文档内容
第 07 讲 拓展二：三角形中线，角平分线
问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：中线长问题
角度1：求中线长（或中线长范围，最值）
角度2：已知中线长，求其它元素
高频考点二：已知角平分线问题
角度1：求角平分线长（或角平分线长范围，最值）
角度2：已知角平分线，求其它元素
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、中线：
在 中，设 是 的中点角 , , 所对的边分别为 ， ，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在 中有： ;
在 中有： ;
2、角平分线
如图，在 中， 平分 ，角 , , 所对的边分别为 ， ，2.1内角平分线定理：
核心技巧： 或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在 中有： ;
在 中有： ;
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：中线长问题
角度1：求中线长（或中线长范围，最值）
1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
(1)求角C的大小；
(2)若边 ，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)因为 ，所以 ，
即 ，
又因 ，所以
又由题意可知 ，
所以 ，因为 ，所以 .
(2)由余弦定理可得 ，又 ，
则
，
由正弦定理可得 ，所以 ，
，
所以
，由题意得 ，解得 ，
则 ，
所以 所以
所以 所以中线CD长的取值范围为
2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，
．
(1)求A；
(2)若 ，求 的中线AM的最小值．
【答案】(1) (2)
(1)解：在 中，因为 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ；
(2)因为AM是 的中线，
所以 ，由（1）知 ，
所以 ，
，
当且仅当 时取“＝”，则 ，
所以 的中线AM的最小值为 ．
3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））在① ，② 这两个条件中任选一
个作为已知条件，然后解答问题．
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A；
(2)若 ， ，求 的BC边上的中线AD的长．
【答案】(1) (2)
(1)解：（1）若选①，即 ，得 ，
， 或 （舍去），
， ；
若选②： ，
由正弦定理，得 ，
， ， ，则 ， ， ；
(2)解： 是 的 边上的中线， ，
，
，
．
4．（2022·云南昆明·高一期中）在 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ，.
(1)已知 的面积S满足 ，求角A；
(2)若边BC上的中线为AD，求AD长的最小值.
【答案】(1) (2)
(1)解：由 ，可得 ，∴ .
∵ ，故 .
又 ，∴ .
(2)解：在 和 中，分别由余弦定理可得 ， ，
∴ ，整理得 ，
∴2 ，即 ，当且仅当 时取等号，即AD长的最小值为 .
角度2：已知中线长
1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在 中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线 ，且 ，求 的周长
【答案】(1) ；(2) .
(1)由已知 ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理得： ，
在 中，因为 ，
所以 ；
(2)由 ，得 ①，由（1）知 ，即 ②，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ③，
由①②③，得 ，
所以 ，
所以 的周长 .
2．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)若 的面积为 ，求a；
(2)若 边上的中线 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)因为 所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
(2)因为 为 边上的中线，
所以 ，
则
因此 ，即
化简得 ，所以 ，由余弦定理 ，解得 ，
由 ，即 ，解得 .
3．（2022·河北·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求C；
(2)若 边上的中线 长为4，求 面积的最大值.
【答案】(1) (2)
(1)因为 ，
所以由余弦定理得， ，
，
，
整理得 ，
，
因为 ，所以 ，
所以由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
(2)因为 边上的中线 长为4，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 ，
4．（2022·浙江省淳安中学高一期中）△ 中，角 所对的边分别是 .
(1)求角 ；
(2)若 边的中线 ，求△ 面积.
【答案】(1) (2)
(1)由题意 与正弦定理可得 ，
由 ，可得 .
代入整理得： .
故 ，可得 .
(2)∵ ，则
可得： ，故 或. （舍去）
则△ 面积 .
5．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
(2)若角B的平分线交AC于点D，且 ，AC边上的中线BE交AC于点E，且 ，求 的
面积．
【答案】(1) (2)
(1)由正弦定理得，得
所以 ，
又 ，所以 ，又 ，解得 ；
(2)
因为BD平分角B，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
同理，在 中， ，
又 ， ，
，所以 ，即 ，
又因为BE是AC边上的中线，所以 ，
所以 ，
所以 ，
从而 ， ，故 .
6．（2022·安徽·砀山中学高一期中）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ．
(1)求 大小；
(2)若 边上的中线长为 ，求 的面积．
【答案】(1) (2)
(1)已知 ，
由正弦定理，得 ，因为 ，
所以 ， ，所以 ，
(2)设 边上的中线为 ，在 中，由余弦定理得： ，即 ①．
在 和 中， ，
所以 ，即
化简 ，
代入①式得 ，
所以 的面积
高频考点二：已知角平分线问题
角度1：求角平分线长（或角平分线长范围，最值）
1．（2022·河北保定·高一阶段练习）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 的大小；
(2)若 边上的高为 ，且 的角平分线交 于点 ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
(1)由正弦定理得 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 .
(2)因为 ，所以 .
由余弦定理得 ，得 （当且仅当 时，等号成立），即 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .因为函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 .故 的最小值为 .
2．（2022·山东师范大学附中高一期中）在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， ，
．
(1)求角B的大小及 外接圆的半径R的值；
(2)若AD是 的内角平分线，当 面积最大时，求AD的长．
【答案】(1) ，2(2)
(1)由 得 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴
由正弦定理得
(2)在 中，由余弦定理得
则 ，即 ，
∵ ， ，∴ ，
当且仅当 时， ，
．
此时， ．
在 中， ，
由正弦定理得 .
3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；(2)若 ， ，∠BAC的内角平分线交BC于点D，求AD.
【答案】(1) ；(2) ﹒
(1)∵ ，
由正弦定理得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ ，∵ ，
∴ ；
(2)方法一：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
方法二：在 中，由余弦定理：
，
∴ ．
在 中，由正弦定理， ，
在 中，由正弦定理， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ．
在 中，由余弦定理： ，
设 ，
则 ，即 ，解得 或 ．
中，由余弦定理： ，∴C是钝角．在 中， ，∴ ．
方法三：在 中，由正弦定理， ，
在 中，由正弦定理， ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴
∴ ．
4．（2022·湖南衡阳·高一期中）在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，
， △ ， ．
(1)求A；
(2)若 ABC的面积为 ，角A的内角平分线交BC于D，求AD．
△
【答案】(1) (2)
(1)依题有： ，即 ，
所以 ，即 ，
得： ；
又因 ，故得： ；
(2)因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，故 ，
又由等面积法得： ，得： .
5．（2022·江苏省沙溪高级中学高一期中）在条件① ；②
；③ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解
答.在 中，角 的对边分别为
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求角 .
(2)若 为 的角平分线，求 的长.
【答案】(1) (2)
(1)解：由题意得：
选择条件①：在 中，
故
因为
故 ，解得：
故
选择条件②：在 中， ,角 的对边分别为
故
又根据正弦定理 可知
因为
故
所以
故
选择条件③: 在 中， ,角 的对边分别为又由正弦定理 ，以及 可知
根据余弦定理可得 ，解得
(2)在 中，若 为 的角平分线，如图所示
，
解得：
6．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且 .
(1)求角A的大小；
(2)若 ， ， 是 的角平分线，求 的长.
【答案】(1) ；(2) .
(1)因为 ，由正弦定理得 .
因为 ，所以 ，所以 .
即 ,因为 ，所以 ，即 .
(2)由 ，得 ，即 ， ，
可得 ，由 ，得 ，
所以 .
角度2：已知角平分线，求其它元素
1．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且满
足 .
(1)求角 ；
(2)角 的内角平分线交 于点 ，若 ， ，求 .
【答案】(1) ；(2)
(1)由正弦定理及切化弦可得 ，
又 ，则 ，即 ，又 ，则
；
(2)
，又 ，
，
可得 ，又由余弦定理得 ，解得 （负值舍去），则 ，
可得 或 ，又 ，显然当 或12时， 的值相同，不妨设
，则 ，
由正弦定理得 ，可得 ，又 ，可得 .
2．（2022·河南省实验中学高一期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝
sin2A+cos2B+sinAsinC．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求 的周长．
【答案】(1)120°(2)
(1)解：因为cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC，
所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC，
即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC，
由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac，
由余弦定理得，cosB ，
由B为三角形内角得B＝120°；
(2)由题意得: ，且 ABD CBD B＝60°，BD＝1，
所以 ，
所以 （a+c），即ac＝a+c，
因为b＝2 ，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accos120°＝a2+c2+ac，
因为 ，
所以ac=a+c＝4或ac＝﹣3（舍），
故 的周长为 ．
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
． △
(1)求角A的大小；
(2)若 ，AD＝2，且AD平分∠BAC，求 ABC的面积．
注：三角形的内角平分线定理：在 PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有
△
△．
【答案】(1) (2)
(1)因为 ，故 ，
所以 即 ，
而 为三角形内角，故 .
(2)因为 ，所以 ，
因为 为角平分线，故 且 即 ，
由余弦定理可得 ，
且
所以 ，解得 ，
故 ，
所以三角形的面积为 .
4．（2022·河北·高三期中）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
．
(1)求角C；
(2)CD是 的角平分线，若 ， 的面积为 ，求c的值．
【答案】(1) (2)(1)解：因为 ，
由正弦定理得： ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
(2)解：因为 ，所以 ，
又 ，所以
解得 或 ，
又
解得 或 （舍去）；
5．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））在 中，内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，
满足___________.
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
(1)求 的大小；
(2)若 是的 角平分线，且 ， ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
(1)选①：由 可得： ，
即 ，
因为 ，故 ，
即 ，
由于 ,故 ；
选②：由 得： ，因为 ,故 ，即 ，
而 ,则 ，
故 ；
(2) 是的 角平分线，则 ,
所以 ,即 .
而 ， ，即有 ，
故 .
6．（2022·吉林·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ， ， 的内角平分线交边BC于点D，求 ．
【答案】(1) (2)
(1)∵
由正弦定理得
∵ ，∴
∴ ，∴
∴ ∵
∴
(2)方法一：∵
∴
∴∴
∴
方法二：在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵ ，
∴
∴
∴
方法三：在△ABC中，由余弦定理：
∴
在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵ ，
∴
∴
在△ADC中，由余弦定理：
设 ，则 即 解得 或
在△ABC中，由余弦定理： ，∴C是钝角
在△ADC中 ，∴
∴7．（2022·河北·邢台市南和区第一中学高一阶段练习）记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且 ． △
(1)求A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求 ABC面积的最小值．
△
【答案】(1) (2)
(1)由正弦定理，得 ，
得 ，
得 ，
因为 ，所以 ，即 .
(2)因为 ，
所以 .
因为 ，即 （当且仅当b＝c＝6时，等号成立），
所以 ．故 ABC面积的最小值为 .
△
8．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（文））已知△ABC中， 分别为内角 的对边，且
.
(1)求角 的大小；
(2)设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 ， ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
(1)在△ABC中，由正弦定理及 得： ，..
由余弦定理得 ，
又 ，所以
(2) 是 的角平分线， ，
由 可得
因为 ， ，即有 ， ，
故9．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知在 中，三个内角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若角 为钝角，且角 的角平分线与边 相交于点 ，满足 ，求 的面积的最小值.
【答案】(1) 或 ；(2)
(1)因为 ，由正弦定理得： .
因为 ,所以 ,所以 .
因为 ，所以 或 .
(2)当 时， ，
所以 ，即 （当且仅当 时取等号），
解得： （当且仅当 时取等号）.
所以 （当且仅当 时取等号）.
即 的面积的最小值为 .
