文档内容
第 03 讲 解一元二次方程（公式法）（4 个知识点+4 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次
方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝± ；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点2．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝ （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求
根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．知识点3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点4．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣
1 2 1 2
p，x x ＝q，反过来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，后
1 2 1 2 1 2
者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
1 2
的两根时，x +x ＝ ，x x ＝ ，反过来也成立，即 ＝﹣（x +x ）， ＝x x ．
1 2 1 2 1 2 1 2
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，
求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．④判断两根
1 2
的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较
综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
题型强化
题型一．解一元二次方程-直接开平方法
1．（2024春•烟台期末）一元二次方程 用直接开平方法可转化为两个一元一次
方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是
A． B． C． D．
【分析】根据直接开平方法可以解答本题．
【解答】解： ，，
或 ，
故选： ．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法．
2．（2022秋•北碚区校级期末）一元二次方程 的根为 ， ．
【分析】移项后，利用直接开开方解答即可．
【解答】解：移项得 ，
开方得 ，
即 ， ．
故答案为 ， ．
【点评】本题考查了解一元二次方程 直接开平方法，用直接开方法求一元二次方程的解
的 类 型 有 ： ； ， 同 号 且 ； ；
， 同号且 ．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化
为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
3．（2023秋•原阳县月考）关于 的一元二次方程 的一个根是1，且
， 满足 ，求关于 的方程 的根．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出 ，进而求出 ，根
据一元二次方程解的定义求出 ，利用直接开平方法解出一元二次方程．
【解答】解：由题意得： ， ，
解得： ，
，
关于 的一元二次方程 的一个根是1，
，，
则方程为 ，
整理得： ，
， ．
【点评】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程、二次根式有意义的条件、一元二次
方程解的定义，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
题型二．解一元二次方程-公式法
4．（2024•海陵区一模）一元二次方程 的解是 ， ．
【分析】 ， ， ，△ ，然后代入求根公式进行计算即可．
【解答】解： ， ， ，
△ ，
，
所以 ， ．
故答案为 ， ．
【点评】本题考查了一元二次方程 ， ， ， 为常数）的解法．可以
直接利用它的求根公式求解，它的求根公式为： ；用求根公
式求解时，先要把方程化为一般式，确定 ， ， 的值，计算出△ ，然后代入
公式．5．（2024春•浙江期中）用公式法解一元二次方程 时，首先要确定 ， ，
的值，下列叙述中，正确的是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【分析】先根据等式的性质进行变形，再得出 、 、 的值即可．
【解答】解： ，
移项，得 ，
这里 ， ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式，能正确化成一元二次方
程的一般形式是解此题的关键．
6．（2023秋•厦门期末）解方程： ．
【分析】找出 ， 及 的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里 ， ， ，
△ ，
，
则 ， ．
【点评】此题考查了解一元二次方程 公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为
一般形式，找出 ， 及 的值，当根的判别式的值大于等于 0时，代入求根公式即可
求出解．
题型三．根的判别式
7．（2024春•烟台期末）用公式法解方程： ，其中判别式 的值是
A．56 B．16 C．4 D．8
【分析】先得出 ， ， 的值，再求出 的值即可．
【解答】解：原方程可化为 ，
， ， ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查的是根的判别式，熟知△ 是解题的关键．
8．（2024•威海模拟）已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的
取值范围是 且 ．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式△ ，可得出关于 的一元一次不等式组，
解之即可得出 的取值范围．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
，
解得： 且 ，
的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△ 时，方程有两个
实数根”是解题的关键．9．（2024春•昌平区期末）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：对于任意实数 ，该方程总有实数根；
（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求 的取值范围．
【分析】（1）根据一元二次方程判别式为 即可解答；
（2）解方程，求得 ， ，根据题意得到 ，解不等式即可．
【解答】（1）证明： 关于 的一元二次方程 ，
△ ，
对于任意实数 ，该方程总有实数根；
（2）解：设方程的两个实数根为 、 ，
，
， ，
这个一元二次方程的一根大于2，
，
解得： ，
的取值范围 ．
【点评】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键．
题型四．根与系数的关系
10．（2024•西安区校级模拟）若 、 是一元二次方程 的两个根，则
的值是 6 ．
【分析】利用一元二次方程的解，可得出 ，利用根与系数的关系，可得出
，再将其代入 中，即可求出结论．【解答】解： 是一元二次方程 的根，
，
．
， 是一元二次方程 的两个根，
，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与
系数的关系是解答本题的关键．
11．（2023秋•崇义县期末）若方程 的两根为 和 ，则 的值为
A． B．1 C． D．9
【分析】设一元二次方程 的两个根为 、 ，则 ，
．据此求解即可．
【解答】解： 方程 的两根为 和 ，
， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系，掌握根与系数关系是解题的关键．
12．（2024•秦安县校级三模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， 满足 ，求 的值．
【分析】（1）根据关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根，得到△ ，于是得到结论；
（2）根据 ， ，代入 ，解方程即可得到结
论．
【解答】解：（1） 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根，
△ ，
解得： ．
（2） ， ，
，
，
，
解得： ， ，
，
．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出 的取值范
围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键．
分层练习
一、单选题1．方程 的两个根是（ ）
A． ， B．
C． D． ，
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法求解即可，解题的关键是熟记常
见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
【详解】解： ，
，
∴ ，
∴ ， ，
故选： ．
2．已知 ，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程．先解一元二次方程求得 ，再代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
3．一元二次方程 的根为（ ）
A． B． ，
C． D． ，
【答案】D【详解】本题主要考查了运用平方根解方程，运用直接开平方法即可解决问题．
【分析】解：∵ ，
∴x是3的平方根，
则 ，
故选：D．
4．用公式法解方程 ，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即
可得到答案，熟记一元二次方程的常见解法是解决问题的关键．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
5．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当 时，方程有两个不相等的实数
根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根；求出 的值即
可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴一元二次方程 没有实数根，
故选： ．6．用公式法解方程 时，正确代入求根公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查公式解一元二次方程，根据 ， ，代入数据
计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
7．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数 的取值，解题的关键是熟练掌
握一元二次方程 根的判别式 ，当方程有两个不相等的实
数根时， ；当方程有两个相等的实数根时， ；当方程没有实数根时， ．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
故选： ．8．已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为
（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当
时，一元二次方程有两个相等的实数根．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故选：A．
9．已知a、b、c为常数，点 在第二象限，则关于 的方程 的根的情
况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握
点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由点 在第二象限，可得 ，则 ，由 ，可得
，然后判断作答即可．
【详解】解：∵点 在第二象限，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．10．已知关于y的多项式 是四次三项式，关于x的一元二次方程
有实数根为a，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，多项式的次数和项数，根据多项式的
次数和项数，求出 的值，根据方程的解，得到 ，根的判别式，求出 的取
值范围，进行求出 的最小值即可．
【详解】解：∵ 是四次三项式，
∴ ，解得： ，
∴方程 ，转化为： ，
∵方程有实数根 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
故选A．
二、填空题
11．关于x的方程 的根的判别式的值为 ．
【答案】21
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根的判别式为
．
直接计算 即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ．
故答案为：21．
12．一元二次方程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键在于熟练正确的运用
以上方法．
利用解一元二次方程 直接开平方法，进行计算即可解答．
【详解】解： ，
移项得 ，
开平方得 ，
即 或 ，
解得： ， ．
故答案为： ， ．
13．一元二次方程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法：公式法，熟记公式是解答本题的关键．先求出
∆的值，然后根据 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，所以 ， ．
故答案为 ， ．
14．已知关于x的一元二次方程 根的判别式的值为16，则m的值为
．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为
，代入数据求解即可
【详解】解： ，
，
，
解得 ，
故答案为： ．
15．已知，关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义
是解题的关键．
由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．16．用公式法解一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是
．
【答案】
【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可．
【解答】解：根据题意得： ，
则该一元二次方程是 ，
故答案为： ．
17．将 个数 、 、 、 排成 行 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义
．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，可得： ，
整理，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
18．在 中， ，且关于x的方程 有两个相等的
实数根，则 边上的中线长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证
明 是直角三角形是解决问题的关键．由根的判别式求出 ，由勾股定理的逆
定理证出 是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．【详解】解：∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 （舍去）
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， 是斜边，
∴ 边上的中线长 ；
故答案为：2．
三、解答题
19．若关于x的一元二次方程 有两个实数根，求k的取值范围．
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式的
定义得到 ，且 ，即可求解．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
，且 ，
解得： ，且 ．
20．解方程∶
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ， ；(2) ， ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用直接开平方法求解即可；
（2）根据公式法解一元二次方程．
【详解】（1）解： ，
，
，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（2）解： ，
∴
∴
∴ ，
∴ ， ．
21．求证：无论k取任何实数时，关于x的方程 总有实数根．
【答案】见解析
【分析】此题考查方程的根的情况，正确理解题意分情况解答是解题的关键．
由k是二次项的系数，分 及 两种情况分别确定方程的根的情况即可得到结论．
【详解】证明：当 时，方程为 ，解得 ；
当 ，方程 为一元二次方程，
，原方程有实数根．综上所述，无论k取任何实数时，关于x的方程 总有实数根．
22．用公式法解下列万程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
【答案】(1) ，
(2)方程无解
(3) ，
(4) ，
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式
，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可．
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）运用公式法解一元二次方程即可；
（3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可；
（4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可；
【详解】（1）解：
，
，∴ ，
解得 ， ；
（2）
，
，
方程无解；
（3）
，
，
∴ ，
解得 ， ；
（4）
，
，
∴ ，
解得 ， ．
23．运用直接开平方法解下列方程：
(1) ；(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】（ ）运用直接开平方法解方程即可；
（ ）运用直接开平方法解方程即可；
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤及方法是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
，
∴ ， ；
（2）解： ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
24．（1）解方程： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；
【分析】本题主要考查了一元二次方程、分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关
键．
（1）利用直接开平方法解方程；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．【详解】（1）
开方得： 或
解得： ， ；
（2）
，
，
，
当 时，原式 ．
25．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)当这个方程有两个不相等的实数根时，求 的取值范围；
(2)若 是这个方程的一个根，求 的值和另一根．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】此题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解题的关键是掌握根的
判别式与根的个数之间的关系．
（1）求出根的判别式，令根的判别式大于0，解不等式即可；
（2）将 代入 求出m的值，再解一元二次方程即可．
【详解】（1） 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
．
．
（2） 是这个方程的一个根，．
．
原方程为 ．
解得 ， ，
即方程的另一根是 ．
26．如图，在 中， ， ， 分别是 ， ， 的对边，且关于 的方程
有两个相等的实数根．
(1)试判断 的形状；
(2)若 ，点 从点 开始沿边 以 的速度向点 移动，移动过程中始
终保持 ， ，当点 出发多少秒时，四边形 的面积为 ？
【答案】(1) 是直角三角形；
(2)当点 出发 或 时，四边形 的面积为 ．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，
灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由根的判别式可得 ，由勾股定理的逆定理可求解；
（2）可证四边形 是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形 的面积
，即可求解．
【详解】（1）解： 关于 的方程 有两个相等的实数根，
△ ，
，
是直角三角形；（2）解： ， ，
，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 的面积 ，
或5，
当点 出发 或 时，四边形 的面积为 ．
