专题 22.2 二次函数图象与一次函数
◆ 思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学
问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象
的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
◆ 典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴
交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点B，P，C为顶点的三角形面积最大，若存在请求出最大
面积和P点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）采用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线AC的解析式．
（2）将抛物线的解析式变形为 ，则顶点 的坐标为 ，顶点 关于 轴的对称点
y=−(x−1) 2+4 D (1,4) D(1,4) y
为D′(−1,4)，连接BD′，线段BD′与y轴的交点即为点M．
（3）设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为−m2+2m+3，分三种情况进行讨论：当m<0时；当m>3
时；当0<m<3时．
【解题过程】{a−2+c=0
)
解：（1）抛物线y=ax2+2x+c的图象过A(−1,0)，B(3,0)两点，可得 ，
9a+6+c=0
{a=−1)
解得： ，
c=3
抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
可得点C的坐标为(0,3)．
设直线AC的解析式为y=a x+b．
1
直线 的图象经过点 ， ，可得{−a +b=0)，
AC A(−1,0) C(0,3) 1
b=3
解得{a =3)，
1
b=3
直线AC的解析式为y=3x+3．
（2）将抛物线的解析式变形为 ，则顶点 的坐标为 ．
y=−(x−1) 2+4 D (1,4)
顶点D(1,4)关于y轴的对称点为D′(−1,4)．
连接BD′，线段BD′与y轴的交点即为点M．
根据轴对称图形的性质可知DM=D′M．
设直线BD′的解析式为y=a x+b ．
2 2
直线 的图象经过点 ， ，可得：{ b =3 )，
BD′ B(3,0) D′(−1,4) 2
−a +b =4
2 2
解得：{a =−1)，
2
b =3
2
直线BD′的解析式为y=−x+3，
令x=0，则y=3．
所以，点M的坐标为(0,3)．
（3）不存在，理由如下：
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为−m2+2m+3．
①当a<0时．
设直线 ： ，它的图象经过点 ， ，可得
BP y=kx+b B(3,0) P(m,−m2+2m+3)
1{−m2+2m+3=km+b
)，
1
0=3k+b
1
解得{k=−m−1)，
b =3m+3
1
直线BP的解析式为y=(−m−1)x+3m+3．
所以，直线BP与y轴的交点G的坐标为(0,3m+3)．
可得CG=3−(3m+3)=−3m．
1 3 9
S = ×(−3m)×(3−m)= m2− m．
△BCP 2 2 2
可知S 没有最大值．
△BCP
②当m>3时．
设直线 ： 的图象经过点 ， ，可得
CP y=k x+b C(0,3) P(m,−m2+2m+3)
1 3
{−m2+2m+3=k m+b )，
1 3
3=b
3
解得：{k =−m+2)，
1
b =3
3
直线CP的解析式为y=(−m+2)x+3．
( 3 )
所以，直线CP与x轴的交点T的坐标为 ,0 ．
m−2
3 3m−9
可得BT=3− = ．
m−2 m−2
1 3a−9
S = × ×[3−(−m2+2m+3))
△BCP 2 a−2
1 3m−9 1 3m2 9
= × ×(m2−2m)= ×(3m−9)×m= − m．
2 m−2 2 2 2
可知S 没有最大值．
△BCP
③当0<m<3时．
与直线BC平行的直线与抛物线仅有一个交点时，该交点即为点P，此时S 的面积最大，该最大值为一
△BCP
个固定值，但不是整个抛物线上面积的最大值．
综上所述，点B，P，C为顶点的三角形面积不存在最大值．◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2+nx(m≠0)和一次函数
y=mx−n(m≠0)的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
{x2(x≤2))
2．（2024·广西桂林·二模）如图所示，已知函数 的图象与一次函数 的图象有三个
y = 8 y =x+b
1 (x>2) 2
x
交点，则b的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．− ≤b≤2 B．b>− C．− ≤b<2 D．− <b<2
4 4 4 4
3．（2024·湖北武汉·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y=x2−4|x|+3的部分图象，
若关于x的方程x2−4|x|+3=kx有3个不相等的实数根，则k的值为（ ）A．4+2❑√3或4−2❑√3 B．−4+2❑√3或−4−2❑√3
C．4+2❑√3或−4−2❑√3 D．4−2❑√3或−4+2❑√3
4．（2024·湖南常德·一模）将抛物线y=−x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余
部分不变，得到的新图像与直线y=x+m有4个交点，则m的取值范围是（ ）
21 21
A．m≤−5 B．− ≤m<−5 C．− <m<−3 D．m≥−3
4 4
5．（2024·安徽合肥·一模）对于二次函数 y=ax2+bx+c ，定义函数 y= { ax2+bx+c(x≥0) )是它的相
−ax2−bx−c(x<0)
关函数．若一次函数y=x+1与二次函数y=x2−4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能
是（ ）
1
A．−1 B．0 C． D．2
2
6．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线 ，直线 ，下列判断中：
y =−x2+1 y =−x+1
1 2
1
①当x<0或x>1时，y <y ； ②当x=−2或x=3时，y −y =6；③当x> 时y −y 随x的增大而
1 2 2 1 2 1 2
1
增大；④使|y −y )= 的x的值有3个．其中正确的个数有（ ）
1 2 3
A．1 B．2 C．3 D．47．（2023九年级上·江苏·专题练习）二次函数 的图象与一次函数
y=(x−b) 2+b+1 y=−x+5(−1≤x≤5)
的图象没有交点，则b的取值范围是( )
17 17 17
A．b<−4 B．b> C．b<−4或b> D．−4<b<
8 8 8
8．（2023·山东青岛·三模）如图，直线y=kx＋c与抛物线y=ax2 ＋bx＋c的图象都经过y轴上的D
点，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx＋c与x轴交于点C
（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（ ）
A．abc>0 B．3b<2c C．a＋b=k D．0<ac＋k<1
9．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，直线
1
y=kx+c与抛物线都经过点(−3,0)．下列说法：①ab>0；②4a+c<0；③若(−2,y )与( ,y )是抛物
1 2 2
线上的两个点，则y <y ；④方程ax2+bx+c=0的两根为x =−3，x =1；⑤当x=−1时，函数
1 2 1 2
有最大值．其中正确的个数是（ ）
y=ax2+(b−k)x
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知函数y =kx−2k+1 (k是常数，k≠0)，y =ax²−2ax−3a
1 2
(a是常数，a≠0)，在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y 和y 图象总有公共点，则a的取值
1 2
范围是
11．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b交于点A(2,0)和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公
共点，写出点M的横坐标x 的取值范围 ．
M
12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数 为常数，且 经过
y=ax2+bx+c(a,b,c ab≠0)
，一次函数 经过 ，一次函数 经过 ．已知
(1,0),(x ,0) y=|a)x+c (x ,0) y=|b)x+c (x ,0)
1 2 3
−5<x <−4,m<x <m+1，n<x <n+1，其中m,n为整数，则m+n的值为 ．
1 2 3
13．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数 与 的图
y =x−2m+2 y =x2−mx
1 2
象交于 ， 两点 若 ，则 的取值范围是 ．
A(x ,y ) B(x ,y ) ． y y <0 m
A A B B A B
14．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点A(−2,3),B(2,1)，若抛物线
y=ax2−2x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
15．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+4交x轴于A,B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出直线AC的函数表达式为：______；
（2）D是线段AC上的点，过点D作x轴的平行线，交抛物线于M,N两点（点M在点N的右侧），若
DM=2DN，求点D的横坐标．16．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线y=−x2+mx+3与直线y=−2x+b交于点A(4,−5)
和点B．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式−x2+mx+3<−2x+b的解集；
（3）点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含
( 1 )
A，B两点）．若点P − ,t 在直线y=−2x+b上，且直线PN与图象G有公共点，结合函数图象，直接
2
写出点N纵坐标n的取值范围．3 3
17．（2023·河南漯河·二模）已知二次函数y=− x2+bx+c图象的对称轴为直线x= ，与y轴交于点
4 2
A(0,3)，与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）P是x轴上方抛物线上的一动点，且与点A不重合，设点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交
AC于点Q，设PQ的长为
ℎ
，当
ℎ
随m的增大而减小时，求m的取值范围．
18．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−2，直线1
y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点．
2
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）若m=1，点(x ,y )，(x ,y )在该抛物线上，且−2<x <−1，1<x <2，比较y ，y 的大小，并
1 1 2 2 1 2 1 2
说明理由；
（3）当抛物线与线段AB只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
19．（2023·河南洛阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=1与抛物线y=4x2相交于A，B两点
（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且BC=n⋅AB(n为正整数)．过点B，C的抛物线L，其顶
点M在x轴上．（1）A点的坐标为______；B点的坐标为______；
（2）当n=1时，抛物线L的函数表达式为______；
（3）如图2，抛物线E： ，经过B、C两点，顶点为P．且D、B、P三点在同一直线
y=a x2+b x+c
n n n
上，求a 与n的关系式．
n
20．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C ：y=ax2+bx+c(a≠0)经过
1
(0,2)，(−2,2)两点；（1）若抛物线C ：y=ax2+bx+c经过(1,0)，求抛物线解析式；
1
（2）抛物线C ：y=ax2+bx+c直线y=x+2有M，N两个交点，O为坐标原点，若△MNO是以MN为
1
腰的等腰三角形，请直接写出a的值；
（3）直线y=x+2分别与抛物线C ：y=ax2+bx+c，抛物线C ：y=−ax2−bx+c恰好有三个公共点，
1 2
若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求a的值．
