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期中考前满分冲刺之优质压轴题
【专题过关】
类型一、一次函数与二次函数图象与性质(选)
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要综合考查一次函数图象与二次函数图象，解题的关键在于熟练掌握函数
图象的性质．根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可．
【详解】解：A. 由二次函数图象知， ， ；由一次函数图象知， ，故不
符合题意；
B. 由二次函数图象知， ， ；由一次函数图象知， ，故不符合题意；
C. 由二次函数图象知， ， ，根据对称轴 符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知， ，故符合题意；
D. 由二次函数图象知， ， ，根据对称轴 符号 “左同右异”，可得对称轴在
轴右侧；由一次函数图象知， ，故不符合题意．
故选：C
2．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题是关于一次函数和二次函数的图象，根据各选项一次函数的图象和二次函数
的图象得到 ， 的正负，然后相比较解答即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的图象可知 ，
，两者相吻合；
B、由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的图象可知 ， ，两者相矛
盾；
C、由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的图象可知 ， ，两者相矛
盾.
D、由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的图象可知 ， ，两者相矛
盾；
故选：A．
3．一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中大致的图象可能
是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据
二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解： 一次函数和二次函数都经过 轴上的 ，
两个函数图象交于 轴上的同一点，排除D；
当 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A；
当 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；
故选：C．
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可能为
（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析 、 的符号，再逐一判断选项
是否符合．
【详解】解：∵一次函数 的图象中， ， ；二次函数 的图
象中， ， ，即 ，
符号均一致，A项符合题意．
∴∵一次函数 的图象中， ， ；二次函数 的图象中， ，
的符号矛盾，B项不符合题意．
∴
∵一次函数 的图象中， ， ；二次函数 的图象中，对称轴
，则 ．
的符号矛盾，C项不符合题意．
∴
∵一次函数 的图象中， ， ；二次函数 的图象中， ，
对称轴 ，则 ．
∴b的符号不一致，D项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数
中系数与图象的关系是解题的关键．
5．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图像与各系数的关系，熟知相关知识点是
正确解答此题的关键．
根据二次函数 的图像特征判断 的正负，再依据 的正负确定一次函数的图像所经过的象限，从而对各选项进行判断．
【详解】解：A、B、 由二次函数的图象开口向上， ，
一次函数 的图象应经过一、二、三象限，故A、B选项错误，不符合题意；
C、D、 由二次函数的图象开口向下， ，
一次函数 的图象应经过二、三、四象限，故D选项错误，不符合题意，C选项
正确，符合题意；
故选： ．
6．在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线和直线 的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一
种很好的方法，难度适中．
可先由二次函数 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数 的图象相
比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴 ，由直线可知，图象过二、
三、四象限， ，故此选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴 ，由直线可知，图象过一、二、三象限，
，故此选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴 ，由直线可知，图象过一、二，四象限，，故此选项错误，不符合题意；
D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴 ，由直线可知，图象过一、二，三象限
，即 ，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
类型二、二次函数的各项系数关系(选)
1．二次函数 的部分图象如图所示，图象经过点 ，对称轴为直
线 ，给出下列结论：① ；② ；③ （ 为常数）；
④ ．
其中正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用
数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与 轴的交点，
即可判断 、 、 的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过 ，得到
，代入进行求解即可判断②④，根据当 时二次函数取得最大值，即可
判断③．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
，
∵抛物线交 轴正半轴，
，
∴ ，故①正确，∵抛物线的对称轴为直线 ，
，
∵图象过点 ，
，
，
，
∴ ，故②错误，
当 时，函数有最大值 ，
，
∴ （ 为常数），故③正确，
，
∴ ，故④正确，
正确的个数有3个，
故选：C．
2．抛物线 （ ）的图象如图所示，对称轴为直线 ，下列说法；①
；② （t为全体实数）；③若图象上存在点 和
，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ；④若直
线 与抛物线两交点横坐标为分别为 ， ．则不等式 的解
集为 ．其中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关
系等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．由抛物线的对称轴得出 ，由图象
可得，当 时， ，即可判断①；用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t
的不等式，即可判断②；利用二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系即可判
断③；利用二次函数与一次函数的交点问题即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，代入原解析式得： ，
由图象可得：当 时， ，
即： ，
∴ ，
故①正确；
∵对称轴为直线 ，当 时有最大值，
∴当 时的函数值大于或等于 时的函数值，
∴ ，
故②错误；
由题意得： 、 是一元二次方程 的两个根，
从图象上看，由于二次函数具有对称性， 、 关于直线 对称，
∴当且仅当 时，存在点 和 ，
当 时，满足 ，
即m的取值范围为 ，
故③正确；
直线 与抛物线两交点横坐标为分别为 和 ，则不等式 ，即： 的解集为： 或 ，
故④错误；
综上所述，正确的有①③，一共2个，
故选：B．
3．如图所示，二次函数 的图象开口向上，图象经过点 和 且与y
轴交于负半轴，给出四个结论：① ，② ，③ ，④ ．其
中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察
函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个
结论的正误是解题的关键．①由点 在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标
特征可得出 ，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在 轴右侧
以及与 轴交于负半轴，可得出 ，进而可得出 ，结论②错误；
③由二次函数图象对称轴所在的位置及 ，可得出 ，进而可得出 ，结
论③正确；④由二次函数 的图象经过点 和 ，利用二次函数图象上
点的坐标特征可得出 ， ，进而可得出 ，结论④正确．综上，
此题得解．
【详解】解：①点 在二次函数图象上，
∴ ，结论①正确；②∵二次函数 的图象开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交于负半轴，
，
，
∴ ，结论②错误；
③ ，
∴ ，
∴ ，结论③正确；
④二次函数 的图象经过点 和 ，
∴ ，
∴ ，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：C．
4．已知抛物线 的对称轴为 ，与x轴正半轴的交点为 ，其部分图
象如图所示，有下列结论：① ；② ； ③若 ， ，
是抛物线上的三点，则 ；④对于抛物线上任意一点 ，不等式
恒成立．其中正确结论的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
根据抛物线的开口方向可得 ，由对称轴可得 ，即得 ，再根据抛物线与
轴的交点位置可得 ，得到 据此可判断①；把 代入二次函数解析式可得
，进而得 ，代入代数式计算可判断②；根据函数图象可知，当抛物线
上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大，由 可判断③；
结合函数图象得，开口方向向上，当 时，二次函数有最小值，且为 ，则对于
抛物线上任意一点 ，不等式 恒成立，即可作答．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线交 轴于负半轴，
∴ ，
∴ ，故①符合题意；；
∵抛物线 经过 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②不符合题意；；
由函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大，依题意， ，
∴ ，故③符合题意；；
结合函数图象得，开口方向向上，当 时，二次函数有最小值，且为 ，
∴对于抛物线上任意一点 ，不等式 恒成立．
故④不符合题意；
∴正确的结论有①③，
故选：B．
5．如图，抛物线 与x轴交点的横坐标为 ，与y轴正半轴的交点
为C，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；
④ ．其中正确的结论有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根的判别式，由抛物线的开口方向判断
a与 的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴
交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
，故①正确；
由图象可知当 时， ，故②正确；
抛物线开口方向向下，
，
抛物线与x轴的交点是 和 ，其中 ，对称轴 ，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故③错误；
， ，
，
，
，
，即 ．故④正确，
综上，正确的结论有①②④，共3个，
故选：B．
6．如图是二次函数 图象的一部分，对称轴是直线 ，则下列四
个结论：① ；② ；③ ；④若 是抛物线
上两点，则 ．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质并数形结合
是解题的关键．
①根据直线 是对称轴，确定 的值；②根据 时， 确定 的符号；
③根据 时， ，求得 ，即可得到结论；
④根据抛物线的对称性，得到 与 的大小关系即可．
【详解】解：∵直线 是对称轴，
∴ ，即 ，
∴ ，故①正确；
∵直线 是对称轴，二次函数 图象经过点 ，
∴抛物线经过点 ,
∴当 时， ，
即 ，故②错误；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，
∵ ， ， 与 是抛物线上两点，
∵ ，
∴ ，故④错误，
综上，正确的是①③，
故选：B．
类型三、旋转的规律(选)
1．如图，在平面直角坐标系中，动点 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点 ，第2次运动到点 ，第3次运动到点 ，…，按这样的运动规律，
动点 第2025次运动到点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，
又要注意动点的坐标的所在象限及符号．
观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用
2025除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可．
【详解】解：点 可以看作周期运动，运动周期为4，
，
∴动点 第2025次运动到点 ，
故选：A．
2．如图，点 的坐标为 ，第一次：将点 绕原点 逆时针旋转 得到 ；第二次：
作点 关于 轴的对称点 ；第三次：将点 绕点 逆时针旋转 得到 ；第四次：作
点 关于 轴的对称点 ，然后按这四次规律重复，则点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及关于 轴、 轴对
称点的坐标，根据所给变换方式，依次求出点 ，…，的坐标，发现规律即可解决
问题．能根据题意得出从点 开始，所得点的坐标按 循环是解
题的关键．
【详解】解：过点 作 轴的垂线，垂足为 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，如图所
示：
∵点 的坐标为 ，
∴ ．
由旋转可知， ．
又∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
∵点 和点 关于 轴对称，
∴点 的坐标为 ．
依次类推：
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
…，
则从点 开始，所得点的坐标按 循环，
，
点 的坐标是 ．
故选：D．
3．如图，直角三角形 ，点 、 在直线 上，将 绕着点
顺时针转到位置①，得到点 ，点 在直线 上，将位置①的三角形绕点 顺时针旋转
到位置②，得到点 ，点 在直线 上，…，按照此规律继续旋转，直到得到点 ，则（ ）
A．674 B．8093 C．8097 D．8100
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，以及图形的规律问题，根据题意可知，旋转三次为
一组，得到 的长度依次增加 ， ， ，即可得出答案．
【详解】在 中， ，
， ， ，
将 绕着点 顺时针转到位置①，得到点 ，此时 ，
将位置①的三角形绕点 顺时针旋转到位置②，得到点 ，
此时 ，
将位置②的三角形绕点 顺时针旋转到位置③，得到点 ，
此时 ，
∴旋转三次为一组，
，
．
故选：C．
4．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形 的边 与x轴正半轴重合，
将 绕点O逆时针旋转 ，得到 ，再作 ，关于原点O的中心对称图形，
得到 ，再将 绕点O逆时针旋转 ，得到 ，再作 关于原点O的中心对称图形，得到 ……按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转 ，再作
关于原点O的中心对称图形，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质．利用
题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干
中的操作步骤，分别求得对应的点 的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解．
【详解】解：如图，作 轴， 轴，垂足分别为 ，
由题意得 ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
如图， 与 关于原点对称，
， ， ，
， ， ， ，
观察可知点 回到点B的位置后从点 开始重复点 到点 的变换规律，
即由点 到点 为一个变换周期，
，
即点 的坐标为 ，
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中， ，连接 ，作如下变换：第一次：将点A绕原点
O逆时针旋转 得到点 ；第二次：作点 关于x轴的对称点 ；第三次：将点 绕点
O逆时针旋转 得到 ；第四次：作点 关于x轴的对称点 ……按照这样的规律，点
的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识，
解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律．
先根据旋转变换和轴对称变换得出 、 、 、 、 ，
从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得．
【详解】解：过点 作 轴于M，过点 作 轴于N，
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，同上可求 、 、 ，
∴每4个点的坐标为一周期循环，
∵ 余1，
∴点 的坐标与点 的坐标一致，为 ，
故选：B．
6．如图，平面直角坐标系中，菱形 的顶点 ， ， ，将菱形
绕点 逆时针旋转 得到菱形 ，再将菱形 绕点 逆时针旋转 得
到菱形 ，依次规律，多次旋转后，点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形的旋转、菱形的性质、勾股定理，根据旋转角是 可知菱
形绕点 旋转，每旋转 次，菱形就会回到开始的位置，所以旋转 次就是旋转了
个循环后，又旋转了 次，根据旋转角和旋转方向画出图形，延长 交 轴于点 ，
过 作 轴的垂线交 轴于点 ，利用勾股定理求出 ，再根据点 所在的象
限确定点 的坐标．
【详解】解： ，菱形绕点 旋转，每旋转 次，菱形就会回到开始的位置，
，
绕点 旋转 次后，菱形的位置如下图所示：
延长 交 轴于点 ，过 作y轴的垂线交y轴于点 ，
根据题意可知， ，
轴， ，
是等腰直角三角形，
设 ，
则有 ，
，
解得： ，
，
则 ，
点 在第二象限，
点 的坐标为 ，
故选：D．
类型四、最值问题(选、填)1．如图， 在平面直角坐标系中， ， ， 半径为 ， 为 上任意一点，
是 的中点，则 的最小值是（ ）
如
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，根据三角形的中位线定理可
得 ，推出点 的运动路径是以 为圆心半径为 的圆．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，
∵ 是 的中点， 半径为 ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴点 的运动路径是以 为圆心半径为 的圆，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 为 上任意一点，
∴ ，当点 、 、 共线时取等号，
此时 取得最小值，最小值为 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间
距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点 的运动
路径．
2．如图， 是 的直径， ，点A在 上， ， 为 的中点，
是直径 上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】此题考查了最短路线问题，勾股定理，圆周角、圆心角之间的关系，找出
的值最小时点 所在的位置是解答本题的关键．
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 的值最小，且等于
的长，连接 ，得到 ，根据勾股定理求出 的值即可得到答案．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 的
值最小，且等于 的长，连接 ，∵ ，
∴ ．
∵ 为 的中点，
∴ ．
又∵点 与点 关于 对称，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
根据勾股定理得 ，即 的最小值为 ．
故选：B.
3．如图， ，点C是平面内一动点，且 ，连接 ，将 绕点A逆时针旋
转 ，得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查圆外一点到圆上的最短距离，旋转的性质，勾股定理等知识点，解
决此题的关键是得到正确的隐圆；先根据旋转得到全等，再根据圆的定义得到隐圆，根据
圆外一点到圆的最短距离在圆外一点与圆心连线与圆的交点，即可得到答案；
【详解】解：如图，画出隐圆，连接 ， ，将 绕点A逆时针旋转 ，由题中可知： 绕点A逆时针旋转 ，
∴ , ,
∴ ,
∴ ,
∴点 是在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，
∵ ，
∴ ,
当点 在线段 上时， 的值最小，最小值为： ；
故选：D.
4．如图，在等边 中， ，D是平面内一点，线段 绕点A逆时针旋转 至
AE，直线 与 交于点F，若 ，则 的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】
【分析】根据旋转的性质得出 和 全等，可由三角形内角和得出 ，
再由圆周角定理得出F在 的外接圆上，进而求出BF的最小值和最大值即可．
本题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转变换
及其性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系，确定点F的轨迹是本题解题的关键．
【详解】解：作 的外接圆 ，连接 ，延长交 于G，如图：是等边三角形，且 ，
， ，
由旋转的性质得： ， ，
，即 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
点F在 的外接圆上，
①当 取最大值时， 为 直径，此时F与G重合，
为等边三角形， ，
，
，
的最大值为 ；
②D在 左侧，连接 ，如图：，
当 时， 最小，此时 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
即 最小值为 ；
故答案为： ，
5．如图，四边形 中， ，且 ，连接 ．若
，则四边形 的面积为 ， 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三
角形三边关系，熟练掌握相关知识的是解题的关键．
由题先证明 四点共圆，得到 ，在 的延长线上取 ，连接，证明 ，得到 ，求出 ；
连接 ，得到 ，即 ，得到 的最小值为 ．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
，
，
， 平分 ，
，四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
四点共圆，
设 的中点为 ，
为 的直径，
如图，在 的延长线上取 ，连接 ，
， ，
，，
， ，
，
，
，
；
如图，连接 ，
，即 ，
的最小值为 ；
故答案为： ．
6．如图，在 中， ， ， ，点D是 边上一动点，将
沿 翻折得 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、辅助圆等知识点，发现点E的轨迹是解
题的关键．
由勾股定理可得 ，由折叠的性质可得 ，即如图：点E的轨迹是以A为圆心，
以 为半径的圆，然后结合图形即可解答．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵将 沿 翻折得 ，连接 ，
∴ ，
∴如图：点E的轨迹是以A为圆心，以 为半径的圆，且当点E在 的点 处时，最小，
∵ ．
故答案为2．
类型五、二次函数的应用——投球与喷水问题(选、填、解)
1．我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷
中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与
水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为 ，则巩立姣在巴黎夏季奥
运会铅球比赛中的最好成绩是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，需要根据抛物线的解析式求出铅球飞行的水平
距离，解题核心在于求解二次方程的根，并理解水平距离的最大值对应抛物线与x轴的正
根，关键在于将实际问题转化为数学问题，正确解方程并排除负数解．
【详解】解：令 ，则 ，
整理得： ，
解得 （舍去）， ，
∴巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是 ．
故选：B．2．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线
（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点
式即可判断．
【详解】解： ，
∵抛物线开口向下，
∴二次函数有最大值为4，
∴水喷出的最大高度是4米．
故选：A．
3．某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点 离地面
3m，此时点 离喷水口的水平距离为 ．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的
函数表达式为 （不要求写出自变量 的取值范围）．
【答案】
【分析】设抛物线的顶点式 ，将点 代入即可求解抛物线的解析式．【详解】解：∵点 是抛物线的顶点，
∴可设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线经过点
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，设顶点式是解题的关键．
4．我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的好成绩。她在某次投掷中，铅球
的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度 （单位： ）与水平距
离 （单位： ）之间的函数关系式为 ，则巩立姣此次的投掷成绩是
．
【答案】20
【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数值的实际意义，需要结合题意，
取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．令 ，解方程求出x，取x的最大值
即可．
【详解】解：令 ，则 ，
整理得： ，
解得 （舍去）， ，
∴巩立姣此次的投掷成绩是 ，
故答案为：20．
5．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛
物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着
陆坡上的基准点K（与 相距 ，离地高度 ）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A 滑出，当该运动员飞行的水
平距离（与 相距的距离）为 时，恰好达到最大高度 ，该运动员最后着陆在着
陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由．
【答案】(1)
(2)该运动员的成绩达标，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线 的解析式为 ，联立 ，求解即可．
【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为 ，
将 代入解析式得： ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）解：该运动员的成绩达标，理由如下：
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式可得 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
∴着陆点的坐标为 ，
∵ ，
∴该运动员的成绩达标．
6．某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水
柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线 每一个截面均可得到两条关于 对
称的抛物线，以喷水池中心 为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．
(1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象
限）的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅
站立时必须在水池中心多少米以内？
【答案】(1)
(2)为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点 ，求出 值即可；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当 时 的值，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：设水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为 ．将 代入 ，得 ，解得 ，
水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为 ．
（2）解：当 时，有 ，
解得 ，
为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定
系数法及二次函数的性质是解题的关键．
类型六、二次函数的铅垂高问题(解)
1．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，抛物线顶点为 ， 、 两点关于抛物线的对称轴对称，
直线 恰好经过 、 两点．
(1)求抛物线和直线 的函数解析式；
(2)设点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点
的横坐标为 ．
①用含 的代数式表示线段 的长，并求线段 的最大值；
②当 的面积为 时，求点 的横坐标及 的值．
【答案】(1) ，(2)① ， 的最大值为 ；②
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像及性质，一元二次方程的应
用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）根据抛物线 过点 ， ，运用待定系数法即可求出抛物线
解析式．令 ，得到抛物线与y轴的交点D的坐标为 ，根据点C与点 关于
对称轴对称得到点C坐标，再运用待定系数法求出直线 的解析式；
（2）①用x分别表示点P、H的坐标，用点P的纵坐标减去点H的纵坐标即可得到 的
长，再根据二次函数是性质即可解答；
②根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
∵当 时， ，
∴抛物线与y轴的交点D的坐标为 ，
∵抛物线的对称轴为 ，
点C与点 关于对称轴对称，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，
∵直线 过点 ， ，∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（2）解：①∵点 的横坐标为x，点P在抛物线上， 轴，点H在直线 上，
∴ ， ，其中 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，为 ．
②∵ 轴，
∴ ，
∴当 的面积为 时， ，
解得 ，
∴点P的横坐标 为 ．
2．如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
连接 ．(1)求抛物线解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 ，使 的值最小，求出点 的坐标；
(3)若点 是线段 上的一动点（不与 ， 重合）， 轴，且 交抛物线于点 ，
交 轴于点 ，求 的面积最大值及此时点 的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)
(3) 的面积最大值为 ，
【分析】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面
积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先确定直线 与抛物线对称轴的交点即为D，求出直线 解析式为 ，进
而求出结论；
（3）设 ，则可表示出 与 ，根据题意，
列式求解得 ，则可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：∵D是抛物线的对称轴上一点，
∴ ，
∴ 的最小值即为 的最小值，
∴直线 与抛物线对称轴的交点即为D，如下图：
∵抛物线解析式为 的对称轴为直线 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
设 所在的直线函数解析式为 ，把点 和点 代入解析式，
得： ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
把 代入 得： ，
∴ ；（3）解：设 ，
又∵点 和点 ，
∴ ，
由题意得：
，
，
当 时， 有最大值为 ，
当 时， ，
．
3．如图（1），直线 与 、 轴分别交于点 、点 ，经过 、 两点
的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ．(1)求该抛物线的解析式与点 的坐标；
(2)当 时，在抛物线上求一点 ，使 的面积有最大值；
(3)连接 ，点 在 轴上，点 在对称轴上，是否存在点 ， ，使以 、 、 、
为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)抛物线解析式为 ，顶点坐标为
(2)当 时， 的面积有最大值
(3)存在点M的坐标为 或 或 时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四
边形
【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式
及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程．
（1）先将点B和点C代入抛物线 求得b和c的值，然后得到抛物线的解析式，
再求得点P的坐标；
（2）过点E作y轴的平行线交直线 于点F，然后设点E的坐标，得到点F的坐标，再
表示出线段 的长度，最后表示出 的面积，从而利用二次函数的性质求得 的
面积最大值；
（3）先设点M和点N的坐标，然后分情况利用平行四边形的中心对称性列出方程求得点
M和点N的坐标．
【详解】（1）解：由已知， 、 代入 ，∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ；
（2）解：当 时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接 ，经过点E
作x轴的垂线 ，交直线 于点F，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，
∴ ，∴
（3）解：如图（3），
∵ ， ，
设 ，
当 为对角线时，
，
解得： ，
；
当 为对角线时，
，
解得： ，
；当 为对角线时，
，
解得： ，
；
综上所述，存在点M的坐标为 或 或 时，以C、P、M、N为顶点的四边形
是平行四边形．
4．如图，抛物线的顶点为 ，其坐标为 ，抛物线交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，
已知 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接 ， ，判断 的形状；
(3)若点 是第一象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)直角三角形
(3)
【分析】（1）设抛物线的表达式为 ，再把点C的坐标代入，即可求解；
（2）先求出点B的坐标，可得到 ， ， 的长，然后勾股定理逆定理解答即可；
（3）求出直线 的表达式，设 ，作 轴交 于点 ，则，可得到 ，进而可用m表示出 面积，再结合二次函数的
性质解答即可．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点 的坐标为 ，
设抛物线的表达式为 ．
又 ，
点 的坐标为 ，
代入表达式，得 ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ，即 ；
（2）解：令 ，则 ，
解得 ，
点 的坐标为 ，
，
，
是直角三角形；
（3）解：设直线 的表达式为 ，
将点 ，点 的坐标代入，得：
，
解得 ，
直线 的表达式为 ；设 ，
如图，作 轴交 于点 ，则 ，
，
，
当 时， 有最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的面积综合，一次函数的解析式，
二次函数的解析式，勾股逆定理，两点间的距离公式，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
5．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，抛物线 经过点 、
，其顶点为 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 为直线 上方抛物线上的任意一点，过点 作 轴交直线 于点 ，求线
段 的最大值及此时点 的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为(2)线段 的最大值为 及此时点 的坐标为
【分析】本题考查了一次函数图象与性质，二次函数的解析式求解，二次函数的最值问题
和函数图象上点的坐标关系．
（1）根据一次函数 ，分别令 和 ，求出直线与 轴、 轴的交点 、点
的坐标，然后根据抛物线 经过点 、 ，将这两点坐标代入抛物线解析式
得出方程组并求解得出抛物线解析式即可；
（2）设点 的坐标为 ，由于 轴交直线 于点 ，得到点 横坐标
为 ，代入直线 得出点 坐标，然后用点 纵坐标减去点 纵坐标求出线段 长
度的解析式，然后将其化为顶点式得出当 时， 取得最大值，最大值为 ，最后将
代入抛物线解析式求出点 纵坐标即可．
【详解】（1）解： 直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
， ．
抛物线 经过点 ， ，
将点 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，抛物线解析式为 ，
即 ．
（2）解：设点 的坐标为 ，
轴交直线 于点 ，
点 的坐标为 ，
，
将 整理成顶点式可得
该二次函数图象开口向下，当 时， 取得最大值，最大值为 ．
将 代入抛物线解析式 得 ，
点 的坐标为 ．
6．已知二次函数 的图象与 轴的交于 、 两点，与 轴交于点
．
(1)求二次函数的表达式及 点坐标；
(2) 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求 面积的最大值；【答案】(1) ， ；
(2) 面积的最大值为
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何
图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键．
（1）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令 ，解方程求解即可；
（2）过点 作 轴的垂线交 于点 ，连接 、 ，先求出直线 解析式，则
，当 取最大值时， 的面积最
大，设 ，则 ，故有 ，
利用二次函数的性质求最值即可解答．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得： ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为 ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ；
（2）解：过点 作 轴的垂线交 于点 ，连接 、 ，设直线 的表达式为 ，
把 、 代入得： ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
则 ，
∴当 取最大值时， 的面积最大，
设 ，则 ，
∵点 位于第三象限，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时， 的面积最大，最大值为 ．
类型七、二次函数与特殊三角形、四边形结合(解)
1．已知二次函数 的图象与 轴交于 两点（A在 左侧），与 轴交于
点C．
(1)求A、B、C的坐标；(2)设抛物线的顶点为 ，求四边形 的面积；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)9
(3)存在，点P的坐标为 ， ， ，
【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、四边形面积以及等腰三角形的存
在性问题等知识点．
（1）分别令 和 ，即可求解抛物线与坐标轴的交点；
（2）先求出故顶点 ，过点 作 轴于点 ，再由
即可求解；
（3）先求出 ，然后分三种情况求解即可．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得 或 ，
∴抛物线与 轴交于点 ， ；
当 ，
∴抛物线与 轴交于点 ；
（2）解： ，
故顶点 ，
过点 作 轴于点 ，∵ ，
∴ ；
（3）解：存在，
∵ ， ，
∴ ，
① 时，而 ，
∴ 或 ；
② 时，
由等腰三角形的性质可得点 关于 轴对称，∴ ；
③ 时，设 ，
解得 ，
∴ ，
综上：存在，点P的坐标为 ， ， ， ．
2．如图，抛物线 与x轴交点A、B，与y轴交于点C．
(1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使 为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标；
(2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当 是以 为直角的等腰直角三角
形时，求N点坐标．
【答案】(1)存在， 或 或 或 或
(2) 或 或
【分析】（1）由抛物线 得出点A、B、C的坐标以及抛物线的对称轴，设点，分三种情况，根据等腰三角形的性质即可求出P点坐标；
（2）过点N分别作 轴于D， 轴于E，证明 ，
，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
当 时， ，
当 时， ，
解得 或3，
∴ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设点 ，
∴ ，
，
，
当 时，
，
解得 ，
∴P点坐标为 ；
当 时，
，
解得 ，
∴P点坐标为 或 ；
当 时，，
解得 ，
∴P点坐标为 或 ；
综上所述，P点坐标为 或 或 或 或 ；
（2）解：过点N分别作 轴于D， 轴于E，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵ 是以 为直角的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点N是抛物线 上一动点，
∴设N点坐标为 ，
∴ ，
解得 或 ，∴N点坐标为 或 或 或
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股
定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的
关键．
3．如图，抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 是以 为斜边的直角三角形？若存
在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点 的坐标为 或 ；
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨
论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）将点 和 代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，进而设点 ，利用坐标两点距离公式，得到
，再根据 是以 为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出 的值，即可得到点 的坐标；
【详解】（1）解：抛物线 交 轴于 ，交 轴于点 ，
，
解得： ，
抛物线的函数解析式为 ．
（2）解：存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线 ，
点 在抛物线的对称轴上，
设点 ，
，
，
是以 为斜边的直角三角形，
，
，
整理得： ，
解得： ，
存在点 使得 是以 为斜边的直角三角形，点 的坐标为 或．
4．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点
，顶点为 ．
(1)求 、 两点的坐标；
(2)连接 ，与抛物线的对称轴交于点 ，点 为线段 上的一个动点，过点 作
轴，交抛物线于点 ．设 的横坐标为 ．
①用含 的代数式表示线段 的长；
②当 为何值时，四边形 为平行四边形，请说明理由；
③当 为何值时， 为直角三角形，直接写出结论．
【答案】(1)点 ，点
(2)① （ ），②当 时，四边形 为平行四边形，理由见解
析，③当 或 时， 为直角三角形
【分析】题目主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，平行四边形的性质，直角三角
形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）令抛物线解析式中 ，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）①令抛物线解析式中 求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用
待定系数法求出直线 的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可
得出结论；
②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以
及线段 的长度，再根据平行四边形的性质可得出 ，由此可得出关于m的一元
二次方程，解方程即可得出结论；③由 轴可得出若要 为直角三角形，则只能是 或 ，然
后求解即可．
【详解】（1）解： 中 ，
则有 ，
解得： ，
∵点A在点B的左侧，
∴点 ，点 ．
（2）① 中 ，则 ，
∴点 ．
设直线 的解析式为 ， 将点 、 代入 中，
得： ， ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
∵点P的横坐标为m， 轴，
∴点 ， ，
∴ ．
②∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ，顶点 ，
将 代入 中，得： ，
∴点 ，
∴ ．
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，即 ，解得： （舍去）， ，
∴当 时，四边形 为平行四边形．
③∵ 轴，
∴ ，
∵ 为直角三角形，
∴当 时．
∵ 轴， ，
∴ 轴，
∴点C、F关于对称轴对称，
∵点 ，抛物线对称轴为 ，
∴ ．
∴当 时．
过点P作 轴于点L，
∴ ，
∵点 、 ，
∴ ，
∴ 、 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
综上可得： 或 ．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与轴交于 ， 点，与
轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)连接 ， ，并把 沿 翻折，那么是否存在点 ，使四边形 为菱形；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的解析式为 ；
(2)存在，P（ 或 ．
【分析】（ ）将点 ，点 ，代入 ，然后求解即可；
（ ）设点 ， 交 于点 ，然后根据菱形的性质得 ，
，最后解方程即可；
此题考查了待定系数法，二次函数与特殊四边形等知识，掌握知识点的应用及数形结合是
解题的关键．
【详解】（1）解：将点 ，点 ，代入 ，
得 ，
解得 ，∴二次函数的解析式为 ，
（2）解：存在，如图，设点 ， 交 于点 ，
若四边形 是菱形，连接 ，则 ， ，
∴ ，
解得 ， ，
∴ 或 ．
6．如图，直线 与x 轴交于点A，与y轴交于点C，点B在这条直线上，且点B
的横坐标为1，抛物线 经过点A，B，抛物线的对称轴交 于点D，交x轴于
点E．点P 在线段 上，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交抛物线于点Q．设点P的
横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形 为矩形时，求点Q的坐标；
(3)设线段 的长为 ，
①求d关于m的函数解析式；
②请直接写出当d随m的增大而减小时，m的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)① ；② 或
【分析】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴交点的求法，待定系数法
求二次函数解析式，垂直于坐标轴的两点间的距离的表示，以及二次函数的增减性，注意
要根据点P的位置分情况讨论是解题的关键．
（1）根据直线方程得到点 坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，然后求出点D、E的坐标，再根据矩形，D、Q的纵
坐标相等，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得解；
（3）①根据题意得到P、Q坐标，表示出距离即可；②分情况讨论，再分别求出二次函数
图象的对称轴，然后利用二次函数的增减性解答．
【详解】（1）由题知， ，
又抛物线 经过点A，B，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为 ．
（2）由（1）知 ，对称轴方程为 ，则 ， ，
又四边形 为矩形，所以点Q的纵坐标为 ，
令 ，代入抛物线得 ，
整理得 ，解得 ，
所以点Q的坐标为 或 ．
（3）①设点P的横坐标为m，则 ， ，
，
故 ；
②由图知当 时，点P在点Q上方，
此时 ，对称轴方程为 ，开口向上，
所以 时，d随m的增大而减小，
当 时，点P在点Q下方，
，对称轴方程为 ，开口向下，
所以 时，d随m的增大而减小，
综上，当d随m的增大而减小时， 或 ．
类型八、二次函数与角度、不等式的结合(解)
1．在平面直角坐标系 中，抛物线 (a为常数)的顶点为D．
(1)求点D坐标；(2)若直线 与抛物线的一个交点A的横坐标为4，过点 作x轴的垂线，交抛物
线于点M，交直线 于点N．
①当 时，求 的长．
②当 时，线段 的最大长度为8，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)①6；②
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键．
（1）根据顶点坐标公式先求出点D的横坐标，然后代入二次函数解析式求出纵坐标即可；
（2）先根据直线 与抛物线的一个交点A的横坐标为4，求出点A的坐标，代入抛
物线解析式求出a的值；
①分别求出当 时，点M和点N的纵坐标，即可求 的长；
②根据题意得 ， ，则
，当 时， ，求出
或 ，再根据二次函数的性质得 ，进而可得t的取值范围．
【详解】（1）解：对称轴为直线 ，
将 代入 中得 ，
∴点D的坐标为 ；
（2）解：∵直线 与抛物线的一个交点A的横坐标为4，
∴ ，
∴ ，将 代入 ，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
①当 时，点M的纵坐标为， ，
点N的纵坐标为， ，
∴ ；
②根据题意得 ， ，
∴ ，
当 时， ，
解得 或 或 （舍去），
∵当 时，线段 的最大长度为8，
∴ ，
解得 ．
2．已知二次函数 ．
(1)若该二次函数图象经过 ，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)求证：不论 取何值，该二次函数图象与 轴总有两个公共点；
(3)若 时，点 ， ， 都在这个二次函数图象上且 ，求
的取值范围．
【答案】(1) ；顶点坐标为 ；
(2)见解析
(3)【分析】（1）二次函数 的图象经过 ，即可求得 ，得到抛物线
为 ，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标 ；
（2）依据题意，由△ ，又对于任意的 都有
，从而可以判断△的大小，进而可以得解；
（3）依据题意，由 ， 在二次函数 图象上，从而对称轴直
线 ，故 ，即 ，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对
称轴越近函数值越小，再结合 可得 ，再解绝对值不等式即可．
【详解】（1）解： 二次函数 图象经过 ，
，
，
抛物线为 ，
，
顶点坐标为 ．
（2）证明： △ ，
二次函数图象与 轴总有两个公共点．
（3）解：∵点 ， 都在二次函数 图象上，
对称轴为直线 ，
， ， ．
，
，
抛物线过 ，
，即 ，，
，
解得 ，即 ，
抛物线开口向上，
当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
，
，
即 ，则有 或 ，
解得： 或 ，
综上所述： ．
【点睛】本题主要考查了抛物线与 轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上
点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
3．已知关于 的二次函数 （ ， 为常数），
(1)若函数图象对称轴为直线 ，求 的值．
(2)若该函数解析式可以写成 ，求证： ．
(3)设 ， ，在（2）的条件下，当 时，函数的最大值与最小值差为
10，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识为解题关键．
（1）根据二次函数的对称轴为 求出结果即可；
（2）先将函数解析式展开，得到 ，从而得到 ，
，即可得出结论；
（3）利用二次函数的性质得到函数最大值为1，再结合题意得到函数最小值为 ，解出， ，得到 ， ，从而得出结果．
【详解】（1）解： ，
对称轴为直线 ，
；
（2）证明： ，
， ，
；
（3）解： ， ， ， ，
当 时，函数最大值为1，
函数的最大值与最小值差为10，
函数最小值为 ，
，
，
， ，
，
， ，且两个等号至少有一个可取，
， ，
的最大值为 ．
4．已知，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点B，C，与y轴交于点
A，其中 ．(1)求a，b的值；
(2)如图1，连接 ，点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P作 轴交 于点
K，过点K作 轴，垂足为点E，求 的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接 ，将该抛物线
向右平移，使得新抛物线 恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线 上一点，
连接 ，当 时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2)当 时， 的最大值为4，此时
(3)
【分析】（1）将 代入 中得到二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为 ，得直线 的解析式为 ，设
，则 ，故 ，再根据二次函数的性
质求解即可；
（3）先求平移后的抛物线解析式为 ，再证明 为等腰直角三角形，由
得 ，过 作 ，交移动后的抛物线于 ．当
时， ，即 ．【详解】（1）解：将 代入 中，
，
， ；
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为 ，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为4，此时 ；
（3）解：设抛物线向右平移 个单位，
∴平移后的抛物线解析式为 ，
∵抛物线平移后经过原点，
，
解得： 或 （舍），
∴平移后的抛物线解析式为 ，
，
，，令 ，则 或1，
，
，
，
，
∴ 为等腰直角三角形，
，
，
，
过 作 ，交移动后的抛物线于 ，
当 时， ，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函
数综合等知识点，掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键．
5．平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，点 在抛物线上，过点A的直线l与
抛物线有唯一公共点，与x轴交于点B．(1)求直线l的解析式；
(2)如图（1），点C在第二象限内抛物线上，若 ，求点C的横坐标；
(3)如图（2），设直线l与y轴交于点D，过点 的直线与抛物线交于M，N两点（M
在N左侧），过点N且平行于 的直线与直线 交于点Q，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)点C的横坐标为
(3) 面积的最小值为
【分析】（1）由题意可知，先设直线l的方程解析式，代入点A得到 ，再联
立抛物线方程得 ，直线l与抛物线有唯一公共点意味着方程由两个相等
的实数根，利用判别式 求出k的值，进而得出直线l的解析式；
（2）根据题意构造出直角三角形使得 ，利用勾股定理和相似三角形对应边
成比例的关系求解出相应的线段长度，因为点C在第二象限的抛物线上，设点C的坐标为
，此时得出一个关于m的一元二次方程，根据m所在的象限取对应的值即可，因
此可求得点C的横坐标；
（3）确定直线l与点D的坐标，计算直线 的k值，而 ，所以两条直线的k值
相等，联立直线 与抛物线得到 ，利用根与系数的关系得到，再通过 表示出直线 和 的解析式，联立两个解析式求交
点Q的坐标，再利用割补法表示 的面积，此时 的面积得出二次函数的形式，
该二次函数的最小值即为 面积的最小值．
【详解】（1）解：∵直线l过点 ，
设直线l的解析式为 ，将点 代入得：
，
∴直线l的方程为： ，
由题意知，联立抛物线 与直线l得： ，
∵直线l与抛物线有唯一公共点，
∴ 有两个相等的实数根，即 ，
解得： ，
∴直线l的解析式为 ．
（2）解：如图，过点O作关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于点G，连接 ，
并过点A作 交x轴于点F，
∴ ， ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵直线l的解析式 经过点 、B，B是直线l与x轴交点，
∴点B坐标为 ， ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 中，由勾股定理得： ，
过点O作 交线段 于点E，过点C作 轴于点D，
∵点C位于第二象限的抛物线上，设点C坐标为 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，解得： ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴点C的横坐标为 ．
（3）解：如图：
∵直线l与y轴交点D，
∴当 时，则 ，即点D的坐标为 ，
∵ ， ，
∴设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
由题意知， ，∴ ，
∵直线 过点 ，且与抛物线交于M，N两点，
∴设直线 的解析式为 ，过点 ，则 ，即 ，
联立抛物线解析式 ，得 ，
设点 ， ，
∴由根与系数的关系可得： （记①式），
设直线 的解析式为 ，
∵ ，点N为直线 与抛物线 交点，
此时可设点N的坐标为 ，
∴直线 的解析式为 ，抛物线解析式表示为 ，
联立两个解析式可得： ，
整理得： ，即 （记②式），
设直线 的解析式为 ，
∵点M为直线 与抛物线的交点，点D的坐标为 ，
∴此时可设点M的坐标为 ，
∴直线 的解析式为 ，抛物线解析式表示为 ，
联立两个解析式可得： ，
整理得： ，即 （记③式），∵点Q为直线 与 的交点，
∴联立②③式可得： ，
整理得： ，即 （记
④式），
由①式， ，代入 可得：
，
即 （记⑤式），
设 ，则 ，故： （记⑥式），
将⑥式代入④式分子分母得：
分母： ，
分子： ，
再代入④式得：
∴ ，
令 ， ，则 ，
代入③式可得： ，
由⑥式： ，则 ，
故 ，∴点Q的坐标为 ，
过点Q作x轴垂线，垂足为 ，过点A作x轴垂线，垂足为 ，
∴ ，
∴
，
，
，
，
此时 的面积为一个关于t的二次函数，开口向上，化为顶点式为： ，
∴当 时， ，
即 面积的最小值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，一元二次方程的应用，相似三角形
的性质，勾股定理的应用，综合性强，难度大，对逻辑思维能力要求高．
6．如图1抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧）．(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2) 为抛物线上一点，且满足 ，求点 的坐标；
(3)如图2，点 在抛物线对称轴上，且位于 轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．
若四边形 为平行四边形且其面积为 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】（1）分别计算当 时，x的值，当 时，y的值，即可得到答案；
（2）先证得 为等腰直角三角形，则 ，结合 ，可知点P在x
轴的上方，如图所示，过点A作 ，交 于点M，过点A作x轴的垂线 ，过
点M作 于点L，作 轴于点R，过点C作 于点N，然后利用
证明 ，进而求得点M的坐标，接着利用待定系数法求得直线 的表达式，
最后联立抛物线方程，即可求得点P的坐标；
（3）过点A、E作x轴的垂线，过点D、F作y轴的垂线，交于点G、H、I、J，得到矩形
，设 ， ，根据平行四边形的性质可知
， ，进而推出 ， ，然后根据，得到关于n的一元二次方程，解得n
的值即可解答．
【详解】（1）解：令 ，得 ，
解得 ， ，
∵点A在点B的左侧，
∴ ， ，
令 ，得 ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 为抛物线上一点，且满足 ，
∴点P在x轴的上方，
如图所示，过点A作 ，交 于点M，过点A作x轴的垂线 ，过点M作
于点L，作 轴于点R，过点C作 于点N，
则 ，四边形 、 、 为矩形，
∴ ，，
∴ ， ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∵四边形 、 、 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴
设直线 的表达式为 ，代入 ， ，
得 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
∴
解得 ， （舍去），
当 时， ，
∴ ；（3）解：过点A、E作x轴的垂线，过点D、F作y轴的垂线，交于点G、H、I、J，如图
所示，
则四边形 是矩形，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵点 在抛物线对称轴上，且位于 轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点，
∴设 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
，
，
，
∴ ，
整理得 ，
解得 （负值已舍去），
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解
析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解一元二次方
程等知识点，熟练掌握相关知识点，利用几何性质列出方程是解题的关键．
类型九、旋转中的综合问题(解)
1．如图1，B，C，D三点在一条直线上， 和 均为等边三角形，连接BE，AD
交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接MN，求证： ；
(3)如图3，将图1中的 绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），连接CF，探究线段AF、BF、CF之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判
定，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先证 ，结合 和 均为等边三角形可证 即可
求解；
（2）根据题意可证 ，得到 ，结合 ，可得
即可证明 ；
（3）在 上截取 ，连接 ，可证 ，得到
，继而得到 为等边三角形，然后可得
．
【详解】（1）证明： 和 均为等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
；
（2）由（1）知 ，
，即 ，
，
，即 ，
在 和 中，，
，
又 ，
，
（内错角相等，两直线平行）．
（3） ，理由如下：
在 上截取 ，连接 ，
同（1）可证 ，
，
又 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，即 ，
为等边三角形，
，，
即 ．
2．综合与实践
【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形 中， ， 相交于点O，
， ，求证： ．
【变式探究】（2）如图2，在 中， ， ，在 的右侧作
等边 ，取 的中点P，连接 ．
①求证： 是 的垂直平分线；
②若 ，求 的长．
【拓展提高】（3）如图3，在 中， ， ，D为 上的任意
一点，将 绕点A逆时针旋转得到线段 ，旋转角为 ．取 的中点P，连接 ，
猜想 与 的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1；（3） ．理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得出 ，证出 ，得出
，则可得出结论；
（2）①延长 至 ，使 ，连接 ， ，证出 ，则
，由等边三角形的性质可得出结论；
②证出 ，则可得出答案；
（3）延长 至 ，使 ，连接 ， ，同（2）可知 是 的中位线，
得出 ，证出 ，得出 ，
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，，
；
（2）①证明：延长 至 ，使 ，连接 ， ，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
垂直平分 ，
，
为 的中点， ，
，
，
，
，
，
是 的垂直平分线；
②解：由①知 是 的中位线，
，
，；
（3）解： ．
理由：延长 至 ，使 ，连接 ， ，
同（2）可知 是 的中位线，
，
同（2）可知 ， ，
，
，
将 绕点 逆时针旋转得到线段 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的性质，平行四
边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何
模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．(1)【几何直观】如图1， 中， ， ，在 内部取一点 ，连
接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则 与 的
数量关系是________； 与 的数量关系是________；
(2)【类比推理】如图2，在正方形 内部取一点 ，使 ，将线段 绕点
逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，延长 交 的延长线于点 ，求证：四边
形 是正方形；
(3)【拓展延伸】在矩形 中，点 为 边上的一点，连接 ，将线段 绕点 逆
时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 ， ，则 的最小值为
________________
【答案】(1) ， ；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用“ ”证明 ，得到 ， ，即
可求解；
（2）根据正方形和旋转的性质，证明 ，得到 ，再结
合正方形的判定定理证明即可；
（3）根据题意作图，连接 、 交于点 ，连接 、 ，根据矩形的性质和勾股
定理，证明 是等边三角形，再结合旋转的性质，证明 ，得到
，则点 在射线 上运动，且 ，当 时， 有最
小值，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知， ， ，
，
，即 ，
又 ，
，， ；
（2）解： 正方形 ，
， ，
由旋转的性质可知， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
四边形 是正方形；
（3）解：如图，根据题意作图，连接 、 交于点 ，连接 、 ，
矩形 ，
， ， ，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，即 ，
又 ， ，，
，
点 在射线 上运动，且 ，
当 时， 有最小值，
，
，
，
在 中， ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，
含30度角的直角三角形等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．如图，点P是正方形 内一点， ， ， ， 沿点A旋
转至 ，连接 ，并延长 与 相交于点 ．
(1)求证： 是等腰直角三角形；
(2)判断 的形状，并求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)直角三角形，
【分析】（1）根据旋转的性质可知， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，故 是等腰
直角三角形；（2）先根据勾股定理逆定理判断 是直角三角形，得出 ，由 知
是等腰直角三角形，那么 ，再根据平角定义即可求出 的度数；
【详解】（1）证明： 沿点A旋转至 ，
根据旋转的性质可知， ，
， ，
，
，
即 ，
是等腰直角三角形；
（2）解： 是直角三角形， ，理由如下，
由 知 ， ，
，
， ，
，
是直角三角形， ，
是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等
知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．如图，在矩形 中， ， ， ，点P沿 运动，将点P绕点
E逆时针旋转 得到点
(1) 平分矩形面积时，直接写出 的长；
(2) 、Q、C三点共线时，求 的长；(3)当点P在线段 上运动时，证明点Q到 的距离为定值；
(4) 的最小值为______，点Q的路径长为______．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)见解析
(4)2，
【分析】 连接 ，交于点O，射线 交 于P，此时 平分矩形 的面
积，证明 得 ，进而可求出 的长；
可得出 ， ，从而得出 ，进而得出
，从而 ；
作 ，作 于G，可证得 ，从而得出 ，即可得
证；
当点P在 上时，作 ，作 于G， 所在的直线交 于 ，可证
得 ，从而得出 ，从而得出点Q在过点G且与 的距离是3的线
段上运动，当点P在B时，点Q在 处，进一步得出结果；当点P在 上时，作
于W，可得出 ，进一步得出结果．
本题考查了矩形性质，全等三角形的判定和性质，配方法等知识，解决问题的关键是熟练
掌握有关基础知识．
【详解】（1）如图1，连接 ，交于点O，射线 交 于P，此时 平分矩形
的面积，∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图2，
， ，
，
点P绕点E逆时针旋转 得到点Q，
，
，
，
，
；
（3）如图3，作 ，作 于G，
，， ，
，
，
，
，
点Q在过点G且与 的距离是3的线段上运动，
点Q到 的距离为定值
（4）如图 ，
当点P在 上时，作 ，作 于G， 所在的直线交 于 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
点Q在过点G且与AD的距离是3的线段上运动，当点Q在 处，此时 最小 ，
如图 ，当点P在 上时，作 于W，
同理可得， ，
点Q在直线 上运动，
当点P在点C处时，点Q在 处， ，
当点P从点A运动到B处，Q运动的路径长
当点P从点B运动到C处，Q运动路径长 ，
点Q共运动 ，
故答案为：2，
6．如图， 是等腰直角三角形， ，点 是线段 延长线上一点，将线
段 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 交直线 于点 ．
(1)若 ，则 ；
(2)探究线段 ， 之间的数量关系，并给出证明；
(3)将“点 是线段 延长线上一点”改为“点 是射线 上一点”，其余条件不变，
若 ， ，则 ．（直接写出答案即可）
【答案】(1) ；
(2) ，证明见解析；(3) 或3．
【分析】（1）利用等腰直角三角形性质和旋转性质，求出相关角的度数，进而得到∠D的
度数．
（2）通过作辅助线构造全等三角形，证明线段相等，再结合等腰直角三角形的性质得出
与 的数量关系．
（3）分点 在线段 延长线和线段 上两种情况，利用三角形面积关系和相似三角形
性质求解 的长度．
【详解】（1）解：∵线段 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴在 中， ，
故答案为： ；
（2）解： ，证明如下：
过点 作 ，交直线 于点 ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
在 和 中，，
∴ （ ）．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ （ ）．
∴ ．
（3）解：当点 在线段 延长线上时，设 ，
由（ ）知 ，设 ，
则 ， ．
由 ，得 ， ，
由 ，得 ，
∴ ，
．
∵ ，∴ ，
解得 ．
当点 在线段 上时，设 ，
同理可得 ，
．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
综上 的长为 或3．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质
以及三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
类型十、圆中的无刻度尺作图(解)
1．如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过
程，实线表示画图结果）．
(1)如图 ， 内接于 ， 是劣弧 的中点，画出 的中线 ；
(2)如图 ， 是 的直径， 是 内一点，画出 的高 ．【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，垂径定理推论，圆周角定理，三角形中线、高的
性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）如图，连接 交 于点 ，连接 ，线段 即为所求；
（ ）如图，延长 交 于 ，延长 交 于 ，连接 ， ，延长 交 的
延长线于点 ，作直线 交 于点 ，线段 即为所求．
【详解】（1）解：如图 中， 是劣弧 的中点，则线段 即为所求；
理由：∵ 是劣弧 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴线段 即为所求；
（2）解：如图 中，延长 交 于 ，延长 交 于 ，连接 ， ，延长
交 的延长线于点 ，作直线 交 于点 ，
理由：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ， ，
∴线段 即为所求；
2．在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点 、 、 是 与网格线的三个交点，仅用无刻度直尺在网格中完成作图，不写画法，保留作图痕迹（用虚线表示
画图过程，实线表示画图结果）．
(1)如图1，画劣弧 的中点 ，并在圆上画出一点 ，使得 ；
(2)如图2，将线段 绕圆心 逆时针旋转 得到线段 （点 与点 对应）；并过点
作圆 的切线；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查网格和圆的性质，涉及网格的特点、圆的性质、旋转的性质和矩形
的性质，
（1）连接 ，结合网格的特点可知 与中间网格横线的交点即为其中点，连接交点和
圆心O交圆即为点D，连接 ，进一步连接点B和 与 的交点，交 即为点E；
（2）结合网格和性质的特点即可求得点M和点N，进一步结合矩形的性质即可得过点
作圆 的切线．
【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，
3．如图，锐角 是 的内接三角形，E为边 的中点，D在边 的延长线上．请
仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作出一条与弦 垂直的直径；
(2)在图2中，作出 的平分线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点 作直线分别交 于 ，则由垂径定理可得 ，则直径
即为所求；
（2）在（1）图上作射线 ，射线 即为所求，连接 ，由圆内接四边形的性质
可得 ，由圆周角定理可得 ，由垂径定理可得
，从而得出 ，即射线 平分 ．
【详解】（1）解：如图，直径 即为所求；（2）解：如图，射线 即为所求；
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，已知正七边形 ，分别画出一个以 为边的平行四边形和 为边
的菱形；
(2)在图2中，若正七边形的外接圆为 ，画出 的中点P，过点A作 的切线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了几何作图，包括平行四边形、菱形、切线的作法等，解题关键是
理解正多边形的性质以及平行四边形、菱形和圆的相关性质．（1）连接 ， 交于 ， 交于 ，则四边形 是平行四
边形；延长 ，交于点 ，则四边形 为菱形；
（2）连接 并延长，交 于点 ，即为所求；连接 并延长，交 于点 ，连接
交 于点 ，连接 并延长，交 延长线于点 ，连接 并延长，交 延长线
于点 ，作射线 ，即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，四边形 为平行四边形，四边形 为菱形；
（2）如图所示，点P为 的中点， 为 的切线．
5．用无刻度的直尺完成下列画图．
(1)如图（1）， 的三个顶点在 上， ， ，F是 的中点．
先分别画出 ， 的中点G，H，再画 的内接正五边形 ；(2)如图（2），正五边形 五个顶点在 上，过点A画 的切线 ．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1） 连接 并延长交 于点 ，连接 ，与 交于点 ， 连接 并
延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，依次连接 ，正五边
形 即为所求；
（2）如图，延长 交于 ，连接 交 于 ，连接 并延长交于 ，过
作直线 ，直线 即为所求；
【详解】（1）解：如图即为所求．
理由如下：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 为 的中点，
∵ 为 的中点，
∴过 的交点的线段 为 的中线，
∴ 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 ，
∴ 的度数为 ，∴ ，
∴ ，
∴五边形 为 的内角正五边形．
（2）解：如图，延长 交于 ，连接 交 于 ，连接 并延长交于 ，
过 作直线 ，直线 即为所求；
理由：由圆和正五边形的对称性可知， 为 的中点，
∵正五边形每个内角为 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是 的半径，
∴直线 是 的切线．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，切线的判定，三角形的重
心，全等三角形的性质和判定，多边形内角和，三角形内角和，圆周角定理等知识点，熟
练应用垂径定理及切线的判定是解题的关键．
6．如图是 的正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题，保留作图痕迹．
(1)在图①中，找一格点 ，连接 ，使 （画出一种即可），这样的格点 （与
点 不重合）有 个．
(2)在图②中，找一格点 ，连接 ，使 （画出一种即可）．
(3)在图③中的线段 上画一点 ，连接 ，使 ．
【答案】(1)见详解，7
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据 作出图形即可；
（2）根据圆周角定理求解即可；
（3）取格点 ，连接 ，取格点 ，连接 交 于点 ，连接 ，点 即为所求，
结合平行四边形的判定性质、圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：如下图所示，线段 即为所求，使 ，这样的格点 （与点 不重合）有7个．
故答案为：7；
（2）如下图，点 即为所求．
理由如下：
由图形可知， ，
∴点 在以点 为圆心，以 为半径的圆上，
∴ ；
（3）如下图，点 即为所求．
理由如下：
∵ ，由图形可知， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，由图形可知， ，
∴点 在以点 为圆心，以3为半径的圆上，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了格点作图、勾股定理、平行四边形的判定与性质、圆周角定理等
知识，解题关键是理解题意，灵活运用相关知识进行解题．
