专题 22.3 动点的函数图象问题
◆ 思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学
问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象
的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
◆ 典例分析
【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、
G分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点
A方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜
边作Rt△PMN，点N在AB上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，
则S与t之间的函数关系图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，
0.5<t≤1，1<t≤2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2两
段，用排除法解决．
【解题过程】
解：分析平移过程，
①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t≤0.5，如图，则BM=2t，
过点M作MT⊥BC于点T，
∵∠B=60°，CD⊥AB，
1
∴BC=2BD=4，CD=❑√3BD=2❑√3，BT= BM=t，
2
∵∠ACB=90°，MP∥BC，
∴∠ACB=∠MPA=90°，
∴四边形CTMP为矩形，
∴PM=CT=BC−BT=4−t，
∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，
PM 4−t
∴MN= = ，
2 2
3t
∴DN=MN−MD=MN−BD+BM= ，
2
∵E为CD中点，
CD
∴DE= =❑√3，
2
3❑√3t
∴S=DE⋅DN= ，
2
∴S与t的函数关系是正比例函数；
②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点D重合，如图，
3 3❑√3t
由①可得QN=ED=❑√3，DM=2−2t，DN= t，S = ，
2 矩形EDNQ 2
∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，
∴SD=❑√3MD=2❑√3−2❑√3t，
∴ES=ED−SD=2❑√3t−❑√3，ES
∴ER= =2t−1，
❑√3
3❑√3t 1 7❑√3t ❑√3
∴S=S −S = − (2❑√3t−❑√3)(2t−1)=−2❑√3t2+ − ，
矩形EDNQ △ERS 2 2 2 2
此函数图象是开口向下的二次函数；
③当1<t≤2，即从点M与点D重合至点M到达终点，如图，
3 4−t
由①可得DN= t，MN= ，
2 2
1
∵AD=❑√3CD=6， DG= AD=3，
2
3
∴NG=DG−DN=3− t，
2
3
∴QF=NG=3− t，
2
QF ❑√3
∴PQ= =❑√3− t，
❑√3 2
PQ 1
∴HQ= =1− t，
❑√3 2
( 1 4−t)
1− t+ ×❑√3
∴ (HQ+MN)×QN 2 2 ❑√3 3❑√3，
S= = =− t+
2 2 2 2
∴S与t的函数关系是一次函数，
综上，只有选项A的图象符合，
故选：A．
◆ 学霸必刷
1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm，动点M自点A出发沿AB方
向以每秒1cm的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线AD－DC－CB以每秒2cm的速度运
动，到达点B时运动同时停止．设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致
反映y与x之间的函数关系的是（ ）A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关
键．根据题意，分三段（0<x<1，1≤x<3，3≤x<4）分别求解y与x的解析式，从而求解．
【解题过程】
解：当0<x<1时，M、N分别在线段AB、AD上，
此时AM=xcm，AN=2xcm，
1
y=S = ×AM×AN=x2 ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；
△AMN 2
当1≤x<3时，M、N分别在线段AB、CD上，此时AM=xcm，△AMN底边AM上的高为AD=2cm，
1
y=S = ×AM×AD=x，为一次函数，图象为直线；
△AMN 2
当3≤x<4时，M、N分别在线段AB、BC上，
此时AM=xcm，△AMN底边AM上的高为BN=(8−2x)cm，
1 1
y=S = ×AM×BN= x(8−2x)=−x2+4x，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；
△AMN 2 2
结合选项，只有A选项符合题意，
故选：A．
2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=2❑√2，P为BC边上
一动点，PQ∥AB交AC于点Q，连接BQ，设PB=x，S = y，则能表示y与x之间的函数关系的图
△BPQ
象大致是（ ）
A． B．C． D．
【思路点拨】
1
过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，根据S = y= QE⋅BP列出解析式再判断即可．
△BPQ 2
【解题过程】
解：如图，过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，
∵AC=BC=2❑√2
∴∠A=∠ABC
∵PQ∥AB，
∴∠CQP=∠A,∠CPQ=∠ABC
∴∠CQP=∠CPQ
∴CQ=CP=2❑√2−x．
∵∠ACB=135°
∴∠ECQ=45°
在Rt△CEQ中，∠ECQ=45°，
❑√2 ❑√2 ❑√2
∴QE= CQ= (2❑√2−x)=2− x，
2 2 2
∴y= 1 QE⋅BP= 1 x ( 2− ❑√2 x ) =− ❑√2 x2+x=− ❑√2 (x−❑√2) 2+ ❑√2 .
2 2 2 4 4 2
❑√2
∴当x=❑√2时，y = ，
最大值 2
故选：C.
3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC和△≝¿均为边长为4的等边三角形，点A从点D运动到点E的过程中，AB和DF相交于点G，AC和EF相交于点H，(S +S )为纵坐标y，点A移动的距
△BGF △FCH
离为横坐标x，则y与x关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
如图，过G作GK⊥BC于K，过H作HT⊥BC于T，证明四边形ACFD为平行四边形，可得
1 ❑√3
AD=CF=x，BF=4−x，求解CT=FT= x，TH=❑√FH2−FT2= x，同理可得：
2 2
❑√3
GK= (4−x)，再利用面积公式建立函数关系式即可判断．
2
【解题过程】
解：如图，过G作GK⊥BC于K，过H作HT⊥BC于T，由题意可得：AD∥CF，DF∥AC，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴AD=CF=x，
∴BF=4−x，
∵△ABC和△≝¿均为边长为4的等边三角形，AD∥CF，
∴∠D=∠DFB=60°，而∠B=60°，
∴△BGF为等边三角形，
同理：△CFH为等边三角形，
∵HT⊥BC，
1 ❑√3
∴CT=FT= x，TH=❑√FH2−FT2= x，
2 2
❑√3
同理可得：GK= (4−x)，
2
1 ❑√3 1 ❑√3
∴y= x⋅ x+ (4−x)⋅ (4−x)
2 2 2 2
❑√3
= x2−2❑√3x+4❑√3，
2
故选B
4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，AC与BD交于点O，M
是BC的中点．P、Q两点沿着B→C→D方向分别从点B、点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，
当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P、Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积随时间t变化的图
象最接近的是（ ）
A． B． C． D．【思路点拨】
本题考查了动点问题函数图象．根据矩形的性质求出点O到BC的距离等于4，到CD的距离等于6，求出
点Q到达点C的时间为6s，点P到达点C的时间为12s，点Q到达点D的时间为14s，然后分①0≤t≤6时，
点P、Q都在BC上，表示出PQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<t≤12时，点P在BC
上，点Q在CD上，表示出CP、CQ，然后根据S =S +S −S 列式整理即可得解；③
ΔOPQ ΔCOP ΔCOQ ΔPCQ
12<t≤14时，表示出PQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解题过程】
解：∵矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，AC与BD交于点O，
1 1
∴点O到BC的距离= AB=4，到CD的距离= AD=6，
2 2
∵点M是BC的中点，
1
∴CM= BC=6，
2
∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s，
点P到达点C的时间为12÷1=12s，
点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s，
①0≤t≤6时，点P、Q都在BC上，PQ=6，
1
△OPQ的面积= ×6×4=12；
2
②6<t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，
CP=12−t，CQ=t−6，
S =S +S −S ，
ΔOPQ ΔCOP ΔCOQ ΔPCQ
1 1 1
= ×(12−t)×4+ ×(t−6)×6− ×(12−t)×(t−6)，
2 2 2
1
= t2−8t+42，
21
= (t−8) 2+10，
2
③12<t≤14时，PQ=6，
1
△OPQ的面积= ×6×6=18；
2
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开
始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这
两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则y与x之间的函
数关系的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
先求出点P在BC上运动是时间为6秒，点Q在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得
1
AE=BE= AB，然后分①点Q在CD上时，表示出BP、CP、CQ，再根据△EPQ的面积为
2
y=S −S −S ，列式整理即可得解；②点Q在AD上时，表示出BP、AQ，再根据
梯形BCQE △BPE △PCQ
△EPQ的面积为y=S −S −S ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象
梯形ABPQ △BPE △AEQ
即可．
【解题过程】
解：∵点P、Q的速度均为每秒1个单位，
∴点P在BC上运动的时间为6÷1=6（秒），点Q在CD上运动的时间为4÷1=4（秒），
∵E为AB中点，1 1
∴AE=BE= AB= ×4=2，
2 2
①如图1，点Q在CD上时，0≤x≤4，
则BP=x,CP=6−x,CQ=x，
∴ △EPQ的面积为y=S −S −S ，
梯形BCQE △BPE △PCQ
1 1 1
= (2+x)×6− ×2x− (6−x)⋅x
2 2 2
1
= x2−x+6
2
1 11
= (x−1) 2+
2 2
②如图2，点Q在AD上时，4<x≤6，
则BP=x,AQ=6+4−x=10−x，
∴ △EPQ的面积为y=S −S −S ，
梯形ABPQ △BPE △AEQ
1 1 1
= (x+10−x)×4− ×2x− (10−x)⋅2=10，
2 2 2
{1
x2−x+6(0≤x≤4) )
综上所述，
y=
2 ，
10(4<x≤6)
函数图象为对称轴为直线x=1的抛物线的一部分加一条线段，只有A选项符合．
故选：A．
6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC中，∠B=60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为
1cm/s．点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D．点D运动2s时，点P与点A重合．△PBD的面积与运动时间 的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当 取最大值时， 的
S(cm2) t(s) S(cm2) PD
长为（ ）
A．2❑√3cm B．(1+❑√3)cm C．(1+2❑√3)cm D．(2+2❑√3)cm
【思路点拨】
本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．
先根据点D运动2s时，点P与点A重合．从而求得PD=❑√PB2−BD2=2❑√3(cm)，再由函数图象求得
BC=(2+2❑√3)×1=(2+2❑√3)cm，从而求得DC=BC−BD=2+2❑√3−2=2❑√3(cm)，得出PD=DC，
然后根据由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S 有最大值．所以当2≤t≤2+2❑√3时，点P在
△PBD
AC边上，此时BD=t×1=t(cm)，PD=DC=(2+2❑√3−t)cm，根据三角形面积公式求得
1 2
S =− [t−(1+❑√3)) +2+❑√3，最后根据二次函数的性质求解即可．
△PBD 2
【解题过程】
解：由题意知，点D运动2s时，点P，D的位置如图1所示．
此时，在Rt△PBD中，BD=2cm，∠B=60°，PD⊥BC，
∴PB=2BD=4(cm)，∴PD=❑√PB2−BD2=2❑√3(cm)．
由函数图象得BC=(2+2❑√3)×1=(2+2❑√3)cm，
∴DC=BC−BD=2+2❑√3−2=2❑√3(cm)，
∴PD=DC．
由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S 有最大值．
△PBD
当2≤t≤2+2❑√3时，点P在AC边上，如图2，
此时BD=t×1=t(cm)，PD=DC=(2+2❑√3−t)cm，
1 1 1
∴S = ×BD×PD= ×t×(2+2❑√3−t)=− t2+(1+❑√3)t．
△PBD 2 2 2
1 2
∵S =− [t−(1+❑√3)) +2+❑√3，
△PBD 2
1
又∵− <0，
2
∴当t=1+❑√3时，S 的值最大，
△PBD
此时PD=CD=2+2❑√3−(1+❑√3)=(1+❑√3)cm．
故选：B．
7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，CD⊥AD，∠BCD=90°,
AB=BC=4，动点P，Q同时从A点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线A−B−C向终点C运动；点P
以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时
间为x秒，△APQ的面积为y个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为（ ）A． B． C． D．
【思路点拨】
分当0≤x<2时，点Q在AB上和当2≤x≤4时，点Q在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解题过程】
解：过Q作QN⊥AD于N，当0≤x<2时，点Q在AB上，
∵∠A=60°，
∴∠AQN=90°−60°=30°,
1 1
∴AN= AQ= ×2x=x，
2 2
∴QN=❑√AQ2−AN2=❑√3x，1 1 ❑√3
∴y= ×AP×NQ= ×x×❑√3x= x2 ，
2 2 2
当2≤x≤4时，点Q在BC上，过点B作BM⊥AD于点M，
∵BM⊥AD，∠A=60°,
∴∠ABM=30°,
1 1
∴AM= AB= ×4=2，
2 2
∴BM=❑√AB2−AM2=2❑√3，
∵CD⊥AD，QN⊥AD，
∴QN∥CD ,
∴∠BQN=∠BCD=90°,
∵BM⊥AD, CD⊥AD，
∴四边形BMNQ是矩形，
∴QN=BM= 2❑√3 ,
1 1
y= AP⋅QN= x×2❑√3=❑√3x，
2 2
综上所述，当0≤x<2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部
分，
故选：D．
8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，
CD=❑√2，D为AC上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速
运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，
当点P由点C运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时
刻t ，t ，t (t <t <t )对应的正方形DPEF的面积均相等，当t =5t 时，则正方形DPEF的面积为
1 2 3 1 2 3 3 1
（ ）34
A．3 B． C．4 D．5
9
【思路点拨】
由题意可得：CD=❑√2，CP=t，当点P在BC上运动时S=t2+2，由图可得，当点P与点B重合时，S=6，
求出t=2，即BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点(2，6)，顶点为(4，2)，求出抛物线解析式
为S=(t−2) 2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，则从图象上看t ，t 关于x=2对称，
1 2
t ，t 关于x=4对称，t +t =4①，t +t =8②，结合t =5t ③，求出t的值即可得出答案．
2 3 1 2 2 3 3 1
【解题过程】
解：由题意可得：CD=❑√2，CP=t，
当点P在BC上运动时，S=DP2=CP2+CD2=t2+2，
由图可得，当点P与点B重合时，S=6，
∴t2+2=6，
∴t=2或t=−2（不符合题意，舍去），
∴BC=2，
当P在BA上时，由图可得抛物线过点(2，6)，顶点为(4，2)，
则抛物线的表达式为S=a(t−4) 2+2，
将(2，6)代入得：a(2−4) 2+2=6，
∴a=1，
∴抛物线的表达式为：S=(t−4) 2+2，
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻t ，t ，t (t <t <t )对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看t ，t 关于x=2
1 2 3 1 2 3 1 2
对称，t ，t 关于x=4对称，
2 3
∴t +t =4①，t +t =8②，
1 2 2 3
∵t =5t ③，
3 1
由①③③解得t =1，
1
∴S=t2+2=1+2=3，
故选：A．
9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，
点O为AC中点，点D为线段AB上的动点，连接OD，设BD＝x，OD2＝y，则y与x之间的函数关系
图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
如图:过O作OE⊥AB,垂足为E，先根据直角三角形的性质求得AB=12,AC=6❑√3，再根据中点的定义求
1 9 15
得OA= AC=3❑√3，进而求得AE=❑√AO2+OE2= 可得DE= −x，然后再根据勾股定理求得函数
2 2 2解析式，最后确定函数图像即可．
【解题过程】
解：如图:过O作OE⊥AB,垂足为E
∵∠C=90°，∠ABC=60°
∴∠A=30°
∵BC=6
∴AB=2BC=12
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√122−62=6❑√3
∵点O为AC中点
1
∴OA= AC=3❑√3
2
∵∠A=30°
1 3❑√3
∴OE= AO=
2 2
∴AE=❑√AO2+OE2=❑
√
(3❑√3) 2+
(3❑√3) 2
=
9
2 2
|15 )
∴DE= −x
2
∴OD2=OE2+DE2,即y= (3❑√3) 2 + (15 −x ) 2 = ( x− 15) 2 + 27
2 2 2 4
( 15) 2 27
当x=0时，y= 0− + =63
2 4
15 (15 15) 2 27 27
当x= 时，y= − + =
2 2 2 4 4
( 15) 2 27
当x=12时，y= 12− + =27
2 4则函数图像为
．
故选C．
10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，点D和点E分别是
AB和AC的中点，点M和点N分别从点A和点E出发，沿着A→C→B方向运动，运动速度都是1个单位
/秒，当点N到达点B时，两点间时停止运动．设△DMN的面积为S，运动时间为t，则S与t之间的函数
图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC的中点F,连接DF
根据题意得到DF和DE，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<t≤6时，得MN=AE=6，结合三角
形面积公式求解即可；（2）当6<t≤12时，得AM，MC，CN和BN，结合
S=S −S −S −S ；（3）当12<t≤14时，点M、N都在BC上，结合DF和MN求面积
ΔABC ΔADM ΔBDN ΔCMN即可．
【解题过程】
解：如图，取BC的中点F，连接DF，
1
∴DF∥AC，DF= AC=6
2
∵点D、E是中点，
1
∴DE= BC=4，DF∥CB，
2
∵∠C=90°，
∴四边形DECF为矩形，
当0<t≤6时，点M在AE上，点N在EC上，MN=AE=6，
1 1
∴S= MN⋅DE= ×6×4=12；
2 2
如图，当6<t≤12时，点M在EC上，点N在BC上，
∵AM=t，
∴MC=12−t，CN=t−6，BN=14−t，
∴S=S −S −S −S
ΔABC ΔADM ΔBDN ΔCMN
1 1 1 1
= ×8×12− ×4t− ×6(14−t)− (12−t)(t−6)
2 2 2 2
1
= t2−8t+42；
2
如图，当12<t≤14时，点M、N都在BC上，1 1
∴S= MN⋅DF= ×6×6=18，
2 2
综上判断选项A的图象符合题意．
故选：A．
11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A、B、C、D分别是菱形的四个顶点，
∠A=60°．现有两个机器人(看成点)分别从A，C两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其
路线分别为A→B→C和C→D→A．若移动时间为t，两个机器人之间距离为d．则 d²与t之间的函数
关系用图象表示大致为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
设菱形的边长为2，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式，再利用二次函数的性质
即可解答．
【解题过程】
解：①设AD=2，如图所示，
∵移动时间为t，∠A=60°，
∴CK=1，FT=KB=❑√3，
∴AE=t，CF=2−t，
∴FK=2−t−1=1+t，
∴ET=2−t−(1+t)=1+2t，
∴在Rt△EFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t) 2+(❑√3) 2=4t2+4t+4；②设AD=2，如图所示，
∵移动时间为t，∠A=60°，
∴BM=t−2，CM=2−(t−2)=4−t，CP=1，PD=LQ=❑√3，
∴MQ=CM−CQ=(4−t)−1=3−t，
∴ 在Rt△LMQ中，M L2=MQ2+LQ2=(3−t) 2+(❑√3) 2=t2−6t+12，
∴函数图像为两个二次函数图象；
③当从A出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是BD；从A出发的机器人在A点，从
C出发的机器人在C点，此时距离是AC；
∵设AD=2，∠A=60°，
∴BD=2，AE=❑√3，
∴AC=2AE=2❑√3，
∴BD<AC，
∴函数图象的起点和终点高于中间点；
综上所述：A项符合题意；
故选A．
12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按
箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面
积记为S，则S关于x的函数图象大致为（ ）A． B． C． D．
【思路点拨】
本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作AQ⊥BC
于点Q，可知AQ=❑√3．分当0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出
图象．
【解题过程】
解：如图①，设AC与DE交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,
1
过点A作AQ⊥BC于点Q，则BQ=CQ= BC=1,
2
∴AQ=❑√AC2−CQ2=❑√22−12=❑√3，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠≝=90°,DE=AQ=❑√3,EF=OF−OE=5−2=3,
当0<x≤1时，
在Rt△HCE中，∠ACE=60°,EC=x,
∴∠CHE=30°,
∴HC=2x，
∴HE=❑√HC2−EC2=❑√(2x) 2−x2=❑√3x
1 1 ❑√3
∴S= EC×HE= x×❑√3x= x2 ，
2 2 2
所以，S关于x的函数图象是顶点为原点，开口向上且在0<x≤1内的一段；当1<x≤2时，如图，
设AB与DE交于点P，
∵EC=x,BC=2,
∴BE=BC−EC=2−x,
同理可得，PE=❑√3(x−2)，
1 1 ❑√3
∴S=S −S = ×2×❑√3− (2−x)⋅❑√3(2−x)=− (x−2) 2+❑√3，
△ABC △PBE 2 2 2
所以，图象为1<x≤2时开口向下的一段抛物线索；
当2<x≤3时，如图，
1
S= ×2×❑√3=❑√3,
2
此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段，即S=❑√3(2<x≤3)，
故选：C
13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，
将△BCD沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B C D ，设△B C D 与△ABD重叠部分
1 1 1 1 1 1
的面积为y，平移距离为x，当点B 与点A重合时，△B C D 停止运动，则下列图象最符合y与x之间函
1 1 1 1
数关系的是（ ）A． B．
C． D．
【思路点拨】
本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解
题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点D作DM⊥AB于M，由△ABC为等腰直角三角
形，∠ABC=90°，可设AB=BC=2，可得AD=CD=BD=❑√2，DM=AM=BM=1，然后分情况讨
论：当0<x≤1时，当1<x≤2时，分别求出关于S、x的函数，再数形结合即可求解．
【解题过程】
解：过点D作DM⊥AB于M，
∵ △ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴ AB=BC，
设AB=BC=2，
∴ AD=CD=BD=❑√2，DM=AM=BM=1，
当0<x≤1时，设B D 交AC于点G，B C 交BD于N，
1 1 1 1
∴ AB =AB−BB =2−x，
1 1由平移知B G∥BD，∠AB G=∠ABD，
1 1
∴ △AB G是等腰直角三角形，
1
1 1 1
∴ S ❑= AB · AB = (2−x) 2 ，
△AB 1 G 2 1 2 1 4
1 1 1
又∵ S ❑= × ×2×2=1，S = x2
△ABD 2 2 △BB 1 N 2
1 1 3
∴ S=S −S −S =1− (2−x) 2− x2=− x2+x，
△ABD △AB 1 G △BB 1 N 4 2 4
1 2
x=− =
当 ( 3) 3时取得最大值，故排除A、B选项
2× −
4
当1<x≤2时，B D 交AC于点G，B C 交AC于点H，
1 1 1 1
∵ B H∥BC，
1
∴ ∠B HG=∠ACB=45°，
1
又∵ ∠D B C =45°，
1 1 1
∴ △B GH为等腰三角形，
1
∵ ∠AB D =∠ABD=45°=∠A，
1 1
∴ AB G为等腰三角形，
1
❑√2 ❑√2
∴ B G= AB = (2−x)，
1 2 1 2
1 ❑√2 ❑√2 1
∴ S=S = · (2−x)× (2−x)= (2−x) 2 ，
△B 1 GH 2 2 2 4
即当1<x≤2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C选项
故选：D．
14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发
以3cm/s的速度沿着边BC−CD−DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的
速度沿着边BA向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在AD上时表达式，再画图得
到函数解析式，即可得到本题答案．
【解题过程】
解：设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，
①当0≤x≤1时，点P在BC上时，
过点P作PE⊥BA，
，
∵根据题知：∠B=60°，PB=3x,BQ=x，
3 3❑√3
∴BE= x，PE= x，
2 2
1 1 3❑√3 3❑√3
∴y= BQ·PE= x· x= x2 ；
2 2 2 4②当1<x≤2时，点P在CD上时，
过点P作PH⊥BA，
，
∵根据题知：∠B=60°，BC=3,BQ=x，
3
∴PH= ❑√3，
2
1 1 3❑√3 3❑√3
∴y= BQ·PH= x· = x；
2 2 2 4
③当2<x≤3时，点P在AD上时，
过点P作PF⊥BA交DA延长线于F，
，
∵根据题知：∠B=60°，即∠FAD=60°，
∵BC+CD+AD=3+3+3=9cm，BC+CD+DP=3x，
∴AP=(9−3x)cm，
9−3x
∴PF= ·❑√3，
2
1 1 9−3x 9❑√3 3❑√3
∴y= BQ·PF= x· ·❑√3= x− x2 ；
2 2 2 4 4
∴结合三种情况，图像如下所示：
，
故选：D．15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，
顶点B、C在x轴的正半轴上，D(2,❑√3)，P(−1,−1)．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C
重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，
△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在0∼1，1∼2，2∼3之间三个阶段，用含x的代数式
表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．
【解题过程】
解：∵菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
∴ AB=AD=2，OA=❑√3，
∴ OB=❑√AB2−OA2=❑√22−(❑√3) 2=1，
∴ OC=OB+BC=1+2=3，∴ A(0,❑√3)，B(1,0)，C(3,0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(0,❑√3)，B(1,0)代入，得：
{k+b=0)
，
b=❑√3
{k=−❑√3)
解得 ，
b=❑√3
∴直线AB的解析式为y=−❑√3x+❑√3．
∵ MN∥y轴，
∴N的横坐标为x，
（1）当M的横坐标x在0∼1之间时，点N在线段AB上，△PMN中MN上的高为1+x，
∴ N(x,−❑√3x+❑√3)，
∴ MN=❑√3−(−❑√3x+❑√3)=❑√3x，
1 1 ❑√3 ❑√3
∴ S = MN⋅(1+x)= ❑√3x⋅(1+x)= x2+ x，
△PMN 2 2 2 2
∴该段图象为开口向上的抛物线；
（2）当M的横坐标x在1∼2之间时，点N在线段BC上，△PMN中MN=❑√3，MN上的高为1+x，
1 1 ❑√3 ❑√3
∴ S = MN⋅(1+x)= ❑√3⋅(1+x)= x+ ，
△PMN 2 2 2 2
∴该段图象为直线；
（3）当M的横坐标x在2∼3之间时，点N在线段BC上，△PMN中MN上的高为1+x，
由D(2,❑√3)，C(3,0)可得直线CD的解析式为y=−❑√3x+3❑√3，
∴ M(x,−❑√3x+3❑√3)，N(x,0)，
∴ MN=−❑√3x+3❑√3，
1 1 ❑√3 3❑√3
∴ S = MN⋅(1+x)= (−❑√3x+3❑√3)⋅(1+x)=− x2+❑√3x+ ，
△PMN 2 2 2 2
∴该段图象为开口向下的抛物线；
观察四个选项可知，只有选项A满足条件，
故选A．16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(2,0)，点B(0,2❑√3)，点
C(−3,❑√3)，点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿
O→C→B路线以每秒❑√3个单位的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y=PQ2，
运动时间为t秒，则正确表达y与t的关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB=2❑√3，AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴
于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB=2❑√3，点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，
点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在
OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．
【解题过程】
解：如图，∵点A（2，0），点B（0，2❑√3），∴OA=2，OB=2❑√3，
∴AB=4，∠BAO=60°，
过点C作CM⊥y轴于点M，
则OM=BM=❑√3，CM=3，
∴OC=BC=2❑√3，
∴△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，
∴点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，
即点P和点Q共运动4s后停止；由此可排除D选项．
当点P在线段OA上运动时，点Q在线段OC上运动，过点Q作QN⊥x轴于点N，
由点P，点Q的运动可知，OP=t，OQ=❑√3t，
1 ❑√3 3
∴QN= OQ= t,ON= t,
2 2 2
5
∴PN= t,
2
5 2 ❑√3 2
∴y=PQ2=( t) +( t) =7t2.
2 2
即当0＜t＜2时，函数图象为抛物线，
结合选项可排除A，C．
故选：B．
17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E
重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间
函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4
＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．
【解题过程】
解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴AC∥EF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
1
∴BM＝CM＝ BC＝2，AM＝❑√3BM＝2❑√3，
2
1
∴S ABC＝ BC•AM＝4❑√3，
△ 2
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，
由题意可得CD＝x，DG＝❑√3x
1 ❑√3
∴S＝ CD•DG＝ x2；
2 2
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝❑√3（4﹣x），
1
∴S＝S ABC﹣S BDG＝4❑√3﹣ ×（4﹣x）×❑√3（4﹣x），
△ △ 2
❑√3 ❑√3
∴S＝﹣ x2+4❑√3x﹣4❑√3＝﹣ （x﹣4）2+4❑√3，
2 2
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
1
∴BM＝4﹣ x
2
1
在Rt△BGM中，GM＝❑√3（4﹣ x），
2
1 1 1
∴S＝ BE•GM＝ （8﹣x）×❑√3（4﹣ x），
2 2 2
❑√3
∴S＝ （x﹣8）2，
4
综上，选项A的图像符合题意，
故选：A．
18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出
发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是
1cm/秒，设P，Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线
OM为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（ ）
A．AB:AD=4:5 B．当t=2.5秒时，PQ=❑√5
29 BQ 5 47
C．当t= 时， = D．当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是❑√10或 秒
4 PQ 3 5
【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t=5时，点Q到达点C，即BC=5cm，然后由5<t<7时，y=10可知
△BPQ的面积是定值10cm2、BE=5cm,ED=2cm,当t=7时点P到达点D，
AE=3cm,AB=❑√BE2−AE2=4cm，可以判定A；当0<t≤5时，根据
2 1 1
y= t2 得到y=2.5cm2，过点P作PH⊥BC于点H，根据y= BQ·PH= ×2.5cm×PH=2.5cm2 求得
5 2 2
PH=2，设QH=xcm，根勾股定理计算QH=1cm，可计算PQ=❑√5；根据AB=CD=4cm，得到再运动
4秒到达C点即
47
H(11,0),N(7,10)，确定直线HN的解析式，分别计算可得到❑√10或 秒；
5
29 28 29 BQ 4
当t= > =7时，故点Q在DC上，把t= 代入直线HN的解析式计算 = ．
4 4 4 PQ 3
【解题过程】
解：设抛物线的解析式为y=at2，
当t=5时，y=10，
∴10=25a，
2
解得a= ，
5
2
∴y= t2 ，
5
由图2中的函数图像得当t=5时，点Q到达点C，即BC=BE=5cm，
∵5＜t＜7时，y=10，
∴△BPQ的面积是定值10cm2且BE=5cm,ED=2cm,
当t=7时点P到达点D，
∴AE=5−2=3cm,AB=❑√BE2−AE2=4cm,AD=BC=5cm，
∴AB:AD=4:5，
故A正确，不符合题意；
当0<t≤5时，
2
∵y= t2 ，t=2.5，
5
∴BP=BQ=2.5cm，y=2.5cm2，过点P作PH⊥BC于点H，
1 1
∴y= BQ·PH= ×2.5cm×PH=2.5cm2
2 2
解得PH=2，
设QH=xcm，则BH=BQ−QH=(2.5−x)cm，
∴2.52=22+(2.5−x) 2，
解得x=1,x=4（舍去），
∴QH=1cm，
∴PQ=❑√12+22=❑√5，
故B正确，不符合题意；
根据AB=CD=4cm，
∴再运动4秒到达C点即H(11,0),N(7,10)，
设直线HN的解析式为y=kt+b，
{11k+b=0)
根据题意，得 ，
7k+b=10
5
{ k=− )
2
解得 ，
55
b=
2
5 55
∴直线HN的解析式为y=− t+ ，
2 2
∵△BPQ的面积为4cm2，
2 5 55
故4= t2 或4=− t+
5 2 2
47
解得t=❑√10,t=−❑√10（舍去）或t= ，
5
故D正确，不符合题意；29 28
∵t= > =7时，故点Q在DC上，
4 4
29 5 29 55 75
当t= 时，y=− × + = ，
4 2 4 2 8
1 75
PQ·BC=
2 8
15
解得PQ=
4
BQ 5 4
= =
∴PQ 15 3．
4
故C错误，符合题意．
故选：C．
19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC
，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交
射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点
E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图
象是（ ）
A． B． C． D．【思路点拨】
分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【解题过程】
解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，
∴△ABC是边长为6的正三角形，
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，
①当矩形EFGH全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0<x≤3，
∵EG∥AC，
∴∠MAD=∠AGE=30°，
∴∠NAD=∠AGE=30°，
∴AE=EG=x，
在Rt△AEF中，∠EAF=60°，
❑√3 ❑√3
∴EF= AE= x，
2 2
❑√3
∴S= x2 ；
2
②如图3时，当AE+AF=≥+AF=AF+CF=AC，
1
则x+ x=6，解得x=4，
2
由图2到图3，此时3<x≤4，如图4，记BC，EG的交点为Q，则△EQB是正三角形，
∴EQ=EB=BQ=6−x，
∴GQ=x−(6−x)=2x−6， 而∠PQG=60°，
∴PG=❑√3QG=❑√3(2x−6)，
∴S=S −S
矩形EFHG △PQG
❑√3 1
= x2− ×(2x−6)×❑√3(2x−6)
2 2
3❑√3
=− x2+12❑√3x−18❑√3，
2
③如图6时，x=6，由图3到图6，此时4<x≤6，
如图5，同理△EKB是正三角形，
1 ❑√3
∴EK=KB=EB=6−x，FC=AC−AF=6− x，EF= x，
2 2
∴S=S
梯形EKCF
1( 1 ) ❑√3
= 6−x+6− x × x
2 2 2
3❑√3
=− x2+3❑√3x，
8因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，
故选：A．
20．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为4，且点A与原
点O重合，边AD在x轴上，点B的横坐标为−2，现将菱形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右平
移，设平移时间为t（秒），菱形ABCD位于y轴右侧部分的面积为S，则S关于t的函数图像大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
过点B作x轴的垂线，垂足为点E，如图所示，由菱形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，
分①当0≤t≤2时；②当2<t<4时；③当4≤t≤6时；④当t>6时；四种情况，作图求解S关于t的函数解析
式，作出图像即可得到答案．
【解题过程】
解：过点B作x轴的垂线，垂足为点E，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为4，且点A与原点O重合，边AD在x轴上，点B的横坐标为−2，∴OE=2,OB=4，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=60°，BE=2❑√3，
①当0≤t≤2时，如图（1）所示：
1 1 ❑√3
S= OA⋅OF= ×t×❑√3t= t2 ；
2 2 2
②当2<t<4时，如图（2）所示：
1 1
S=S +S = AE⋅BE+BE⋅OE= ×2×2❑√3+2❑√3(t−2)=2❑√3t−2❑√3；
△ABE 矩形OEBG 2 2
③当4≤t≤6时，如图（3）所示：
∵∠C=60°，OD=OA−AD=t−4，
∴∠KDO=60°,OK=❑√3(t−4)，
∵HO=BE=2❑√3，
∴HK=HO−OK=2❑√3−❑√3(t−4)=−❑√3t+6❑√3，
∵HB=OE=OA−AE=t−2，
∴CH=BC−HB=4−(t−2)=−t+6，1
S=S −S =AD⋅BE− CH⋅HK
菱形ABCD △CHK 2
1
=4×2❑√3− (−t+6)(−❑√3t+6❑√3)
2
=8❑√3− (❑√3 t2−6❑√3t+18❑√3 )
2
❑√3
=− t2+6❑√3t−10❑√3；
2
当t>6时，S=S =AD⋅BE=8❑√3；
菱形ABCD
❑√3
{ t2 0≤t≤2 )
2
2❑√3t−2❑√3 2<t<4
综上所述S=
，
❑√3
− t2+6❑√3t−10❑√3 4≤t≤6
2
8❑√3 t>6
∴第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行
于x轴的射线，
故选：A．
