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专题 03 分式的核心知识点精讲
1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；
2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力
与代数恒等变形能力；
3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；
4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分子，
B叫做分母.
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
3.分式有意义的条件：B≠0；
4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
考点2：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用
式子表示是： （其中M是不等于零的整式）.
考点3：分式的运算
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考点4：分式化简求值
（1）有括号时先算括号内的；
（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；
（3）进行乘除法运算
（4）约分；
（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，
最终化为最简分式；
（6）带入相应的数或式子求代数式的值
【题型1：分式的相关概念】
【典例1】（2022•怀化）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：分式有： ， ， ，
整式有： x， ，x2﹣ ，
分式有3个，
故选：B．
【典例2】（2023•广西）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
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【答案】A
【解答】解：∵分式 有意义，
∴x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：A．
1．（2022•凉山州）分式 有意义的条件是（ ）
A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≠0
【答案】B
【解答】解：由题意得：
3+x≠0，
∴x≠﹣3，
故选：B．
2．（2023•凉山州）分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
【答案】A
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
【题型2：分式的性质】
【典例3】（2023•兰州）计算： ＝（ ）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
【答案】D
【解答】解：
＝
＝a，
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故选：D．
1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】D
【解答】解：∵a≠b，
∴ ，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：D．
2．（2023•自贡）化简： ＝ x ﹣ 1 ．
【答案】x﹣1．
【解答】解：原式＝
＝x﹣1．
故答案为：x﹣1．
【题型3：分式化简】
【典例4】（2023•广东）计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：
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＝
＝ ．
故本题选：C．
1．（2023•河南）化简 的结果是（ ）
A．0 B．1 C．a D．a﹣2
【答案】B
【解答】解：原式＝ ＝1．
故选：B．
2．（2023•赤峰）化简 +x﹣2的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：原式＝ +
＝
＝ ，
故选：D．
【题型4：分式的化简在求值】
【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（ +1）÷ ，其中x＝3．
【答案】 ， ．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
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＝ ，
当x＝3时，原式＝ ＝ ．
1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x＝3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝x+2，
当x＝3时，原式＝3+2＝5．
2．（2023•大庆）先化简，再求值： ，其中x＝1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝ ﹣ +
＝
＝
＝
＝ ，
当x＝1时，原式＝ ＝ ．
3．（2023•西宁）先化简，再求值： ，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．
【答案】 ，6．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]×a（a﹣b）
＝ ×a（a﹣b）﹣
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＝ ﹣
＝ ；
∵a，b是方程 x2+x﹣6＝0 的两个根，
∴a+b＝﹣1 ab＝﹣6，
∴原式＝ ．
1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、 ＝ ，不是最简分式，不符合题意；
B、 ＝ ＝ ，不是最简分式，不符合题意；
C、 是最简分式，符合题意；
D、 ＝ ＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
【答案】B
【解答】解：∵
＝
＝ ×2，
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∴如果把分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，
故选：B．
3．（2023•河北）化简 的结果是（ ）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
【答案】A
【解答】解：x3（ ）2
＝x3•
＝xy6，
故选：A．
4．（2023秋•来宾期中）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．
【答案】C
【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，
解得：x＝2，
故选：C．
5．（2023秋•青龙县期中）分式 的最简公分母是（ ）
A．3xy B．6x3y2 C．6x6y6 D．x3y3
【答案】B
【解答】解： 分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；
故选：B．
6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解；A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 ＝ ，不是最简二次根式，不符合题意；
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C、 ＝ ＝ ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
7．（2023春•原阳县期中）化简（1+ ）÷ 的结果为（ ）
A．1+x B． C． D．1﹣x
【答案】A
【解答】解：原式＝ × ＝ × ＝1+x．
故选：A．
8．（2023•门头沟区二模）如果代数式 有意义，那么实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】A
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故选：A．
9．（2023春•武清区校级期末）计算 ﹣ 的结果是（ ）
A． B． C．x﹣y D．1
【答案】B
【解答】解： ﹣
＝
＝ ．
故答案为：B．
10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【解答】解： ＝﹣ ，
故选：C．
11．（2023秋•莱州市期中）计算 的结果是 ﹣ x ．
【答案】﹣x．
【解答】解： ÷
＝ •（﹣ ）
＝﹣x，
故答案为：﹣x．
12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用 a
天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 （用含
a、b、m的最简分式表示）．
【答案】 ．
【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为： ﹣ ＝ ﹣ ＝
，
故答案为： ．
13．（2023春•宿豫区期中）计算 ＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：
＝
＝
＝1，
故答案为：1．
14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1）因式分解A；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
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【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；
（2） ..
【解答】解：（1）2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2）；
（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），
＝
＝ ．
15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值： （ ），其中 ．
【答案】 ， ．
【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当x＝ ﹣1时，原式＝ ＝ ．
16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值： ，其中x＝5．
【答案】 ， ．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝ ，
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当x＝5时，原式＝ ＝ ．
17．（2023•盐城一模）先化简，再求值： ，其中x＝4．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（ + ）•
＝ •
＝ •
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
18．（2022秋•廉江市期末）先化简（ ﹣x）÷ ，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
【答案】﹣ ，0．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝﹣ •
＝﹣ ，
∵（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠±1，
当x＝0时，原式＝﹣ ＝0．
1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可
以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（ ）天．
A．d+y B．d﹣r C． D．
【答案】C
【解答】解：工作总量＝md，
增加r个人后完成该项工作需要的天数＝ ，
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故选：C．
2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示 的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】C
【解答】解：∵a＝2b，
∴
＝
＝
＝
＝
＝ ，
∴表示 的点落在段③，
故选：C．
3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则 的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣1＝x，
∴x﹣ ＝1，
∴（x﹣ ）2＝1，
∴x2﹣2+ ＝1，
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∴x2+ ＝3，
故选：A．
4 ． （ 2023 秋 • 鼓 楼 区 校 级 期 中 ） 对 于 正 数 x ， 规 定 ， 例 如 ，
， 则
＝（ ）
A．198 B．199 C．200 D．
【答案】B
【解答】解：∵f（1）＝ ＝1，f（1）+f（1）＝2，
f（2）＝ ＝ ，f（ ）＝ ＝ ，f（2）+f（ ）＝2，
f（3）＝ ＝ ，f（ ）＝ ＝ ，f（3）+f（ ）＝2，
…
f（100）＝ ＝ ，f（ ）＝ ＝ ，f（100）+f（ ）＝2，
∴
＝2×100﹣1
＝199．
故选：B．
5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1， ， ，…，
， ， 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2023
【答案】A
【解答】解：当x＝﹣a和 时，
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＝
＝0，
当x＝0时， ，
则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，
故选：A．
6．（2022秋•永川区期末）若分式 ，则分式 的值等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】B
【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；
∴x﹣y＝﹣2xy
将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得
＝
＝
＝
＝ ．
故选：B．
7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割
完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，
甲的工作效率是 公顷/时，
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乙的工作效率是 公顷/时．
故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为 ＝ （小时）．
故选：B．
8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为 ，其中f表示照相机镜头的焦距，
u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵ ，
去分母得：uv＝fv+fu，
∴uv﹣fv＝fu，
∴（u﹣f）v＝fu，
∵u≠f，
∴u﹣f≠0，
∴ ．
故选：D．
9．（2023•内江）对于正数x，规定 ，例如：f（2）＝ ，f（ ）＝ ，f
（3）＝ ，f（ ）＝ ，计算：f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（ ）
+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
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【解答】解：∵f（1）＝ ＝1，f（2）＝ ，f（ ）＝ ，f（3）＝ ，f
（ ）＝ ，f（4）＝ ＝ ，f（ ）＝ ＝ ，…，f（101）＝ ＝ ，f（
）＝ ＝ ，
∴f（2）+f（ ）＝ + ＝2，f（3）+f（ ）＝ + ＝2，f（4）+f（ ）＝ + ＝2，…，f（101）+f
（ ）＝ + ＝2，
f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（ ）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f
（101）
＝2×100+1
＝201．
故选：C．
10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：
＝1﹣ ，
＝ ﹣ ，
＝ ﹣ ，
… ＝ ﹣
将以上等式相加得到
+ + +…+ ＝1﹣ ．
用上述方法计算： + + +…+ 其结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由上式可知 + + +…+ ＝ （1﹣ ）＝ ．故选A．
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11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．
我们知道 ，
（1）仿写： ＝ ， ＝ ， ＝ ．
（2）直接写出结果： ＝ ．
利用上述式子中的规律计算：
（3） ；
（4） ．
【答案】（1） ， ； ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解答】解：（1） ， ＝ ； ＝ ，
故答案为： ， ； ；
（2）原式＝1﹣ + + +...+ +
＝1﹣
＝ ；
故答案为： ；
（3）
＝
＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +⋯⋯+
＝1﹣
＝ ；
（2）原式＝ ×（ ）+ ×（ ）+ ×（ ）+...+ ×（ ）
＝ （ ）
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＝
＝ ．
12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分
数”，而假分数都可化为带分数．如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字
母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的
次数时，我们称之为“真分式”．如 ， 这样的分式就是假分式； ， 这样的分
式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ， ；
解决下列问题：
（1）分式 是 真 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式 化为带分式；
（3）如果x为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【答案】（1）真；
（2）x﹣2+ ；
（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．
【解答】解：（1）分式 是真分式；
故答案为：真；
（2） ；
（3）原式＝ ，
∵分式的值为整数，
∴x+2＝±1或±13，
∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．
13．（2023秋•涟源市月考）已知 ，求 的值．
解：由已知可得x≠0，则 ，即x+ ．
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∵ ＝（x+ ）2﹣2＝32﹣2＝7，
∴ ．
上面材料中的解法叫做“倒数法”．
请你利用“倒数法”解下面的题目：
（1）求 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知 ， ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）24；（3） ．
【解答】解：（1）由 ，知x≠0，
∴ ．
∴ ，x• ＝1．
∵ ＝x2+
＝（x﹣ ）2+2
＝42+2
＝18．
∴ ＝ ．
（2）由 ＝ ，知x≠0，
则 ＝2．
∴x﹣3+ ＝2．
∴x+ ＝5，x• ＝1．
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∵
＝x2+1+
＝（x+ ）2﹣2+1
＝52﹣1
＝24．
∴ ＝ ．
（3）由 ， ， ，知x≠0，y≠0，z≠0．
则 ＝ ， ＝ ，y+zyz＝1，
∴ + ＝ ， + ＝ ， + ＝1．
∴2（ + + ）＝ + +1＝ ．
∴ + + ＝ ．
∵ ＝ + + ＝ ，
∴ ＝ ．
14．（2022秋•兴隆县期末）设 ．
（1）化简M；
（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．
①求证： ；
②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；
③解分式方程 ．
【答案】（1） ；
（2）①见解析，② ，③x＝15．
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【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝
＝ ；
（2）①证明： ；
②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）
＝
＝
＝
＝ ；
③由②可知该方程为 ，
方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得： ，
整理，得： ，
解得：x＝15，
经检验x＝15是原方程的解，
∴原分式方程的解为x＝15．
15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式
可以拆分成整式与分式和的形式，例如将 拆分成整式与分式：
方法一：原式＝ ＝ ＝x+1+2﹣ ＝x+3﹣ ；
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方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝ ＝ ．
根据上述方法，解决下列问题：
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式和的形式，得 ＝ ；
（2）任选上述一种方法，将 拆分成整式与分式和的形式；
（3）已知分式 与x的值都是整数，求x的值．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．
【解答】解：（1）由题知，
，
故答案为： ．
（2）选择方法一：
原式＝ ＝ ．
选择方法二：
设 x﹣1＝t，则 x＝t+1，则原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝
．
（3）由题知，
原式＝ ＝ ＝ ＝ ．
又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，
当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；
当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；
当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；
当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；
综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．
16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分
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数”，而假分数都可以化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个
字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母
的次数时，我们称之为“真分式”．如 ，这样的分式就是假分式；再如： 这
样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：
．
解决下列问题：
（1）分式 是 真分式 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式 化为整式与真分式的和的形式： ＝ 2+ ．若假分式 的值为正整
数，则整数a的值为 1 ， 0 ， 2 ，﹣ 1 ；
（3）将假分式 化为带分式（写出完整过程）．
【答案】（1）真分式；
（2）2+ ；1，2，﹣1；
（3）x﹣1﹣ ．
【解答】解：（1）由题意得：分式 是真分式，
故答案为：真分式；
（2） ＝ ＝2+ ，
当2+ 的值为正整数时，
2a﹣1＝1或±3，
∴a＝1，2，﹣1；
故答案为：2+ ；1，2，﹣1；
（3）原式＝ ＝ ＝x﹣1﹣ ．
1．（2023•湖州）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
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A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，
解得：x＝1，
故选：A．
2．（2023•天津）计算 的结果等于（ ）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
【答案】C
【解答】解：
＝
＝
＝
＝ ，
故选：C．
3．（2023•镇江）使分式 有意义的x的取值范围是 x ≠ 5 ．
【答案】x≠5．
【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，
解得x≠5，
故答案为：x≠5．
4．（2023•上海）化简： ﹣ 的结果为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：原式＝
＝
＝2，
故答案为：2．
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5．（2023•安徽）先化简，再求值： ，其中x＝ ．
【答案】x+1， ．
【解答】解：原式＝ ＝x+1，
当x＝ ﹣1时，
原式＝ ﹣1+1
＝ ．
6．（2023•广安）先化简（ ﹣a+1）÷ ，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代
入求值．
【答案】 ；﹣1．
【解答】解：（ ﹣a+1）÷
＝ •
＝ ．
∵﹣2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式＝ ＝﹣1．
7．（2023•淮安）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中a＝ +1．
【答案】 ， ．
【解答】解：原式＝ ÷（ + ）
＝ ÷
＝ •
＝ ，
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当a＝ +1时，原式＝ ＝ ．
8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝3．
【答案】 ，1．
【解答】解：原式＝[ + ]•
＝ •
＝ ，
当x＝3时，原式＝ ＝1．
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