文档内容
第 04 讲 数列求和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：裂项相消求和法
题型二：错位相减求和法
题型三：分组求和法
题型四：倒序相加求和法
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.公式法
(1)等差数列前 项和公式 ;
(2)等比数列前 项和公式
2.裂项相消求和法:
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前 项和变成首尾
若干少数项之和,从而求出数列的前 项和.
①
②
③④
⑤
3.错位相减求和法:
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个
数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列{c
n
}的通项公式 ，其中{a
n
}、{b
n
}
中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列
的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减法．
4.分组求和法:
如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和
的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法:
即如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前
项和.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）若数列 满足 ，则 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由题得 ，
所以 的前2022项和为 .
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习（文））若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为
（ ）
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2
【答案】D
由题可知：设数列{an}的前n项和为
所以即
所以
故
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ，
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
由于 ，故原式
.
4．（2022·江苏·高二课时练习）求和： .
【答案】2076
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：裂项相消求和法
例题1．（2022·浙江省淳安中学高二期中）数列 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：记 的前 项和为 ，
则
；
故选：B
例题2．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知 是递增的等差数列， ，且 ， ，
成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求证： .
【答案】(1) (2)见解析.
(1)设 的公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
因为 是递增，所以 ，故 ，所以 .
(2) ,
所以 ，
因为 单调递减，所以 单调递增，
故当 时， ，而 ，
故 .
例题3．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）已知 为等差数列 的前 项和，
， ．
(1)求 、 ；
(2)若数列 的前 项和 ，求满足 的最小正整数 ．
【答案】(1)an＝4n﹣1， (2)19(1)设等差数列{an}的公差为d，则 ，即 ，解得 ，故
，
(2)由（1）得， .故
，令 有 ，
即 ，解得 ，故满足满足 的最小正整数为19
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前 项和 满足： ，且
成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求证：数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)由题意： ，
两式相减得到 ，
又 ， 是首项为 ，公比为 的等比数列，
再由 成等差数列得，得 ，
即 ，则 ，
的通项公式为 .
(2)由题意知，
例题5．（2022·河南濮阳·高二期末（文））已知数列 的前 项和为 ， ，且 ，
．(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 是 ， 的等比中项，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
(1)当 时， ，
故 ，又 ，且 ，
，满足 ，
故数列 为公差为3的等差数列，通项公式为 ，
(2)由题意得： ，
则 ，
则
例题6．（2022·海南华侨中学高二期中）设等比数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)解：设公比为 ，由 ， ，
所以 ，
解得 ， ，
所以 ．
(2)解：由（1）及 ，
所以 ，
所以因为 ，
即 单调递增，
所以 ，又 ，所以 ，即 ；
题型二：错位相减求和法
例题1．（2022·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由 ，
得 ，
两式相减得
.
所以 .
故选：B.
例题32．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知等差数列 的前 项和为 ，数列 为等比
数列，且 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由题意得： ，解得： ，
所以 ，由 得： ，所以 ，
所以
(2) ，
则 ①，
②，
两式相减得：
，
所以
例题3．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：当 时， ．
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)因为 ，所以 ，则 ，
当 时， ，
所以 ，化简得 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，因此
(2) ， ，
则 ，
所以 ，
两式相减得 ，
即 ，
故 .
所以当 时， ，
所以 ．例题4．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知数列 是等差数列， 是等比数列，且 ，
， ， ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1) ， ；(2) .
(1)依题意，等比数列 的公比 ，则有 ，因此， ，
由 得 ，等差数列 的公差 ， ，
所以数列 、 的通项公式分别为： ， .
(2)由（1）知， ，
则 ，
于是得 ，
两式相减得： ，
所以 .
例题5．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，
且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
(1)设等比数列 的公比为 ，当 时， ，所以 ， ，无解．
当 时， ，所以 解得 ， 或 ， （舍）．所以 ．
(2) ．所以 ①，则
②，
①－②得，
．
所以 ．
题型三：分组求和法
例题1．（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）数列 ， ， ， ， ．．．， ，的
前 项和 的值等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
可得
.
故选：A.
例题2．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）数列{ }中， ，前 和为
，则 为（ ）
A．-12 B．16 C．-10 D．12
【答案】A
解：因为 ，
所以 ，
，，
，
故选：A
例题3．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））设数列 的前 项和为 ，已知
，则 _________.
【答案】960
由 ，
当n为奇数时，有 ；当n为偶数时， ，
∴数列 的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
例题4．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）已知数列 是等差数列， 是等比数列，
， ， ， .
(1)求 、 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， (2)
(1)设等比数列 的公比为 ，则 ， ；
又 ， ，设等差数列 的公差为 ，则 ，
.
(2)由（1）得： ；
.
例题5．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 为正
项等比数列，满足 ， ， 是 与 的等差中项．
(1)求数列 ， 的通项公式；(2)若 ， 是数列 的前 项和，求 ．
【答案】(1) ， ；(2) .
(1)设等差数列 的公差为d，依题意可知：
，
所以数列 的通项公式为 ，
设等比数列 的公比为q，依题意可知： ，又 ，
所以 ，又 ，
∴ ，
所以数列 的通项公式为 ；
(2)由（1）可知：
所以
.
例题6．（2022·重庆八中模拟预测）在等比数列 中， 分别是下表第一，第二，第三行中的某
一个数，且 中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 3 4 1
第二行 8 6 5
第三行 9 12 16
(1)写出 ，并求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ， ， ；
(2) .
(1)由题意知： ， ， ，
因为 是等比数列，所以公比为2，
所以数列 的通项公式 ．(2)∵ ，
∴
,
题型四：倒序相加求和法
例题1．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学
届的王子.在其年幼时，对 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数
据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为 ，
且 ，
令 ,
又
，
两式相加得： ，
解得 ，
故选：B
例题2．（2022·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”
之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行
的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，
因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列 ，则 （ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
【答案】C
令 ，，
两式相加得：
，
∴ ，
故选:C．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，若数列 满足
，则数列 的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
因为函数 满足 ，
①，
②，
由① ②可得 ， ，
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列，其前20项和为 .
故选：D.
例题4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）已知定义在 上的函数 ，
则 ___________.
【答案】
由 ，得 ，
所以 ，
设 ,,
由 ，得
即 ，于是有 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
例题5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）已知函数 ，数列 为等比数列， ，
，则 ______．
【答案】
∵ ，
∴ ．
∵数列 是等比数列，∴ ，
∴ ．
设 ，①
则 ，②
①＋②，得
，
∴ ．
故答案为：
例题6．（2022·全国·高二课时练习）已知 ，求 .
【答案】1005.
因为 ，所以 ，所以 .令 ，
倒写得 .
两式相加得 ，故 .
例题7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点
均在函数 的图象上，函数 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)令 ，求数列 的前2020项和 .
【答案】(1) (2) (3)
(1)因为点 均在函数 的图象上，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，适合上式，所以 .
(2)因为 ，所以 ，
所以 .
(3)由（1）知 ，可得 ，
所以 ，①
又因为 ，②
因为 ，
所以① ②，得 ，
所以 .第四部分：高考真题感悟
1．记 为数列 的前 项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1) (2)见解析
(1)∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
(2)
∴
2．设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；（2）若 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
.
3．设数列 满足 ， ．
（1）计算 ， ，猜想 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
（1）［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得 ， ，由数列 的前三项可猜想数列 是以 为
首项，2为公差的等差数列，即 ．
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
［方法二］：构造法
由题意可得 ， ．由 得 ． ，则
，两式相减得 ．令 ，且 ，所以
，两边同时减去2，得 ，且 ，所以 ，即 ，又，因此 是首项为3，公差为2的等差数列，所以 ．
［方法三］：累加法
由题意可得 ， ．
由 得 ，即 ， ，……
．以上各式等号两边相加得 ，所
以 ．所以 ．当 时也符合上式．综上所述， ．
［方法四］：构造法
，猜想 ．由于 ，所以可设
，其中 为常数．整理得 ．故
，解得 ．所以 ．又
，所以 是各项均为0的常数列，故 ，即 ．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以
．
［方法三］：构造法
当 时， ，设 ，即
，则 ，解得 ．
所以 ，即 为常数列，而 ，所
以 ．故 ．
［方法四］：
因为 ，令 ，则
，
，
所以 ．
故 ．
