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专题 22.2 二次函数 y=ax ²(a≠0)和 y=ax ²+c(a≠0)的图象与性质
（专项练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）已知函数 是二次函数，则 等于（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2024九年级下·全国·专题练习）若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的
点还有（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线 的对称轴是（ ）
A． 轴 B． 轴 C．直线 D．直线
4．（23-24九年级上·广东广州·期中）若点 、 在二次函数 的图象上，且
，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·广东广州·期末）关于二次函数 下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是 轴
C．有最小值 D．当 时，函数 随 的增大而减小
6．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数
的图象大致是（ ）A． B． C． D．
7．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于抛物线 ，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当 时， 随 的增大而减小；
③当 时， ；
④若 、 是该抛物线上的两点，则 ．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，直线 与抛物线 和抛物线 分别交于点 、
，直线 轴，与抛物线 交于 、 两点，与抛物线 交于 、 两点，则
（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·山东济南·三模）已知点 在直线 上，点 和 在抛物线
上．当 时，有 ，则 可以等于下列哪个值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
10．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过 的一次函数 的图象与
经过 的一次函数 的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·广东广州·一模）二次函数 的图象开口向 ．
12．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线 经过点 和 ，则 （填“>”
“<”或“=”）．
13．（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）直线 经过第一、二、四象限，则抛物线 不
经过第 象限．
14．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）对于二次函数 ，当 时， 的取值范围是
．
15．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）二次函数 与 的图象关于 轴对称，则
的值为 ．
16．（22-23九年级上·河北唐山·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 是抛物线 上任意一
点，则 长的最小值为 ．
17．（2023·宁夏银川·一模）已知一元二次方程 的两个实数根分别是 和 ，则抛物线
的顶点坐标为 ．18．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数 的图象如图所示，点 为坐标原点，点 在 轴
的正半轴上，点 、 在函数图象上，四边形 为菱形，且 ，则点 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知 是关于x的二次函数．
（1）若函数有最小值，求k的值；
（2）判断点 是否在（1）中的函数图象上．
20．（8分）（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线 与抛物线 的形状相同，并
且 时， 随 的增大而减小，求二次函数的解析式．
21．（10分）（21-22九年级上·北京昌平·期中）已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
22．（10分）（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点A、B分别在二次函数 的图象上，且
线段 轴，若 .
（1）求点A、B的坐标.
（2）求三角形 的面积.23．（10分）（21-22九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，直线 与y轴交于点A，与抛物线y＝
ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．
（1）求a，b的值；
（2）连接OC、OB，求 BOC的面积．
△
24．（12分）（21-22九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，
它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又 AOP的面积为 ．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据定义解题即可．
【详解】解：根据二次函数定义，得： ，且 ，
解得 ，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查二次函数解析式的求法，以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点
的坐标满足其解析式．
把 代入 得 的值，然后把各点坐标代入二次函数解析式判断是否在图像上即
可得到答案．
【详解】解：把 代入 得，
解得：
所以二次函数解析式： ．
A．当 时， ，故 在函数图像上，但因题目中已给出，重复，故不
符合题意；
B． 当 时， ，故 不在函数图像上；
C． 当 时， ，故 在函数图像上；
D． 当 时， ，故 不在函数图像上；
故选C．
3．B
【分析】由抛物线的顶点坐标直接得到对称轴．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，则其对称轴是 轴．
故选：B．【点拨】本题考查二次函数的性质，顶点式 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线
，此题考查了学生的应用能力．
4．C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的增减性是解本题的关键，本题由
，对称轴为直线 ，可得当 时， 随 的增大而减小，从而可得答案．
【详解】解：∵二次函数 ， ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故选C
5．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象与性质逐项判断即可，熟练
掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解： 抛物线 中， ，
抛物线开口向下，对称轴是 轴，故A错误，B正确；
函数有最大值，当当 时，函数 随 的增大而增大，故C、D错误，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象
的特点与其系数的关系．
解法一：分 和 ，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可；
解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解
答本题．
【详解】解法一：当 时，函数 的图象开口向上，函数 的图象经过第一、第二、
第三象限，所以A、D错误，B正确；当 时，函数 的图象开口向下，函数 的图象经过第二、第三、第四象限，所以C
错误．
解法二：A项，由一次函数的增减性，知 ，由一次函数图象与y轴的交点，知 ，故A不符
合题意；
B项，由二次函数的图象，知 ，由一次函数的图象，知 ，故B符合题意；
C项，由二次函数的图象，知 ，由一次函数的图象，知 ，故C不符合题意；
D项，由二次函数的图象，知 ，由一次函数的图象，知 ，故D不符合题意．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线 ，可得抛物线的对称轴是 轴，
顶点是 ，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函
数的图象与性质．
【详解】解： ， ，
抛物线的对称轴是 轴，顶点是 ，抛物线开口向下，
①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；
②抛物线的对称轴为 轴，当 时， 随 的增大而减小，故②正确；
③当 时， ， 取最大值为0， 时， 取值最小值为 ，所以 ，故③错
误；
④若 ， 是该抛物线上的两点，则 ， 关于 轴对称，横坐标互为相反数，所
以 ，故④正确；
正确的说法共有3个，
故选C．
8．D
【分析】根据待定系数法求出函数 ， 的解析式；设直线 为 ，直线 经过函数 ，
，可求出 ， 的值，即可求出 的值．
【详解】∵抛物线 和抛物线 分别交于点 、 ，∴ ， ，
∴ ， ，
设直线 为 ，
∵直线 经过函数 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，掌握数形结合的解
题方法．
9．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛
物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的 的值，即可求得 取
值范围，根据抛物线的对称性求得 ，从而求得 的取值范围．
【详解】解：令 ，整理得 ，
解得 ， ，
直线 与抛物线的交点的横坐标为5，0，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点为 ，
把 代入 ，
解得 ，若 ， ，则 ， ，
，
故选：A．
10．C
【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点 ，一
次函数 的解析式为 ，一次函数 的解析式为 ，求出 ，
，然后再求出 ，最后进行判断即可．
【详解】解：设点 ，一次函数 的解析式为 ，一次函数 的解析式为
，
把 分别代入两个函数解析式得：
， ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的图象为开口向下，顶点为 的抛物线，
所以C选项符合题意．
故选：C．
11．下
【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即
可．【详解】∵ 为二次函数，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∵ ，
∴该二次函数的图象开口向下．
故答案为：下．
12．>
【分析】将 和 代入 中，求出 和 ，再进行比较即可．
本题考查二次函数的图像上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．
【详解】∵抛物线 经过点 和 ，
，
，
．
故答案为：>
13．三
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质的性质，关键要知道k和b对图象的决定作用．由
直线经过一、二、四象限可分析 ，由此判定抛物线 不经过第三象限．
【详解】解：∵直线 经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴抛物线 开口向上，对称轴在y轴的右侧，经过原点，
∴抛物线 不经过第三象限．
故答案为：三．
14．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键．由抛
物线解析式可得对称轴为直线 ，且开口向上，再由 可知，当 时，取得最小值，
当 时，取得最大值，即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，
∵ ，
当 时，取得最小值 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
15．
【分析】根据关于 轴对称，可得函数值互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵二次函数 与 的图象关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了关于 轴对称的性质，二次函数的解析式，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐
标特征是解题的关键．
16．3
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
∴ 长的最小值为3．
故答案为：3．【点拨】本题考查了二次函数 (a，h，k为常数， )的性质，熟练掌握二次函数
的性质是解答本题的关键． 是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方
向，其顶点是 ，对称轴是y轴．
17．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出 和 的值，再代入到抛物线解析式中，再求
得顶点坐标即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个实数根分别是a和b，
∴ ，
则抛物线解析式为： ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了一元二次方程 的根与系数的关系，熟记一元二次方程根
与系数的关系： 和 是解题关键．也考查了抛物线 顶点坐标为
18．
【分析】连结 交 于 ，如图，根据菱形的性质得 ， ，利用含 度的
直角三角形三边的关系得 ，设 ，则 ， ， ，利用二次函数图象
上点的坐标特征得 ，得出 ， ，然后根据菱形的性质得出 点坐标．
【详解】解：连结 交 于 ，如图，四边形 为菱形，
，
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
把 ， 代入
得 ，
解得 舍去 ， ，
， ，
故 点坐标为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性
质得出 的长是解题关键．
19．(1)
(2)点 不在此函数图象上
【分析】（1）先根据二次函数的定义求出m的值；
（2）把 代入二次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在二次函数图象上，否则不在．
【详解】（1）解：∵ 是关于x的二次函数
∴
∴
∵二次函数有最小值，则 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴当 时，
∴点 不在此函数图象上．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二次函数的定义：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数．
20．
【分析】先根据两条抛物线的形状相同可得 ，再根据二次函数的增减性可得 的值，由
此即可得．
【详解】解：∵抛物线 与抛物线 的形状相同，
∴ ，
∴ 或 ．
又 时， 随 的增大而减小，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴二次函数的解析式为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
21．(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
(2)图像见解析．
【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
【详解】（1）解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：
【点拨】本题考查了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解
题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交
点与y轴的交点以及顶点的坐标．
22．(1)点 ，点 ．
(2)27
【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点 的横坐标，然后代入二次函数解析式计算求出点
的纵坐标，从而得解，再根据对称性写出点 的坐标
（2）根据点A、B的坐标直接求出三角形 的面积．
【详解】（1）
轴， ，
点 的横坐标为 ，，
点 的坐标为 ，
点 、 关于 轴对称，
点 ．
（2）
点 ，点 ．
，
【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特
征．
23．(1)a的值是 ；b的值是4
(2)
【分析】（1）把B（2，2）代入到直线 中，进行计算即可得，把B（2，2）代入到抛物线
中，进行计算即可得；
（2）联立两函数解析式成方程组， ，进行计算可得点C的坐标为 ，即可得．
【详解】（1）解：把B（2，2）代入到直线 中，
得： ，
即 ；
把B（2，2）代入到抛物线 中，
得： ，
即 ，∴a的值是 ；b的值是4．
（2）解：∵b＝4，
∴点A（0，4）．
联立两函数解析式成方程组， ，
解得： 或 ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握待定系
数法求参数，求函数解析式．
24．（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）先根据面积求得点 的纵坐标，再代入直线 的解析式可得其横坐标，然后将点 的坐标代
入二次函数即可得．
【详解】解：（1）设直线 的解析式为 ，
将点 代入 得 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ；
（2）如图，过点 作 轴于点 ，
设点 的坐标为 ，则 ，，
，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得 ，
将点 代入 得： ，
解得 ，
则 ，
将点 代入 得： ，
解得 ，
故 的值为 ．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
