文档内容
第 04 讲 正弦定理和余弦定理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
角度2：利用正弦定理解三角形
角度3：利用余弦定理解三角形
角度4：正余弦定理综合应用
高频考点二：判断三角形的形状
高频考点三：三角形面积相关问题
角度1：求三角形面积
角度2：根据面积求参数
角度3：三角形面积的最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在 中， 若角 、 及 所对边的边长分别为 ， 及 ，则有
1.2正弦定理的推广及常用变形公式
在 中， 若角 、 及 所对边的边长分别为 ， 及 ，其外接圆半径为 ，则
①
② ； ； ；
③
④
⑤ ， ， （可实现边到角的转化）
⑥ ， ， （可实现角到边的转化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍.
②符号语言：在 中，内角 ，所对的边分别是 ,则：
；
2.2余弦定理的推论
；
；
3、三角形常用面积公式
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
4、常用结论
在三角形中的三角函数关系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若 或
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）在 中，若 ，则 ( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）在 中，若 ，则 (
)
二、单选题
3．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在 ，则三角形的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．（2022·天津市微山路中学高一阶段练习）在 中， ， ， ，则 （ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
例题1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知△ 的内角 的对边分别为 ，“满足 ， 的 有两个”的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是
（ ）．
① ， ， ，有两解；
② ， ， ，有一解；
③ ， ， ，无解；
④ ， ， ，有一解．
A．1 B．2 C．3 D．4
例题3．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解
的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
题型归类练
1．（2022·山西运城·高一期中）在 中， ， ， ，若满足条件的三角形有两个，
则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆一中高一阶段练习）若满足 的 恰有一个，则实数k的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东省实验中学高一期中） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ， .
如果 有两解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
角度2：利用正弦定理解三角形
例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）在 中，
，则 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
其中 ， ，若满足条件的三角形有且只有两个，则角 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
例题3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中） 中， ， ， ，则 的周长是
______．
例题4．（2022·河南新乡·高一期中）一艘轮船从 地开往北偏西 方向上的 地执行任务，完成任
务后开往北偏东 方向上的 地，轮船总共航行了 ，若 地在 地北偏东 的方向上，则 ，
两地相距约为___________ .（结果保留整数，参考数据： ）
题型归类练
1．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， , ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·高一阶段练习）在 中， ， ， ，则 为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．（2022·浙江杭州·高一期中）设 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高一期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．若D是边 上一点且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中， 且 ，则 的面积为___________.
6．（2022·重庆·高一阶段练习）已知轮船 和轮船 同时从 岛出发， 船沿北偏东 的方向航行， 船
沿正北方向航行（如图）．若 船的航行速度为 ， 后， 船测得 船位于 船的北偏东
的方向上，则此时 ， 两船相距____________ .
角度3：利用余弦定理解三角形
例题1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知 中，内角 ， ， 所对的边分
别为 ， ， ，若 ， ， ，则 的周长为（ ）
A．9 B．10 C．20 D．24
例题2．（2022·河北·高一期中）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，则 （ ）．
A． B． C． D．
例题3．（2022·四川·成都七中高一期中）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， 是 的角平分线， 在 边上， ， ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·吉林毓文中学高一期中）在四边形 中，已知 ， ， ，
， ，则 的长为______．
题型归类练
1．（2022·全国·高一单元测试）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ，若，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏常州·高一期中） 中， ， ， ， 为 的中点，则 长为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知 中， ， ， ，则 的面积是
（ ）
A． B． C．6 D．
4．（2022·湖北·高一阶段练习）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acos B－
bcosA）＝16，a－b＝2，∠C＝ ，则c的值等于___．
5．（2022·广东·广州市为明学校高一期中）如图，要测量底部不能到达的某铁塔 的高度，在塔的同一
侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为 ．在水平面上测得 ，
C，D两地相距 ，则铁塔 的高度是_______m．
6．（2022·安徽·高一期中）在某个位置测得一旗杆的仰角为 ，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗
杆仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进 米后，测得旗杆的仰角为原来的4倍，则该旗杆的高度
为______米．角度4：正余弦定理综合应用
例题1．（2022·山西·高一阶段练习）在 中，已知 ， ，若 的最短边
长为 ，则其最长边长为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知在锐角 中，角 、 、 所对的边
分别为 、 、 ，且 ， ，则 的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·山东菏泽·高一期中）在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
例题4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））在 中，角 所对的边分别为 ，且
满足 ，则 的最大值是__________.
例题5．（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了
“三斜求积术”，即在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则 的面积
.根据此公式，若 ，且 ，则 的
面积为______.
题型归类练
1．（2022·江苏·高一课时练习）如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为75°，
30°，此时气球的高度是 ，则河流的宽度 等于（ ）A． B．
C． D．
2．（2022·天津河北·高一期中）在 ABC中， ， ，∠A的角平分线AD的长为 ，
则|AC|＝（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2022·四川绵阳·高一期中）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 的面积为
，则角 ＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园 两点之间的距离，如图，在东西
方向上选取相距 的 两点，点 在点A的正东方向上，且 四点在同一水平面上．从点A处
观测得点 在它的东北方向上，点 在它的西北方向上；从点 处观测得点 在它的北偏东 方向上，
点 在它的北偏西 方向上，则 之间的距离为______km.
5．（2022·江西萍乡·三模（理））已知 分别为锐角 的内角 的对边，若 ，
则 面积的最大值为_________．
高频考点二：判断三角形的形状
例题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在 中，已知 ，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
例题2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在 ，则三角形的形状一定是
（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
例题3．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，
， ，则（ ）
A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形
C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形
题型归类练
1．（2022·全国·高一单元测试）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，
，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2022·江苏南通·高一期中）在 中，若 ， ，则 一定是
（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
3．（2022·天津市第二十一中学高一期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
，若 ，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．（2022·安徽·安庆一中高一期中）已知在 中， ，则 的形状为
（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．（2022·江苏徐州·高一期中）在 中，角 所对的边分别为 ．若
，则 为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
高频考点三：三角形面积相关问题
角度1：求三角形面积例题1．（2022·江西宜春·模拟预测（文）） 的内角 的对边分别为 ，若 ，
， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·吉林长春·模拟预测（文）） 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ，若
，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·内蒙古包头·二模（文）） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知
， ， ，则 的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．
例题4．（2022·全国·高一单元测试）锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 、
， ， ，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·江西·模拟预测（文））在 中， ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
例题6．（2022·新疆·乌市八中高一期中）在 中， ，则 的面积为
（ ）
A． B．
C． D．
角度2：根据面积求参数
例题1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知 的内角 所对的边分别为 ，
且 ，若 的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
例题2．（2022·全国·二模（理）） 中， ，若 ，则 边上的高
的最大值为（ ）A．2 B．3 C． D．
例题3．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）在 中，点 为边 上靠近 的四等分点，
， ， ，则 （ ）
A．5 B．3 C． D．
例题4．（2022·河南新乡·高一期中）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
，则 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
， ， ，则 边上的中线长为（ ）
A．49 B．7 C． D．
角度3：三角形面积的最值
例题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文）） 的内角 ， ， 的对边分别为 、
、 ，已知 ，且 ，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
例题2．（2022·天津·高一期中）设锐角 的内角 的对边分别为 ，已知
， ，则 面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江苏·盐城中学高一期中）在四边形 中， ， ， ，
，则四边形 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且满足 ，则该三角形 的面积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
例题5．（2022·江苏省震泽中学高一期中） 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
例题6．（2022·重庆市第二十九中学校高一期中）在面积为 的 中，角 ， ， 的对边分别为
， ， ，若 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型归类练
1．（2022·山西运城·模拟预测（理））某公同管理处规划一块三角形地块 种植花卉，经测量
，则该地块的而积为___________ .
2．（2022·湖南·高二阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积.
3．（2022·广东汕头·高二阶段练习）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
.
(1)求角 的值：
(2)当 时，求 的面积.
4．（2022·海南·模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积．5．（2022·全国·模拟预测）记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
△
．
(1)求A；
(2)若 ，求 ABC的面积的最大值．
△
6．（2022·河北·高一期中）如图，在 中， ， ， ，点D在边BC上，且
．
(1)求AD；
(2)求 的面积．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（文））在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2021·全国·高考真题（理））记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 ________．
3．（2021·全国·高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
4．（2021·北京·高考真题）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
5．（2021·全国·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边
上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
