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专题 22.1 二次函数图象与系数的关系
◆ 思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学
问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象
的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
◆ 知识点总
结
一、二次函数图象与系数的关系
对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛
物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a
与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决
定抛物线与y轴交点位置．
◆ 典例分析
【典例1】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点
，则下列结论中：① ；② ；③ 与 是抛物线上两点，若
B(4,0) abc>0 4a+b>0 M(x ,y ) N(x ,y )
1 1 2 2
0y ；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，则a(m−3)(m+3)0，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，a<0，c<0，b>0，即可判断①结论；根据图象可得b
对称轴在直线x=2右侧，即− >2，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据
2a
对称轴，得出b=−6a，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与x轴的交点B(4,0)，整理得出
4b+c
a=− ，再根据AB≥3，得到y=a+b+c≥0，进而得出4b+5c≥0，再结合c<0，即可判断⑤结
16
论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键．
【解题过程】
解：∵抛物线开口线下，与y轴交于负半轴，
∴a<0，c<0，
∵对称轴在x轴正半轴，
∴a、b异号，
∴b>0，
∴abc>0，①结论正确；
∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点B(4,0)，
b
∴对称轴在直线x=2右侧，即− >2，
2a
( b )
∴2− − <0，
2a
4a+b
∴ <0，
2a
∵a<0，
∴4a+b>0，②结论正确；
与 是抛物线上两点，且 ，
M(x ,y ) N(x ,y ) 0− 时，y随x的增大而减小；
2a 2a
∴无法判断y 和y 的大小，③结论错误；
1 2
∵抛物线的对称轴是直线x=3，
b
∴− =3，即b=−6a，
2a
∴ a(m−3)(m+3)−b(3−m)
=a(m−3)(m+3)+6a(3−m)
=a(m−3)(m+3−6)，
=a(m−3) 2
∵a<0，(m−3)≥0，
，
∴a(m−3) 2≤0
∴ a(m−3)(m+3)≤b(3−m)，④结论正确；
∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点B(4,0)，
∴当x=4时，y=16a+4b+c=0，
4b+c
∴a=− ，
16
∵AB≥3，
∴点A的横坐标00，
∴4b+3c>0，⑤结论正确；
∴正确的结论有①②④⑤，共4个，
故选：B．
◆ 学霸必刷
1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=−1对称，与x轴
的一个交点在原点和(1,0)之间，下列结论错误的是（ ）
A．abc<0 B．b=2a
C．4a−2b+c>0 D．a−b≤m(am+b)（m为任意实数）2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线
b
x=−1，则下列结论中：① >0 ②am2+bm≤a−b（m为任意实数） ③3a+c<1④若M(x ,y)
c 1
、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（ ）
N(x ,y) x +x ≤−3
2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴
交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2+bx≥a+b；④若
8 4
−20；②2a+b=0；③4a−2b+c=0；
④方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则
am²+bm+c≤a+b+c．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为
1
x= ，且经过点(2,0)．下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若
2
( 5 ) (5 ) 1 1
− ,y , ,y 是抛物线上的两点，则y m(am+b)（其中m≠ ），其中说法正确的是
2 1 2 2 1 2 4 2
( )
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线 与 轴交于两点 、 ，
y=ax2+bx+c x (x ,0) (2,0)
1
其中 ．下列四个结论：① ；② ；③ ；④点 ， 都在抛
0＜x ＜1 abc<0 a+b+c>0 2a−c>0 (−2,y ) (4,y )
1 1 2
c
物线上，则有y >y ；⑤不等式ax2+bx+c<− x+c的解集为0＜x＜x ．其中正确结论的个数是
1 2 x 1
1
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图像的一部分如图所示，该函
数图像经过点(5，0)，对称轴为直线x=2．对于下列结论： ①b>0；②a+c3时，y<0；②3a+b>0；③−1≤a≤− ；④ ≤n≤4．
3 3A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴负半轴交
( 1 )
于 − ,0 ，对称轴为直线x=1． 有以下结论∶ ① abc<0；②3a+c>0；③若点(−3,y )，(3,y )，
2 1 2
均在函数图象上，则 ； 若方程 的两根为 、 ，且 则
(0,y ) y >y >y ④ a(2x+1)(2x−5)=1 x x x x >1 y >y
1 1 2 2 1 2 1 2
A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤
12．（2024·四川达州·三模）如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，请思考下列判断：①
b 1
abc<0；②4a+c<2b；③ + =1；④am2+(2a+b)m+b+c<0；⑤|am+a)=❑√b2−4ac．正确的结
c m
论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数 的部分图象如图，图象过点 下列
y=ax2+bx+c(a≠0) (−1,0)
结论：①b2>4ac；②4a+b=0；③4a+c>2b；④−3b+c=0；⑤若顶点坐标为(2,4)，则方程
ax2+bx+c=5没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，与y轴的交
点在(0,−2)与(0,−3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：① a+b+c<0；②若点在图象上，则 ； 若 为任意实数，则 ；
M(0.5,y )、N(2.5,y ) y 2，则y 0，③抛物线
上有两点 和 ，若 ，且 ，则 ，④设 ， 是方程
P(x ,y ) Q(x ,y ) x <12 y >y x x ax2+bx+c=0
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
的两根，若 ，则 ．其中正确的结论是 （填入正确结论的序
am2+bm+c=p p(m−x )(m−x )≤0
1 2
号）．
17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个
结论：
① ；② ，③ ；
abc>0 9a+6b+c=0 (4a+c) 2<4b2
1
④方程cx2+bx+a=0的解为x =1,x =− ；
1 2 3
⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．其中正确的结论有 （填序号）．18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数 ，图象的一部分如图所示，该
y=ax2+bx+c(a≠0)
1
函数图象经过点(−2,0)，对称轴为直线x=− ．对于下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③
2
1 1
a+b+c=0；④am2+bm< (a−2b)（其中m≠− ）；⑤若A(x ,y )和B(x ,y )均在该函数图象上，
4 2 1 1 2 2
且x >x >1，则y >y ．其中正确结论有 ．（填写序号）
1 2 1 2
( 1 )
19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为 − ,n ，与x轴的一个
3
交点位于0和1之间，则以下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，则
abc>0 5b+2c<0 (−6,y ),(5,y )
1 2
y >y ；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是 （请填写序
1 2
号）．
20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，c<0)经过(1,1)，(m,0)
4ac−b2
，(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：①b<0；② >1；③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线
4a1
上，则t>1；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0
