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第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建宁德·校考二模）在长方体 中， 和 与底面所成的角分别为 和
，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，可作图如下：
则 ， ，设 ，在 中，易知 ，
在 中， ， ， ，
在长方体 中，易知 ，
则 为异面直线 与 的夹角或其补角，
在 中， ，则 ，同理可得 ， ，
由余弦定理，则 .
故选：C.
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知正方体 ，棱长为1， ，
分别为棱 ， 的中点，则（ ）
A．直线 与直线 共面 B． 不垂直于
C．直线 与直线 的所成角为60° D．三棱锥 的体积为
【答案】D
【解析】如图，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，，
对于A，假设直线 与直线 共面，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，矛盾，
∴直线 与直线 不共面，A错误；
对于B，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，B错误，
对于C，设直线 与直线 所成的角为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴C错误，
对于D，∵ 平面 ，
∴ ，D正确．故选：D．
3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知三棱锥 中， 平面ABC， ， ，
， ，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，
则 ， 或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．
由 ， ， ，则有 ，所以 ，
E为BC的中点，则 ，
平面ABC， 中， ，∴
中， ，∴ ，
在 中，根据余弦定理可得 ．
所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为 .
故选：D
4．（2023·北京海淀·北航实验学校校考三模）已知正方体 中，点M为线段 上的动点，
点N为线段 上的动点，则与线段 相交且互相平分的线段MN有（ ）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】B
【解析】在正方体 中， ，而 平面 ，即有 平面 ，
又 与线段 相交，则交点必在直线 上，而 平面 ，于是 平面 ， 平面
，
因为 ， 平面 ，即 平面 ，而平面 平面 ，
因此 ，即点 为 的交点 ，又线段 与 互相平分，
取 的中点 ，连接 并延长交 于 ，显然 ，于是 为 的中点，
所以当点 与 重合，点 与 重合时， 与线段 相交且互相平分，这样的直线 只有1条.
故选：B
5．（2023·广东汕头·统考二模）已知 ， ， 是三个平面， ， ， ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．直线b与直线c可能是异面直线 B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）D．直线c与平面 可能平行
【答案】C
【解析】ABC选项，因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），AB错误，C正确；
D选项，假设直线c与平面 平行，
假设直线c与平面 α 平行，由 ，可知 ，
这与 矛盾，故假设不成立，D错误.故选：C
6．（2023·陕西延安·校考一模）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱 展开，得到的平面
图如图所示．其中 ， ， ， 是 上的点，则在直三棱柱 中，下
列结论错误的是（ ）
A． 与 是异面直线
B．
C．平面 将三棱柱截成一个五面体和一个四面体
D． 的最小值是
【答案】D
【解析】由题设，可得直三棱柱，如图．
由直三棱柱的结构特征知: 而 是相交直线，所以 与 是异面直线， 项正确；
因为 ， ， ,所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故 B正确；
由图知，平面 将三棱柱截成四棱锥 和三棱锥 ，一个五面体和一个四面体，C项
正确；
将平面 和平面 展开，展开为一个平面，如图，当 共线时， 的最小值为 ，D错误．
故选：D
7．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体 中，直线 与平面
的交点为 为线段 的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． 三点共线 B． 四点异不共面
C． 四点共面 D． 四点共面
【答案】C
【解析】
因为 ,
则 四点共面.
因为 ,
则 平面 ,
又 平面 ,
则点 在平面 与平面 的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上,
所以 三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内，
而点B不在平面 内，所以 四点不共面，故选项B正确；
三点均在平面 内，
而点A不在平面 内，
所以直线AO与平面 相交且点O是交点，
所以点M不在平面 内，
即 四点不共面，
故选项C错误；
，且 ，
所以 为平行四边形，
所以 共面，
所以 四点共面，
故选项D正确.
故选: C.
8．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测） 为棱长为2的正方体，点 分别为 ，
的中点，给出以下命题：①直线 与 是异面直线；②点 到面 距离为 ；③若点
三点确定的平面与 交于点 ，则 ，正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】对①，由图可知， 不在平面 内，故直线 与 是异面直线，故①正确；对②，取 的中点 ，过 作 ，连接 ，
由 为2的正方体， 是 的中点，可得 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，故 即为点 到面 距离，
又 ，所以 四点共面，
所以 即为点 到面 距离，
由条件可求， ， ， ，
所以 ，
所以 ，因为 ，
所以点 到面 距离为 ，故②错误；
对③，如图，将面 扩展，取 ，则 ，
取 的中点 ，连接 ，
则 与 的交点即为点 三点确定的平面与 的交点 ，
因为 ，所以 为 的中点，
又 ，所以 ，故③错误.故选：B.
9．（多选题）（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）下列命题正确的有（ ）
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面 ，则存在直线 ，使得 为异面直线
C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．过平面 外一定点 ，有且只有一个平面 与 平行
【答案】BD
【解析】对于A，空间中两两相交的三条直线交于同一点时，可能共面也可能不共面，A错误；
对于B，不重合的两个平面 ，可能平行或者相交，
不论是平行还是相交，都存在直线 ，使得 为异面直线，B正确；
对于C，如图示几何体满足两个平面平行，其他各个面都是平行四边形，
但该几何体不是棱柱，C错误；
对于D，由于过平面 外一定点 ，有且只有一条直线m与平面 垂直，过点P有且只有一个平面 与m垂直，则 ，
故过平面 外一定点 ，有且只有一个平面 与 平行，D正确，
故选：BD
10．（多选题）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知空间中的平面 ，直线 ， ， 以
及点 ， ， ， ，则以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．在空间中，四边形 满足 ，则四边形 是菱形.
B．若 ， ，则 .
C．若 ， ， ， ， ， ，则 .
D．若 和 是异面直线， 和 是平行直线，则 和 是异面直线.
【答案】ABD
【解析】对于A项，正四面体 的各条棱长均相等，四边形 为空间四边形，不是菱形，故A
项错误；
对于B项，若 ，则 或 与 相交，所以 或 （此时 为 与 的交点），故B项错误；
对于C项，由已知可得， ， ，即直线 上有两个点在平面 内，
根据基本事实2可知 ，故C项正确；
对于D项，如图正方体 中， 和 异面（ 是异面直线）， （ ），
但是 （ 相交），故D项错误.
故选：ABD.
11．（多选题）（2023·广东湛江·校考模拟预测）在棱长为1的正方体 中，M为底面
的中心， ， ，N为线段AQ的中点，则（ ）
A．CN与QM共面
B．三棱锥 的体积跟 的取值无关C． 时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D． 时，
【答案】ABC
【解析】在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 与 共面，所以A正确；
由 ，因为 到平面 的距离为定值 ，且 的面积为定值 ，
所以三棱锥 的体积跟 的取值无关，所以B正确；
当 时，过 三点的正方体的截面 是等腰梯形，
所以平面截正方体所得截面的周长为 ，
所以C正确；
当 时，可得 为 的中点, 为 的中点
，
则 ，所以 不成，所以D不正确．
故选：ABC
12．（多选题）（2023·云南曲靖·校考三模）如图，棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 的中点，则（ ）
A．直线 为异面直线
B． 平面
C．过点 的平面截正方体的截面面积为
D．点 是侧面 内一点（含边界）， 平面 ，则 的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于A，连接 ，
由题意可知 ，因为 ，所以 ，所以 共面，
故选项A错误；
对于B，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理， 平面 ，
且 ， 平面 ,
所以平面 平面 ,
连结 ，
因为 ， ， ，且 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，同理， ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，故选项B正确；
对于C，连接 ，
根据正方体的性质可得 ，且 ，
所以平面 即为过点 的平面截正方体的截面，该四边形为等腰梯形，
其上底 ，下底 ，腰 ,高为 ，
所以截面面积为 ，故选项C正确；
对于D，取 的中点 ， 的中点H，连结 ，
因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为点 是侧面 内一点（含边界）， 平面 ，
所以点 的轨迹为线段 ，连接 ，
在 中， ，
点 到 的距离为 ，
的取值范围为 ，故D错误.
故选：BC
13．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）在棱长为2的正方体 中， 为底面
A B C D 的中心， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是 .
1 1 1 1
【答案】 /
【解析】在棱长为2的正方体 中，取 中点 ，连接 ，如图，
因为 为 的中点，有 ，则四边形 是平行四边形，
于是 ，又 ，即有四边形 是平行四边形，
因此 ，则 是异面直线 与 所成的角或补角，
而 为底面A B C D 的中心，则 ，又 平面 ，
1 1 1 1
从而 平面 ，而 平面 ，则 ，在 中， ，于是 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值是 .
故答案为：
14．（2023·四川凉山·三模）在棱长为2的正方体 中，若E为棱 的中点，则平面
截正方体 的截面面积为 ．
【答案】
【解析】如图，在正方体 中，
平面 平面 ，
平面 与平面 的交线必过 且平行于 ，
故平面 经过 的中点 ，连接 ，得截面 ，
易知截面 是边长为 的菱形，其对角线 ，
，截面面积 ．
故答案为： ．
15．（2021·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）下列命题中正确的命题为 .
①若 在平面 外，它的三条边所在的直线分别交 于 ，则 三点共线；
②若三条直线 互相平行且分别交直线 于 三点，则这四条直线共面；
③若直线 异面， 异面，则 异面；
④若 ，则 .
【答案】①②
【解析】对于①，设平面 平面 ，因为 ，所以 平面 ，
所以 ，同理 ， ，故 三点共线，①正确；
对于②，因为 ，所以 可以确定一个平面 ，
因为 所以 ，所以 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 或 ，又 ，
所以 不成立，所以 ，即这四条直线共面，所以②正确；
对于③，直线 异面， 异面，但是 平行，所以③错误，如下右图；
对于④， ，但 ，所以④错误，如下左图.
故正确的命题为①②.
故答案为：①②
16．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在直四棱柱 中， ，
，M，N在棱 ， 上，且 ， ，过 的平面交 于G，则截面 的
面积为 ．
【答案】
【解析】取 上靠近点 的一个四等分点 ，连接 ， ，
因为 ，所以 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以 且 ，过点 作 ，因为 ，所以四边形 为平行四边形，
则 且 ，所以 且 ，则截面 为平行四边形，
由直四棱柱的性质可得，
，
， ，
在△ 中，由余弦定理得， ，
所以 ，
则截面 的面积为 ；
故答案为：617．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）如图，正方体 中，直线 平面
A B C D ， ， .
1 1 1 1
(1)设 ， ，试在所给图中作出直线 ，使得 ，并说明理由；
(2)设点A与（1）中所作直线 确定平面 .
①求平面 与平面ABCD的夹角的余弦值；
②请在备用图中作出平面 截正方体 所得的截面，并写出作法.
【解析】（1）由题意，P、Q分别为 和 的中点吋，有 ，
证明过程如下：连接 ，取 和 中点分别为P、Q，连接 ，
∵ ，∴ 一定过经过点E,∴PQ即为所求作的l.
∵P、Q分别为 和 的中点，∴P、Q为 的中位线，
∴ ，且PQ过经过点E，
∵正方体的 的上底面A B C D 为正方形.
1 1 1 1∴ ，∵ ，∴ ，
又∵正方体 的侧棱 垂直底面A B C D ， ，
1 1 1 1
∴ ，又∵ ， 平面 ， .
∴ 平面 ，∵ 平面 ，
∴ ，即 ；
（2）①连接AP，AQ，∵正方体 中，有AD，DC，DD两两垂直，以D点为坐标原点，建
立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体边长为2，则有 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
∵正方体的侧棱 垂直底面ABCD，∴ 为平面ABCD的法向量.
设平面 ，即平面APQ的法向量 ，则 ， .
∴ ， ，即
令 ，则 ， .
∴平面APQ的一个法向量 .
， ， ，
设平面 与平面ABCD的夹角的平面角为 ，
则 ；
②设直线 交 于 ，连接 分别交 于 ，连接 ，则平面
即为平面 截正方体 所得的截面，如图所示.18．（2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别
是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且 ， ．
(1)求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；
(2)若 ，求点B到平面EFGH的距离．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，又 ，所以
，故E，F，G，H四点共面，且直线EH，FG必相交于一点，设 ，因
为 ， 平面ABD，所以M∈平面ABD，同理： 平面BCD，而平面 平面 ，
故 平面BCD，即直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上．
（2）连结EG，BG，点B到平面EFGH的距离为d，正四面体的棱长为2易知该正四面体的高为 ，所
以E到平面BFG的距离为 ，在△CFG中，由余弦定理可得：，在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距离为 ，而G
到BF的距离也为 ，则 ．
由 可得： ，故点B到平面EFGH的距离为 ．
19．（2022·贵州·统考模拟预测）如图，在正方体 中， ， ， ， 分别是棱 ，
， ， 的中点．
(1)求证： ， ， ， 四点共面，记过这四点的平面为 ，在图中画出平面 与该正方体各面的交线
（不必说明画法和理由）；
(2)设（1）中平面 与该正方体六个面所成锐二面角大小分别为 （ =1，2，3，4，5，6），求
的值．
【解析】（1）连接 ， ， ，因为 ， 分别是棱 ， 的中点，
所以 ．又因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 ．
故 ，所以 ， ， ， 四点共面．
分别取 和 的中点为 和 ，连接 ， ， ，
由正方体性质得 ， ， ，所以多边形 共面，所以平面 与该正方体各面
的交线
如下图（多边形 ）所示．（2）以 为坐标原点，以 的方向为 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 ，
设正方体的棱长为2，则
设平面 的法向量为 ，
即 ，可取
又平面 的一个法向量为 ，故 ．
因为平面 的一个法向量为 ，故
因为平面 的一个法向量为 ，故
因为平面 的一个法向量为 ，故
因为平面 的一个法向量为 ，故
因为平面 的一个法向量为 ，故
所以， .1．（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】
【解析】 ， ， 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故
是公理；
而 平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．
故选： ．
2．（2013•江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 ，正方体的六个面
所在的平面与直线 ， 相交的平面个数分别记为 ， ，那么
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】
【解析】由题意可知直线 与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，
所以 ，
直线 与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以 ，所以
．
故选： ．
3．（2005•陕西）不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】
【解析】空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥 ，
①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条
件的平面个数是四个，
②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则
此时满足条件的平面个数是三个，
所以满足条件的平面共有7个，故选： ．
4．（2019•上海）已知平面 、 、 两两垂直，直线 、 、 满足： ， ， ，则直线
、 、 不可能满足以下哪种关系
A．两两垂直B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
【答案】
【解析】如图1，可得 、 、 可能两两垂直；
如图2，可得 、 、 可能两两相交；
如图3，可得 、 、 可能两两异面；
故选： ．
5．（2016•上海）如图，在正方体 中， 、 分别为 、 的中点，则下列直线中与
直线 相交的是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】
【解析】根据异面直线的概念可看出直线 ， ， 都和直线 为异面直线；
和 在同一平面内，且这两直线不平行；直线 和直线 相交，即选项 正确．
故选： ．
6．（2015•广东）若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，
则下列命题正确的是
A． 与 ， 都不相交 B． 与 ， 都相交
C． 至多与 ， 中的一条相交 D． 至少与 ， 中的一条相交
【答案】
【解析】 ． 与 ， 可以相交，如图：
该选项错误；
． 可以和 ， 中的一个平行，如图， 该选项错误；
． 可以和 ， 都相交，如图：
该选项错误；
．“ 至少与 ， 中的一条相交”正确，假如 和 ， 都不相交；
和 ， 都共面；
和 ， 都平行；
， 和 共面，这样便不符合已知的 和 异面；
该选项正确．
故选： ．
7．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体 ，则A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
【答案】
【解析】如图，
连接 ，由 ， ，得四边形 为平行四边形，
可得 ， ， 直线 与 所成的角为 ，故 正确；
， ， ， 平面 ，而 平面 ，
，即直线 与 所成的角为 ，故 正确；
设 ，连接 ，可得 平面 ，即 为直线 与平面 所成的角，
， 直线 与平面 所成的角为 ，故 错误；
底面 ， 为直线 与平面 所成的角为 ，故 正确．
故选： ．
8．（2006•上海）如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正
方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
【答案】36
【解析】正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；
而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，
所以共有36个“正交线面对”；
故答案为36．
