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专题 16.6 二次根式全章专项复习【3 大考点 11 种题型】
【人教版】
【考点1 二次根式】..................................................................................................................................................1
【题型1 利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】.....................................................................................2
【题型2 利用 =|a|化简】.....................................................................................................................................2
❑√a2
【考点2 二次根式的乘除】......................................................................................................................................2
【题型3 二次根式乘除法法则适用的条件】.........................................................................................................3
【题型4 二次根式的乘除运算】..............................................................................................................................4
【题型5 二次根式大小的比较】..............................................................................................................................4
【题型6 分母有理化】..............................................................................................................................................5
【题型7 二次根式化为最简二次根式】..................................................................................................................5
【考点3 二次根式的加减】......................................................................................................................................6
【题型8 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................6
【题型9 与二次根式有关的化简求值】..................................................................................................................7
【题型10 二次根式的应用】......................................................................................................................................8
【题型11 二次根式的规律探究】..............................................................................................................................9
【考点1 二次根式】
1.二次根式的定义
√a √
形如 （a ≥ 0 ）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
√
①是否含有二次根号“ ”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如
m√a
（a ≥ 0 ）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数,它表示的是:
m√a=m⋅√a
（
a ≥ 0 ） ;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式 √A−B 与 √B−A 都有意义,则有A=B.
2.二次根式的性质
√a
（1）双重非负性: ≥0,a≥0;（主要用于字母的求值）
2
(√a) =a
（2）回归性: （a ≥ 0 ） ;（主要用于二次根式的计算）
√ 2
a =|a|=¿{a(a≥0)¿¿¿¿
（3）转化性: .（主要用于二次根式的化简）
【题型1 利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】
【例1】（23-24八年级·安徽池州·期末）代数式 的值为常数2，则 的取值范围是
❑√(1−a) 2+❑√(3−a) 2 a
（ ）
A．a≥3 B．a≤1 C．1≤a≤3 D．a=1或a=3
【变式1-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）如果 ，则 的取值范围是（ ）
❑√(3a−9) 2=9−3a a
A．a>3 B．a<3 C．a≥3 D．a≤3
【变式1-2】（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式❑√3a−4与❑√16−a是同类二次根
式，那么使❑√5a−2x有意义的x的取值范围是 ．
【变式1-3】（23-24八年级·上海宝山·阶段练习）若 ，则 的取值范围是
❑√x3+2x2=−x❑√x+2 x
．
【题型2 利用 =|a|化简】
❑√a2
【例2】（23-24八年级下·山东威海·期末）已知 ， 则化简二次根式 √ y 的正确结果是（ ）
xy<0 x❑−
x2
A．❑√2 B．−❑√−y C．❑√−y D．−❑√y
【变式2-1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）将 √ a2 化简的结果是
(a−3)❑ (a<0)
3−a
.
【变式2-2】（23-24七年级上·青海黄南·期末）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 化
a b ❑√(a−b) 2−❑√a2
简的值是 ．【变式2-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知 ，化简√ 1 2 √ 1 2 得
0<a<1 ❑(a+ ) −4+❑(a− ) +4
a a
．
【考点2 二次根式的乘除】
1.二次根式的乘法法则： .
2.二次根式的除法法则：
b
（1） ；（2） k ；
（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；
具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.
¿ b {k >0 ¿ ¿ ¿ ¿
3.常用分母有理化因式： ， k ， ，它们也叫互
为有理化因式.
4．最简二次根式：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，
① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；
（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；
（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小.
【题型3 二次根式乘除法法则适用的条件】
【例3】（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）使等式√x2-1 ❑√x2-1 成立的x的取值范围是
❑ = =❑√x+1
x−1 ❑√x−1
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江·课后作业）若❑√(x−2)(3−x)=❑√x−2⋅❑√3−x成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2<x<3
【变式3-2】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）已知√1−a＝❑√1−a，则 的取值范围是( )
❑ a
a2 a
A．a≤0 B．a＜0 C．0＜a≤1 D．a＞0
【变式3-3】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）若等式√2m−1 ❑√2m−1成立，则 的取值范围是
❑ = m
m−3 ❑√m−3
（ ）
1 1 1
A．m>3 B．m≥ C． ≤m<3 D．m< 或m>3
2 2 2
【题型4 二次根式的乘除运算】
【例4】（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）化简： √3m2−3n2 3 √m+n √ a2
−9❑ ÷ ❑ ⋅❑ =
2a2 2 a2 m−n
．
√ 1
【变式4-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算❑√3÷❑√2×2❑√5÷❑ 的结果为 ．
10
2 1 √b 3
【变式4-2】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ❑√ab2÷ ❑ ⋅(− ❑√a3b)．
b 3 a 2
【变式4-3】（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知❑√7=a，❑√70=b，则❑√4.9用a、b表示为（ ）
a+b a−b b ab
A． B． C． D．
10 10 a 10
【题型5 二次根式大小的比较】
【例5】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数a
，b，若a>b，则❑√a>❑√b．随后讲解了一道例题：
参考下面例题的解法，解答下列问题：
试比较2❑√3和3❑√2的大
小．
解：(2❑√3) 2=12，
(3❑√2) 2=18，
∵12<18，
∴2❑√3<3❑√2(1)比较−3❑√5和−5❑√3的大小．
(2)比较❑√6+❑√2和❑√5+❑√3的大小．
【变式5-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）比较下列各组数的大小：
(1)5×❑√3与3×❑√5
(2)−2×❑√2与−❑√7
(3)❑√5与❑√2+❑√3
❑√5−1
(4) 与0.5．
2
1 1
【变式5-2】（23-24八年级·全国·课后作业）你能比较 与 的大小吗？其中k为
❑√k+2−❑√k ❑√k+4−❑√k+2
正整数.
5
【变式5-3】（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 ，
❑√3
√2 2 5 5×❑√3 5❑√3 √2 √2×3 ❑√6
❑ ， +1的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， = = ，❑ =❑ =
3 ❑√3 ❑√3 ❑√3×❑√3 3 3 3×3 3
， 2 2(❑√3−1) ，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问
= =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1)
题：
2
(1)化简： ；
❑√5+❑√3
3
(2)若a是❑√2的小数部分，求 的值；
a
(3)比较❑√2023−❑√2022与❑√2024−❑√2023的大小．
【题型6 分母有理化】
1
【例6】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）材料：将 分母有理化，解：原式
❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 1 1
= =❑√3+❑√2．运用以上方法解决问题：已知a= ,b= ．
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) 3+❑√11 ❑√11−3
(1)将a,b分母有理化；
(2)求a2−4ab+b2．
【变式6-1】（2024·上海浦东新·二模）❑√m+n的一个有理化因式是（ ）A．❑√m+n B．❑√m+❑√n C．❑√m−❑√n D．❑√m−n
【变式6-2】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）分母有理化：(❑√6+2)(❑√2+2) ．
=
❑√2+4+❑√6
【变式6-3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）我们已经知道，根据平方差公式可得
，因为无理数 与无理数 的乘积为有理数，所以我们称无理数
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=a−b ❑√a+❑√b ❑√a−❑√b
与无理数 互为有理化因式．例如： ，所以无理数 与无
❑√a+❑√b ❑√a−❑√b (1−❑√2)(1+❑√2)=1−2=−1 1−❑√2
理数1+❑√2互为有理化因式．
(1)无理数❑√3−❑√2的有理化因式是______．
2 2
(2)计算 + ．
❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5
【题型7 二次根式化为最简二次根式】
【方法总结】应用二次根式的性质可以把二次根式化为最简二次根式,为二次根式的运算奠定基础.
【例7】（23-24八年级·河南新乡·阶段练习）若 ，则二次根式 化为最简二次根式为
y>0 ❑√−81x3y3
．
【变式7-1】（23-24八年级·河北张家口·期末）将式子❑√35−a（a为正整数）化为最简二次根式后，可以
与❑√8合并．写出一个符合条件a的值 ．
【变式7-2】（23-24八年级·安徽·阶段练习）已知A=2❑√2x+1，B=3❑√x+3，C=❑√10x+3 y，其中
A，B为最简二次根式，且A+B=C，则2y−x的值为 ．
【变式7-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）我们把形如a❑√x+b（a，b为有理数，❑√x为最简二次根式）
的数叫做 型无理数，如 是 型无理数，则 是 型无理数．
❑√x 3❑√5+1 ❑√5 (❑√2+❑√3) 2
【考点3 二次根式的加减】
1．二次根式化简题的几种类型：
（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.
2．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
3．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围
内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算
有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
【题型8 二次根式的混合运算】
【方法总结】二次根式的混合运算可以运用整式的乘法法则和乘法公式计算.
【例8】（23-24八年级·浙江杭州·自主招生）对于任意正数m，n，定义运算※如下：
m※n= {❑√m−❑√n(m≥n))，计算 (3※2)×(8※12) 的结果为 ．
❑√m+❑√n(m<n)
【变式8-1】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）计算：
(1)( 1 √1)
3❑√18+ ❑√50−4❑ ÷❑√32
5 2
(2)(−2❑√2) 2+❑√24×❑
√1
+|❑√3−2)−6❑
√1
；
2 3
【变式8-2】（23-24八年级·贵州遵义·期中）在计算❑√6×2❑√3−❑√24÷❑√3时，小明的解题过程如下：
√24
解：原式=2❑√6×3−❑ ①
3
=2❑√18−❑√8②
=(2−1)❑√18−8③
=❑√10④
(1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第_______步开始出错的；
(2)请你给出正确的解题过程．
1
【变式8-3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）小明在解决问题“已知a= ，求2a2−8a+1的
2+❑√3
值”时，他是这样分析与解答的：
1 2−❑√3 ．
∵a= = =2−❑√3,∴a−2=−❑√3
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
，即 ．
∴(a−2) 2=3 a2−4a+4=3．
∴a2−4a=−1.∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1 1
(1)填空： =_______________， =_______________(n≥1)；
❑√6+❑√5 ❑√n+❑√n−1
(2)计算：( 1 1 1 1 ) ；
+ + +⋯+ (❑√2022+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2022+❑√2021
1
(3)若a= ，求2a2−12a−5的值．
❑√10−3
【题型9 与二次根式有关的化简求值】
【方法总结】与二次根式有关的化简求值也是中考经常考的题型,方法灵活多样,例如直接代入法、整体代
入法等.
√a √b
【例9】（23-24八年级·湖北宜昌·期末）已知a+b=6，ab=7，则代数式a❑ +b❑ 的值为 ．
b a
【变式9-1】（23-24八年级·江西九江·期中）斐波那契数列中的第n个数可以用
1 [ (1+❑√5) n (1−❑√5) n )表示（其中 ，这是用无理数表示有理数的一个范例，生活中很多花（如
− n≥1
❑√5 2 2
梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的某个数，则斐波那契数列中的第1个数与第
2个数的和为 ．
2021
【变式9-2】（23-24八年级·四川成都·期中）若m= ，则m2−2m−1= ．
❑√2022−1
2023
【变式9-3】（2024·辽宁朝阳·模拟预测）m= ，m2−2m−2014= ．
❑√2024−1
【题型10 二次根式的应用】
【例10】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公
式》，聪明的你可以发现：当 ， 时，∵ ，∴ ，当且仅
a>0 b>0 (❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0 a+b≥2❑√ab
当a=b时取等号，
16
例如：当a>0时，求a+ 的最小值．
a16 √ 16 √ 16 16
解：∵a>0，∴a+ ≥2❑a⋅ ，又∵2❑a⋅ =8，∴a+ ≥8，当a=4时取等号．
a a a a
16
∴a+ 的最小值为8．
a
请利用上述结论解决以下问题：
9
(1)当x>0时，当且仅当x=______时，x+ 有最小值为______．
x
m2−5m+24
(2)当m>0时，求 的最小值．
m
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平
行于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【变式10-1】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）在边长为(❑√5+❑√3)cm的正方形的一角剪去一
个边长为(❑√5−❑√3)cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；
（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根
据小明的思路求图1中阴影部分的面积
【变式10-2】（23-24八年级下·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某
社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用
性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【变式10-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提
示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的
时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=❑
√2ℎ
（不考虑风速的影响，g≈10m/s2，
g
❑√5≈2.236）
(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结
果保留根号）
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）
×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
【题型11 二次根式的规律探究】
【例11】（23-24八年级下·山东威海·期中）观察下列式子：
√ 2 √2 √ 3 √ 3 √ 4 √ 4 √ 5 √ 5
①❑2− =2❑ ；②❑3− =3❑ ；③❑4− =4❑ ；④❑5− =5❑ ；…．
5 5 10 10 17 17 26 26请你按照规律写出第n（n≥1）个式子是( )
A．√ n−1 √ n−1
❑n−1− =(n−1)❑
(n−1) 2+1 (n−1) 2+1
B．√ n √ n
❑n− =n❑
n2−1 n2−1
C．√ n+1 √ n+1
❑n+1− =(n+1)❑
(n+1) 2+1 (n+1) 2+1
D．√ n √ n
❑n− =n❑
n2+1 n2+1
【变式11-1】（2024九年级·湖北随州·学业考试）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：① ；②
❑√13
；③ ；④ ，观察你计算的结果，用你发现的规律得出
❑√13+23 ❑√13+23+33 ❑√13+23+33+43
的值为（ ）
❑√13+23+33+⋯+263
A．350 B．351 C．352 D．353
【变式11-2】（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式：
√ 1 1 1 ( 1)，
❑1+ + =1+ =1+ 1−
12 22 1×2 2
√ 1 1 1 (1 1)，
❑1+ + =1+ =1+ −
22 32 2×3 2 3
√ 1 1 1 (1 1)，
❑1+ + =1+ =1+ −
32 42 3×4 3 4
请利用你发现的规律，计算：
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，其结果为 ．
❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ +
12 22 22 32 32 42 20242 20252
【变式11-3】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）观察以下各式：1 1 1
=❑√2−1， =❑√3−❑√2， =❑√4−❑√3
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3
利用以上规律计算：
．
