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专题 22.2 二次函数 y=ax ²、y=ax ²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k 的图
象和性质之四大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 二次函数y=ax2的图象和性质】......................................................................................................1
【考点二 二次函数y=ax2+k的图象和性质】..................................................................................................5
【考点三 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质】..............................................................................................8
【考点四 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质】........................................................................................10
【过关检测】...................................................................................................................................................13
【典型例题】
【考点一 二次函数y=ax2的图象和性质】
例题：（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）下列是关于二次函数 的图像表述：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的开口向下；
③抛物线的顶点是 ；
④抛物线关于 轴对称；⑤抛物线在 轴左侧部分自左向右呈下降趋势；
⑥抛物线在 轴右侧部分自左向右呈下降趋势；其中正确的（ ）
A．①③④ B．②③④⑤ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【变式训练】
1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）已知点 在二次函 图象上，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．8
2．（2022秋·天津武清·九年级校考阶段练习）关于二次函数 ，下列说法中正确的是（ ）A．图象的开口向上 B．当 时，y随x的增大而增大
C．图象的顶点坐标是 D．当 时，y有最小值时0
3．（2023春·陕西延安·九年级专题练习）关于四个函数 ， ， ， 的共同点，
下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．都有最低点
C．对称轴是 轴 D． 随 增大而增大
4．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知y＝ 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增
大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
【考点二 二次函数y=ax2+k的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数 的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知：二次函数y＝x2﹣1．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
2．（2022春·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
， ， ．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【考点三 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当 时， 随 的增大而减小 D．顶点坐标为
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当 时，随x的增大而减小 D．顶点坐标为
2．（2023·全国·九年级假期作业）二次函数 的图象不经过第________象限．
3．（2023·全国·九年级假期作业）已知函数 ， 和 ．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数 的图象得到函数 和函数 的图
象；(4)分别说出各个函数的性质．
【考点四 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）对于 的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当 时， 有最大值 D．当 时， 随 增大而减小
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点
C．当 时，y取得最小值，且最小值为6 D．当 时，y的值随x值的增大而减小
2．（2023春·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考开学考试）关于二次函数 ，下列说
法正确的是_______．（写序号）
①最大值为 ；②对称轴为直线 ；③最大值为 ；④最小值为 ．
3．（2023秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知函数 ．
(1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________．
(2)当x____________时，y随x的增大而减小．
(3)怎样移动抛物线 就可以得到抛物线【过关检测】
一、选择题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线 开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
2．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当 时，y随x的增大而增大
3．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线 的顶点一定不在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（2023·全国·九年级假期作业）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数 ，当 时，y的最小值为 ，
则a的值为（ ）
A． 或4 B．4或 C． 或4 D． 或
二、填空题
6．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是
，当 时， 随 的增大而增大，当x 时， 随 的增大而减小．7．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数 中，图像是 ，开口 ，对称轴是直线
，顶点坐标是 ，当x 时，函数y随着x的增大而增大，当x 时，函数y随着x的增大而减小．
当x＝ 时，函数y有最 值是 ．
8．（2023·广东肇庆·校考一模）若将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新
的抛物线，则新抛物线的表达式是 ．
9．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数 的图象如图所示，线段 轴，交抛物线于
A、B两点，且点A的横坐标为2，则 的长度为 ．
10．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）已知二次函数 （ 、 均为常数）的图象经过
、 、 三点，若 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题
11．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线 过点 和点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大．
12．（2023·全国·九年级假期作业）在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与
的图象．根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性13．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，直线 与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，
且点B坐标为（2，2）．
(1)求a，b的值；
(2)连接OC、OB，求 BOC的面积．
△
14．（2023·全国·九年级假期作业）在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数 ， ，
与 的图象并回答下列问题：
x … 0 1 …
… …… …
… …
… …
（1）抛物线 的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线 的开口方向
______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线 与抛物线 的图象关于______轴对称；
（3）抛物线 ，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右
逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线 ，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它
的顶点是最_______点．
15．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）已知二次函数 ．
（1）填写表中空格处的数值：﹣
x … ﹣5 ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 …
3
… ﹣2 0 …
（2）画出这个函数的图象．
16．（2022秋·湖北孝感·九年级汉川市实验中学校考阶段练习）如图，抛物线
的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以 为对角线的正方形 的另外两个顶点B、D恰好在抛物
线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形 为它的内接正方形．
(1)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
(2)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线 是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
