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期中考前满分冲刺之优质压轴题
思维导图
【类型覆盖】类型一、点的运动路径
1．已知如图正方形 的边长为4，点 为边 上一动点， 于 ，将 绕
着点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，当点 从点 运动到点 时，点 的运动路径
长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的综合，涉及中位线，直角三角形斜边的中线，全等三角形的
判定与性质，轨迹圆，熟练根据图形画出辅助线、找出动点运动的轨迹是解题的关键．连
接 ，设 的中点分别为 ，连接 ，利用中点的性质确定
点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动，且点 从点 运动到点 ，通过
，
得出 ，推出点 的运动路径长与点 的运动路径长相等即可．
【详解】解：如图，连接 ，设 的中点分别为 ，连接 ，
则 ，
，
，
，
点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动，
点 从点 运动到点 ，
点 从点 运动到点 ，
的长 ，， ，
，
，
，
，
，
点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动，
和 对应，
点 的运动路径长与点 的运动路径长相等，
点 的运动路径长为 ，
故选：C．
2．如图，半径为 ，圆心角为 的扇形 的弧 上有一运动的点P，从点P向半
径 引垂线 交OA于点H．设 的内心为I，当点P在弧 上从点A运动到点B
时，内心I所经过的路径长为（ ）
A．❑√2π B． π C． π D．π
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的计算公式： ，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角
的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内
接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
如图，连 由△OPH的内心为I，可得到
，并且易证 ，得到，所以点I在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；过
A、I、O三点作 ，如图，连 ，在优弧 取点 ，连 ，可得
，得 ， ，然后利用弧长公
式计算弧 的长．
【详解】解：如图，连
∵ 的内心为I，
∴ ，
∴ ，
而 ，即 ，
∴ ，
又∵ 公共，
而 ，
∴ ，
∴ ，
所以点I在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；
过A、I、O三点作 ，如图，连 ，
在优弧 取点 ，连 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴弧 的长 π（ ），
所以内心I所经过的路径长为 ．
故选：B．
3．如图， 在半径为 的 上， 为 上一动点，将射线 绕 逆时针旋转 交
于 ，取 的中点 ，求在 的运动过程中 的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点 重
合时， ，由 为 中点，则 ，当点 在运动过程中， 在以 为
圆心， 为半径的 上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解
题的关键．
【详解】如图，取圆上一点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，如图，当点 重合时，
∵ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直径，
当点 在运动过程中， 在以 为圆心， 长度为半径的 上运动，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴在 的运动过程中 的路径长为 ，
故选： ．
4．如图，已知在 中， ， ， ，以 为直径向外作圆
O，P是半圆O上的一个动点，M是 的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点
M的运动路径长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了求弧长，三角形中位线定理，勾股定理，连接 ，取
的中点D，连接 ，根据三角形中位线定理得 ，则点M在以D为圆心，
为半径的圆上运动，代入弧长公式计算即可．
【详解】解：连接 ，取 的中点D，连接 ，
在 中， ， ， ，
则由勾股定理得 ，
∴ ，
∵点M是 的中点，点D是 的中点，
∴ ，
∴点M在以D为圆心， 为半径的圆上运动，
∴点M的运动路径长为 ，
故答案为： ．
5．如图，半径为2，圆心角为 的扇形 的弧 上有一动点P，从点P作于点H，设 的三个内角平分线交于点M，当点P在弧 上从点A运动到点B时，
点M所经过的路径长是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了弧长的计算公式： ，其中 表示弧长， 表示弧所对的圆心角
的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内
接四边形的性质．如图，连接 ，由 的内心为M，可得到 ，并且易
证 ，得到 ，所以点M在以 为弦，并且所对的圆
周角为 的一段劣弧上；过 、M、 三点作 ，如图，连 ， ，在优弧 取
点 ，连接 ， ，可得 ，得 ，
，然后利用弧长公式计算弧 的长即可．
【详解】解：如图，连接 ，
的内心为M，
， ，
，
∵ ，
∴ ，
，又 ， 为公共边，
而 ，
，
，
所以点M在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上；
过 、M、 三点作 ，如图，连接 ， ，在优弧 取点 ，连接 ， ，
，
，
，
∵ ，
，
弧 的长 ，
所以内心M所经过的路径长为 ．
故答案为： ．
6．如图，在矩形 中， ， ，点 为边AD上一动点，点 为 的中点，连接 ，点 在 上，且 ，在点 从点 运动到点 的过程中，点 运动
的路径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，连接 ， ，
取 的中点 ，连接 ，证明 ， ， ， 在以 为圆心， 为直径的圆上，进而
可得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 是定值，进而可
得 点的运动轨迹，然后求得 的长度即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，连接 ， ，取 的中点 ，连接 ，
∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ， 在以 为圆心， 为直径的圆上，
∴ ，∵ 是 的中点，则 中， ，
∴ 的在以 为半径， 为圆心的弧上运动，
当 在 点时，如图，
由 ，
∴ ，
∴
∴ 点的运动的路径长为 ，
故答案为： ．
类型二、圆中最值
1．如图， 半径为 ，正方形 内接于 ，点E在 上运动，连接 ，作
，垂足为F，连接 ．则 长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，取 的中点K，连接 ，利用勾股定理求出 ，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点K，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵正方形 的外接圆的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴CF的最小值为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的
中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．
2．如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上
一动点，以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，Q为线段
上任意一点，则 长度的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ， 为 的中点，可得 ，则 在以 为圆心，
为半径的圆弧上运动，当 四点共线时， 最小，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵正方形 ， ，
∴ ， ，
∵ 分别 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，
当 四点共线时， 最小，
此时 ， ，∴ ，
∴ ，
即 的最小值为： ，
故选B
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的
性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 、 ， 的半径为2
（O为坐标原点），点P是直线 上的一动点，过点P作 的一条切线 ，Q为切点，
则切线长 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，
解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算．
连接 ，根据勾股定理知 ，当 时，线段 最短，即线段
最短．
【详解】解：连接 ．∵ 是O的切线，
∴ ，
根据勾股定理知 ，
∵当 时，线段 最短，
又∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
4．如图， 是半圆 的直径， ，点 在半圆 上， ， 是弧 上的一个
动点，连接 ，过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中， 的最小
值是 ．
【答案】 /
【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 ，由题意先判断出点 在以点 为圆心，
为半径的圆上，当 、 、 三点共线时， 取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出 的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边
的一半，求出 的长，再由 ，即可算出 的长．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，当 、 、 三点共线时， 取得最小值，
∵ 是直径，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴由勾股定理得： ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴由勾股定理得： ，
又∵ ，且点 为 的中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键．
5．如图，四边形 为矩形， ， ．点E是线段 上一动点，连接 ，
点F为线段 上一点，连接 ，若 ，则 的最小值为 ．【答案】4
【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构
造圆．由 可得 ， ，点 在以 为直
径的圆弧上，点 在圆外，可求 的最小值．
【详解】解：作 的中点 ，连接 ．
矩形 中， ，
，
，
，
，
当点 移动时，点 在以 为直径的圆弧上移动，当点 在 上时， 有最小值．
， ， ，
，
，
有最小值为4．
故答案为：4．
6．如图，在 中， ， ， ，点 是 上一点，且 ，
点 为 上一动点，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则 的最小值为【答案】6
【分析】本题主要考查最短距离问题，连接 ，由勾股定理求出 ，由折叠得
，当 三点共线时， 值最小，从而可求出 的最小值为6，
【详解】解：连接 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
根据折叠得， ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
∴当 三点共线时， 值最小，
∴ 的最小值为 ，
故答案为：6
类型三、圆与二次函数中的折叠问题
1．二次函数 的图象的顶点坐标是 ，且图象与 轴交于点 ．将二次函数 的图象以 轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的几何变换、对称的性质的知识．根据旋转的性质，折叠后
的函数图象的顶点坐标是 ，且图象与 轴交于点 ，设折叠后得到的函数解析
式为 ，将 代入得 ，即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数 的图象的顶点坐标是 ，且图象与 轴交于点
，
∴折叠后的函数图象的顶点坐标是 ，且图象与 轴交于点 ，
∴设折叠后得到的函数解析式为 ，
将 代入得， ，
解得 ，
∴折叠后得到的函数解析式为 ，
故选：B．
2．如图， 是 的直径，将劣弧 沿弦 折叠，折叠后的弧恰好与 相切于
的中点 ，若 ，则 的半径为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对称的性质，圆的相关性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关
键．设实线劣弧 所在圆的圆心为 ，连接 ， ， ， ，根据题意可得
和 互相垂直平分，设圆的半径为 ，即 ，得到 ，由勾
股定理可得 ，则 ，由切线定理和 是
的中点，可得 ， ，在 中，由勾股定理可得
，进而得到 ，求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，设实线劣弧 所在圆的圆心为 ，连接 ， ， ， ，
、 关于 对称， 垂直平分 ，
， 的半径相等，两圆为等圆，
设圆的半径为 ，即 ，
为 和 的公共弦，
也垂直平分 ，
，在 中， ，
，
为切点， 是 的中点，
， ，
在 中， ，
，
，
解得： ，
，
的半径为 ，
故选：B．
3．如图，抛物线 交 轴于 两点（ 在 的右侧），交 轴于点 ，点
是线段 的中点，点 是线段 上一个动点， 沿 折叠得 ，则线段
的最小值是 ．
【答案】
【分析】先根据抛物线解析式求出点A、B、C的坐标，从而得出 ， ， ，
再根据勾股定理求出 的长度，然后根据翻折的性质得出 在以D为圆心，以 为半径的圆弧上运动．当D， ，B在同一直线上时， 最小．过点D作 ，垂足为
E，由中位线定理得出 ， 的长，然后由勾股定理求出 的长，从而得出结论．
【详解】
由 得
时， ，
解得 ， ，
， ，
， ，
当 时， ，
，
，
，
∵点 是线段 的中点，
，
∵ 是由 沿 折叠所得，
，
∴ 在以D为圆心，以 为半径的圆弧上运动，
当D， ，B在同一直线上时， 最小，
过点D作 ，垂足为E，
则 ， ，∴ ，
，
，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，
关键是根据抛物线的性质求出A、B、C的坐标．
4．如图，点 是圆形纸片的圆心，将整个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧 都
经过圆心 ，则阴影面积占圆面积的 （填分数）．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是折叠性质、不规则图形面积的计算，解题关键是理解题意．
先根据折叠性质得出 ，即可推得 、 、 ，对阴影部分重新
分割拼接即可求解．
【详解】解：作 于点 ，连接 ， ， ，如图所示：由折叠性质得： ，
，
，
，
同理 ，
，
阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
5．综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．
在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片（图1）、一棵生长的幼苗（图2）
都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数
图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
【任务二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，心形叶片的对称轴直线 与坐标轴交于 两点，抛物线与 轴交于
另一点 ，点 是叶片上的一对对称点， 交直线 于点 ．求叶片此处的宽度
；
【任务三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务一中的二
次函数．已知直线 （点 为叶尖）与水平线的夹角为 ，求幼苗叶片的长度 ．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判
定和性质，轴对称图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）把原点 代入解析式 ，求得 值，将抛物线化成顶点式即可
确定顶点 的坐标；
（2）先根据抛物线确定点 ，再确定A，B的坐标，得到 是等腰直角三角形，
且 ，由对称的性质得 ，再根据等腰直角三角形的性质得
到 ，进行计算求解即可；
（3）设 的坐标为 ，则 ，过点 作 轴的平行线 ，过点 作
于点 ，由 ，得 ，即 ，求解即可；
【详解】解：（1） 二次函数 的图象过原点，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，其顶点 坐标为 ．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为 ，
令 ，得 ，解得 ，
，
直线 与坐标轴交于 两点，当 时， ，当 时， ，
，
是等腰直角三角形，且 ，
是关于直线 的一对对称点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3） 点 在抛物线 上，点 坐标为 ，
设 的坐标为 ，则 ，
过点 作 轴的平行线 ，过点 作 于点 ，依题意有 ，
，即 ，
解得 （舍去），
，
幼苗叶片的长度 ．6．在扇形 中，半径 ，点 在 上，连接 ，将 沿着 折叠得到
．
(1)如图①，若 ，且 与 所在的圆相切于点 ．
① __________ ；
②求 的长；
(2)如图②， 与 相交于点 ，若点 为 的中点，且 ，求 的长．
【答案】(1)① ；② ；
(2) ．
【分析】（ ）①由折叠可得 ，由切线的性质可得 ，利用四边
形的内角和可得 ，进而利用邻补角的性质即可求解；②如图①，过点 作
于 ，由折叠可得 ，
，得到 ，再解直角三角形可得
的长；
（ ）如图②，连接 ，设 ，可得 ， ，进而得到
，又由折叠可得 ， ，得到 ，即得
，再由平行线的性质可得 ，进而由等腰三角形的
性质得到 ，最后根据 得 ，求出
，得到 ，再利用弧长公式计算即求解．
【详解】（1）解：①由折叠可得， ，∵ 与 所在的圆相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②如图①，过点 作 于 ，则 ，
由折叠可得 ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图②，连接 ，设 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠得， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，切线的性质，邻补角的性质，等腰直角三角形的判定和
性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，弧长
公式，正确作出辅助线是解题的关键．
类型四、圆与二次函数中的旋转问题
1．如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，边 在x轴正半轴上，
顶点F在y轴正半轴上，将正六边形 绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转 ，
那么经过2023次旋转后，顶点D的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，掌
握正多边形各边相等，各角相等的性质，熟练掌握旋转的性质，找出规律是解题的关键．
根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点 的坐标，再根据旋转的性质以及旋
转的规律求出旋转2023次后顶点 的坐标即可．
【详解】解：连接 ， ，如图，
在正六边形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
点 的坐标为 ，将正六边形 绕坐标原点 逆时针旋转，每次旋转 ，
次一个循环，
，
经过2023次旋转后，顶点 的坐标与第三次旋转后得到的 的坐标相同，
过点 作 轴于P，
∴ ，
由旋转可知 ， ，
∴ ，
∴
，
∵点 在第四象限，
∴点 的坐标为 ，
经过2023次旋转后，顶点 的坐标为 ，
故选：C．
2．已知在平面直角坐标系中，点 为 ，点 为 ，将抛物线 ： ，
绕原点旋转 得到抛物线 ，若抛物线 与线段 只有一个公共点，则 的取值范围
是( )
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题
的关键是得到二次函数图象绕原点旋转 得到抛物线的解析式．先得出该二次函数绕原点旋转 得到抛物线的解析式，再把点A和点B分别代入，求出m的值，即可解答．
【详解】解：将抛物线 ： ，绕原点旋转 得到抛物线 ：
，即 ，
当抛物线 经过点 时，则 ，解得 ；
当抛物线 经过点 时，则 ，解得 ，
当抛物线 与 轴有一个交点时，则 ，
，
解得 ，
此时 ，与 轴的交点为 ，不合题意，
若抛物线 与线段 只有一个公共点，则 的取值范围是 ．
故选：A．
3．如图，扇形 中， ，连接 ，以 为旋转中心，将 旋转 得到
，若 ，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积计算，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知
识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．连接 ， ，
由旋转可知 ，再由 ， 可知 ，可得 是
等边三角形， ，故弓形 与弓形 的面积相等，即可得
，即可得出结论．
【详解】解：连接 ， ，， ，
，
由旋转可知 ，
，
，
是等边三角形，
，
， ， ，
弓形 与弓形 的面积相等，
，
， ， ，
， ，
，
．
故答案为： ．
4．如图，二次函数 与 轴交于点 （点 在点 左边），与 轴交于点
，点 为线段 上一点，将线段 按逆时针方向旋转 后得到线段 ，若点 恰
好落在二次函数在第一象限的图象上，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合性质，掌握数形结合，构造全等三角形将点
的坐标进行转换是解题的关键．
根据二次函数解析式求出点A、B、C、的坐标，然后求出线段 的解析式，由全等三角形
的性质得到 ， ，设点D为 ，则用含m的式子可表示出点E的
坐标，将点E的坐标代入抛物线的解析式可求得m的值，从而得到点D的坐标．
【详解】 二次函数 与 轴交于点 （点 在点 左边），与 轴交于点
，
令 ，则 ，
，
点A坐标为(1,0)，点B坐标为 ，
令 ，则 ，
点C坐标为 ，
设线段 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
线段 的解析式为 ，
作 轴于点M，作 轴于点F， ， ,
,
线段 按逆时针方向旋转 后得到线段 ，
，即 ，
，
，
，
设
点 在第一象限上，
， ，
点 恰好落在二次函数在第一象限的图象上，
解得： ， （舍去），
；
故答案为：
5．已知在等边 中，将线段 绕点 旋转 ，得到线段 ，连接 ，
．(1)如图 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，若 ，则 ，四边形 的
面积为 ；
(2) 在图 中依题意补全图形，并求 的度数；
取 的中点 ，连接 ，交直线 于点 ，连接 ．用等式表示线段 ， ，
之间的数量关系，并证明．
【答案】(1) ， ；
(2) ； ，理由如下见解析．
【分析】（ ）由 是等边三角形， ， ，证明 ，
，则 ， ，由
即可求解，由旋转可知 ， ，则
，
同理可得: ，然后利用角度和差即可求解；
（ ） 设 ， 则 ，进而表示出 和 ，进一步得出
结果；
在 上截取 ，连接 ，设 则 ， ，
根据等腰三角形的性质得 ， ，则 ，
，再证明 共圆，根据圆周角定理的 ，，从而证明 是等边三角形，最后 ，根据全等三
角形的性质和线段和差即可求证．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角度和差，等边三角形的判定与性质，全等三角
形的判定和性质，确定圆的条件，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助
线，构造全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图 ，
设 ， 交于点 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得: ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2） 如图 ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
，理由如下：
如图 ，
在 上截取 ，连接 ，
设 则 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 共圆，
如图，∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
6．如图，抛物线 与y轴交于点 ，与x轴交于 ，B两点，
顶点为H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线 平移后得到抛物线 ，且抛物线 的顶点 始终在抛物线 上，
①当点P在第一象限时，抛物线 与y轴交于点E，若 的面积为 时，直接写出P
点坐标；
②将平移后的抛物线 绕点P旋转 得到抛物线 ，抛物线 与直线 交于点M（M
与H不重合），与y轴交于点N，连接 ， ，若 ，求直线 的解析式．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平
移、旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①先求抛物线 的解析式为 ，可得 ，再由
的面积 ，求出 的值即可；
②先求抛物线 的解析式为 ，则 ，再分别求出点
， ，用待定系数法求直线 的解析式为 ，联立方程求出
，分两种情况讨论：过 作 轴交于 ，过 作 轴交于 ，
可知 ，能求 ，在 中， ，从而确定
点 ， ，再求直线 的解析式为 ；当 在 下方
时， ，同理求出 ， ，可得直线 的解析式为 ．
【详解】（1）将 ， 代入 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）① 点 始终在抛物线 上，
，
抛物线 的解析式为 ，
，
，
的面积 ，
解得 或 （舍 ，
；
② 抛物线 绕点 旋转 得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为 ，
，
中，当 时， ，
解得 或 ，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，解得 或 ，
，
如图1，过 作 轴交于 ，过 作 轴交于 ，
， ， ， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，， ，
直线 的解析式为 ；
如图2，当 在 下方时，
，
，
在 中， ，
，
， ，
直线 的解析式为 ；
综上所述：直线 的解析式为 或 ．
类型五、一元二次方程中的对称式
1．【阅读材料】若关于 的一元二次方程 的两根为 、 ，则
， ．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)【材料理解】
一元二次方程 的两根为为 、 ，则 ______， ______；
(2)【类比运用】已知关于 的一元二次方程 ．
①求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根为 、 ，满足 ，求 的值．
(3)【思维拓展】已知实数 ， ，满足 ， ，且 ，求
的值．
【答案】(1) ，
(2)①见解析；② 或
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，完全平方公
式的变形计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据韦达定理公式进行计算即可；
（2）①证明 即可；②通过韦达定理表示出两根和，以及两根乘积，然后代入
解方程即可；
（3）由题意可知m，n是 的两个不相等的实数根，
，然后利用韦达定理，表示出 以及 ，从而求得答
案．
【详解】（1）解：
， ，，
故答案为： ， ；
（2）解：①∵
，
∵无论k为何实数， ，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系得出 ， ，
，
化简得
解得 或 ．
（3）解： 时，则m，n是 的两个不相等的实数根，
， ，
．
2．材料：若关于x的一元二次方程 的两个根为 ， ，则
， ．如：一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，则， ；又如：一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
则 ， ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1)一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则 ______， ______；
(2)已知一元二次方程 的两根分别为 ， ，求 的值；
(3)若实数m，n满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，读懂材料是解题的关键．
（1）用材料中给出的 ， 直接计算即可；
（2）将 变形为 ，即可求解；
（3）由 ， ，可得m，n是一元二次方程 的两
根，进而求出 和 的值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：由题意知， ， ，则 ；
（3）解： 实数m，n满足 ， ，且 ，
m，n是一元二次方程 的两根，
， ，
，
，
，或 ，
．
3．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程
的两根 有如下的关系（韦达定理）：
；
材料2：如果实数m、n满足 ，且 ，则可利用根的定义构
造一元二次方程 ，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)①已知一元二次方程 的两根分别为 ，则 ______，
______．
②已知实数a，b满足： ，则 ______．
(2)已知实数m、n、t满足： ，且 ，求的取值范围．
(3)设实数a，b分别满足 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)① ， ；②
(2)
(3)1
【分析】本题考查韦达定理，一元二次方程的解，分式的计算与求值．读懂材料是解题的
关键．
（1）①直接根据韦达定理求解；
②根据材料2可得a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根，根据韦达定
理得到 ， ，进而根据分式的加减法则计算后代入求值即可；
（2）由材料2可得m，n是关于x的一元二次方程 ，即 的
两个不相等的实数根，从而 ， ， ，结合 ，可求出t的
取值范围，将 展开代入整理后即可求解；
（3）方程 可变形为 ，从而得到a， 是方程
的两个不相等的实数根，根据韦达定理得到 ， ，将所
求式子变形整理后代入即可解答．
【详解】（1）解：①∵一元二次方程 的两根分别为 ，
∴根据韦达定理，可得
， ．
故答案为： ，②∵ ，
∴a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：
（2）解：∵实数m、n、t满足： ，
∴m，n是关于x的一元二次方程 ，即 的两个不相等的实数
根，
∴ ，即 ，
， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
且 ，
∴ ；
（3）解：∵实数a，b分别满足 ，且 ，
∴ ，
∴方程 可变形为 ，
∴a， 是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ．4．阅读材料：
材料1 若一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
材料2 已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1得 ，
，所以 ．
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ，
．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求
的值；
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足 ， ，且 ．求
的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合
适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出 、 可看作方程 ，据此知 ， ，将其代入计算可得；
（3）把 变形为 ，据此可得实数 和 可看作方程
的两根，继而知 ， ，进一步代入计算可得．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ；
故答案为： ； ；
（2）解： ， ，且 ，
、 可看作方程 ，
， ，
；
（3）解：把 变形为 ，
实数 和 可看作方程 的两根，
， ，
．
5．阅读与思考
阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程 的两根为 ，则 ， ．
材料2 已知实数m，n满足 ， 且 ，求 的值．
解：由题知m，n是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ，
，
．
根据上述材料解决下面的问题：
(1)一元二次方程 的两根为 ， ，则 _________， _________．
(2)已知实数m，n满足 ， 且 ，求 的值．
(3)已知实数p，q满足 ， 且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；理解一元二次方程根与
系数的关系，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．
（1） 中 ， ， ，代入 ， ，即可求解；
（2）由（1）得m，n是方程 的两个不相等的实数根，即可求解；
（3）由（1）得 、 是方程 的两个不相等的实数根，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
，故答案： ， ；
（2）解：由题知m，n是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1，得
， ，
；
（3）解： ，
，
，
，
、 是方程 的两个不相等的实数根，
， ，
，
，
．
6．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程 的两个根为 ，
则 ， ；材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，
∴ ，
则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ，则 ， ；
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值；
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查根与系数的关系：
（1）根据根与系数的关系直接作答即可；
（2）根据根与系数的关系，得到 ，整体代入计算即可；
（3）由题意可知， 为方程 的两个根，根据根与系数的关系，进行求解即
可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ．
（2）∵一元二次方程 的两根分别为m、n，∴ ， ，
∴
；
（3）∵实数s、t满足 ， ，且 ，
∴ 可以看作方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ．
类型六、动圆相切求t
1．探究与推理
如图1，在矩形 中， ， ，连 ，点 为 上的一个动点，点 从
点出发，以每秒4个单位的速度沿 向终点 运动．过点 作 的平行线交 于点 ，
将 沿 对折，点 落在点 处，连 交 于点 ，设运动的时间为 秒；
(1)用含有 的式子表示 ．(2)当 为何值时，点 恰好落在线段 上；
(3)如图2，在点 运动过程中，以 为直径作 ，当 为何值时， 与矩形的边相切？
请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)当 或 时， 与矩形的边相切，理由见解析．
【分析】（1）根据矩形和折叠的性质以及勾股定理，可求出 ，再由
，可得 ，即可求解；
（2）根据折叠的性质可得 垂直平分 ，从而得到 ，再由
，即可求解；
（3）连接 ，先求出 ， ，然后分两
种情况：当 与边 相切于 时，当 与边 相切于 时，即可求解．
【详解】（1）解：依题可知 ，由折叠可知
在矩形 中， ， ，
，
又 ，
，
．
（2）解：由折叠可知 垂直平分 ，，
，
点 恰好落在线段 上，
，
，
；
（3）解：当 或 时， 与矩形的边相切，理由如下：
连接 ，
依题可知， 为 的中点， 为 的中点， ， ，即半径为 ，
，
在矩形 中， ，
又 ， ， ，
，
， ，
①当 与边 相切于 时，如图①所示，
连接 ，
又 ，
、 、 三点共线
过 作 于
四边形 为矩形，解得 ；
②当 与边 相切于 时，如图②所示
连接 ，并延长 交 于 ，
， ，
四边形 为矩形，
，
又 ， ，
四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述， 或
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等
知识，熟练掌握解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等知识是解
题的关键．
2．如图， 中， ， ， ，点 、 是边 上的两个
动点，点 从点 出发沿着 以每秒 的速度向终点 运动；点 同时从点 出发沿
着 以每秒 的速度向终点 运动． 设运动时间为 秒．(1)当 时，求 的面积．
(2)当 为何值时， ．
(3)当以 为直径的圆与 的边有且只有三个公共点时，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3) ，且 ．
【分析】（1）过点 作 于点 ，根据等腰直角三角形的性质，得到 ，
当 时，则 ， ，进而得出 ，即可求出 的面积；
（2）分两种情况讨论：①当点 与点 未相遇，此时 ，将 绕点 顺时针旋转
得到 ，连接 ，由旋转的性质证明 ，得到 ，由
题意可知， ， ，进而得到 ， ，利用勾股定理
列方程，求出 的值即可；②当点 与点 相遇后，此时 ，将 绕点 顺时针
旋转 得到 ，连接 ，同理可证， ，得到 ，由题意可知，
， ，利用勾股定理列方程，求出 的值即可；
（3）分三种情况讨论：①当点 与点 未相遇，此时 ，取 的中点 ，过点
作 于点 ， 于点 ，当点 与点 重合时， ，以 为直径
的圆与 相切，此时 ，当 时，不符合题意；当 时， ，以
为直径的圆与 有一个公共点，与 有两个公共点，符合题意；②当点 与点相遇时，不符合题意；③当点 与点 相遇后，此时 ，由①可知，当点 与
中点 重合时，以 为直径的圆与 相切，此时 ，当 ，以 为直径的
圆与 有一个公共点，与 有两个公共点，符合题意，即可得到 的取值范围．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于点 ，
， ， ，
，
当 时，则 ， ，
，
（2）解： 秒，即 时，点 与点 相遇，
， ，
，
①当点 与点 未相遇，此时 ，
如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 的对应点是点 ，连接 ，
由旋转的性质可知， ， ， ， ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
由题意可知， ， ，
， ，
在 中， ，
，
解得： 或 （舍），
；
②当点 与点 相遇后，此时 ，
如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 的对应点是点 ，连接 ，
由旋转的性质可知， ，
同理可证， ，
，
由题意可知， ， ，
，
，在 中， ，
，
解得： 或 （舍），
，
当 或 时， ；
（3）解：①当点 与点 未相遇，此时 ，
如图，取 的中点 ，过点 作 于点 ， 于点 ，
当点 与点 重合时， ，以 为直径的圆与 相切，
由（1）可知，此时 ，
，
当 时，以 为直径的圆与 、 各有两个交点，不符合题意，
当 时， ，以 为直径的圆与 有一个公共点，与 有两个公共点，
符合题意；
；
②当点 与点 相遇时，此时 ， 不存在，不符合题意；
③当点 与点 相遇后，此时 ，
如图，由①可知，当点 与 中点 重合时，以 为直径的圆与 相切，
由（1）可知，此时 ，，
当 ，以 为直径的圆与 有一个公共点，与 有两个公共点，符合题意；
，
综上可知，当以 为直径的圆与 的边有且只有三个公共点时， 的取值范围为
，且 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，勾股定理，
直线与圆的位置关系，正确添加辅助线是解题关键．
3．如图，形如量角器的半圆 的直径 ，形如三角板的 中， ，
， 半圆 以 的速度从左向右运动，在运动过程中，点 、
始终在直线 上．设运动时间为 ，当 时，半圆 在 的左侧， ．
(1)当 时， 与 所在直线第一次相切；点 到直线 的距离为 ；
(2)当 为何值时，直线 与半圆 所在的圆相切；
(3)当 的一边所在直线与圆 相切时，若 与 有重叠部分，求重叠部分的面
积．
【答案】(1)1，
(2)当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切
(3) 或
【分析】（1）求出路程 的长，即可以求时间 ，作 到 的距离 ，利用直角三
角形中 角所对的直角边是斜边的一半可以得： ；
（2）根据 到 的距离为 ，圆的半径为 ，所以 与 重合，即当 点运动到
点时，半圆 与 的边 相切， 秒；当点 运动到 点的右侧时，且
，过 作 ，交直线 于 ，在 中，求出 的长度，进行求解
即可；（3）有两种情况：①当半圆 与 边相切于 时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积
的一半；②当半圆 与 相切于 时，如图4，连接 ，重叠部分的面积是扇形
的面积 的面积．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
当 时， 与 所在直线第一次相切；
如图1，过 作 于 ，
中，
， ，
，
故答案为：1， ；
（2）如图2，过 作 于 ，
同理（1）得： ，
当直线 与半圆 所在的圆相切时，
又 圆心 到 的距离为6，半圆的半径为6，
且圆心 又在直线 上，
与 重合，
即当 点运动到 点时，半圆 与 的边 相切，
此时，点 运动了 ，所求运动时间 ；如图3，当点 运动到 点的右侧时，且 ，过 作 ，交直线 于 ，
在 中， ，则 ，
即 与半圆 所在的圆相切，此时点 运动了 ，
所求运动时间 ，
综上所述，当 为4秒或16秒时，直线 与半圆 所在的圆相切；
（3）有两种情况：
①当半圆 与 边相切于 时，如图2，
重叠部分的面积 ；
②当半圆 与 相切于 时，如图4，连接 ，
，
与 重合， 与 重合，
，
，
，
过 作 于 ，
，
，
由勾股定理得： ，，
此时重叠部分的面积 ；
综上所述，重叠部分的面积为 或 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，含30度角的直角三
角形的特征，分情况求解，准确作出辅助线是解答本题的关键．
4．如图， 直线 与x轴交于点B， 与y轴交于点 C，其中 ， ， 抛
物线 经过 B， C两点， 并与x轴交于另一点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 E在线段 上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时点F在线段 上以
每秒2个单位长度的速度从B向C运动． 当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．
设运动时间为t秒， 求t为何值时， 的面积最大？并求出最大值；
(3)是否存在某个时间t，使得以 为直径的圆与 的边 或 相切？若存在，求
出t； 若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时， 的最大值为
(3)当 秒或 秒时，以 为直径的圆与 的边 或 相切
【分析】（1）先求出点B和点C的坐标，代入 ，求出a，c的值即可；（2）求出点A的坐标 运用待定系数法求出直线 的解析式，运动t秒后，
过点F作 于点G，可得 由 得
根据三角形面积公式可得 ，
由二次函数的性质可得结论；
（3）由题意得，当 时， 轴， ，由 可
得 可求出 ；当 时， ，由
可得 ，得 ，故可得结论
【详解】（1）在 中， ，
由勾股定理得， ，
∴点C的坐标为 ，
∵
∴点B的坐标为 ，
∵抛物线 经过 B， C两点，
∴ ,
解得，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）对于 ，令 ，则 ，解得， ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ；
设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
设运动t秒，
∴
过点F作 于点G，则 ，
∴ ，
∴
在 中，
∴ ，∵ ，
∴ 有最大值，
即当 时， 的最大值为 ；
（3）设运动t秒后， ，则 轴，
∴ ，
∵ ，
∴
∵
∴
∴ ；
即当 时，以 为直径的圆与 相切；
当 时，则
∵
∴又 ，
∴
∴ ，
∴ ，
即当 秒时，以 为直径的圆与 相切；
综上，当 秒或 秒时，以 为直径的圆与 的边 或 相切
【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式， 角所对直角边等于斜边一半，
勾股定理，平行线的判定与性质，二次函数最值，切线的性质等知识，正确表示
是解答本题的关键
5．如图1，在矩形 中， ， ，点 以1.5 的速度从点 向点
运动，点 以2 的速度从点 向点 运动．点 、 同时出发，运动时间为 秒（
）， 是 的外接圆．
(1)当 时， 的半径是 ， 与直线CD的位置关系是 ；
(2)在点 从点 向点 运动过程中，
①圆心 的运动路径长是 ；
②当 与直线 相切时，求 的值．
(3)连接 ，交 于点 ，如图2，当 时，求 的值．
【答案】(1) ，相离
(2) ；(3)
【分析】（1）过点 作 于 ，交 于 ，根据矩形的性质，得出 ，
，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出 的直径是 ， ，再根
据题意，得出当 时， ， ，进而根据线段之间的数量关系，得出
， ，再根据勾股定理，得出 的值，进而得出 的半径，再根据
中位线的性质得出 的值，进而得出 的值，即可判断 与直线 的位置关系；
（2）①根据 、 运动的速度与 、 的比相等，得出圆心 在对角线 上，再根
据图形和题意，得出 和 两点在 时在点 重合，当时 ，直径 为对角线 ，
根据中点的性质得出 ，再根据勾股定理解得 的值，进而得出 的长，即为
圆心 的运动路径长；②当 与 相切时，设切点为 ，连接 并延长交 于 ，
再根据线段之间的数量关系和题意，得出 ， ，再根据勾股定理解得
的值，再根据圆的性质，得出 ，再根据中位线的性质，得出
，根据线段之间的数量关系，列出关于 的方程，求解即可得出答案；
（3）过 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，证明 ，
再根据全等三角形的性质得出 ，根据线段之间的数量关系得出 ，
再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于 ，交 于 ，∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 的直径是 ， ，
当 时， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与直线 的位置关系是相离．
故答案为： ；相离；
（2）解：①如图，∵ 、 运动的速度与 、 的比相等，
∴圆心 在对角线 上，
由图可知， 和 两点在 时在点 重合，
当 时，直径为对角线 ， 是 的中点，
∴ ，由勾股定理，可得 ，
∴ ，
∴圆心的运动路径长是 ．
故答案为： ；
②如图，当 与 相切时，
设切点为 ，连接 并延长交 于 ，
则 ， ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的值为 ；
（3）解：如图，过 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ 的值为 ．【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、
中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是
熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
6．如图 ，在矩形 中， ，点 以 的速度从点 向点
运动，点 以 的速度从点 向点 运动，点 同时出发，运动时间为 秒（
）， 是 的外接圆．
(1)当 时， 的半径是 ， 与直线 的位置关系是 ；
(2)在点 从点 向点 运动过程中，当 与直线 相切时，求的 值；
(3)连接 ，交 于点 ，如图 ，当 时，求 的值．
【答案】(1) ，相离
(2)
(3)
【分析】（ ）过点 作 于 ，交 于 ，由 得到 的直径是
，求出 即可得到 的半径，利用三角形中位线得到 ，进而得到，即可判断 与直线 的位置关系；
（ ）当 与 相切时，设切点为 ，连接 并延长交 于 ，根据
得到方程 ，解方程即可求解；
（ ）过 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，证明 ，
得到 ，由 得到方程 ，
解方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于 ，交 于 ，
∵ 四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 的直径是 ， ，
当 时， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∴ 是 的中位线，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与直线 的位置关系是相离，
故答案为： ，相离；
（2）解：如图，当 与 相切时，设切点为 ，连接 并延长交 于 ，则
， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，∴ 的值为 ；
（3）解：如图，过 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直线和圆的位置关系，勾股定理、中位线的判定和性质、
全等三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．类型七、一元二次方程的新定义
1．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一
个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程 的两
个根是 和 ，则方程 是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程 ________（填“是”或“不是”）“倍根方
程”．
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，则c=________．
(3)若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系
为________．
(4)若 是“倍根方程”，求代数式 的值．
【答案】(1)不是
(2)2
(3)
(4) 的值为0．
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解
题关键．
（1）求解一元二次方程即可进行判断；
（2）设方程 的两个根分别为： ，将根代入方程积累二元一次方程组即
可求解；
（3）设方程 的两个根分别为： ，根据根与系数的关系消去 即可求
解；（4）方程 的两个根为： ，根据题意可得 或
，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解： ，
解得： ，
∵ ，
∴该方程不是“倍根方程”，
故答案为：不是；
（2）解：设方程 的两个根分别为： ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
故答案为：2；
（3）解：设方程 的两个根分别为： ，
则由根与系数的关系可得： ，
消去 得： ，
故答案为： ；
（4）解：方程 的两个根为： ，
∴ 或 ，即 或 ，
当 时， ；
当 时， ；故： 的值为0．
2．若 是一元二次方程 的两个实数根，且满足 ，则此类
方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)判断下列方程是否是“差根方程”：
① ______； ② ______；（填是或否）
(2)已知关于 的方程 是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于 的方程 （ 是常数， ）是“差根方程”，请写出 与 之
间的数量关系式．
【答案】(1)否，是
(2)
(3)
【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可．
（2）根据 是“差根方程”，解方程求得 得到 ，从而得
到 ；
（3）设 是一元二次方程 （ 是常数， ）的两个实数根，根据
根与系数的关系得到 ，整理即可得到 ．
【详解】（1）解：①设 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，∴方程 不是差根方程；
②设 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴方程 是差根方程；
（2）解： ，
因式分解得： ，
解得： ，
∵关于x的方程 是“差根方程”，
∴ ，即 ；
（3）解：设 是一元二次方程 （ 是常数， ）的两个实数根，
∴ ， ，
∵关于x的方程 （ 是常数， ）是“差根方程”，
∴ ，
∴ =1，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，正确的理解“差
根方程”的定义是解题的关键．
3．定义：若x 、x 是方程 的两个实数根，若满足 ，
₁ ₂则称此类方程为“差积方程”．例如： 是差积方程．
(1)判断方程 是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程 是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程( 为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
【答案】(1)是，证明见解析
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得 ， ；根据新定义列出方程即可求解．
【详解】（1）方程 是“差积方程”，
证明： ，
即 ，
解得 ， ，
，
是差积方程；
（2）解： ，
解得方程的解为： ， ，是差积方程，
，
即： 或 ．
解得： 或 ，
（3）解： ，
解得 ， ，
是差积方程，
，
即 ，
即 ．
4．定义：如果关于 的一元二次方程 满足 ，那么我们称
这个方程为“凤凰”方程．
(1)写出一个“凤凰”方程是______；
(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；
(3)已知方程 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题主要考查一元二次方程根的情况，通过观察可以发现 是方程的根，
直接写出一个根为 一元二次方程即可．
（2）本题主要考查通过代数式观察，可以发现 是一元二次方程的一个根，直接求解
即可．（3）本题主要考查由一元二次方程根的情况，推导出 ，可以得到一个方程，
再由凤凰方程，又可以得到一个 的方程，然后去求， 和 即可，最后求出
的值．
【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是 ；
即为： ．
（2）关于 的一元二次方程 ，且满足 ；
∴ 时， ；
故凤凰”方程必定有一个根是 ．
（3） 是“凤凰”方程；
，即 ；
方程 有两个相等的实数根；
．将 代入，得 ；
解得： ；
．
5．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程 ，如果
的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元
二次方程的根都为整数， 的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程 称为“全整根方程”，代数式
的值为该“全整根方程”的“最值码”，用 表示，即 ；
若另一关于x的一元二次方程 也为“全整根方程”，其“最值码”记为
，当满足 时，则称一元二次方程 是一元二次方程 的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程” 的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程 （m为整数、且 ）是“全整
根方程”，请求出该方程的“最值码”；
(3)若关于x的一元二次方程 是 （m，n均为正整
数）的“全整根伴侣方程”，求 的值．
【答案】(1)
(2)方程 的“最值码”为 ；
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的
含义是解本题的关键．
（1）直接利用新定义 计算即可；
（ ）通过 的取值范围确定根的判别式 的范围，继而根据“整数根”特点确定根
的判别式的取值，最后结合 为整数确定 取值，按照“最值码”定义求解即可；
（ ）依次求出方程 和 的“最值码”，根据“全
整根伴侣方程”的定义列得方程 ，结合 ， 均为正整数
即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题
的关键．
【详解】（1）解：“全整根方程” 的“最值码”是
；（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是“全整根方程”，
∴ 是完全平方数，
即 是完全平方数，
∴ 或 或 ，
解得 或 或 ，
∵ 为整数，
∴ ，
当 时，方程 化为
，
∴ ；
∴方程 的“最值码”为 ；
（3）解：方程 的“最值码”为
，
方程 的“最值码”为
，
∵ 是 的“全整根伴侣方程”，∴ ，
即 ，
整理得， ，
∴ ，
即 ，
∵ ， 均为正整数，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
6．阅读理解：
定义：如果关于 的方程 （ ， 、 、 是常数）与
（ ， 、 、 是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、
常数项分别满足 ， ， ，则这两个方程互为“对称方程”．比如：
方程 的“对称方程”是 ．
请用以上方法解决下面问题：
(1)填空：写出方程 的“对称方程”是______；
(2)若关于 的方程 与 互为“对称方程”，求 、 的值及
的解．
【答案】(1)
(2) ， ； ，【分析】（1）根据“对称方程”的定义，把握“对称方程”特征：二次项系数互为相反数、
一次项系数相同、常数项互为相反数即可得到答案；
（2）先根据“对称方程”的定义得到 ，解得 ，代入
得到 ，解这个一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“对称方程”的定义，若两个方程互为“对称方程”，则二次项系
数互为相反数、一次项系数相同、常数项互为相反数，
方程 的“对称方程”是 ；
（2）解： ，
移项可得： ，
方程 与 互为“对称方程”，
， ，
， ，
将 代入方程 得到 ，
，
，
，即 ， ．
【点睛】本题考查新定义题型，涉及一元二次方程的定义及解法，读懂题意，理解“对称
方程”定义是解决问题的关键．
类型八、二次函数的新定义
1．定义；若当点 在某一函数图象上时，点 也在该函数图
象上，则称该函数为“知返函数”，点 称为“知返点”．(1)已知一次函数 为“知返函数”，求该一次函数的解析式；
(2)若反比例函数 （ 为整数）的函数图象上存在“知返点”，求 的最大值；
(3)函数 的图象是由二次函数 的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到
x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若函数 的图象与“知返函数”
的图象有四个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ；
【分析】（1）将点 、 代入y=kx+b(k≠0)即可求解；
（2）由题意得： ，整理得 ；根据 即可求解；
（3）令 ，整理得： ，可得 或 ；
结合函数 经过点(1,0)时，此时函数 与 有三个交点即可
求解；
【详解】（1）解：将点 、 代入y=kx+b(k≠0)得：
，
解得：∴
（2）解：由题意得： ，
即： ，
∵反比例函数 （ 为整数）的函数图象上存在“知返点”，
∴
解得：
∵
∴整数 的最大值为
（3）解：函数 的图象中，由二次函数 的图象x轴下方的部分沿x
轴翻折到x轴上方部分对应的函数解析式为：
由（1）得：“知返函数” 为 ，
令 ，整理得：
令
解得： 或 ；
当函数 经过点(1,0)时，此时函数 与 有三个交点
有： ，解得：
∴
综上所述： 或 ；
【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一次函数的解析式、反比例函数、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数
基础.
2．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 是函数图象上
任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点
的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点 在函数 图象上．点 的“纵横值”为 ；
函数 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ，当 时，
的最大值为 ，所以函数 的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点 的“纵横值”为 ；
②求出函数 的“最优纵横值”；
(2)若二次函数 的顶点在直线 上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数 ，当 时，二次函数的最优纵横值为2，直
接写出b的值．
【答案】(1)①8；②2
(2)4
(3)5或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的
图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键．
（1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出 ，即可求解；
（2）先确定函数的解析式为 ，再由
的最优纵横值为5，得到 ，即可求解；
（3）先求 ，再分类讨论 若 ， 若 ，
两种情况即可求解；
【详解】（1）解：①由题意得：点 的“纵横值”为 ，
故答案为：
② ，
∵ ，
∴
∴函数 的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）解：
若 ，则当 时， ；
即： ，
解得： 或 （舍去）；
若 ，则当 时， ；
即： ，
解得 （舍）或 ；
综上所述：b的值为5或−2．3．定义：在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，当 时，B点坐标为
；当 时，B点坐标为 ，则称点B为点A的k一分点（其中k为常
数）．例如： 的0一分点坐标为 ．
(1)点 的1一分点在比例函数 图象上，则 ________；
若点 的2一分点在直线 上，则 ________；
(2)若点N在二次函数 的图象上，点M为点N的3一分点．
①求点M所在函数的解析式；
②当 时，点M所在函数的函数值 ，求出m的取值范围．
【答案】(1)3，11
(2)① 或 ②
【分析】本题采取新定义的方式考查坐标变化、一次函数性质、二次函数性质，把握变化
规律，结合图象特点，注意分类讨论是解题关键．
（1）根据新定义计算即可，第二小问注意分类讨论，
（2）①分 ， 两种情况，根据变化定义，找到点M坐标，进而找到M点所在解
析式，
②根据函数性质即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴点 的1一分点坐标为 ；
∵点 的1一分点在正比例函数 图象上，
∴
∴ ；
分情况讨论：①当 ，即 时，点 的2一分点为 ，∵点 的2一分点在直线 上，
∴ ，
∴ ，
当 ，即 时，点 的2一分点为 ，
∵点 的2一分点在直线 上，
∴
∴ （舍去），
故答案为：3，11；
（2）解：①设
∵点M为点N的3一分点，
∴当 ， ，其中
，
∴点M所在函数的解析式为： ，
当 ， ，其中
，
∴点M所在函数的解析式为： ，
故点M所在函数的解析式为 或 ；
②由点M所在函数的图象可知：
把 代入 得 ，
解得 （舍去），
把 代入 得 ，解得 ， （舍去），
当 ，代入 得 ，此时方程无解，
当 ，代入 得
解得：x=−1
∴当 时，点M所在函数的函数值 ；
综上，当 时，点M所在函数的函数值 ，其中m的取值范围为
．
4．新定义：若函数图像一定过点 ，我们称 为该函数的“永固点”．如：一次
函数 ，无论k值如何变化，该函数图像一定过点 ，则点 称为这
个函数的“永固点”．
【初步理解】一次函数 的“永固点”的坐标是______；
【理解应用】二次函数 落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标
是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______；
【知识迁移】点P为抛物线 的顶点，设点A到直线
的距离为 ，点P到直线 的距离为 ，请问
是否为定值？如果是，请求出 的值；如果不是，请说明理由．
【答案】【初步理解】 ；【理解应用】 ， ；【知识迁移】 为定值．【分析】本题考查二次函数的性质和新定义，关键是对新定义的理解和运用．
初步理解：把 化为 ，根据“永恒点”的定义得出结论；
理解应用：把 化为 ，根据“永恒点”的定义得出
结论；
知识迁移：先求出顶点P的坐标，分别过点P、A作直线 的垂线，垂足为
Q、C，作 轴交直线 于点E，作 轴交直线
于点F，求出E，F坐标，然后求出 ，再由 ，求
出 为定值．
【详解】解：初步理解：∵ ，
∴无论m值如何变化，该函数图象恒过点 ，
∴一次函数 的永固点的坐标是 ，
故答案为： ；
理解应用： ，
当 或 时， ，
∴无论m值如何变化， 恒过定点 和 ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
知识迁移： 为定值．
∵ ，∴顶点 ， ，
作 轴交直线 于点E，作 轴交直线 于
点F，
则 ， ， ，
分别过点P、A作直线 的垂线，垂足为Q、C，则
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
5．对某一个函数给出如下定义：对于函数 ，若当 ，函数值 的取值范围是
，且满足 则称此函数为“ 系郡园函数”
(1)已知正比例函数 为“1系郡园函数”，则 的值为多少？
(2)已知二次函数 ，当 时， 是“ 系郡园函数”，求 的取值范围；(3)已知一次函数 （ 且 ）为“2系郡园函数”， 是函数
上的一点，若不论 取何值二次函数 的图象都不经过点
，求满足要求的点 的坐标．
【答案】(1) ．
(2)
(3) ， ，
【分析】本题考查了二次函数的其他应用，图象性质，一次函数的图象性质，新定义的运
用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合“ 系郡园函数”的定义，进行分类讨论①当 时， ．②当 时，则
，即可作答．
（2）先得出对称轴为 ，结合当 时， 是“ 系郡园函数”，然后进行分类讨
论，即①当 时；②当 时；③当 时；④当 时进行列式，化简计算，
即可作答．
（3）先解得 ，则 ，当 时y是定值，过定点，即
， 时 ， ，即抛物线过定点 ， ， 为 ，或
，过点 ， 的直线为 ，结合题意建立方程组 解得
则点P是 ， ， ，即可作答．
【详解】（1）解：正比例函数 ，当 时，
①当 时，
则 ，．
②当 时，
则 ，
，
的值是 ．
（2）解：二次函数 的对称轴为 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
①当 时， ， ，
，
，
；
②当 时， ， ，
，
，
；
③当 时， ， ，
，
，
；④当 时， ， ，
，
，
．
综上所述，t的取值范围为 ．
（3）解：由题意得，当 时， ，
解得 ，
，
，
．
当 时y是定值，过定点，
即 ， 时 ， ，
即抛物线过定点 ， ；
当 或 时直线 过点 ， ，
为 ，或 ，
设过点 ， 的直线为 ，
把点 ， 分别代入
得
解出
∴过点 ， 的直线为 ，解得
两直线相交于 所以抛物线也不能过点 ，
点P过点 ， ， ．
6．【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，
只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系
，对两点 和 ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：
．
【数学理解】
(1)①已知点 ，则 ___________；
②函数 的图象如图（1）， 是图象上一点，若 ，则点
的坐标为________；
(2)函数 的图象如图（2），该函数图象上是否存在点 ，使 ？若存
在，求出其坐标；若不存在，请说明理由；
【拓展运用】(3)函数 的图象如图（3）， 是图象上一点，求 的最小值及
对应的点 的坐标．
【答案】(1)①4，②
(2)不存在，理由见解析
(3) 的最小值为 ，点D坐标为（ ， ）
【分析】（1）①根据题目所给“折线距离”的定义，即可解答；②根据题意可得
，即可求解；
（2）根据题意可得： 得出 ，再根据一元二次方程根的
判别式，即可得出结论；
（3）根据 可得 ，即可得出结
论．
【详解】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
故答案为：4；
②∵ ，
∴
∴ ，
解得： ；
∴ ，故答案为： ；
（2）解：不存在，理由如下：设点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即
∵ ，
∴此方程没有实数根
∴不存在符合条件的点C．
（3）解：设点D为 ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∴当 时， 的最小值为 ，
此时点D坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数，二次函数的应用，解题的关键是正确理
解题意，熟练掌握化简绝对值的方法，以及二次函数的性质．类型九、圆的新定义
1．【问题背景】
人们从城市中的一点到另一点时，通常只能沿着城市中的街道行走．因此，人们发现，用
19世纪数学家闵可夫斯基提出的曼哈顿距离来计算城市内街道上两点之间的距离更符合生
活现实．曼哈顿距离（简称为“曼距” 的定义如下：坐标平面内的两点 ， ， ，
之间的距离为 ．例如，在平面直角坐标系中，点 与点
之间的“曼距” ．
【初步理解】
（1）在一座理想的棋盘式布局的城市内，“110”的调度员收到信息，有一个突发事故发生
在 处．而在该地区附近有两辆警车， 车位于 处， 车位于 处，那么
以“曼距”大小衡量，按“就近优先出警”的原则，应该派 车（填 或 前去处理事故．
（2）如图1，正方形 的中心位于坐标原点 ，四个顶点均位于坐标轴上，且 ．
则下列说法：
①若点 是正方形 一边上的一点，则 ；②若点 是正方形 内的一点，
则 ；
③若点 是正方形 外的一点，则 ；④若点 是正方形 内的一点，则
．
其中不正确的是 （填序号）．
【探究应用】
（3）如图2，某消防支队位于坐标原点 ， 轴是一条城市主干道，“月牙湖”位于城市
边陲，其西、南岸可近似看作一段圆弧．已知圆弧形湖岸经过 ， ， 三
点．今该消防支队要在湖岸边，建一个训练基地（记为点 ，为使该消防支队官兵，平时
前往基地参训时的“曼距”最短，需探究：点 的位置应选在何处？请作答以下问题：
①圆弧所在的圆的圆心 的坐标为 ，该圆的半径大小为 ；
②请利用网格格点，在图2中，画出使 最小时点 的位置（不要求证明）；③ 的最小值为 ．
【答案】（1）B；（2）④；（3）① ， ，②见解析，③
【分析】（1）分别计算出两辆警车到事故发生点的“曼距”然后进行比较即可；
（2）因为正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，所以只研究 在第一象限的情况即可，
得出 的直线方程，即可判断①，过 作 轴垂线，交 于点 ，根据坐标关系即可得
出②③，令 在 上，即可判断④的正误；
（3）①根据垂径定理作 和 的垂直平分线，交点即为 ，根据勾股定理求出 即为
半径；
②③因为 为定值， 也为定值，所以 需要在 ， 之间，且 尽量大．
本题主要考查了圆与坐标系的综合，一次函数的图象性质，垂径定理，勾股定理，正确理
解新定义的几何意义是本题解题的关键．
【详解】解：（1） ， ，
，
应该派 前去处理事故，
故答案为： ；
（2） ，
设 所在直线方程为
把 代入
得解得
所在直线方程为： ，
当 在第一象限内，
当 在 上时， ，故①正确；
当 在正方形内时，过 作 交 于 ，此时， ，
，故②正确；
同理，当 在正方形外， ，
，故③正确；
正方形为轴对称图形，也是中心对称图形，
当 在其他象限时，①②③同样成立；
取 为 上一点 ， ，
，故④错误；
故答案为：④；
（3）①②如图：
，
，
故答案为： ， ；
③过 作 轴垂线，过 作 轴垂线，两线相交于 ，
为等腰直角三角形，
，
， ，．
故答案为：
2．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
(1)如图1，若四边形 是圆美四边形．求美角 的度数；
(2)在（1）的条件下，若 的半径为4．
①求 的长；
②连接 ，若 平分 ，如图2，请判断 、 、 之间有怎样的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；② ，理由见解析
【分析】（1）由题意得： ，而 即可求解；
（2）①如图1，连接 并延长交 于 点，连接 ，则 ，根据勾股
定理即可求出 的长；② 理由如下：如图2，延长 到 ，使得 ，
连接 ，由圆的相关性质和已知条件可证 ，从而证出结论．
【详解】（1）由题意得： ，
，
，
．（2）①如图1，连接 并延长交 于 点，连接 ，
的半径为4，
，
，
．
② ．
理由如下：如图2，延长 到 ，使得 ，连接 ，
，
．
平分 ，
， ．
，
，
，
， ，为等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，以及全等三角形的判定与性质和勾股定理，结合
条件，添加适当的辅助线是解本题的关键．
3．对于平面直角坐标系 中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q
为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N
间的“最小距离”，记作 .
已知点 ， ，连接 ．
(1)填空： ______；
(2) 的半径是r，若 ，直接写出r的取值范围；
(3) 的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转 ，得到点C.
①当 时 ，求此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个不同的 值使得 ，直接写出r的取值范围．
【答案】(1)3
(2)(3)① ，②
【分析】（1）由题意得出 轴，则可根据“最小距离”的定义得出答案；
（2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“最小距离”的定义得出答案；
（3）①过点C作 于点H，由直角三角形的性质可得出答案； ②由题意可知线段
在旋转过程中 与 有两个交点，画出图形即可得出答案．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ 轴，
∴ ，
故答案为：3；
（2）如图所示， 表示 与线段 有交点，
此时 ,
∴ ；
（3）①当 时，点C恰好落在x轴上，如图，过点C作 ，垂足为H，
， ，
， ，
点C落在x轴上，
，
；
②存在两个不同的 值使得 ，即线段 在旋转的过程中 与
有两个交点，如图，
此时， ，
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“最小距离”的概念，旋转的性
质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点．4．对于平面直角坐标系 中的点 ，给出如下定义：记点 到 轴的距离为 ，到 轴
的距离为 ，若 ，则称 为点 的“引力值”；若 ，则称 为点 的“引力
值”．特别地，若点 在坐标轴上，则点 的“引力值”为0．
例如，点 到 轴的距离为3，到 轴的距离为2，因为 ，所以点 的“引力
值”为2．
(1)①点 的“引力值”为 ；
②若点 的“引力值”为2，则 的值为 ；
(2)若点 在直线 上，且点 的“引力值”为2，求点 的坐标；
(3)已知点 是以 为圆心，半径为2的圆上的一个动点，直接写出点 的“引力
值” 的取值范围．
【答案】(1)1，
(2) 或 .
(3)【分析】此题考查引力值的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题．
（1）根据“引力值”的定义进行解答即可；
（2）设出C点坐标，由C在直线 上，且“引力值”为2，可分情况讨论；
（3）在圆上找到和两坐标轴最近和最远的点，比较即可．
【详解】（1）解：①∵点 到 轴的距离为4，到 轴的距离为1，因为 ，所以
点 的“引力值”为1．
故答案为：1
②∵点 的“引力值”为2，，则 ， ；
故答案为：
（2）设点C的坐标为 ，
由于点 的“引力值”为2，则 或 ，即 ，或 ，
当 时， ，此时点C的“引力值”为0，舍去；
当 时， ，此时C点坐标为 ；
当 时， 解得 ，此时点C的“引力值”为1，舍去；
当 时， ， ，此时C点坐标为 ；
综上所述，点C的坐标为 或 ；
（3）以 为圆心，半径为2的圆上的点中，距离x轴最近和最远的点分别为 ，
，距离y轴最近和最远的点分别为 ， ，所以点M的“引力值” 的取值范
围是 .
5．点P为平面直角坐标系 中一点，点Q为图形M上一点．我们将线段 长度的最大
值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．(1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点 ．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段 的“宽度”为___________；
②点 为x轴上一点．若在点P视角下，线段 的“宽度”为2，求m的取值范围；
(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为 （ ），直线 与x轴，y轴分别交
于点D，E．若线段 上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆
心C的横坐标 的取值范围．
【答案】(1)① ； ② 或
(2)当 时， ；当 时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2，
为任意实数
【分析】
（1）①找到圆外点 到圆上的点的最长和最短距离即可求出在点 P视角下，⊙O的“宽
度”；求出 ，即可求在点P视角下，线段 的“宽度”；②分类讨论当点 在点
右侧和当点 在点 左侧时的情况即可求解；
（2）由⊙C的“宽度”为2可得 ，分类讨论 、 的两种情况即可求解．【详解】（1）解：①如图所示：
由定义可知：在点P视角下，⊙O的“宽度”为： ;
∵
∴在点P视角下，线段 的“宽度”为：
故答案为： ；
②点 关于点 的对称点坐标为
当点 在点 右侧时，
若 ，则 ，不符合题意；
若 ，则 ，不符合题意；
若 ，则 ，符合题意；
∴
当点 在点 左侧时，
则：
∴
解得： （舍去）
∴
综上所述： 或
（2）解：∵直线 与x轴，y轴分别交于点D，E．∴令 ，可得 ；令 ，可得
即：
∴
∵⊙C的“宽度”为2
∴
当 时，则点 出现在⊙C内部，其轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆
∵点 在线段 上
∴点 的轨迹圆需要与线段 有交点
（i）当点 在点 左侧时，点 的轨迹圆与 相切于点 时，如图：
∵
（ii）当点 在点 右侧时，点 的轨迹圆经过点 时，如图：
∵点 的轨迹圆半径为即：当 时，
当 时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2， 为任意实数
【点睛】本题以圆作为几何背景，考查了新定义题型．关键是读懂材料内容，掌握数形结
合及分类讨论的数学思想．
6．在平面直角坐标系 中，对于点 ，点 给出如下定义：如果点 与原点 的距离
为 ，点 与点 的距离是 的 倍（ 为整数），那么称点 为点 的“ 倍关联点”．
(1)当 时，
①如果点 的3倍关联点 在 轴上，那么点 的坐标为________．
②如果点 是点 的 倍关联点，且满足 ，那么整数 的最大值为
________．
(2)已知在 中， ．若 ，且在
的边上存在点 的2倍关联点 ，求 的取值范围．
【答案】(1)① ， ；②
(2)b的取值范围是 或【分析】本题考查了两坐标点的距离、一次函数的实际应用，圆的基本概念，由题意正确
理解关联点的定义，分析出点 的 倍关联点的轨迹是以点 为圆心，半径为
的圆是解答本题的关键．
（1）①根据题意对关联点的定义，点 与点 的距离是点 与原点 距离的三倍，由于
题目没有给出点 的和点 的位置关系，因此有两种情况：点 在点 的左侧，坐标为
，点 在点 的右侧，坐标为 ；
②根据题意对关联点的定义，点 是 ，且 这条线段上的一个动点，
由于 为整数，经过分析， 最大只能为 ．
（2）结合题意及对关联点的定义分析，得到点 的 倍关联点的轨迹是以点
为圆心，半径为 的圆， 边 在 轴上，且 ，由此得到 的取值范
围．
【详解】（1）解：①依据题意，对关联点的定义知：
点 与原点 的距离为 ，
点 的3倍关联点 在 轴上，
点 与点 的距离是 ，
点 的坐标为 ， ．
②依据题意，
得：点 是 ，且 这条线段上的一个动点，
依据题意对关联点的定义，
当坐标为 时，
整数 最大，最大值为 ．故答案为：① ， ；②
（2）
如图，
， ，
．
点 为点 的 倍关联点， ，
，
点 的 倍关联点的轨迹是半径为 的 ；
当直角三角形 沿 轴运动与 的交点为点
的取值范围是 或 ．
故答案为： 或
类型十、圆中的无刻度尺作图
1．如图，在每个小正方形的边长为 的网格中， 的顶点 均落在格点上，以
点 为圆心 长为半径的圆交 于点 ．（ ）线段 的长等于 ，
（ ）若 切 于点 ， 为 上的动点，当 取得最小值时，请用无刻度的
直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不
要求证明） ．
【答案】 ； 取格点 ，连接 交 于点 ，取格点 ．连接 交
于点 ，则点 即为所求．
【分析】（ ）利用勾股定理求出 ，由 知 的半径为 ，即 ，根据
即可求解；
（ ）取格点 ，连接 交 于点 ，取格点 ．连接 交 于点 ，则点 即为
所求；
本题考查了作图﹣复杂作图、勾股定理、切线的判定、轴对称﹣最短路径问题，解题的关
键是掌握轴对称的性质．
【详解】解：（ ）由网格可得， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（ ）如图，取格点 ，连接 交 于点 ，取格点 ．连接 交 于点 ，则点
即为所求．理由：根据格点的特点， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是 的切线，
∵ 和 关于 对称，
∴ ，
当 三点共线时， 取最小值，
故答案为：取格点 ，连接 交 于点 ，取格点 ．连接 交 于点 ，则点
即为所求．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，B，C均落在格点上，
是 的外接圆．（I）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，AB上方的圆上画点P，使得 ，
并画出 的中点Q．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）
．
【答案】 取格点D，连接CD并延长交 于点P，取格线与 的交点
E，连接PE交AB于点F，连接CF并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求．
【分析】本题考查作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
① 对运用勾股定理求解即可；
②先根据垂径定理找到点P位置，其依据是在同圆或等圆中，等弦对等弧，再根据同弧所
对的圆周角相等找出点Q的位置．
【详解】①解：在 中， ，
故答案为： ．
②如图，取格点D，连接CD并延长交 于点P，取格线与 的交点E，连接 交AB
于点F，连接CF并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求．
3．如图 经过A、B、C三个格点，用无刻度直尺作图，用虚线表示．(1)在图1中画 的中点D；
(2)在图1中的 上画一点E，连接 ，使 ；
(3)在图2中作 平分线 交 于F．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取线段 中点（也为格点）G，连接 并延长，交 于点D，则D点即
为所作；
（2）取格点H，使 ，如图，由（1）可知 ，即得出
．再根据直径所对圆周角为直角，即得出 ，从而得出 ；
（3）连接 ，取格点M，使 ，取格点N，使 ，连接 并延长，交
于点F，则F点即为所作．根据线段垂直平分线的判定定理可知 垂直平分 ，则
由垂径定理可知 ，再根据在同圆（或等圆）中同弧（或等弧）所对圆周角相等即
得出 ．
【详解】（1）解：如图1，点D即为所作；
（2）解：如图1，点E和线段 即为所作；（3）解：如图， 即为所作．
【点睛】本题考查格点作图，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，线段垂直平分
线的判定等知识，利用数形结合的思想是解题关键．
4．如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称
为格点．格点A、B、C在同一个圆上，只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求
作图，保留作图痕迹．
(1)图①中，先画出圆心 ，然后在 上画点 ，使 ．
(2)图②中，在弧 上画点 ，连接 ，使 平分 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据直径所对的弦是直径，连接 ，根据网格的特点找到中点 ，根据网
格的特点作出 交 于点 ，即可求解；（2）根据网格的特点找到网格中点 ，作出 交 于点 ，连接 ，进而根据
，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， ， 即为所求
（2）解：如图所示，作出 交 于点 ，连接 ， 即为所求
理由如下，
如图所示，
∵ ， ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
连接 ，则 ，又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，直角所对的弦是直径，平行线的性质，等腰三角形的性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．已知四边形ABCD，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作
法）
(1)如图1，连接BD，作 的外接圆O，再在BC边上画点M，使 ；
(2)如图2，在AB的延长线上画点E，使 ，再在BC边上画点N，使
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作 的外接圆，与 交点就是所求点；
（2）在 延长线上截取 ，在（1）的基础上，可知作 外接圆即可，该圆
与 交点即为所求点 ．
【详解】（1）如图①，点 即为所求．
作AD、AB的垂直平分线，以交点为圆心，这一点到A的距离为半径作圆，该圆与 交点
即为所求点 ．
（2）如图②，点 即为所求．
在 延长线上截取 ，在（1）的基础上，可知作 外接圆即可，该圆与交点即为所求点 ．
【点睛】本题考查了尺规作图，根据所求，依据同弧所对的圆周角相等，构造三角形的外
接圆是解题关键．
6．如图，矩形 内接于 ．请仅用无刻度的直尺完成画图，并回答问题．
(1)如图（1），画出圆心O；
(2)如图（2），E为 上一点， ，画出弧 的中点P；
(3)如图（3），E为 上一点，四边形 是菱形．
①试判断直线 是否经过点O，并简要说明理由；
② 与 相交于点G，在 上画点M，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接 ， 的交点即为圆心O；
（2）连接 交 于点Q，连接 并延长交圆O于点P，点P即为所作；
（3）①根据垂径定理的推论即可解题；②延长 交 于点 ，连接 ， 交于点
，连接 并延长交 于点 ，则点 即为所作．【详解】（1）解：连接 ， 的交点即为圆心O；
（2）解：连接 交 于点Q，连接 并延长交圆O于点P，点P即为所作；
连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①直线 必经过点O，理由为：
连接 ， ，
∵四边形 是菱形，∴ 垂直平分 ，
∴直线 必经过点O；
②延长 交 于点 ，连接 ， 交于点 ，连接 并延长交 于点 ，则点
即为所作．
则 ， 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 为矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，掌握 角所对的弦是直径，圆的轴对称性，矩形的
中心对称，垂径定理的推论，掌握几何图形的对称性是解题的关键．
