
3 6
7 7
（5）|﹣7│+│﹣9 │ （6）﹣│-7│+│-9 │
15 15
【分析】根据有理数的加法法则计算即可求解.
【解答】（1）解：（﹣3）+（﹣7）
=﹣（3+7）
=﹣10
1
（2）解：0+（+5 ）
6
1
=5
6
（3）解：（﹣2.2）+（+93.8）
=＋（3.8﹣2.2）
=1.6
2 5
（4）解： (+ )+(− )
3 6
5 2
=﹣ ( − )
6 3
1
= −
6
7
（5）解： |−7|+|−9 |
15
7
= 7+9
15
7
= 16
15
7
解:（6）﹣│-7│+│-9 │
15
7
=﹣7+915
7
=215【点评】本题主要考查有理数加法，掌握其运算法则是解题关键．
题型二 有理数的减法
解题技巧提炼
有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的
相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题.
1．（2024•微山县二模）比﹣1小1的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】认真阅读列出正确的算式，比﹣1小1的数，就是在﹣1的基础上减1．
【解答】解：﹣1﹣1＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查有理数的减法，有理数运算的实际应用题是中考的常见题，其解答关键是依据题意正
确地列出算式．
2．（2024•临淄区二模）|﹣2|﹣1的计算结果是（ ）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
【分析】先根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，然后利用有理数的加减法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣1
＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的有关运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则．
3．（2024•陈仓区二模）计算：（﹣2）﹣（﹣3）＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣2）﹣（﹣3）
＝﹣2+3
＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4．下列计算结果正确的是（ ）A．﹣3﹣7＝﹣3+7＝4 B．4.5﹣6.8＝6.8﹣4.5＝2.3
1 1 1 1 1 1
C．﹣2﹣（− ）＝﹣2+ =−2 D．﹣3﹣（− ）＝﹣3+ =−2
3 3 3 2 2 2
【分析】根据有理数的减法法则，可以计算出各个选项中式子的正确结果，然后即可判断哪个选项符合
题意．
【解答】解：﹣3﹣7＝﹣3+（﹣7）＝﹣10，故选项A错误，不符合题意；
4.5﹣6.8＝﹣（6.8﹣4.5）＝﹣2.3，故选项B错误，不符合题意；
1 1 2
﹣2﹣（− ）＝﹣2+ =−1 ，故选项C错误，不符合题意；
3 3 3
1 1 1
﹣3﹣（− ）＝﹣3+ =−2 ，故选项D正确，符合题意；
2 2 2
故选：D．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（2024•南岗区校级三模）某冰箱冷藏室的温度是5℃，冷冻室的温度是﹣20℃，则冷藏室比冷冻室温
度高（ ）
A．15℃ B．﹣15℃ C．﹣25℃ D．25℃
【分析】根据题意直接列出算式，然后按有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：5﹣（﹣20）＝25（℃）．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的减法，正数和负数，熟记有理数的减法法则是解题的关键．
3
6．（2024春•宝山区期末）如果一个数加上−1 所得的和是6，那么这个数是 ．
4
【分析】根据题意列式计算即可．
3 3 3
【解答】解：由题意得6﹣（﹣1 ）＝6+1 =7 ，
4 4 4
3
故答案为：7 ．
4
【点评】本题考查有理数的减法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
7．（2024•伊通县一模）长春市2月18日至2月21日天气预报的最高气温与最低气温如表：
日期 2月18日 2月19日 2月20日 2月21日
最高气温/℃ 8 ﹣4 ﹣10 ﹣7
最低气温/℃ ﹣6 ﹣16 ﹣16 ﹣15
其中温差最大的日期是（ ）A．2月18日 B．2月19日 C．2月20日 D．2月21日
【分析】温差为最高气温减去最低气温，然后比较即可得出答案．
【解答】解：2月18日的温差为：8﹣（﹣6）＝8+6＝14（°C）；
2月19日的温差为：﹣4﹣（﹣16）＝﹣4+16＝12（°C）；
2月20日的温差为：﹣10﹣（﹣16）＝﹣10+16＝6（°C）；
2月21日的温差为：﹣7﹣（﹣15）＝﹣7+15＝8（°C）；
∵14＞12＞8＞6，
∴温差最大的是2月18日，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．
8．计算下列各题：
1 2 1
（1）(− )−(+ )． （2）（﹣2.5）﹣（+2 ）
3 3 2
1 1 1
（3）|−7.5|−|− |． （4）(− )−(−1 )．
2 2 3
【分析】（1）先去括号，再利用有理数减法运算即可；
（2）根据有理数的减法法则计算即可得出答案．
（3）先算绝对值，再利用有理数减法运算即可；
（4）先去括号，再利用有理数减法运算即可．
1 2
【解答】解：（1）原式=− −
3 3
＝﹣1；
1
（2）原式＝（﹣2.5）+（﹣2 ）
2
＝﹣5．
1
（3）原式=7.5−
2
＝7.5﹣0.5
＝7；
1 4
（3）原式=− −(− )
2 3
1 4
=− +
2 33 8
=− +
6 6
5
= ．
6
【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题关键．
题型三 有理数的加减混合运算
解题技巧提炼
有理数加减混合运算的步骤：
（1）将减法转化为加法运算；
（2）省略加号和括号；
（3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加；
（4）按有理数加法法则计算．
1．（2024•湖南模拟）下面算法正确的是（ ）
A．（﹣4）+8＝﹣（8﹣4） B．5﹣（﹣8）＝5﹣8
C．（﹣5）+0＝﹣5 D．（﹣3）+（﹣4）＝3+4
【分析】直接利用有理数的混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．（﹣4）+8＝8﹣4，故此选项不合题意；
B．5﹣（﹣8）＝5+8，故此选项不合题意；
C．（﹣5）+0＝﹣5，故此选项符合题意；
D．（﹣3）+（﹣4）＝﹣（3+4），故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2023秋•唐县期末）把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（ ）
A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5
【分析】括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加
号变减号，减号变加号．
【解答】解：根据去括号的原则可知：﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）＝3﹣4﹣5．
故答案为：A．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，主要考查去括号运算，掌握去括号的方法便可解决问题．
3．（2023秋•沈丘县期末）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A．1﹣4+5﹣4＝1﹣4+4﹣51 3 1 1 1 3 1 1
B．− + − − = + − −
3 4 6 4 4 4 3 6
C．1﹣2+3﹣4＝2﹣1+4﹣3
D．4.5﹣1.7﹣2.5+1.8＝4.5﹣2.5+1.8﹣1.7
【分析】根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动．
【解答】解：A、1﹣4+5﹣4＝1+5﹣4﹣4，错误；
1 3 1 1 3 1 1 1
B、− + − − = − − − ，错误；
3 4 6 4 4 6 4 3
C、1﹣2+3﹣4＝1+3﹣2﹣4，错误；
D、4.5﹣1.7﹣2.5+1.8＝4.5﹣2.5+1.8﹣1.7，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了加法的交换律在有理数加法运算中的应用．
4．（2024•罗湖区校级三模）一天早晨的气温是﹣7℃，中午上升了10℃，半夜又下降了8℃，半夜的气
温是（ ）
A．﹣9℃ B．﹣5℃ C．5℃ D．11℃
【分析】根据有理数的加减混合运算的运算方法，用某地一天早晨的气温加上中午上升的温度，再减去
半夜又下降的温度，求出半夜的气温是多少即可．
【解答】解：（﹣7）+10﹣8
＝3﹣8
＝﹣5（℃）
答：半夜的气温是﹣5℃．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握有理数的加减混合运算法则，注意运算顺
序．
5．（2022秋•鹿邑县月考）下列各式不成立的是（ ）
A．20+（﹣9）﹣7+（﹣10）＝20﹣9﹣7﹣10
B．﹣1+3+（﹣2）﹣11＝﹣1+3﹣2﹣11
C．﹣3.1+（﹣4.9）+（﹣2.6）﹣4＝﹣3.1﹣4.9﹣2.6﹣4
D．﹣7+（﹣18）+（﹣21）＝﹣（﹣18﹣21）
【分析】根据有理数的加减混合运算的运算顺序，逐项判断即可．
【解答】解：∵20+（﹣9）﹣7+（﹣10）＝20﹣9﹣7﹣10，∴选项A不符合题意；
∵﹣1+3+（﹣2）﹣11＝﹣1+3﹣2﹣11，
∴选项B不符合题意；
∵﹣3.1+（﹣4.9）+（﹣2.6）﹣4＝﹣3.1﹣4.9﹣2.6﹣4，
∴选项C不符合题意；
∵﹣7+（﹣18）+（﹣21）＝﹣（7+18+21），
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，解答此题的关键是注意省略括号时的符号变化．
6．（2023秋•沙坪坝区校级月考）列式并计算：
1 2 5
（1）2 减去− 与 的和，所得的差是多少？
3 3 6
（2）﹣4，5，﹣6这三个数的和比这三个数的绝对值的和小多少？
【分析】根据题意列出式子并进行计算即可．
1 2 5
【解答】解：（1）2 −（− + ）
3 3 6
7 1
= −
3 6
14 1
= −
6 6
13
= ．
6
（2）[（﹣4）+5+（﹣6）]﹣（|﹣4|+|5|+|﹣6|）＝﹣5﹣15＝﹣20．
即三个数的和比这三个数的绝对值的和小20．
【点评】本题考查有理数的减法与有理数的加法，能够根据题意列出式子是解题的关键．
7．（2023秋•小店区校级月考）计算：
（1）1.4+（﹣0.2）+0.6+（﹣1.8）；
（2）5+（﹣6）+3﹣（﹣4）；
（3）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13；
1 3 2 1 1
（4）(− )+ +(− )+ +(− )．
2 5 3 2 3
【分析】理由有理数的加减法则计算各题即可．【解答】解：（1）原式＝1.4+0.6+（﹣0.2﹣1.8）
＝2﹣2
＝0；
（2）原式＝5+3+（﹣6+4）
＝8﹣2
＝6；
（3）原式＝﹣20﹣14+18﹣13
＝﹣34+18﹣13
＝﹣16﹣13
＝﹣29；
1 1 2 1 3
（4）原式＝（− + ）+（− − ）+
2 2 3 3 5
3
＝0﹣1+
5
2
=− ．
5
【点评】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
8．（2023秋•朝阳区校级月考）计算：
（1）（﹣52）+（﹣19）﹣（+37）﹣（﹣24）；
1 5 2 1
（2）− + + − ；
4 6 3 2
1 1 1 1 1
（3）3 −(−2 )+(− )− −(+ )；
2 4 3 4 6
3 1 1 1
（4）|−7 +4 |+(−18 )+|−6− |．
8 2 4 2
【分析】（1）将加减法统一成加法，利用加法的运算律计算即可；
（2）利用加法的运算律计算即可；
（3）将加减法统一成加法，利用加法的运算律计算即可；
（4）利用绝对值的意义去掉绝对值符号后利用加法法则运算即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣52）+（﹣19）+（﹣37）+（+24）
＝﹣（52+19+37）+24
＝﹣108+24
＝﹣84；1 1 5 2
（2）原式＝﹣（ + ）+（ + ）
4 2 6 3
1 2 5 4
＝﹣（ + ）+（ + ）
4 4 6 6
3 3
=− +
4 2
3 6
=− +
4 4
3
= ；
4
1 1 1 1 1
（3）原式＝3 +2 +（− ）+（− ）+（− ）
2 4 3 4 6
1 1 1 1 1
＝3 +（2 − ）﹣（ + ）
2 4 4 3 6
1 1
＝3 +2−
2 2
1 1
＝（3 − ）+2
2 2
＝3+2
＝5；
3 4 1 1
（4）原式＝|﹣7 +4 |+（﹣18 ）+|﹣6 |
8 8 4 2
7 2 4
＝|﹣2 |+（﹣18 ）+6
8 8 8
7 4 2
＝2 +6 −18
8 8 8
3 2
＝9 −18
8 8
7
＝﹣8 ．
8
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，正确利用运算法则和运算律解答是解题的关键．
题型四 运用加法运算律进行简便计算解题技巧提炼
1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加；
2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整；
3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合.
1．下列变形，运用运算律正确的是（ ）
A．2+（﹣1）＝1+2
B．3+（﹣2）+5＝（﹣2）+3+5
C．[6+（﹣3）]+5＝[6+（﹣5）]+3
1 2 1 2
D． +（﹣2）+（+ ）＝（ + ）+（+2）
3 3 3 3
【分析】原式各项利用运算律变形得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、2+（﹣1）＝（﹣1）+2，错误；
B、3+（﹣2）+5＝（﹣2）+3+5，正确；
C、[6+（﹣3）]+5＝（6+5）+（﹣3），错误；
1 2 1 2
D、 +（﹣2）+（+ ）＝（ + ）+（﹣2），错误，
3 3 3 3
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．6﹣2+5﹣8+12＝（6+5+12）+（﹣2﹣8）是应用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律
C．分配律 D．加法的交换律与结合律
【分析】根据题目中的算式，可以发现应用了加法的交换律与结合律．
【解答】解：6﹣2+5﹣8+12＝（6+5+12）+（﹣2﹣8）是应用了加法的交换律与结合律，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键．
3．计算：1+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+（+5）+（﹣6）+…+（+99）+（﹣100）+（+101）的结果是（
）
A．0 B．﹣1 C．﹣50 D．51
【分析】依据加法的结合律进行计算即可．
【解答】解：原式＝[1+（﹣2）]+[（+3）+（﹣4）]+…+[（+99）+（﹣100）]+（+101）＝﹣50+（101）
＝51．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法，应用加法的运算律进行简便计算是解题的关键．
4．用适当的方法计算：
（1）0.34+（﹣7.6）+（﹣0.8）+（﹣0.4）+0.46；
（2）（﹣18.35）+（+6.15）+（﹣3.65）+（﹣18.15）．
【分析】（1）利用结合律简便计算法计算；
（2）利用结合律简便计算法计算；
【解答】解：（1）0.34+（﹣7.6）+（﹣0.8）+（﹣0.4）+0.46
＝（0.34+0.46）+（﹣0.8）+[（﹣0.4）+（﹣7.6）]
＝0.8+（﹣0.8）+（﹣8）
＝﹣8；
（2）（﹣18.35）+（+6.15）+（﹣3.65）+（﹣18.15）
＝（﹣18.35）+（﹣3.65）+（﹣18.15）+6.15
＝﹣22+（﹣18.15）+6.15
＝﹣40.15+6.15
＝﹣34．
【点评】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则．
5．（2023秋•黔南州期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
5 2 3 1
计算﹣1 +(−2 )+9 +(−3 )．
6 3 4 2
5 2 3 1
解：原式＝[（﹣1）+（− ）]+[（﹣2）+（− ）]+（9+ ）+[（﹣3）+（− ）]
6 3 4 2
5 2 3 1
＝[（﹣1）+（﹣2）+9+（﹣3）]+[（− ）+（− ）+ +（− ）]
6 3 4 2
5
＝3+（− ）
4
7
=
4
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．5 2 1 5 3
（﹣2023 ）+（﹣2022 ）+（﹣1 ）+（− ）+4045
6 3 2 6 4
5 2 1 5 3
【分析】根据题意用拆项法把原式化为（﹣2023﹣2022﹣1+4045）+（− − − − + ）计算即可．
6 3 2 6 4
5 2 1 3
【解答】解：原式＝[（﹣2023）+（− ）]+[（﹣2022）+（− ）]+[（﹣1）+（− ）]+4045+ +（
6 3 2 4
5
− ）
6
5 2 1 5 3
＝（﹣2023﹣2022﹣1+4045）+（− − − − + ）
6 3 2 6 4
3 17
＝﹣1+ −
4 6
1
＝﹣3 ．
12
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握把有理数加减法统一成加法，巧
6．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．
（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）；
（2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5．
【分析】（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果；
（2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果．
【解答】解：（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）
＝[（﹣248）+（﹣752）]+[（﹣433）+433]
＝﹣1000；
（2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5
＝[（﹣0.8）+0.8]+（1.2+3.5）+[（﹣0.7）+（﹣2.1）]
＝0+4.7+（﹣2.8）
＝1.9．
【点评】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．
7．计算：
4 1 3 1
（1）1 +（﹣2 ）+ + ；
7 3 7 3
4 4 4 13
（2）（− ）+（− ）+ +（− ）；
13 17 13 172 1 1 1
（3）（﹣4 ）+（﹣3 ）+6 +（﹣2 ）．
3 3 2 4
【分析】（1）先算同分母分数，再相加即可求解；
（2）先算同分母分数，再相加即可求解；
（3）先算同分母分数，再相加即可求解．
4 1 3 1
【解答】解：（1）1 +（﹣2 ）+ +
7 3 7 3
4 3 1 1
＝（1 + ）+（﹣2 + ）
7 7 3 3
＝2﹣2
＝0；
4 4 4 13
（2）（− ）+（− ）+ +（− ）
13 17 13 17
4 4 4 13
＝（− + ）+（− − ）
13 13 17 17
＝0﹣1
＝﹣1；
2 1 1 1
（3）（﹣4 ）+（﹣3 ）+6 +（﹣2 ）
3 3 2 4
2 1 1 1
＝（﹣4 −3 ）+（6 −2 ）
3 3 2 4
1
＝﹣8+4
4
3
＝﹣3 ．
4
【点评】本题考查了有理数加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异
号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
8．计算:
（1）23+（﹣17）+6+（﹣22）
（2）﹣6.35+（﹣1.4）+（﹣7.6）+5.35
1 5 2 1
（3）（− ）+（− ）+（− ）+（+ ）
3 2 3 2
（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）5 2 1
（5）（﹣3 ）+（+15.5）+（﹣6 ）+（﹣5 ）
7 7 2
【分析】（1）先化简，再计算加减法；
（2）根据加法的交换律和结合律简便计算．
（3）利用加法交换律和结合律计算得出答案；
（4）利用加法交换律结合律计算得出答案．
（5）原式结合后，相加即可求出值．
【解答】解：（1）23+（﹣17）+6+（﹣22）
＝23﹣17+6﹣22
＝29﹣39
＝﹣10；
（2）﹣6.35+（﹣1.4）+（﹣7.6）+5.35
＝（﹣6.35+5.35）+（﹣1.4﹣7.6）
＝﹣1﹣9
＝﹣10．
1 5 2 1
（3）（− ）+（− ）+（− ）+（+ ）
3 2 3 2
1 2 5 1
＝（− − ）+（− + ）
3 3 2 2
＝﹣1﹣2
＝﹣3；
（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）
＝（0.56+0.44）+（﹣0.9﹣8.1）
＝1﹣9
＝﹣8．
5 2 1
（5）（﹣3 ）+（+15.5）+（﹣6 ）+（﹣5 ）
7 7 2
5 2 1
＝（﹣3 −6 ）+（15.5﹣5 ）
7 7 2
＝﹣10+10
＝0．
【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握运算法则，注意加法运算定律的应用．题型五 有理数加减法与数轴的综合
解题技巧提炼
用有理数的减法可以表示数轴上两点之间的距离，若A、B 两点在数轴上分别表
示 a、b，则 AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|，即在数轴上任意两点之间
的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值.
1．（2023秋•茂名期中）有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．﹣a+b＜0 D．﹣a﹣b＞0
【分析】先根据数轴分析出a与b的取值范围，再逐项进行判断即可．
【解答】解：由题可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|，
A．a+b＜0，结论错误；
B．a﹣b＜0，结论错误；
C．﹣a+b＞0，结论错误；
D．﹣a﹣b＞0，结论正确；
故选：D．
【点评】本题考查了数轴，有理数的加减运算，根据a、b在数轴上的位置以及掌握有理数加减运算法则
是解题的关键．
2．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q
四个数中负数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定数的正负．
【解答】解：∵n+q＝0
∴n与q互为相反数．
∴原点为O．
则在原点左侧的数有三个．
即m，n，p，q四个数中负数有3个．故选：C．
【点评】本题主要考查了数轴和正负数，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键．
3．（2023春•香坊区期末）如图，在数轴上，点O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．
根据图中各点的位置（OA＞OB），下面式子结果为正数的是（ ）
A．a+b B．a+c C．c+（﹣b） D．a+（﹣c）
【分析】根据点A、B、C所在数轴上的位置，判断各个数的大小及绝对值，从而得出判断即可．
【解答】解：由点A、B、C所在数轴上的位置可知，
c＜a＜0＜b，且|c|＞|a|＞|b|，
∴a+b＜0，a+c＜0，c+（﹣b）＜0，a+（﹣c）＞0，
故选：D．
【点评】本题考查数轴，正数和负数，掌握数轴表示数的方法，理解符号和绝对值是确定有理数的必要
条件．
4．已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②
a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的有 （填序号）．
【分析】根据图示，可得：a＞0，然后根据a+b＜0，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞0，a+b＜0，
∴b＜0，
∴①符合题意；
∵a＞0，a+b＜0，
∴b＜0，
∴a﹣b＞0，
∴②不符合题意；
∵a＞0，a+b＜0，
∴b＜﹣a＜a＜﹣b，
∴③符合题意；
∵a＞0，a+b＜0，∴|a|＜|b|，
∴④符合题意，
∴结论正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数轴的特征和应用，掌握有理数的加减运算法
则是解答本题的关键．
5．（2023秋•鼓楼区校级期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应点分别为A，B，C，点A，B在数轴上
的位置如图所示．若|b|＝5，AC＝2，则a+b﹣c的值为 ．
【分析】由数轴可知，a＞0，c＞0，b＜0，因此b＝﹣5，c﹣a＝2，所以a+b﹣c＝b+（a﹣c）＝b﹣（c﹣
a）＝﹣5﹣2＝﹣7．
【解答】解：由数轴可知，a＞0，c＞0，b＜0，
∵|b|＝5，AC＝2，
∴b＝﹣5，c﹣a＝2，
∴a+b﹣c＝b+（a﹣c）＝b﹣（c﹣a）＝﹣5﹣2＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了数轴、绝对值与有理数的加减混合运算，正确理解绝对值的意义是解题的关键．
6．（2023秋•东莞市校级期中）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，|b|＝|c|．
（1）确定符号：a 0，b 0，c 0，b+c 0，a﹣c 0；
（2）化简：|a|+|c|﹣|b|；
（3）化简：|a|﹣|a﹣c|．
【分析】（1）根据数轴确定数的正确，根据有理加减法则判断代数式的正负；
（2）根据绝对值的性质进行计算便可；
（3）根据绝对值的性质进行计算便可．
【解答】解：（1）由数轴知，a＜0，b＜0，c＞0，b+c＝0，a﹣c＜0，
故答案为：＜；＜；＞；＝；＜；
（2）|a|+|c|﹣|b|
＝﹣a+c﹣（﹣b）
＝﹣a+c+b；（3）|a|﹣|a﹣c|
＝﹣a﹣（c﹣a）
＝﹣a﹣c+a
＝﹣c．
【点评】本题考查数轴，绝对值，关键是数形结合解题．
7．（2023秋•浑南区月考）数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段
AB＝0﹣（﹣1）＝1；线段BC＝2﹣0＝2；线段AC＝2﹣（﹣1）＝3．
则：（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝ ；
（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝ ；
（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为 ．
【分析】（1）根据题意，可以计算出线段MN的长；
（2）根据题意，可以计算出线段EF的长；
（3）根据题意，可以得到m﹣2＝5或m﹣2＝﹣5，从而可以得到m的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
线段MN＝1﹣（﹣9）＝1+9＝10，
故答案为：10；
（2）由题意可得，
线段EF＝﹣3﹣（﹣6）＝﹣3+6＝3，
故答案为：3；
（3）由题意可得，
m﹣2＝5或m﹣2＝﹣5，
解得m＝7或﹣3，
故答案为：7或﹣3．
【点评】本题考查有理数的混合运算、数轴，掌握有理数混合运算的计算方法是关键．
题型六 有理数加减法与相反数、绝对值的综合解题技巧提炼
1、利用相反数的意义：互为相反数的两个数的和为0；
2、利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，每个非负数都要为0.
3、利用有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符
号，再让较大的绝对值减去较小的绝对值．
1．（2024春•香坊区校级月考）已知：|x|＝8，y＝﹣5，且x＜y，则x﹣y的值为 ．
【分析】先根据绝对值的意义得到x＝±8，再由x＜y得到x＝﹣8，据此代值计算即可得到答案．
【解答】解：∵|x|＝8，
∴x＝±8，
∵y＝﹣5，且x＜y，
∴x＝﹣8，
∴x﹣y＝﹣8﹣（﹣5）＝﹣8+5＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查有理数的减法、绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
2．（2024•邹城市校级模拟）已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，则b﹣2a＝ ．
【分析】根据绝对值的定义求出a、b的值，再根据|a﹣b|＝b﹣a进一步确定a、b的取值，最后代入b﹣
2a中计算即可．
【解答】解：∵|a|＝5，
∴a＝±5，
∵|b|＝3，
∴b＝±3，
∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴a﹣b≤0，
∴a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3，
∴b﹣2a＝3﹣2×（﹣5）＝13或b﹣2a＝﹣3﹣2×（﹣5）＝7，
故答案为：7或13．
【点评】本题考查了绝对值，有理数的减法，熟知绝对值的性质是解题的关键．
3．如果a﹣b＞0，且a+b＜0，那么一定正确的是（ ）
A．a为正数，且|b|＞|a| B．a为正数，且|b|＜|a|
C．b为负数，且|b|＞|a| D．b为负数，且|b|＜|a|
【分析】根据a﹣b＞0可知a＞b，然后两种情况：b≥0或b＜0分别讨论．【解答】解：∵a﹣b＞0，
∴a＞b，
①b≥0则a一定是正数，此时a+b＞0，与已知矛盾，
∴b＜0，
∵a+b＜0，
当b＜0时，
①若a、b同号，
∵a＞b，
∴|a|＜|b|，
②若a、b异号，
∴|a|＜|b|，
综上所述b＜0时，a＞0，|a|＜|b|．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的减法、绝对值、有理数的加法、正数和负数，掌握加法、减法运算法
则，分情况讨论是解题关键．
4．（2023秋•兴化市校级月考）设a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是最大的负整数，则a、b、
c三数绝对值的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据最小的自然数，最小的正整数，最大的负整数得出a、b、c的值即可得出结论．
【解答】解：∵a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是最大的负整数，
∴a＝0，b＝1，c＝﹣1，
∴|a|+|b|+|c|＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数的相关概念，根据最小的自然数，最小的正整数，最大的负整数得出a、b、c
的值是解题的关键．
5．（2023秋•双流区期中）若有理数x，y满足|x|＝4，|y﹣2|＝3，且|x+y|＝|x|+|y|，求x﹣y的值．
【分析】根据|x|＝4，|y﹣2|＝3，求出x＝±4，y＝5或﹣1，再根据|x+y|＝|x|+|y|，可得x＝4，y＝5或x＝﹣
4，y＝﹣1，然后分情况求出x﹣y的值．
【解答】解：∵|x|＝4，
∴x＝±4，
又|y﹣2|＝3，∴y﹣2＝±3，
解得y＝5或﹣1，
∵|x+y|＝|x|+|y|，
∴x＝4，y＝5或x＝﹣4，y＝﹣1，
∴x﹣y＝﹣1或﹣3．
【点评】本题考查了绝对值以及有理数的加减法，解答本题的关键是根据题目所给的条件求出x和y的值．
6．（2022秋•崇川区期中）若|a|＝5，|b|＝3．
（1）若a＞0，b＜0，求a+b的值；
（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．
【分析】（1）根据题意得出a和b的值，即可得出结论；
（2）根据题意得出a和b的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝3，a＞0，b＜0，
∴a＝5，b＝﹣3，
∴a+b＝5﹣3＝2；
（2）∵|a|＝5，|b|＝3，|a+b|＝a+b，
∴a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3，
∴a﹣b＝5﹣3＝2或a﹣b＝5﹣（﹣3）＝8，
即a﹣b的值为2或8．
【点评】本题主要考查有理数的加减计算，熟练掌握有理数的加减是解题的关键．
7．（2023秋•江油市月考）已知|x|＝3，|y|＝7．
（1）若x＞0，y＜0，求x+y的值；
（2）若x＜y，求x﹣y的值．
【分析】（1）先根据已知条件，求出x，y值，再根据x＞0，y＜0，求出x+y；
（2）由（1）中求出的x，y值，根据x＜y，取值进行计算即可．
【解答】解：（1）∵|x|＝3，|y|＝7，
∴x＝±3，y＝±7
∵x＞0，y＜0，
∴x＝3，y＝﹣7，
∴x+y＝3+（﹣7）＝﹣4；
（2）∵x＝±3，y＝±7，x＜y，
∴x＝﹣3，y＝7或x＝3，y＝7，当x＝﹣3，y＝7时，x﹣y＝﹣3﹣7＝﹣10，
当x＝3，y＝7时，x﹣y＝3﹣7＝﹣4，
∴x﹣y的值为﹣10或﹣4．
【点评】本题主要考查了有理数的加减法，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则．
8．（2023秋•镜湖区校级期中）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝
1 1 1 1 1 1 1 1
对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；| − |= − ；| − |= − ．
2 3 2 3 3 2 2 3
观察上述式子的特征，解答下列问题：
（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：
①|23﹣47|＝ ；
2 2 2 2
② | − |= − ；
3 5 3 5
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝ ；当a＜b时，|a﹣b|＝ ；
1 1 1 1 1 1 1
（3）计算：| −1|+| − |+| − |+⋯+| − |．
2 3 2 4 3 2022 2021
【分析】（1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简；
（2）根据绝对值的意义进行化简；
（3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算．
2 2 2 2
【解答】解：（1）①|23﹣47|＝47﹣23；② | − |= − ；
3 5 3 5
2 2
故答案为：47﹣23， − ；
3 5
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a；
故答案为：a﹣b，b﹣a；
1 1 1 1 1 1 1
（3）原式＝1− + − + − +•••+ −
2 2 3 3 4 2021 2022
1
＝1−
2022
2021
= ．
2022
【点评】本题考查有理数的加减运算，理解绝对值意义，掌握有理数加减运算法则，探索数字变化规律
是解题关键．题型七 有理数加减法的程序计算题
解题技巧提炼
利用有理数的加减混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程
序，根据程序列出算式解答即可．
1．按如图所示的程序分别输入﹣1进行计算，请写出输出结果（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】将﹣1输入计算出结果，然后与2比较，如果大于2就输出，如果小于2，再将结果重新代入程
序计算，直到结果大于2为止．
【解答】解：当输入﹣1时，
﹣1+4+（﹣3）+1＝1＜2，
1+4+（﹣3）+1＝3＞2，
∴输出结果为3，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的结果．
2．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2
【分析】把各选项中的数值代入按运算规则运算即可．
【解答】解：A．依题意有﹣1+4﹣（﹣3）﹣5＝1＜2，
1+4﹣（﹣3）﹣5＝3＞2，输出；
B．依题意有﹣2+4﹣（﹣3）﹣5＝0＜2，
0+4﹣（﹣3）﹣5＝2；
2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出；C．依题意有0+4﹣（﹣3）﹣5＝2，
2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出；
D.2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出；
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握图中程序运算是解本题的关键．
3．按图中计算程序计算，若开始输入的值为﹣2，则最后输出的结果是 ．
【分析】把﹣2代入计算程序中计算即可求出输出结果．
【解答】解：把﹣2代入计算程序得：（﹣2）+5＝3＜9，
把3代入计算程序得：3+5＝8＜9，
把8代入计算程序得：8+5＝13＞9，
则最后输出的结果为13．
故答案为：13．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清计算程序的运算是解本题的关键．
4．根据如图所示的程序计算，若输入的x值为6，则输出的结果为 ．【分析】根据运算程序列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：6+（﹣5）+（﹣3）+4＝2，2+（﹣5）+（﹣3）+4＝﹣2，故输出的结果为﹣2，
故答案为：﹣2
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程
序列出算式．
5．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和﹣4，则输出的值分别为 ．
【分析】先计算出|x|﹣4的值，判断是否为正，再进一步计算即可．
【解答】解：输入x的值为6时，|6|﹣4＝6﹣4＝2＞0，
输出的值为2+2＝4；
输入x的值为﹣4时，|﹣4|﹣4＝4﹣4＝0，
输出的值为0+5＝5；
所以输出的值分别为4和5，
故答案为：4和5．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序
和运算法则．
题型八 有理数加减法的新定义运算问题解题技巧提炼
有理数加减法的新定义运算问题主要是根据新定义运算的法则列出算式，然后再
进行计算即可．
1．（2022秋•石门县期末）规定图形 表示运算a﹣b+c，图形 表示运算x+z﹣y﹣w，则
+ ＝ （直接写出答案）．
【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：1﹣2+3+4+6﹣5﹣7＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
2．我们规定“※”是一种数学运算符号，A※B＝（A+B）﹣（A﹣B），那么3※（﹣5）＝ ．
【分析】根据新运算代数计算即可．
【解答】解：∵A※B＝（A+B）﹣（A﹣B），
∴3※（﹣5）
＝[3+（﹣5）]﹣[3﹣（﹣5）]
＝（﹣2）﹣8
＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方
法，再用新运算方法计算要求的式子即可．
3．“△”表示一种新的运算符号，已知：2△3＝2﹣3+4，7△2＝7﹣8，3△5＝3﹣4+5﹣6+7，…；按此
规则，计算：
（1）10△3＝ ．
（2）若x△7＝2003，则x＝ ．
【分析】（1）根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加减，
依此列式可求10△3的结果；
（2）根据x△7＝2003，得到关于x的方程，再解方程即可求解．
【解答】解：（1）10△3＝10﹣11+12＝11；（2）∵x△7＝2003，
∴x﹣（x+1）+（x+2）﹣（x+3）+（x+4）﹣（x+5）+（x+6）＝2003，
解得x＝2000．
故答案为：11；2000．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，关键是正确理解题目中所给的例子的含义．
4．（2023秋•孝南区期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“ ”，规定：a b＝|a+b|﹣|a﹣b|
（1）计算2 （﹣3）的值； ⊕ ⊕
（2）若a a⊕＝8，则a＝ ．
【分析】（⊕1）根据新定义规定的运算公式列式计算可得；
（2）根据新定义规定的计算公式可得a a＝|a+a|﹣|a﹣a|＝|2a|＝2|a|，即2|a|＝8，解之可得．
【解答】解：（1）2 （﹣3）＝|2﹣3|﹣⊕|2+3|＝﹣4；
（2）a a＝|a+a|﹣|a⊕﹣a|＝|2a|＝2|a|，
由条件⊕得2|a|＝8，
∴a＝±4，
故答案为：±4．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握新定义规定的运算公式和有理数的混
合运算顺序及运算法则．
5
5．设[a]表示不超过a的最大整数，例如：[3.1]=3，[−3 ]=−4，[4]=4．
6
1
（1）填空：[2 ]= ；[3.6]＝ ．
5
4 4
（2）令（a）＝a﹣[a]，求（3 ）﹣[﹣2.4]+（﹣7 ）（说明：此式第一，三项表示所定义的运算）．
5 5
1
【分析】（1）由定义可得[2 ]=2，[3.6]＝3；
5
4 4 4 4
（2）先化简原式＝3 −[3 ]﹣（﹣3）+（﹣7 ）﹣[﹣7 ]，再求解即可．
5 5 5 5
【解答】解：（1）∵[a]表示不超过a的最大整数，
1
∴[2 ]=2，[3.6]＝3，
5
故答案为：2，3；
4 4
（2）（3 ）﹣[﹣2.4]+（﹣7 ）
5 54 4 4 4
＝3 −[3 ]﹣（﹣3）+（﹣7 ）﹣[﹣7 ]
5 5 5 5
4 4
＝3 −3+3﹣7 −（﹣8）
5 5
＝﹣4+8
＝4．
【点评】本题考查新定义，理解定义，能够将所求问题转化为有理数运算是解题的关键．
|a−b+c|−(a+b−c)
6．阅读下列材料，并解答问题定义一种新运算：a★b★c= （等号右边是常规的
c
有 理 数 加 减 法 则 运 算 ） ， 例 如 ： （ ﹣ 2 ） ★ （ ﹣ 1 ） ★ 3
|(−2)−(−1)+3|−[(−2)+(−1)−3] |−2+1+3|−(−2−1−3) 2−(−6) 8
= = = =
3 3 3 3
（1）计算：（﹣5）★3★4；
4
（2）计算：（﹣4）★（− ）★2．
5
|a−b+c|−(a+b−c)
【分析】（1）根据a★b★c= ，可以计算出所求式子的值；
c
|a−b+c|−(a+b−c)
（2）根据a★b★c= ，可以计算出所求式子的值．
c
【解答】解：（1）（﹣5）★3★4
|(−5)−3+4|−[(−5)+3−4]
=
4
4−(−6)
=
4
4+6
=
4
10
=
4
＝2.5；
4
（2）（﹣4）★（− ）★2
5
4 4
|(−4)−(− )+2|−[(−4)+(− )−2]
5 5
=
21 4
1 −(−6 )
5 5
=
2
1 4
1 +6
5 5
=
2
8
=
2
＝4．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值．
题型九 有理数加减混合运算在实际生活中的应用
解题技巧提炼
用有理数的加减混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成
数学问题，常见的实际问题有距离问题、高度问题、温差问题等.
1．（2023秋•宝鸡期末）某校七年级六个班组织举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸
均以5千克为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，一班到五班收集的废纸质量分别是+1，+2，
﹣1.5，0，﹣1（单位：千克），六个班共收集了33千克的废纸．
（1）求六班收集的废纸的质量；
（2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的
总质量．
【分析】（1）由题意得，5个班收集纸和为：5×5+1+2﹣1.5+0﹣1，即可求解；
（2）由题意得，一、二、六班为前3名，可获得荣誉称号，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得，5个班收集纸和为：5×5+1+2﹣1.5+0﹣1＝25.5（千克），
则六班收集的废纸的质量为33﹣25.5＝7.5（千克）；
（2）由题意得，一、二、六班为前3名，可获得荣誉称号，
则获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为：7.5+（5+1）+（5+2）＝20.5（千克）．
【点评】本题主要考查正负数表示的意义、有理数的加法，熟练掌握正负数表示的意义、有理数的加法
运算法则是解决本题的关键．
2．（2023秋•遂川县期末）国家对进出口茶叶的衡量检验规定，500g装茶叶实际重量与标明重量允许误
差为±2.5g．误差范围内为重量合格品，超出误差值为重量不合格品，今抽查10袋某品牌茶叶，每袋茶叶的标准重量是500克，超出部分记为正，统计成下表：
茶叶的袋数 2 3 3 1 1
每袋超出标准的克数 +1 +1.4 0 ﹣2.6 ﹣2
（1）求所抽查的10袋茶叶中的合格率；
（2）求这10袋茶叶的总重量．
【分析】（1）先求出表格中数的绝对值，然后与2.5进行比较，从而求出答案即可；
（2）先列出算式求出总的是超过还是不足的克数，然后列出算式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵|+1|＜2.5，|+1.4|＜2.5，|+0|＜2.5，|﹣2.6|＞2.5，﹣2|＜2.5，
∴2+3+3+1＝9（袋），9÷10＝90%，
∴合格产品有9袋，合格率为90%；
（2）2×1+3×1.4+3×0+1×（﹣2.6）+1×（﹣2）
＝2+4.2+0﹣2.6﹣2
＝6.2﹣4.6
＝1.6（克），
500×10+1.6＝5001.6（克），
答：这10袋茶叶质量为5001.6克．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则．
3．（2023秋•西华县期末）某市一公交车从起点到终点共有8个站．一天，公交车从起点开往终点，在
起点站开出时上了一部分乘客，从第二站开始下车、上车的乘客数如表：
站次 二 三 四 五 六 七 八
下车 8 5 7 13 11 7 10
上车 6 12 11 8 10 4 0
（1）求起点站上车的人数；
（2）若每上1人次收费1.5元，求这趟公交车从起点到终点的总收入．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）10﹣4+7﹣10+11﹣8+13﹣11+7﹣12+5﹣6+8＝10（人），
即起点站上车的人数为10人；
（2）（10+6+12+11+8+10+4）×1.5
＝61×1.5
＝91.5（元），即这趟公交车从起点到终点的总收入为91.5元．
【点评】本题考查有理数混合运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
4．（2023秋•西城区校级期中）一辆货车从仓库出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次
到达的5个销售地点分别为A，B，C，D，E．最后回到仓库．货车行驶的记录（单位：千米）如下：
+1，+3，﹣6，﹣1，﹣2，+5．
（1）试求出该货年共行驶了多少千米；
（2）如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则
运往A，B，C，D，E五个地点的水果质量可记为+50，﹣15，+25，﹣10，+15，则该货车运送的水果总
质量是多少千克？
【分析】（1）根据题意把所走路程记录的绝对值相加即可；
（2）根据题意，算出A、B、C、D、E的水果质量，然后相加即可得．
【解答】解：（1）|+1|+|+3|+|﹣6|+|﹣1|+|﹣2|+|+5|＝1+3+6+1+2+5＝18（千米），
答：该货车共行驶18千米；
（2）（100+50）+（100﹣15）+（100+25）+（100﹣10）+（100+15）
＝150+85+125+90+115
＝565（千克）．
答：该货车运送的水果总质量是565千克．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
5．（2023秋•黔南州期末）小伟是一个懂事的孩子，他每天都会从妈妈给的零花钱中存下一部分，他原
计划每天存5元，下表是小伟在某一周实际各天存钱的情况（多存记为“+”，不足记为“﹣”）．
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
存钱 ﹣1 +2 0 ﹣3 +1 ﹣1 +3
（元）
（1）小伟在这一周中存钱最多的一天是星期 ，这一天存了 元．
（2）请计算小伟这一周存了多少钱？
【分析】（1）根据题意列出算式，算出每天存的钱数，通过比较，进行解答即可；
（2）根据（1）中的计算结果，列出算式，求出答案即可．
【解答】解：（1）由题意可知：
星期一存钱为：﹣1+5＝4（元）；
星期二存钱为：2+5＝7（元）；
星期三存钱为：0+5＝5（元）；星期四存钱为：﹣3+5＝2（元）；
星期五存钱为：1+5＝6（元）；
星期六存钱为：﹣1+5＝4（元）；
星期日存钱为：+3+5＝8（元）；
∴小伟在这一周中存钱最多的一天是星期日，这一天共存了8元钱，
故答案为：日，8；
（2）小伟这一周存的钱数为：
4+7+5+2+6+4+8
＝（4+6+2+8）+（7+5+4）
＝20+16
＝36（元）．
【点评】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是理解题意列出算式．
6．（2023秋•兴隆县期末）学校图书馆以每天借出50册图书为标准．超出部分用正数表示，不足部分用
负数表示．上星期图书馆借出图书记录如下：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
0 +8 +6 ﹣3 ﹣7
（1）星期五借出 册图书；
（2）星期二比星期四多借出 册图书；
（3）这五天共借出多少册图书？
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（3）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【解答】解：（1）50﹣7＝43（册），
即星期五借出43册图书，
故答案为：43；
（2）8﹣（﹣3）＝8+3＝11（册），
即星期二比星期四多借出11册图书，
故答案为：11；
（3）50×5+（0+8+6﹣3﹣7）
＝250+4
＝254（册），即这五天共借出254册图书．
【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
7．（2023秋•玉门市期末）宜宾叙州区水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”
表示出库）：
+50、﹣45、﹣33、+48、﹣49、﹣36．
（1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥多少吨？
（3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费．
【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；
（2）根据有理数的减法运算，可得答案；
（3）根据装卸都付费，可得总费用．
【解答】解：（1）+50+（﹣45）+（﹣33）+（+48）+（﹣49）+（﹣36）
＝50﹣45﹣33+48﹣49﹣36
＝﹣65．
答：仓库里的水泥减少了，减少了65吨；
（2）200﹣（﹣65）＝265（吨）
答：6天前，仓库里存有水泥265吨；
（3）（|+50|+|﹣45|+|﹣33|+|+48|+|﹣49|+|﹣36|）×5
＝261×5
＝1305（元）
答：这6天要付1305元的装卸费．
【点评】本题考查了正数和负数，（1）有理数的加法是解题关键；（2）剩下的减去多运出的就是原来
的，（3）装卸都付费．
8．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划
量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9
（1）根据记录可知前三天共生产 辆；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元
少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据最大数减最小数，可得答案；
（3）根据实际生产的量乘以单价，可得工资，根据超出的部分或不足的部分乘以每辆的奖金，可得奖金，
根据工资加奖金，可得答案．
【解答】解：（1）5﹣2﹣4+200×3＝599（辆）；
（2）16﹣（﹣10）＝26（辆）；
（3）5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9＝9，
（1400+9）×60+9×15＝84675（元）．
故答案为：599，26，84675．
【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．
