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专题 03 函数、方程及不等式的应用
目 录
题型01 根据实际问题列方程（组）或不等式（组）
题型02 利用方程方程（组）与不等式（组）解决实际问题
类型一 图形信息问题
类型二 方案选择问题
类型三 商品利润问题
类型四 行程问题
类型五 销售盈亏问题
类型六 工程问题
类型七 几何问题
类型八 工程问题
类型九 古代问题
类型十 抛物线问题
类型十一 实验问题
类型十二 动态问题
（时间：60分钟）
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题型 01 根据实际问题列方程（组）或不等式（组）
1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球
的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，根据题意可列方程
5000 4000
=2× ，则方程中x表示（ ）
x 30+x
A．篮球的数量 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．足球的单价
【答案】D
5000 4000 5000
【分析】根据购买足球的数量是篮球的2倍和方程 =2× ，可得 表示购买足球的数量，从
x 30+x x
而得到答案．
5000 4000
【详解】解：∵购买足球的数量是篮球的2倍，且所列方程为 =2× ，
x 30+x
5000 4000
∴ 表示购买足球的数量， 表示购买篮球的数量，
x 30+x
∴x表示足球的单价．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是将方程与题目中的等量关系对应．
2．（2023·河南郑州·校考模拟预测）如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意
为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，
共有y人，则所列方程正确的是（ ）
隔壁听得客分银，
不知人数不知银，
七两分之多四两，
九两分之少半斤．
《算法统宗》
注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成
语
x+4 x−8
A． = B．7 y−4=9 y+8
7 9
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x−4 x+8
C． = D．7 y+4=9 y−8
9 7
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方
程是解题的关键．根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，即可列出关于
x（或y)的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两，
x−4 x+8
∴7 y+4=9 y−8或 = ．
7 9
故选：D
3．（2023·广西贵港·统考三模）小明、小华两人练习跑步，如果小华先跑10m，则小明跑6s就可追上他；
如果小华先跑2s，则小明跑4s就可追上他，若设小明的速度为xm/s，小华的速度为ym/s，则下列符
合题意的方程组是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．
根据“如果小华先跑10m，则小明跑6s就可追上他；如果小华先跑2s，则小明跑4s就可追上他”，即可
得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：¿，
即¿，
故选：D．
4．（2023·广东肇庆·统考三模）通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为
300g；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量
是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%．若设一份营养快餐中含蛋白质x（g），含脂肪y
（g），则可列出方程组（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题中等量关系列出方程组并化简即可．
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【详解】解：设一份营养快餐中含蛋白质x(g)，含脂肪y(g)，根据题意得：
¿，
即¿，
故选：D．
5．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）某市用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，
某市高架路上共22km的路程，利用城市大数据后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提
速前车辆平均通过速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
22 22 22 22 1
A． − =5 B． − =
x (1+15%)x x (1+15%)x 12
22(1+15%) 22 22(1+15%) 22 1
C． − =5 D． − =
x x x x 12
【答案】B
【分析】设提速前车辆平均通过速度为xkm/h，则设提速后车辆平均通过速度为(1+15%)xkm/h，然后根
据时间=路程÷速度结合提速后节省时间5分钟列出方程即可．
【详解】解：设提速前车辆平均通过速度为xkm/h，则设提速后车辆平均通过速度为(1+15%)xkm/h，
22 22 5 1
由题意得， − = = ，
x (1+15%)x 60 12
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
6．（2023·福建莆田·校考模拟预测）某科考队分成两支小队进入沙漠采集环境信息，第一小队于早晨
8:00进入沙漠，并于8:20在一颗枯树旁做了标记，此时第二小队进入沙漠，走到8:35时正好经过枯树看
到了标记，已知两支小队在距离出发点4704m的位置相遇，设第一小队的平均速度是vm/s，则符合题意
的方程是（ ）
4704 1200v 4704 900v
A． =4704÷ +1200 B． =4704÷ +1200
v 900 v 1200
4704 1200v 4704 900v
C． =4704÷ +900 D． =4704÷ +900
v 900 v 1200
【答案】A
20×60×v 1200v
【分析】根据题意可求第二小队的速度为 = m/s，再根据两队的时间差为20min即
15×60 900
1200s列分式方程即可．
1200v
【详解】解；设第一小队的平均速度是vm/s，则第二小队的速度为 m/s，
900
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4704 1200v
由题意可得： =4704÷ +1200，
v 900
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，明确题意，找出数量关系是解题的关键．
7．（2023·安徽·模拟预测）随着科研的投入，某种药品的价格连续两次降价，价格由原来每盒a元下降到b
元．设平均下降率为x，则a，b，x满足的关系式为（ ）
A．a=b(1+x) 2 B．b=a(1−x) 2 C．a=b(1+2x) D．b=a(1−2x)
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均下降率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可
求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】设平均下降率为x，依题意得：b=a(1−x) 2，
故选：B．
8．（2023·广西玉林·统考一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田
积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽
的和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
60−x 60+x
A．(60−x)x=864 B． ⋅ =864
2 2
C．(60+x)x=864 D．(30+x)(30−x)=864
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设长为x步，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意
得到宽与长是关键．
【详解】解：设长为x步，根据题意得，
(60−x)x=864．
故选：A．
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题型 02 利用方程方程（组）与不等式（组）解决实际问题
类型一 图形信息问题
9．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回
1
到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车 h后，继续按原速驶向乙地，两
4
车距甲地的路程ykm与慢车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲乙两地相距______km，快车行驶的速度是______ km/h，图中括号内的数值是______ ；
(2)求快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式；
(3)慢车出发多长时间，两车相距120km
【答案】(1)400，100，7
(2)快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式为y=−100x+400
10 14
(3)慢车出发1小时或 小时或 小时，两车相距120km
3 3
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题关键是能够从图象中获取正确的信息．
（1）根据图象可知：甲乙两地的距离为400米，由速度公式求出速度和时间；
（2）观察图象和（1）的结果求出B(3,400)和A(7,0)，再用待定系数法求出解析式；
（3）先求出慢车的速度，分三种情况讨论，根据路程差为120千米，设慢车出发x小时与快车相距120千
米，列出方程，求出x即可．
【详解】（1）解：由图象可知：甲乙两地相距400km，快车行驶的速度为(400−100)÷3=100km/h，
括号内数值为400÷100+3=7小时，
故答案为：400，100，7；
（2）由图象可知：B(3,400)和A(7,0)，
设直线BA的函数解析式为：y=kx+b，
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把B(3,400)和A(7,0)代入y=kx+b得：¿，
解之得¿，
∴快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式为y=−100x+400；
（3）由图象可知：快车比慢车早出发1小时，
400−100×(4−3)
=80
∴慢车的速度为： 1 千米/小时，
4−
4
设慢车出发x小时与快车相距120千米，
①快车从甲地开往乙地，由题意得：100(x+1)=80x+120，
解之得：x=1，
( 1)
②快车从乙地返回甲地与慢车相遇前，由题意得：100(x+1)−400+120+80 x− =400，
4
10
解之得：x= ，
3
( 1)
③快车从乙地返回甲地与慢车相遇后，由题意得：100(x+1)−400+80 x− −120=400，
4
14
解之得：x= ，
3
10 14
综上可知慢车出发1小时或 小时或 小时，两车相距120km．
3 3
10．（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了
一个问题情境．
已知小强家、书店、健身馆依次在同一条直线上，健身馆距小强家2km，书店距小强家1km．周末小强从
健身馆运动后，匀速步行20min到达家门口时，突然想起忘记买书，于是立即赶往书店，匀速步行8min
到达书店，停留了6min购书，又匀速步行10min后再次返回家中．给出的图象反映了这个过程中小强离家
的距离y（km）与离开健身馆后的时间x（min）之间的对应关系．
请根据相关信息解答下列问题：
(1)填表：
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离开健身馆的时间/ 2
10 20 25 32
min 8
离家的距离/km 0 1
(2)填空：
①书店到健身馆的距离为______km；
②小强从家到书店的速度为______km/min；
③小强从书店返回家的速度为______km/min；
④当小强离家的距离为0.8km时，他离开健身馆的时间为_____min．
(3)当20≤x≤44时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】(1)见解析
(2)①1；②0.125；③1；④12或26.4或36
(3)y=¿
2
【分析】（1）由题意知，当0<x<20，小强的速度为 =0.1km/min；即离开健身馆10min时，离家的
20
1
距离为(20−10)×0.1=1km；当20<x<28，小强的速度为 =0.125km/min；25min时，离家的
28−20
距离为(25−20)×0.125=0.625km；32min时，离家的距离为1km；当34<x<44，小强的速度为
1
=0.1km/min；填表即可；
44−34
（2）①由题意知，书店到健身馆的距离为1km；②由（1）可知，小强从家到书店的速度为0.125km/min
；③由（1）可知，小强从书店返回家的速度为1km/min；④由题意知0<x<20，当小强离家的距离为
2−0.8
0.8km时，他离开健身馆的时间为 =12min；当20<x<28，当小强离家的距离为0.8km时，他离开
0.1
0.8
健身馆的时间为20+ =26.4min；当34<x<44，当小强离家的距离为0.8km时，他离开健身馆的时
0.125
1−0.8
间为34+ =36min；
0.1
1 5
（3）当20≤x<28，待定系数法求得 y= x− ；当28≤x<34，y=1；当34≤x≤44，待定系数法求得
8 2
1 22
y=− x+ ；进而可得y关于x的函数解析式．
10 5
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2
【详解】（1）解：由题意知，当0<x<20，小强的速度为 =0.1km/min；
20
∴离开健身馆10min时，离家的距离为(20−10)×0.1=1km；
1
当20<x<28，小强的速度为 =0.125km/min；
28−20
25min时，离家的距离为(25−20)×0.125=0.625km；
32min时，离家的距离为1km；
1
当34<x<44，小强的速度为 =0.1km/min；
44−34
填表如下：
离开健身馆的时间/ 1
20 25 28 32
min 0
离家的距离/km 1 0 0.625 1 1
（2）①解：由题意知，书店到健身馆的距离为1km；
故答案为：1；
②解：由（1）可知，小强从家到书店的速度为0.125km/min；
故答案为：0.125；
③解：由（1）可知，小强从书店返回家的速度为1km/min；
故答案为：1；
2−0.8
④解：由题意知0<x<20，当小强离家的距离为0.8km时，他离开健身馆的时间为 =12min；
0.1
0.8
当20<x<28，当小强离家的距离为0.8km时，他离开健身馆的时间为20+ =26.4min；
0.125
1−0.8
当34<x<44，当小强离家的距离为0.8km时，他离开健身馆的时间为34+ =36min；
0.1
∴当小强离家的距离为0.8km时，他离开健身馆的时间为12或26.4或36；
故答案为：12或26.4或35；
1 5
（3）解：当20≤x<28，设y=k x+b ，将(20，0)，(28，1)代入得，¿，解得¿，即y= x− ；
1 1 8 2
当28≤x<34，y=1；
1 22
当34≤x≤44，设y=k x+b ，将(34，1)，(44，0)代入得，¿，解得¿，即y=− x+ ；
2 2 10 5
综上，当20≤x≤44时，y关于x的函数解析式为：y=¿；
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式等知识．解题的关键在于正确的理解题意．
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11．（2023·河北唐山·统考二模）如图，某景区内的环行路是矩形ABCD．景区的北门M与南门N之间有
一段小路MN仅供行人步行通过，且区域MNCD为正方形．现有P，Q两游览车分别从M和N同时出发，
P车顺时针、Q车逆时针沿环形路ABCD连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不
计），两车速度相同．设P、Q两车距北门M的最短距离分别为y m，y m（本题中最短距离指在环形路
1 2
上距M的较短路程，例：在C处时距离为CD+DM，在B处时距离则为BA+AM），行驶的时间为tmin，
y ，y 与t的函数图形如图所示．
1 2
(1)矩形ABCD的周长为______m，游览车的速度为______m/min；
(2)求AM的长；
(3)如图，求a，b的值及a≤t≤b时，y 与t的函数解析式；并直接写出E、F两点的纵坐标之差．
2
【答案】(1)5600；400
(2)AM=400m
(3)y =−400t+3600，E、F两点的纵坐标之差为800
2
【分析】（1）P，Q两游览车速度相同，从函数图像从可知y 的路程和时间，由此即可求解；
1
（2）根据题意，设AM=BN=xm，AB=CD=DM=CN= ym，由此列方程即可求解；
（3）分别计算出不同时段y ,y 的函数解析式，再根据两直线的交点坐标的计算方法求出点E,F的坐标即
1 2
可求解．
【详解】（1）解：根据y 与t的路程函数图像可知，矩形ABCD的周长为2800+2800=5600（米），
1
速度为2800÷7=400（m/min），
故答案为：5600，400．
（2）解：根据题意，设AM=BN=xm，AB=CD=DM=CN= ym，
∴¿，解得¿，
∴AM=400m．
（3）解：由题可知，a=(2800−2000)÷400=2，b=2800÷400+2=9，
当2≤t≤9时，设y =kt+c，将(2,2800)，(9，0)代入得
2
¿，解得，¿，
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∴当2≤t≤9时，y 与的函数解析式为：y =−400t+3600，
2 2
当0≤t≤7时，y 经过的点为(0,0)，(7,2800)，设y =k t(k ≠0)，
1 1 1 1
∴7k =2800，解得，k =400，
1 1
∴当0≤t≤7时，y =400t，
1
(9 )
∴¿，解得，¿，即E ,1800 ，
2
当7≤t≤14时，设y =k't+b' ，且过(7,2800)，(14,0)，
1
∴¿，解得，¿，
∴当7≤t≤14时，设y =−400t+5600，
1
同理，当9≤t≤16时，y 的图像经过(9,0)，(16,2800)，则y =400t−3600，
2 2
(23 )
∴¿，解得，¿，即F ,1000 ，
2
∴E、F两点的纵坐标之差为800．
【点睛】本题主要考查函数图像与行程问题的综合，掌握函数图像获取信息，根据题意列方程，待定系数
法求解析式的方法是解题的关键．
12．（2023·广西玉林·统考模拟预测）为了更好助推乡村振兴，今年水果上市期间，某单位驻村工作队立
足本地特色，在打通为农服务“最后一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作社，帮助果农进行销
售，该村水果月销售额y（万元），在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分，成立村级供销
合作社后是一次函数图象的一部分．
(1)当1≤x≤4时，求y与x的关系式，并求出该种水果4月份的销售额；
(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？
180
【答案】(1)当1≤x≤4时，y与x的关系式为y= ；45万元
x
(2)该村水果有6个月的月销售额不超过90万元
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用．
（1）用待定系数法求出当1≤x≤4时，y与x的关系式，然后令x=4时求出y的值即可得到答案；
（2）先求出当x>4时，y与x的关系式为y=15x−15，然后分别求出当1≤x≤4时和当x>4时，月销售
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额不超过90万元的月份，即可得到答案．
k
【详解】（1）解：设当1≤x≤4时，y与x的关系式为y= ，
x
k
把点(1,180)代入得180= ，
1
∴k=180，
180
∴当1≤x≤2时，y与x的关系式为y= ，
x
180
∴当x=4时，y= =45，
4
180
∴当1≤x≤4时，y与x的关系式为y= ，4月份的销售额为45万元；
x
（2）解：设当x>4时，y与x的关系式为y=k x+b，
1
把点(4,45)和点(5,60)代入得¿，
∴¿，
∴当x>4时，y与x的关系式为y=15x−15，
180
当1≤x≤4时，令y=90，则90= ，
x
∴x=2，
180
当x=3时，y= =60，
3
∴2月、3月和4月销售额不超过90万元；
当x>4时，令y=90，解得x=7，
∴5月、6月和7月销售额不超过90万元；
∴该村水果有6个月的月销售额不超过90万元．
13．（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其
10
中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y= 的
x
一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲
同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2米．
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(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于
OP 1
45°，且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 2
1
【答案】(1)y=− (x−5) 2+2
2
16
(2) 米
3
(3)7≤OD≤12
【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的
顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2
米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【详解】（1）解：依题意，B点到地面的距离为2米，
10
设B点坐标为(x，2)，代入 y= ，
x
解得x=5，
∵C点距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2 米，
∴C的坐标 (√2+5，1)，
由题意得：B(5，2)，
故设滑道BCD所在抛物线的解析式为 y=a(x−5) 2+2，
将C的坐标(√2+5，1)代入，得 a(√2+5−5) 2+2=1，
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1
解得：a=− ，
2
1
则 y=− (x−5) 2+2；
2
1
（2）令y=0，− (x−5) 2+2=0，
2
解得：x =7,x =3 (不合题意，舍去)，
1 2
10
又将 y=6 代入 y= ，
x
5
解得 x= ，
3
5 16
甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离为 7− = (米)．
3 3
（3）根据上面所得B (5，2)，D (7，0)时，此时∠BDO=45°，
则D点不可往左，可往右，则OD最小值为7，
OP 1
又∵ ≥ ，
OD 2
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二
次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
14．（2023·内蒙古包头·二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬
菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关
系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段（即：当
10≤x≤24时，大棚内的温度y（℃）是时间x（h）的反比例函数），已知点A坐标为(0,10)．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)当0≤x≤5时，求大棚内的温度y与时间x的函数关系式；
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(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大橱内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使
蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)y=2x+10(0≤x<5)
(2)20℃
(3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）观察图像可得；
（3）代入临界值y=10即可．
【详解】（1）解：设线段AB解析式为y=k x+b(k ≠0)
1 1
∵线段AB过点(0,10),(2,14)代入得¿，
解得¿，
∴AB解析式为：y=2x+10(0≤x<5)；
（2）∵AB解析式为：y=2x+10(0≤x<5)，
当x=5时，y=2x+10=20，
∴恒温系统设定恒温为20℃；
k
（3）设双曲线CD解析式为：y= 2(k ≠0)，
x 2
∵C(10,20)，
∴k =200，
2
200
∴双曲线CD解析式为：y= (10≤x≤24)，
x
200
把y=10代入y= 中，解得：x=20，
x
∴ 20−10=10，
∴恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数，解题的关键是明确题意，注意临界点的应用．
类型二 方案选择问题
15．（2023·广东深圳·校考模拟预测）“后疫情时代”经济复苏，越来越多的人选择在假期外出旅游，五
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一假期为旅游旺季，深圳某景区为方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批
户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的
0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
(1)求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元；
(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800
个座位．求如何安排购买方案最节省费用、最低费用是多少元．
【答案】(1)弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元
(2)购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元
【分析】（1）设弧形椅的单价是x元，则条形椅的单价是0.75x，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用
4800元购买条形椅的数量多10张”，列出分式方程，解方程即可得到答案；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅(200−m)张，根据“保证至少增加800个座位”列出不等式，解
不等式即可得到m的取值范围，设购买休闲椅所花的费用为w元，求出w关于m的表达式，根据一次函数的
性质进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设弧形椅的单价是x元，则条形椅的单价是0.75x，
8000 4800
根据题意得： = +10，
x 0.75x
解得：x=160，
经检验，x=160是原分式方程的解，且符合题意，
∴0.75x=0.75×160=120，
∴弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；
（2）解：设购进弧形椅m张，则购进条形椅(200−m)张，
根据题意得：5m+3(200−m)≥800，
解得：m≥100，
设购买休闲椅所花的费用为w元，
则w=160m+120(200−m)=40m+24000，
∵40>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=100时，w有最小值，w =40×100+24000=4000+24000=28000，
最小
∴购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点，
理解题意，找准等量关系，是解此题的关键．
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16．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒200盒，共花费了
17800元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表：
甲规
类别 乙规格
格
进价(元) 75 110
售价(元) 108 158
(1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？
(2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共50盒，而此次投入不超过5000元，为使得
获利最大，应如何进货．
【答案】(1)该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为120、80盒
(2)进货方案为：甲礼品盒15盒，乙礼品盒的数量35盒
【分析】（1）首先根据题意设出未知数，再找到等量关系：①甲、乙两种礼品盒共200盒，②75×甲礼品
盒的数量+110×乙礼品盒的数量=共花费了17800元，然后解方程组可得到甲乙两种礼品盒各买了多少盒．
（2）再购进甲礼品盒a盒，则购进乙礼品盒(50−a)盒，甲礼品盒的花费+乙礼品盒的花费≤5000，进而
求出进货方案．
【详解】（1）解：设购进甲规格的礼品盒x盒，乙规格的礼品盒y盒，
根据题意得：¿，
解得¿，
答：该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为120、80盒．
（2）设再购进甲礼品盒a盒，根据题意得：75a+110(50−a)≤5000，
−35a≤−500，
100
a≥ ，
7
利润w=33a+48(50−a)=−15a+2400，
∵w随着a的增大而减小，
∴当a=15时，w最大，此时w=2175元．
即进货方案为：甲礼品盒15盒，乙礼品盒的数量35盒，
【点睛】此题主要考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据不等式的性质以及一
次函数的增减性是解决问题的关键．
17．（2023·浙江温州·校联考二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，x表示每月上网流量
（单位：GB），y表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的y关于x的关系如图所示：
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A套 B套 C套
餐 餐 餐
每月基本流量服务费
30 50 80
（元）
包月流量（GB） 5 10 20
超出后每GB收费（元） 10 10 5
x>5 A y
A
(1)当 时，求 套餐费用 的函数表达式．
(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择C套餐较为划算．
(3)小红爸妈各选一种套餐，计划2人每月流量总费用控制在150元以内（包括150元），请为他们设计一种
方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套餐 小红妈妈： 套餐
（填A、B、C （填A、B、C 总流量
） ）
消耗流
GB GB GB
量
【答案】(1)y =10x −20(x >5)
A A A
(2)x>13GB
(3)C，24；B，10；34
【分析】（1）根据三种套餐对应的y关于x的关系图，列出A套餐的函数关系式即可；
（2）根据三种套餐对应的y关于x的关系图，列出B套餐的函数关系式，根据图可知，基本费用超过80元
时，C套餐的费用划算，代入B套餐的函数关系式，即可求出相应的流量；
（3）假设基本费用刚好是150元，要是流量最多，要有一人选择C套餐，并且超出基本费用的钱要购买C
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套餐中的流量最合适，再分情况讨论第二种套餐种类，通过对比选择合适的套餐即可．
【详解】（1）解：由三种套餐对应的y关于x的关系图可知，
y =30+(x −5)×10=10x −20(x >5)，
A A A A
当x>5时，A套餐费用y 的函数表达式y =10x −20(x >5)；
A A A A
（2）由三种套餐对应的y关于x的关系图可知，
y =50+(x −10)×10=10x −50(x>10)，
B B B
y =80+(x −20)×5=5x −20(x>20)，
C C C
由图可知，当月基本费用超过80元时，选择C套餐合适，
∴80=10x −50，解得：x =13GB，
B B
∴当x>13GB时，选择C套餐较为划算；
（3）假设基本费用刚好是150元，要是流量最多，要有一人选择C套餐，并且超出基本费用的钱要购买C
套餐中的流量最合适，
假设，小红爸爸选择C套餐20GB，妈妈选择A套餐流量为5GB，两人的基本费用为80+30=110元，超出
的40元在C套餐中购买流量可以买的更多，即40÷5=8GB，
则费用为150元，小红爸爸选择C套餐20+8=28GB，花费120元，小红妈妈选择A套餐流量为5GB，花费
30元，总流量为28+5=33GB；
假设，小红爸爸选择C套餐20GB，妈妈选择B套餐流量为10GB，基本费用为80+50=130元，超出的20
元在C套餐中购买流量可以买的更多，即20÷5=4GB，
则费用为150元，小红爸爸选择C套餐20+4=24GB，花费100元，小红妈妈选择B套餐流量为10GB，花
费50元，总流量为24+10=34GB；
∴小红爸爸选择C套餐，消耗流量24GB，小红妈妈选择B套餐消耗流量10GB，总流量为34GB．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是结合关系图，明确题意，分情况讨论，利用数形
结合的思想．
18．（2022·湖北黄冈·校考模拟预测）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系
节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全
市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型
垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类 占地面积 可供使用幢 造价（万元）
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型 数
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1
(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的
数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可
以近似的表示为：y=¿，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A
型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
【答案】(1)当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱
(2)每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低
【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数
量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关
系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进
而求解．
【详解】（1）解：设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得：¿，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
y
（2）解：由题意得：每吨垃圾的处理成本为 （元/吨），
x
y 1 1 1
当0≤x＜144时， ＝ （ x3﹣80x2+5040x）＝ x2﹣80x+5040，
x x 3 3
1 y
∵ >0，故 有最小值，
3 x
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−80
b y
当x＝﹣ ＝﹣ 1＝120（吨）时， 的最小值为240（元/吨），
2a 2× x
3
y 1 72000
当144≤x＜300时， ＝ （10x+72000）＝10+ ，
x x x
y y
当x＝300（吨）时， ＝250，即 ＞250（元/吨），
x x
∵240＜250，
y
故当x＝120吨时， 的最小值为240元/吨，
x
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
9×1 1
∴每个A型处理点每月处理量＝ ×120× ≈5.4（吨），
9×1+11×1.2 9
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件
与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．
19．（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支
助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，
销售乙种水果获利如下表所示：
销售x（吨） 3 4 5 6 7
获利y（万
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
元）
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y （万元）、y （万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
1 2
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足
1
n=20− m2 ，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
2
【答案】(1)y =0.4x，y =0.2x+0.3；
1 2
(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；
当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；
(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；
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（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；
（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．
【详解】解：（1）由题意得y =0.4x，
1
在直角坐标系中描出以(x,y)坐标的对应点，易得y 的图象成一条直线，
2
设y =kx+b，则¿，
2
解得¿，
∴y =0.2x+0.3．
2
（2）当y = y ，则0.4x=0.2x+0.3，
1 2
解得x=1.5；
∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当
进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．
（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨时，获得利润：
w=0.4m+0.2n+0.3 =0.4m+0.2
(
20−
1 m2)
+0.3，
2
即w=−0.1m2+0.4m+4.3 =−0.1(m−2) 2+4.7，
当m=2时，n=18，w有最大值，
答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，
求出解析式．
20．（2023·四川乐山·统考二模）某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游配套工
厂等因素影响，生产成本不同．甲城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为
y=ax2+bx+c(a≠0)，图象为如图的虚线所示：乙城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关
系式为y=kx(k≠0)，其图象为如图的实线所示．
(1)求a、b、k的值．
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(2)若甲、乙两城一共生产50件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小．
(3)从甲城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系式为：y =nx，y =3x；从乙城
甲A 甲B
把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系为：y =x，y =2x；现在A地需要40件，
乙A 乙B
B地需要10件，在（2）的条件下，求总运费的最小值（用含n的式子表示）．
1
【答案】(1)a= ，b=1，k=3；
4
(2)当甲城生产4件，乙城生产46件时，总成本最小；
(3)当n=2时，总运费最小值为64万元；当n<2时，总运费最小值为(4n+56)万元；当n>2时，总运费最
小值为64万元．
( 5)
【分析】（1）根据函数图象过原点得到c=0，将(2,3)和 1, 代入解析式即可求解；
4
1
（2）由（1）可得甲、乙的函数表达式，设生产成本为w，则得到w= x2+x+3(50−x)，化简后根据二
4
次函数的最值判断即可；
（3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为
(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，根据
题意列出不等式求出m的取值范围，再表示出p，根据判断即可得到结果；
【详解】（1）∵y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，
∴c=0，
( 5)
将(2,3)和 1, 代入解析式y=ax2+bx+c(a≠0)得¿，
4
②×4−①得：b=1，
1
代入①中得a= ，
4
∴¿，
将(2,6)代入y=kx中得k=3，
1
∴a= ，b=1，k=3；
4
1
（2）由（1）可得，甲：y= x2+x，乙：y=3x，
4
1 1 1
设生产成本为w，则得到w= x2+x+3(50−x)= x2−2x+150= (x−4) 2+146，
4 4 4
∴当x=4时，甲、乙两城生产这批产品总成本和最少，
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50−4=46，
∴甲城生产4件，乙城生产46件，此时生产成本最小；
（3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为
(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，
由题意可得：¿，
解得：0≤m≤4，
∴p=mn+3(4−m)+40−m+2(10−4+m)，
=mn+12−3m+40−m+12+2m，
=mn−2m+64，
=(n−2)m+64，
当0≤n≤2，0≤m≤4时，p随n的增大而减小，
∴m=4时，p的值最小，
最小值为4(n−2)+64=4n+56；
当n>2，0≤m≤4时，p随n的增大而增大，
则m=0时，p的值最小，最小值为64；
∴当0≤n≤2时，总运费为(4n+56)万元；
当n>2时，总运费为64万元．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式以及一次函数在实际问题当
中的应用，理解清楚题目中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
类型三 商品利润问题
21．（2024·陕西西安·交大附中分校校考一模）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水
果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进
价比甲种水果多2元．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲
种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元
(2)水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元
【分析】本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量的增减性是本
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题的关键．
（1）分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得的总利润关于这个字母的函
数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字母取何值时总利润取最大值，
求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量．
【详解】（1）解：设甲、乙两种水果的进价分别是x元和y元．
根据题意，得¿，
解得¿，
∴甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元．
（2）解：设购进甲水果m千克，那么购进乙水果(300−m)千克，
m≥2(300−m)，
解得m≥200，
根据题意，售完这两种水果获得的总利润w=(6−4)m+(9−6)(300−m)=−m+900，
∵−1<0，
∴w随m的减小而增大，
∴当m=200时，w最大，此时w=−200+900=700，
300−200=100（千克），
∴水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元．
22．（2023·河南周口·统考二模）某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁
班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进2副“九连环”和3副“鲁班锁”共需320元；购进6副
“九连环”和4副“鲁班锁”共需560元．
(1)分别求这两种玩具的单价；
(2)该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的2倍还多10副，且两种益智玩具的总数量不少于
70副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？
【答案】(1)每副“九连环”40元，每副“鲁班锁”80元
(2)购进“鲁班锁”20副，购进“九连环”50副，费用最少，最少费用为3600元
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【分析】（1）设每副“九连环”m元，每副“鲁班锁”n元，列方程组可解得每副“九连环”40元，每副
“鲁班锁”80元；
（2）设购进“鲁班锁”x副，则购进“九连环”(2x+10)副，一共的购买费用为w元，由两种益智玩具的
总数量不少于70副，可得x+(2x+10)≥70，x≥20，而w=80x+40(2x+10)=160x+400，由一次函
数的性质可得答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
【详解】（1）设每副“九连环”m元，每副“鲁班锁”n元，
根据题意得¿，
解得¿，
∴每副“九连环”40元，每副“鲁班锁”80元．
（2）设购进“鲁班锁”x副，则购进“九连环”(2x+10)副，一共的购买费用为w元，
∵两种益智玩具的总数量不少于70副，
∴x+(2x+10)≥70，
解得x≥20，
根据题意得：w=80x+40(2x+10)=160x+400，
∵160>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w取最小值，最小值为160×20+400=3600(元)；
此时2x+10=2×20+10=50，
∴购进“鲁班锁”20副，购进“九连环”50副，费用最少，最少费用为3600元．
23．（2023·广东阳江·统考二模）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
甲水
乙水笔
笔
每支进价（元） a a+5
每支利润（元） 2 3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超
过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水
笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水
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笔共多少支．
【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
(3)169支
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意
找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的
增减性，即可解答；
（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔2m支，一共购进n支水笔，列出方程化简，得
11
n=125+ m，根据n−m−2m>0，推出m<60，再结合m、n均为正整数，得出当m=48时，n取得最
12
大值，此时n=169，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
400 800
= ，
a a+5
解得，a=5，
经检验，a=5是原分式方程的解，
∴a+5=10，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，
2000−5x
w=2x+3× =0.5x+600，
10
∵k=0.5>0，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
2000−5x
∴x≤ ×4，
10
2
解得x≤266 ，
3
∵x为整数，
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2000−5x
∴当x=266时，w取得最大值，此时w=733， =67，
10
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；
（3）解：设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔2m支，一共购进n支水笔，
5m+10×2m+12(n−m−2m)=1500，
化简，得
11
n=125+ m，
12
∵n−m−2m>0，
11
∴125+ m−m−2m>0，
12
∴m<60，
∵m、n均为正整数，
∴当m=48时，n取得最大值，此时n=169，
即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．
24．（2024·福建南平·统考一模）某商家将每件进价为15元的纪念品，按每件19元出售，每日可售出28
件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．
(1)当每件纪念品涨价多少元时，单日的利润为154元？
(2)商家为了单日获得的利润最大，每件纪念品应涨价多少元？最大利润是多少元？
【答案】(1)当涨价3元或7元时，单日利润为154元
(2)当涨价5元时获得最大利润，为162元
【分析】（1）设当每件纪念品涨价x元时，单日的利润为154元，根据利润列出方程，解方程即可得到答
案；
（2）设当涨价a元时，单日利润为W元，根据题意得到W关于a的二次函数表达式，根据二次函数的性
质进行解答即可．
此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数和方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设当每件纪念品涨价x元时，单日的利润为154元，
则(19−15+x)(28−2x)=154，
解得：x =3，x =7，
1 2
答：当涨价3元或7元时，单日利润为154元.
（2）设当涨价a元时，单日利润为W元，
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W =(a+4)(28−2a)=−2(a−5) 2+162
∵−2<0，抛物线开口向下，
所以当a=5时，W =162，
最大
答: 当涨价5元时获得最大利润，为162元.
25．（2023·江苏南通·统考二模）某商品每件进价20元，在试销阶段该商品的日销售量y(件)与每件商品的
日销售价x(元)之间的关系如图中的折线ABC所示(物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得
高于45元)．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若日销售单价x(元)为整数，则当日销售单价x(元)为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是
多少？
(3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
【答案】(1)y=¿
(2)当销售单价x为37或38元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为1224元
(3)结合函数图象可得35≤x≤40
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用；
（1）设y=kx+b,分两种情况用待定系数法可得答案；
（2）设销售利润为w元，根据总利润等于每件利润乘以销售量，分两种情况列函数关系式，求出w的最大
值，即可得到答案；
（3）结合（2）可得−4(x−37.5) 2+1225≥1200，即可解得x的范围．
【详解】（1）解：设y=kx+b,
当20≤x≤30时，把(20,200)，(30,100)代入得：
¿
解得¿，
∴y=−10x+400；
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当30<x≤45时，把(30,100)，(45,40)代入得：
¿，
解得¿，
∴y=−4x+220；
综上所述，y=¿；
（2）设销售利润为w元，
当20≤x≤30时，w=(x−20)(−10x+400)
=−10x2+600x−8000
=−10(x−30) 2+1000，
∴当x=30时，w最大为1000元；
当30<x≤45时，w=(x−20)(−4x+220)
=−4x2+300x−4400
=−4(x−37.5) 2+1225，
∵x为整数，
1
∴x=37或x=38时，w取最大值−4× +1225=1224(元)；
4
综上所述，当日销售单价为37元或38元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是1224元；
（3）由（2）知，当20≤x≤30时，该商品每天的销售利润最大为1000元；
∴只有在30<x≤45时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
∵−4(x−37.5) 2+1225=1200，
解得：x =35,x =40
1 2
根据二次函数的性质可得−4(x−37.5) 2+1225≥1200的解集为：35≤x≤40，
∴销售单价x的取值范围是35≤x≤40．
26．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果
每月售价y 与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
1
时间x/月份 2 3 4 5
售价y /（元/千
1 12 8 6 4.8
克）
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式P=20x；乙种水果每月售价y 与月份x
2
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之间满足y =ax2+bx+4，对应的图象如图所示．乙种水果进价为3.5元/千克，平均每月销售160千克．
2
(1)求y 与x之间的函数关系式；
1
(2)求y 与x之间的函数关系式；
2
(3)若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最
大，最大利润是多少？
24
【答案】(1)y = (2≤x≤5，x为整数）
1 x
1
(2)y = x2+2x+4（2≤x≤5，且x为整数）
2 2
(3)水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元
【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
k
【详解】（1）解：设y 与x之间的函数关系式为 y = ，
1 1 x
k
把(2,12)代入解析式，则 12= ，
2
解得k=24，
24
∴y 与x之间的函数关系式为y = (2≤x≤5，x为整数）；
1 1 x
（2）解：把(2,6),(4,4)代入y =ax2+bx+4，得：
2
¿，解得 ¿，
1
∴y 与x之间的函数关系式为y = x2+2x+4（2≤x≤5，且x为整数）；
2 2 2
（3）解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则
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w=w +w =(y −3−0.2)⋅P+(y −3.5−0.2)×160，
甲 乙 甲 乙
= (24 −3−0.2 ) ⋅20x+ ( − 1 x2+2x+4−3.5−0.2 ) ×160
x 2
=−80x2+256x+528，
256
对称轴为直线 x=− =1.6．
2×80
∵−80<0，
∴当x>1.6时，w随x的增大而减小．
∵x为整数，
∴当x=2时，w有最大值，最大值=−80×4+256×2+528=720（元），
答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元．
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
27．（2022·安徽合肥·校考二模）已知某商品的进价为每件10元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理
出该商品在第x（1≤x≤30）天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天 1≤x<15 15≤x≤30
1 300
日销售单价（元/千克） 20+ x 10+
2 x
日销售量（千克） 40−x
(1)第几天该商品的销售单价是25元？
(2)在这30天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)第10天或20天该商品的销售单价是25元
(2)在这30天中，第15天获得的利润最大，最大利润是500元
【分析】（1）根据该商品的销售单价是25元，可求出x的值，此题得解；
（2）设每天获得的利润为y元，分1≤x<15及15≤x≤30两种情况找出y关于x的函数关系式，再利用二
次函数的性质及反比例函数的性质，可求出当1≤x<15及15≤x≤30时y的最大值，比较后即可得出结论．
1
【详解】（1）解：当20+ x=25时，x=10；
2
300
当10+ =25时，x=20，
x
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
答：第10天或20天该商品的销售单价是25元；
（2）设每天获得的利润为y元，
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1 1
当1≤x<15时，y=(20+ x−10)(40−x)=− x2+10x+400，
2 2
1
即y=− (x−10) 2+450，
2
1
∵− <0，
2
∴当x=10时，y取得最大值，最大值为450；
300 12000
当15≤x≤30时，y=(10+ −10)(40−x)= −300，
x x
∵12000>0，
∴y随x的增大而减小，
12000
∴当x=15时，y取得最大值，最大值= −300=500，
15
∵450<500，
∴在这30天中，第15天获得的利润最大，最大利润是500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及反比例的应用，分1≤x<15及15≤x≤30两种情况，找出y关于x
的函数关系式是解题的关键．
类型四 行程问题
28．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还
要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它
的刹车性能进行测试，开始刹车后的行驶速度v（单位：m/s）、行驶距离y（单位：m）随刹车时间t（单
位：s）变化的数据，整理得下表．
刹车时间t/s 0 1 2 3 4
行驶速度v/m/s 30 24 18 12 6
行驶距离y/m 0 27 48 53 72
行驶速度v与刹车时间t之间成一次函数关系，行驶距离y与刹车时间t之间成二次函数关系．
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)当汽车刹车后行驶距离为63m时，求它此时的行驶速度．
(3)若汽车发现正前方40米有一辆卡车一直以10m/s的速度匀速行驶，汽车立即刹车，问汽车在刹车过程中
会不会追尾卡车？请说明理由．
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【答案】(1)v=−6t+30，y=−3t2+30t
(2)12m/s
(3)不会追尾，见解析
【分析】（1）用待定系数法可得v=−6t+30；y=−3t2+30t；
（2）在y=−3t2+30t中，令y=63得t=3或t=7，当t=3时，v=−6×3+30=12，当t=7时，
v=−6×7+30=−12（舍去），即可知当汽车刹车后行驶距离为63m时，它此时的行驶速度是12m/s；
（3）在v=−6t+30中，令v=0得t=5，可得：y=−3×25+30×5=75，因75<40+5×10，故汽车在
刹车过程中不会追尾卡车．
【详解】（1）解：设v=kt+b，
∴¿，
解得¿，
∴v=−6t+30；
设y=at2+b't+c，
∴¿，
解得¿，
∴y=−3t2+30t；
（2）在y=−3t2+30t中，令y=63得63=−3t2+30t，
解得t=3或t=7，
当t=3时，v=−6×3+30=12，
当t=7时，v=−6×7+30=−12（舍去），
∴当汽车刹车后行驶距离为63m时，它此时的行驶速度是12m/s；
（3）在v=−6t+30中，令v=0得t=5，
把t=5代入y=−3t2+30t得：y=−3×25+30×5=75，
∵75<40+5×10，
∴汽车在刹车过程中不会追尾卡车．
【点睛】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出解析式．
29．（2023·浙江杭州·校考二模）一辆汽车从甲地前往乙地，若以100km/hkm/h的平均速度行驶，则3h
后到达，
(1)该车原路返回时，求平均速度v（km/h）与时间t（h）之间的函数关系式．
(2)已知该车上午8点从乙地出发，
①若需在当天11点至13点间（含11点与13点）返回甲地，求平均速度v（km/h）的取值范围．
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②若该车最高限速为120km/h，能否在当天10点前返回甲地？请说明理由．
300
【答案】(1)v=
t
(2)①60≤v≤100；②不能在当天10点前返回甲地，理由见解析
【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系即可解决问题；
（2）①根据题意，结合（1）即可解决问题；
300
②将t=2，代入v= ，得v=150>120千米/小时，超速了．进而可以解决问题．
t
【详解】（1）∵路程＝vt=100×3=300km
300
∴v关于t的函数表达式为：v= ；
t
（2）①8点至11点时间长为3小时，8点至13点时间长为5小时，
300
将t=3代入v= ，得v=100．
t
300
将t=5代入v= ，得v=60．
t
∴汽车平均速度v（km/h）的取值范围为：60≤v≤100；
②不能在当天10点前返回甲地．理由如下：
∵8点至10点时间长为2小时，
300
将t=2，代入v= ，
t
得v=150>120千米/小时，超速了．
故汽车不会在当天10点前返回甲地．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是掌握路程＝速度×时间．
类型五 销售盈亏问题
30．（2023·广东河源·二模）西安的大唐不夜城，已成为游客们必去的打卡之地，在其商业街上，摆放着
琳琅满目的具有古风特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜爱，某店铺老板用1580元购进了折扇
和团扇共100把，这两种扇子的进价、标价如表所示：
种类价格 折扇 团扇
进价（元/把） 13 20
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标价（元/把） 30 40
(1)折扇和团扇各购进了多少把？
(2)店铺老板将这两种扇子打折出售，全部售出后，该店铺共获利1240元，已知折扇按标价的九折出售，
则团扇的折扣是多少？
【答案】(1)折扇购进了60把，团扇购进了40把
(2)团扇的折扣是七五折
【分析】（1）设折扇购进了x把，团扇购进了y把，根据“店铺老板用1580元购进了折扇和团扇共100
把”，和表格中折扇和团扇的进价，列出二元一次方程组¿，解二元一次方程组即可；
（2）设团扇的折扣是m折，根据“全部售出后，该店铺共获利1240元”，折扇购进了60把，团扇购进了
40把，和表格中折扇和团扇的进价与标价，列出一元一次方程
( m )
(30×0.9−13)×60+ 40× −20 ×40=1240，解一元一次方程即可．
10
【详解】（1）解：设折扇购进了x把，团扇购进了y把，
根据题意得：¿，
解得：¿．
答：折扇购进了60把，团扇购进了40把；
（2）解：设团扇的折扣是m折，
( m )
根据题意得：(30×0.9−13)×60+ 40× −20 ×40=1240，
10
解得：m=7.5．
答：团扇的折扣是七五折．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的应用，读懂题意、列方程是解题的关键．
31．（2023·山西大同·校联考模拟预测）某儿童服装店从厂家购进了甲、乙两种品牌的服装，已知每套甲
品牌服装比每套乙品牌服装的进价贵30元，用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌
服装数量的1.5倍．
(1)求甲、乙两种品牌服装的进价分别是多少；
(2)在销售过程中，乙品牌服装每套的售价是80元，且很快全部售出；甲品牌服装每套按进价加价25%销
售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的甲品牌服装．这两种品牌的服装全部售完后共
获利润2200元，求有多少套甲品牌服装打九折售出．
【答案】(1)甲种品牌服装每套进价是80元，乙种品牌服装每套进价是50元
(2)有20套甲品牌服装打九折售出
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【分析】（1）设甲种品牌服装每套的进价是x元，则乙种品牌服装每套的进价是(x−30)元，根据用4800
元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的1.5倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设有y套甲品牌服装打九折售出，则有(60−y)套甲品牌服装原价销售，根据这两种品牌的服装全部
售完后共获利润2200元，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设甲种品牌服装每套的进价是x元，则乙种品牌服装每套的进价是(x−30)元，
4800 2000
由题意得： = ×1.5，
x x−30
解得：x=80，
经检验：x=80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x−30=80−30=50，
答：甲种品牌服装每套的进价是80元，乙种品牌服装每套的进价是50元；
4800 2000
（2）解：由（1）可知，甲品牌服装有 =60（套)，乙品牌服装有 =40（套)，
80 50
设有y套甲品牌服装打九折售出，则有(60−y)套甲品牌服装原价销售，
由题意得：80×40+80×(1+25%)(60−y)+80×(1+25%)×0.9 y−2000−4800=2200，
解得：y=20，
答：有20套甲品牌服装打九折售出．
【点睛】本题考查了分式方程的应用原价一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
32．（2023·广东·校联考模拟预测）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准
备购进A，B两种型号的兔子挂件．已知购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元，且A
型号兔子挂件比B型号兔子挂件每件贵15元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48
元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购
进多少件？
【答案】(1)A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元
(2)A型号兔子挂件至少要购进21件
【分析】（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x−15)元，根据购进A型号
兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元，列出方程，解方程即可；
（2）设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50−m)件，根据两种挂件利润之和超过310
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元列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价(x−15)元，
3x+4(x−15)=220，解得x=40，
∴x−15=40−15=25，
答：A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元；
（2）解：设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50−m)件，
则(48−40)m+(30−25)(50−m)>310，解得m>20，
答：A型号兔子挂件至少要购进21件．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是找到数量关系列出不等式和方程．
类型六 工程问题
33．（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改
造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)m的值为10
【分析】（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，根据题意列出方
程求解即可；
（2）根据“A型设备铺设的路面长度+B型设备铺设的路面长度=3600+750”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，
根据题意得，
30x+30(2x+30)=3600，
解得：x=30，
则2x+30=90，
答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
30(30+m+25)+(90−3m)(30+m)=3600+750，
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整理得，m2−10m=0，
解得：m =10，m =0（舍去），
1 2
∴m的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
34．（2022·重庆·重庆市第七中学校校考一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长
5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完
成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工
成本为12万．
6
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
5
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
1
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
6
2
少挖 a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7a−12)万元．求a的值．
9
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲
6
总施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
5
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每
1 2
天可多挖 a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 a米，即可得出关于a的一元二次方程，
6 9
解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
6
依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x，
5
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
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( 1 ) ( 2 )
（2）依题意，得：(10+a) 5+ a +12 5− a =12×5+10×5+(7a−12) ，
6 9
整理，得：a2−18a+72=0，
解得：a =12，a =6，
1 2
当a =12时，总成本为：12×5+10×5+7×12−12=182（万元），
1
∵182＞150，
∴a =12不符合题意舍去；
1
当a =6时，总成本为：12×5+10×5+7×6−12=140（万元），
2
∵140＜150，
∴a =6符合题意；
2
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各
数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
35．（2020·福建厦门·校考模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：
生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下
称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，
所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低
了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ．
（1）求的n值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理
的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
1
【答案】（1）n=0.3；（2）m= ，60家
2
【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等
式，从而求出答案；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理
的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量．
【详解】解：(1)由题意可得：40n=12，
解得n=0.3；
(2)由题意可得：40+40(m+1)+40(m+1) 2=190，
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1 7
解得：m = ，m =− （舍去），
1 2 2 2
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40(1+m)=40(1+50%)=60（家）．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根
据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解．
类型七 几何问题
36．（2022·江苏苏州·模拟预测）用28米长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形．
(1)当垂直于墙的一边比另一边少7米时，求长方形的面积．
(2)按表中列出的数据要求，填写表格．
观察表格，你感到长方形的面积会不会有最大的情况？如果会，可能是多少？
垂直于墙的一边比另一边少(m) 1 4 7 10 13
___ ___
长方形的面积 ____ ____ ____
_ _
【答案】(1)98(m2)
(2)见解析，会，98(m2)
【分析】（1）设垂直于墙的一边为x，平行于墙的一边为y，根据三边长为28，且垂直于墙的一边比另一
边少7米，列出关于x、y的方程组，即可求得面积
（2）根据题意完成表格，设长方形的面积为S，可得S=−2(x−7) 2+98，即可得到结果
【详解】（1）设垂直于墙的一边为x，平行于墙的一边为y，且垂直于墙的一边比另一边少7米，
∴¿
解得：¿
∴xy=98，
答：长方形的面积为98(m2)
（2）完成表格如下：
垂直于墙的一边比另一边少(m) 1 4 7 10 13
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长方形的面积 90 96 98 96 90
设长方形的面积为S，
则：S=xy
=x(28−2x)
=−2x2+28x
=−2(x−7) 2+98
∴当x=7时，长方形的面积取得最大值，最大值为98(m2)
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和二元一次方程组的应用，根据长宽之间的关系列出方程组和函数
解析式是解题的关键
37．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学松山湖学校校考二模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利
用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成
两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求BD长度；
(2)求矩形养殖场的总面积最大值为多少．
【答案】(1)BD长度为2m；
140
(2)矩形养殖场的总面积最大值为
m2
．
3
24−x−2x
【分析】1）设BD=x m，根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为 =(8−x)m，可得
3
(x+2x)×(8−x)=36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
13
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，根据墙的长度为13，可得0<x≤ ，根据题意得出函数解析式，由
3
二次函数性质求最值．
【详解】（1）设BD=x m，
24−x−2x
根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为 =(8−x)m，
3
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∴(x+2x)×(8−x)=36，
解得x=2或x=6，
经检验，x=6时，3x=18>10不符合题意，舍去，
∴x=2，
答：BD长度为2m；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵墙的长度为10m，
10
∴0<x≤ ，
3
根据题意得：y=(x+2x)×(8−x)=−3x2+24x=−3(x−4) 2+48，
∵−3<0，
10 10 2 140
∴当x= 时，y取最大值，最大值为−3×( −4) +48= (m2 )，
3 3 3
10 140
答：当x= 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2 ．
3 3
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
38．（2023·辽宁营口·统考二模）某中学开展课外木工拓展实践活动．如图所示为一块余料，
∠BAF=∠AFE=90°，AB=EF=1，CD=3，AF=8，CD∥AF，且CD和AF之间的距离为4，以
k
AF所在直线为x轴，AF中点为原点构建直角坐标系，则曲线DE是反比例函数y= 图象的一部分．“创
x
23
想小组”想利用该余料截取一块矩形MNGH材料，其中一条边在AF上，所截矩形MNGH材料面积是 ．
2
请你求出此时GN的长．
9−2√3
【答案】
2
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【分析】根据图像和题意可得点E坐标，先反比例函数的解析式，即可得到点D坐标和点C坐标，待定系
(4 ) (2 )
数法求直线BC的解析式，设GN=t，即可得到G ,t ，H (t−7),t ，根据矩形MNGH材料面积即
t 3
可求得t的值，即可得到．
【详解】根据题意建立坐标系，则A(−4,0)，B(−4,1)，F(4,0)，E(4,1)
k
∵曲线DE是反比例函数y= 图象的一部分
x
k
的将E(4,1)代入y=
x
得k=4
4
∴反比例函数的解析式为y=
x
∵CD和AF之间的距离为4
∴点D的坐标为(1,4)，点C坐标为(−2,4)
设BC所在直线的解析式为：y=kx+b
则¿
解得¿
3
∴BC所在直线的解析式为：y= x+7
2
(4 )
设GN=t，则G ,t ，故点H的纵坐标为t
t
3
将y=t代入y= x+7
2
2
解得x= (t−7)
3
(2 )
故H (t−7),t
3
[4 2 ] 23
S =MN×HG= − (t−7) ⋅t=
矩形MNGH 3 3 2
即−4t2+36t−69=0
9−2√3 9+2√3
解得t = ，t = （不符合题意，舍去）
1 2 2 2
9−2√3
即GN= ．
2
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【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数解析式，解一元二次方程等，解题的关键是根据题
意求函数解析式．
k
39．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数且k≠0）
x
的图象交于A（−1，a），B两点，与x轴交于点C．
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴的正半轴上，且S ＝4S ，求点P的坐标．
△ACP △BOC
3
【答案】(1)y＝−
x
4
(2)P（ ，0）
3
【分析】本题是一次函数和反比例函数综合题：
k
（1）利用点A在y=x+4上求a，进而代入反比例函数y= 求k．
x
（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【详解】（1）解：把点A（−1，a）代入y=x+4，得a=3，
∴A（−1，3）
k
把A（−1，3）代入反比例函数y= （k为常数且k≠0）
x
∴k=−3，
3
∴反比例函数的表达式为y=− ；
x
（2）解：联立两个函数的表达式得¿，
解得¿或¿，
∴点B的坐标为B（﹣3，1）
当y=x+4=0时，得x=−4
∴点C（﹣4，0）
设点P的坐标为（x，0）
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∵S ＝4S
△ACP △BOC
1 1
∴ |x+4|×3＝4× ×4×1
2 2
4 20
解得x = ，x =− （舍去），
1 3 2 3
4
∴点P（ ，0）．
3
40．（2023·河南周口·校联考模拟预测）如图，在▱ABCD中，A(−1,0)，B(2,0)，D(0,2)，反比例函
k
数y= 在第一象限内的图象经过点C．
x
(1)点C的坐标为 ．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)点E是x轴上一点，若△BCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)(3,2)
6
(2)y=
x
(3)(3,0)或(7,0)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合题：
（1）根据平行四边形的性质可得CD∥AB,CD=AB=3，即可求解；
k
（2）把(3,2)代入y= ，即可求解；
x
（3）分两种情况，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵在 ▱ABCD中，A(−1,0)，B(2,0)，D(0,2)，
∴CD∥AB,CD=AB=3，
∴C(3,2)；
故答案为：(3,2)；
k
（2）解：把(3,2)代入y= 得：
x
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k
2= ，解得：k=6，
3
6
∴反比例函数解析式为y= ；
x
（3）解：分三种情况考虑：
过C作CE ⊥x轴，此时E 为直角顶点时，E 的坐标为(3,0)；
1 1 1
过C作CE ⊥BC，交x轴于点E ，此时C为直角顶点，
2 2
设点E (m,0)，
2
∵B(2,0)，C(3,2)，
∴BC2=5，CE2=(m−3) 2+4,BE2=(m−2) 2 ，
2 2
∵BC2+CE2=BE2
，
2 2
∴5+(m−3) 2+4=(m−2) 2，
解得：m=7，
即点E (7,0)；
2
综上所述，点E坐标为(3,0)或(7,0)．
41．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）为了增加校园绿化，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛种
植“两花一草”，如图，取四边中点，构成正方形EFGH（甲区域），在四个角落构造4个全等的矩形
（已区域），甲、乙两区域种植不同花卉，剩余区域种植草坪．
(1)经了解，甲区域建造费用为50元/m2，乙区城建造费用为80元/m2，草坪建造费用为10元/m2，设每个矩
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形的面积为xm2，建造总费用为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)当建造总费用为74880元时，矩形区城的长和宽分别为多少米？
(3)甲区域建造费用调整为40元/m2，乙区域建造费用调整为a元/m2（a为10的倍数），草坪建造单价不变，
最后建造总费用为55000元，求a的最小值．
【答案】(1)y=280x+48000
(2)矩形区域的长和宽分别为12米和8米
(3)a的最小值是50．
【分析】（1）先求出正方形ABCD、正方形EFGH、种植草坪的面积，然后根据“费用=单价×面积”即
可解答；
（2）设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则m+n=20，mn=x．然后代入（1）所得解析式可得x=96，
即m(20−m)=96，即可求得m的值，进而完成解答；
3750
（3）先根据题意可得800×40+4x⋅a+10(1600−800−4x)=55000，即a= +10；再求得x的最
x
大值，最后代入即可解答．
【详解】（1）解：由题意可知：正方形ABCD的面积为40×40=1600m2，正方形EFGH的面积为
800m2，种植草坪的面积为1600−800−4x，根据题意可得：
y=800×50+4x⋅80+10(1600−800−4x) =280x+48000．
（2）解：设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则m+n=20，mn=x．
依题意可得：280x+48000=74880，解得x=96．
∴m(20−m)=96，解得m =12，m =8（舍去）．
1 2
∴m=12，n=8．
答：矩形区域的长和宽分别为12米和8米．
（3）解：依题意，800×40+4x⋅a+10(1600−800−4x)=55000．
3750
∴a= +10．
x
∵x=m(20−m)=−(m−10) 2+100，
∴当m=10时，x最大=100．
∴a≥47.5．
∴a的最小值是50．
【点睛】本题主要考查了列函数关系、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关知
识点成为解答本题的关键．
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类型八 工程问题
42．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）某新修公路沿线需要进行绿化施工，由甲、乙两
工程队合作完成．已知若由甲工程队单独施工，需要30天才能完成此项工程；若由乙工程队先施工30天，
剩下的由甲、乙合作施工，则还需10天才能完成此项工程．
(1)求乙工程队单独完成此项工程需要多少天？
(2)若甲工程队每天所需费用为1万元，乙工程队每天所需费用为1.5万元．甲、乙两工程队合作完成此项
工程，总费用恰为56万元，则应安排甲工程队施工多少天？
【答案】(1)60天
(2)17天
【分析】（1）设乙工程队单独完成此项工程需要x天，根据题意，列出方程求解即可；
（2）分甲乙工程队不同合作方式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要x天，
30 (1 1 )
由题意得， +10 + =1，
x x 30
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
答：乙工程队单独完成此项工程需要60天．
（2）解：①设甲工程队单独施工a天，剩下的部分由甲、乙工程队一起施工，共施工b天，
则¿，
解得：¿，不符合题意，舍去；
②设乙工程队单独施工m天，剩下的部分由甲、乙工程队合作施工，合作施工n天，
则¿，
解得：¿，
③设甲工程队单独施工p天，乙工程队单独施工q天，剩下的部分由甲、乙工程队合作施工，
则¿，
解得：¿，
综上所述，应安排甲工程队施工17天．
【点睛】本题考查了分式方程和二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
43．（2023·四川资阳·统考二模）“端午临仲夏，时清日复长．”临近端午节，一网红门店接到一份粽子
订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共生产350袋粽子，甲组加工2天比乙
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组加工1天多生产250袋粽子．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子？
(2)已知这份粽子订单为1700袋，若甲、乙两组共用10天加工完成，则甲组至少加工多少天？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工粽子200袋、150袋
(2)甲组至少加工4天才能如期完成
【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工粽子x袋、y袋，根据“甲、乙两组加工一天共生产350袋
粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多生产250袋粽子”列出二元一次方程组，并求解即可；
（2）设甲组加工m天，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工粽子x袋、y袋，根据题意得，
¿，
解得¿
答：甲、乙两组平均每天各能加工粽子200袋、150袋．
（2）设甲组加工m天，根据题意得，
200m+150(10−m)≥1700，
解得m≥4
∴甲组至少加工4天才能如期完成．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
44．（2023·吉林白城·校联考三模）某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时
间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是
表示未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数图像．
(1)乙机器每天加工______个零件，甲机器维修了______天；
(2)求未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机器加工了多少天？
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【答案】(1)250；8
(2)y=¿
(3)22天
【分析】（1）设乙机器每天加工a个零件，甲机器每天加工150个零件，根据数量关系列方程求解即可；
（2）根据函数图像函数关系式为y=kx+b(k≠0)，可知当0≤x≤10时，图像过点(0,9200)，(10,5200)；
当10<x≤18时，图像过点(10,5200)，(18,3200)；当18<x≤26时，图像过点(18,3200)，(26,0)，运
用待定系数法即可求解；
（3）根据题意可知当加工7600个零件时，x>18，函数关系式为y=−400x+10400(18<x≤26)，由此
即可求解．
【详解】（1）解：设乙机器每天加工a个零件，甲机器每天加工150个零件，
∴10×(a+150)=9200−5200，解得，a=250，
根据题意，从点A到点B是乙单独完成的量，
∴5200−3200=2000（个），
∴2000÷250=8（天），
故答案为：250；8．
（2）解：设未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
①当0≤x≤10时，图像过点(0,9200)，(10,5200)，
∴¿，解得，¿，
∴y=−400x+9200；
②由（1）可知，甲维修了8天，则乙加工了8天，即点B的坐标为(18,3200)，
∴当10<x≤18时，图像过点(10,5200)，(18,3200)，
∴¿，解得，¿，
∴y=−250x+7700；
③当18<x≤26时，图像过点(18,3200)，(26,0)，
∴¿，解得，¿，
∴y=−400x+10400；
综上所述，未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数关系式为y=¿．
（3）解：根据题意可知，乙机器一直处于工作状态，当x=10时，甲、乙共加工9200−5200=4000
（个），当x=18时，乙共加工了18天，乙加工了8×150=1200，合计4000+1200=5200（个），
∴当加工7600个零件时，x>18，即函数关系式为y=−400x+10400(18<x≤26)，
∴9200−7600=1600，
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∴1600=−400x+10400，解得，x=22，
∴当甲、乙丙台机器共生产7600个零件时，乙机器加工了22天．
【点睛】本题主要考查函数图像与实际问题的综合，理解函数图像中横轴、纵轴表示的意义，掌握工程问
题中工作效率与工作时间的数量关系是解题的关键．
45．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新
鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两个施工
4
队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的 ，而乙施工队单独修建这项工
3
程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队
单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？
【答案】(1)甲施工队每天修建120米，乙施工队每天修建160米
(2)共需修建费用201万元
4
【分析】（1）设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修建 x米，根据乙施工队单独修建这项工程需
3
要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天，列出方程进行求解即可；
（2）设乙施工队干了a天，根据先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12
天完成修建任务，列出方程，求出a，分别求出甲，乙两队的修建费，即可得解．
1920 1920
4 −4=
【详解】（1）解：设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修建 x米，由题意，得： x 4 ，
3 x
3
解得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
4
∴ x=160，
3
∴甲施工队每天修建120米，乙施工队每天修建160米；
（2）设乙施工队干了a天，由题意，得：120×12+160a=1920，
解得：a=3，
∴乙施工队修建了3天，
∴共需修建费用13×12+15×3=201万元；
答：共需修建费用201万元．
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【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关
键．
类型九 古代问题
46．（2023·福建泉州·统考模拟预测）程大位是明代商人、珠算发明家，在其杰作《算法统宗》（如图）
中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深
各几何？”译文：“用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳子比井深多5尺；如果将绳
子折成四等份，一份绳子比井深多1尺绳长、井深各是多少尺？”
(1)请你求出上述问题的解；
(2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外，第一天向上爬m尺；第二天休息，下滑2尺；
第三天向上再爬m尺；第四天休息，下滑2尺…，这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天
内（包括第9天）爬出井外，求m至少要为多少尺？
【答案】(1)绳子长48尺，井深11尺
(2)m至少要为3.8尺
【分析】（1）设绳子长x尺，井深y尺，根据“将绳子折成三等份，一份绳子比井深多5尺；将绳子折成
四等份，一份绳子比井深多1尺”列出关于x、y的二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可知：9天里5天上爬，4天下滑，结合井深11尺列出关于m的一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设绳子长x尺，井深y尺，
根据题意得：¿，解得：¿．
答：绳子长48尺，井深11尺；
（2）解：根据题意得：5m−2×4≥11，解得：m≥3.8．
答：m至少要为3.8尺．
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【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，明确各数量之间的关
系正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解答本题的关键．
47．（2021·安徽·校联考三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，
倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为
6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6210文能买多少株椽？
【答案】46株
【分析】根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x
的分式方程，解之即可．
【详解】解：设6210文能买x株椽，
6210
依题意，得：3(x−1)= ，
x
解得：x=46或x=-45（舍），
经检验：x=46是原方程的解，
∴6210文能买46株椽．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
类型十 抛物线问题
48．（2024·陕西西安·校考一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的
下部近似为矩形 OABC，上部近似为一条抛物线． 已知 OA=3米，AB=2米，窑洞的最高点 M(抛物
25
线的顶点)高地面 OA的距离为 米．
8
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
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(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG，使得点 D、E在矩形 OABC的边BC上，点
F、G在抛物线上，那么这个正方形窗户 DEFG的边长为多少米？
1( 3) 2 25
【答案】(1)y=− x− + (0≤x≤3)
2 2 8
(2)1米
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，矩形和正方形的性质等知识，掌握待定系数法和表示出点
G的解析式是解题的关键．
（1）先求出点C、M的坐标，再用顶点式设出抛物线表达式，将点C代入求出a即可得解；
（2）设这个正方形窗户 DEFG的边长为m米，表示出点G的坐标，再代入抛物线解析式求出m即可．
【详解】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=3米，AB=2米，
∴OA=BC=3米，AB=OC=2米，
∴A(3,0)，B(3,2)，C(0,2)，
3
∴抛物线的对称轴是直线x= ，
2
25
又∵窑洞的最高点M(抛物线的顶点)高地面OA的距离为 米，
8
(3 25)
∴M , ，
2 8
( 3) 2 25
设抛物线的解析式是：y=a x− + ，
2 8
( 3) 2 25
将点C代入得：2=a 0− + ，
2 8
1
解得：a=− ，
2
1( 3) 2 25
∴抛物线的表达式为y=− x− + (0≤x≤3)；
2 2 8
（2）设这个正方形窗户 DEFG的边长为m米，
即DE=GD=m，
∴点G的纵坐标是：OC+DG=(2+m)(米)，
由抛物线和正方形的对称性可知：CD=BE，
1 1 3 1
∴CD=BE= (BC−DE)= (3−m)= − m(米)，
2 2 2 2
3 1
∴点G的横坐标是： − m(米)，
2 2
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(3 1 )
∴G − m,2+m ，
2 2
1(3 1 3) 2 25
将点G代入抛物线解析式得：2+m=− − m− + ，
2 2 2 2 8
解得：m =1,m =−9(舍去)
1 2
∴这个正方形窗户DEFG的边长为1米．
49．（2023·河南洛阳·统考二模）图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2， AO，BC是桥墩，
桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．
以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为
y=a(x−h) 2+k，其中x(m)是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y(m)是桥拱截面上一点距水面OC
的距离．
(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
(2)若桥拱最高点P离水面2m为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度．
(3)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上
涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽10.8m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
1
【答案】(1)y=− (x−10) 2+6
25
(2)10√2m
(3)船不能通过桥洞，理由见解析．
【分析】（1）抛物线的顶点P的坐标为(10，6)，抛物线的表达式可写为y=a(x−10) 2+6
根据抛物线的图象过点A(0,2)，即可求得a的数值．
1
（2）根据题意可得4=− (x−10) 2+6，求解即可得到答案．
25
1
（3）根据题意可得5=− (x−10) 2+6，求解即可得到答案．
25
【详解】（1）根据题意可知，抛物线的顶点P的坐标为(10，6)，所以抛物线的表达式可写为
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．
y=a(x−10) 2+6
因为抛物线的图象过点A(0,2)，可得
2=100a+6．
1
解得a=− ．
25
1
所以，此桥拱截面所在抛物线的表达式为y=− (x−10) 2+6．
25
（2）根据题意可得
1
4=− (x−10) 2+6．
25
解得
x =10+5√2，x =10−5√2．
1 2
此时水面宽为x −x =10√2(m)．
1 2
答：警戒水位处水面的宽度为10√2m．
（3）船不能通过桥洞，理由如下：
根据题意可得
1
5=− (x−10) 2+6．
25
解得
x =15，x =5．
1 2
x −x =10<10.8．
1 2
所以，船不能通过桥洞．
【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
50．（2023·江苏扬州·校考模拟预测）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物
线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距
离为3.05m．该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，设球运动的水平距离为x，
竖直高度为y．
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(1)如图，抛物线与y轴交点坐标为______________，篮筐中心坐标为______________．
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)运动员在这次跳投中，跳离地面的高度．
【答案】(1)(0,3.5),(1.5,3.05)
(2)y=−0.2x2+3.5
(3)0.1m
【分析】（1）由图象可直接得出结论；
（2）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
（3）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05=−0.2×(−2.5) 2+3.5．
【详解】（1）解：由图象可知，抛物线与y轴交点坐标为(0,3.5)，篮筐中心坐标为(1.5,3.05)；
故答案为：(0,3.5)；(1.5,3.05)；
（2）解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5)，
设抛物线的表达式为y=ax2+3.5．
由图知图象过以下点：(1.5,3.05)．
∴2.25a+3.5=3.05，
解得：a=−0.2，
∴抛物线的表达式为y=−0.2x2+3.5；
（3）解：设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
根据题意可知，h+1.9+0.25=−0.2×(−2.5) 2+3.5，
解得h=0.1．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.1m．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式以及性质，利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地
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把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可
解决问题是解题的关键．
51．（2023·河北沧州·统考模拟预测）北京冬奥会上我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌，如图为某同学
绘制的赛道截面图，着陆坡AC的坡角为30°，起跳点A在y轴上，某运动员（看作点）从点A开始起跳，
腾空后至着陆坡的B处着陆，腾空后运动员的横坐标x、纵坐标y与时间t之间的关系式为x=a(t+1)，
y=−5t2+70，a为运动员起跳后水平方向的速度，测得某运动员起跳后a=10√3．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该运动员经过几秒后着陆，并求此时着陆点B到停止区的坡面距离；
(3)当t为何值时，运动员距离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
1 √3
【答案】(1)y=− x2+ x+65；
60 3
(2)运动员经过3秒着陆，距离停止区的坡面距离为50米；
(3)当t=1秒时，运动员距离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是20米．
x
【分析】（1）由x=10√3(t+1)可得t= −1，然后代入y=−5t2+70即可解答；
10√3
（2）由题意可得OA=65，如图，过点B作BD⊥y轴于点D，则∠ABD=30°，设AD=a，则
1 √3
BD=√3a、B(√3a,65−a)，把B(√3a,65−a)入y=− x2+ x+65求解可得a=40，进而得到运动
60 3
员着陆时水平距离为40√3，经过的时间为40√3÷10√3=4秒，4−1=3秒，然后再求得AB=2AD=80、
AC=2OA=130，最后再根据线段的和差即可解答；
√3
（3）解直角三角形可得OC=√3OA=65√3，然后再求得直线AC的解析式为y=− x+65，再进行配
3
方可得运动员距离着陆坡的竖直距离h最大．
【详解】（1）解：∵x=10√3(t+1)，
x
∴t= −1，
10√3
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∵y=−5t2+70，
1 √3
∴y与x之间的函数关系式为y=− x2+ x+65．
60 3
1 √3
（2）解：抛物线y=− x2+ x+65中，当x=0时，y=65，
60 3
∴OA=65，
如图，过点B作BD⊥y轴于点D，则∠ABD=30°，设AD=a，则BD=√3a，
∴点B的坐标为(√3a,65−a)，
1 √3
把点B(√3a,65−a)代入y=− x2+ x+65，
60 3
1 √3
得：− (√3a) 2+ ×√3a+65=65−a，解得a=0（舍去）或a=40，
60 3
∴运动员着陆时水平距离为40√3，经过的时间为40√3÷10√3=4秒，4−1=3秒，
在Rt△ABD中，AB=2AD=80，
在Rt△AOC中，AC=2OA=130，
∴着陆时距离停止区的坡面距离是130−80=50米，
∴运动员经过3秒着陆，距离停止区的坡面距离为50米．
（3）解：在Rt△AOC中，OC=√3OA=65√3，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(0,65)，C(65√3,0)代入，得¿，解得¿，
√3
∴直线AC的解析式为y=− x+65，
3
∴h=− 1 x2+ √3 x+65− ( − √3 x+65 ) =− 1 x2+ 2√3 x =− 1 (x−20√3) 2+20，
60 3 3 60 3 60
∴当x=20√3时，h有最大值20，此时t=20√3÷10√3−1=2−1=1秒，
∴当t=1秒时，运动员距离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是20米．
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【点睛】本题属于二次函数的综合应用，主要考查了求函数解析式、求最值等知识点，正确求出二次函数
的解析式是解答本题的关键．
52．（2023·安徽·模拟预测）某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由AC、两条拋物线和地
1 4
面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线CND的函数表达式为y=− x2+ x+1，拋物线AMB上点
5 5
( 11)
A的坐标为 0, ，其最高点M离地面的高度是h米，且恰好在点D的正上方．
6
(1)如图1，当h=6时，求抛物线AMB与x轴正半轴的交点坐标．
3
(2)如图2，若大棚的一边是防风墙PQ，防风墙距离点O有11米，墙高 米，要想所洒的水既能到墙边又
2
不会洒到墙外，求h的取值范围．
(3)如图3，在（2）抛物线AMB正好经过墙角Q的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线
段PE表示，PE与拋物线AMB相交于点F）两端固定在P,E两处，点E距点O正好2米．若G是线段EF
上一动点，过点G作GH⊥x轴交拋物线AMB于点H，求GH长度的最大值．
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【答案】(1)∴拋物线AMB与x轴正半轴的交点坐标为(11,0)
57
(2) ≤h≤6
22
133
(3) 米
24
【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线AMB的函数表达式为
y=a(x−5) 2+6，把点A的坐标代入，求出抛物线AMB的函数表达式，最后令y=0，求出对的x的值即
可；
11 1 66 11
（2）a= − h，则可求当x=11时，y= − h，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外
150 25 25 25
66 11 3
得出0≤ − h≤ ，即可求解；
25 25 2
1 1 1 5 11
（3）先求直线EP的表达式为y= x− ，抛物线的表达式为y=− x2+ x+ ，设点G的横坐标为m，
6 3 6 3 6
则∴GH= y −y =−
1
m2+
3
m+
13
=−
1(
m−
9) 2
+
133
，然后根据二次函数的性质求解即可．
H G 6 2 6 6 2 24
1 4 1 4
【详解】（1）解：把y=0代入y=− x2+ x+1，得− x2+ x+1=0，
5 5 5 5
解得x =−1,x =5，
1 2
∴点D的坐标为(5,0)，
∴抛物线AMB的顶点M的坐标为(5,6)．
设抛物线AMB的函数表达式为y=a(x−5) 2+6．
将点A ( 0, 11) 代入，得a(0−5) 2+6= 11 ，解得a=− 1 ，
6 6 6
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1
∴抛物线AMB的函数表达式为y=− (x−5) 2+6．
6
1
令y=0，得− (x−5) 2+6=0，
6
解得x =−1,x =11，
1 2
∴拋物线AMB与x轴正半轴的交点坐标为(11,0)．
（2）解：设抛物线AMB的函数表达式为y=a(x−5) 2+h．
( 11)
∵它经过点A 0, ，
6
11
∴a(0−5) 2+h= ，
6
11 1
∴a= − h，
150 25
当x=11时，y=a(11−5) 2+h=36a+h=36 ( 11 − 1 h ) +h= 66 − 11 h．
150 25 25 25
∵要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，
66 11 3
∴0≤ − h≤ ，
25 25 2
57
解得 ≤h≤6，
22
57
∴h的取值范围为 ≤h≤6．
22
设抛物线AMB的函数表达式为y=a(x−5) 2+h，把点A坐标代入，求出
( 3)
（3）解：由题意知，点E的坐标为(2,0)，点P的坐标为 11, ．
2
设EP所在直线的函数表达式为y=kx+b，
∴¿，解得¿
1 1
∴y= x− ．
6 3
∵拋物线AMB正好经过墙角Q，
1 1 5 11
∴抛物线AMB的函数表达式为y=− (x−5) 2+6=− x2+ x+ ．
6 6 3 6
设点G的横坐标为m．
∵GH⊥x轴，∴点H的横坐标为m．
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∴GH= y −y = ( − 1 m2+ 5 m+ 11) − (1 m− 1) =− 1 m2+ 3 m+ 13 =− 1( m− 9) 2 + 133 ．
H G 6 3 6 6 3 6 2 6 6 2 24
1
∵− <0，
6
9 133
∴当m= 时，GH取最大值 ，
2 24
133
即GH长度的最大值为 米．
24
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法，二次函数的性质，线段长度问题等知识，明确题
意，运用方程思想与数形结合思想是解题的关键．
53．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石柱OA，水池周
围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合.为使水流形
状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
(1)小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
【答案】(1)符合要求，花坛的半径至少为2m，理由见解析
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过1.5米
【分析】（1）设二次函数顶点式，利用待定系数法求出二次函数解析式，求出抛物线与x轴的交点坐标，
即可得到答案；
（2）令y=1.25，则−(x−0.5) 2+2.25=1.25，解得x=1.5或x=−0.5(舍)，即可得到答案．
【详解】（1）解：符合要求，理由如下：
由题意可得，顶点为(0.5,2.25)，
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∴设解析式为y=a(x−0.5) 2+2.25，
∵函数过点(0,2)，
∴代入解析式得，a(0−0.5) 2+2.25=2，
解得a=−1，
∴解析式为：y=−(x−0.5) 2+2.25，
令y=0，则−(x−0.5) 2+2.25=0，
解得x=2或x=−1(舍去)，
∴花坛的半径至少为2m；
（2）令y=1.25，则−(x−0.5) 2+2.25=1.25，
解得x=1.5或x=−0.5(舍)，
∴为了不影响水流，小水池的半径不能超过1.5米．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，数形结合和准确计算是解题的关键．
类型十一 实验问题
54．（2022·江苏南京·模拟预测）如图是小明“探究拉力F与斜面高度h关系”的实验装置，A、B是水平
面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着重为6N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC向上做匀速直线运动，
经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（m）的一次函数．实验结果如图1、图2所示：
(1)求出F与h之间的函数表达式；
(2)如图3，若该装置的高度h为0.22m，求测量得到拉力F；
(3)若弹簧测力计的最大量程是5N，求装置高度h的取值范围．
【答案】(1)拉力F与高h的函数关系式为：F＝10h+1；
(2)测量得到拉力F为3.2N；
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(3)装置高度h的取值范围：0＜h≤0.4．
【分析】（1）根据题意可知在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（m）的一次函数，因此设拉
力F与高h的函数关系式为：F＝kh+b，然后代入（0.1，2）和（0.2，3）求解即可；
（2）根据（1）所求把h＝0.22代入函数解析式求解即可得到答案；
（3）根据弹簧测力计的最大量程是5N，列出关于h的不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（m）的一次函数，
∴设拉力F与高h的函数关系式为：F＝kh+b，
由图1、图2知函数经过（0.1，2）和（0.2，3）两点，
可得：¿，
解得：¿，
∴拉力F与高h的函数关系式为：F＝10h+1，
答：拉力F与高h的函数关系式为：F＝10h+1；
（2）由（1）知：当h＝0.22m时，F＝10×0.22+1＝3.2（N），
答：测量得到拉力F为3.2N；
（3）∵F≤5，
∴10h+1≤5，
解得：h≤0.4（m），
∴高度h的取值范围为：0＜h≤0.4，
答：装置高度h的取值范围：0＜h≤0.4．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一个函数解析式，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于能
够准确根据题意进行列式求解．
55．（2023·浙江绍兴·统考三模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了
漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏刻的原
理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位h(cm)、时间t(min)的数据，得
到表格．
t（min） … 1 2 3 4 …
h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 …
为了描述水位h(cm)与时间t(min)的关系，现有以下三种函数模型供选择：h=kt+b(k≠0)，
k
h=at2+bt+c(a≠0)，h= (k≠0)．
t
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(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t的值．
【答案】(1)h=0.4t+1.2，见解析
(2)9
【分析】（1）从表中数据可知，水位h(cm)与时间t(min)满足一次函数关系式，设水位h(cm)与时间
t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，再用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）的关系式令h=21，求解t值即可．
【详解】（1）从表中数据以及描出的点的特征可知：每分钟水位增加的高度相同可知， 水位h(cm)与时
间t(min)满足一次函数关系式．
设水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，
代入表中任意两组数据得：
¿，
解得：¿，
∴h=0.4t+1.2，
∴水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2；
画出的函数图像如下：
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（2）由（1）可知，水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2，
当h=4.8时， 4.8=0.4t+1.2
解得：t=9．
答：当水位h为4.8cm时，对应的时间为9min．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键．
56．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，实验室有一个长方体水槽，其中被试验台占据的一部分长方体记
为C，B为长方体C的上表面，A为水槽的底面，在实验前先将水槽内的污水放完，清洗干净后再注满水.
已知放水与注水的速度相同，放水时水槽内的水量V(dm3)与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示，点
M表示放水4分钟时，水面高度刚好到达B面.
(1)求a的值；
(2)求注水时水槽中的水深h(dm)与注水时间x（分钟）之间的函数解析式.
21
【答案】(1)a=
4
5 8 5 21 3
(2)当0≤x≤ 时，d= x；当 <x≤ 时，d=x+
4 5 4 4 4
【分析】（1）利用待定系数法求出放水时V与x的函数关系式，进而即可求解；
21 5
（2）由于放水与注水的速度相同，故从开始注水到水面高度刚好到达B面，需要 −4= 分钟，从B面
4 4
到注满需要4分钟；然后分两种情况，根据高度d=注水的体积除以底面积解答即可.
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【详解】（1）设放水时V与x的函数关系式为V =kx+b，把(0,84),(4,20)代入，得
¿，解得¿，
∴放水时V与x的函数关系式为V =−16x+84，
21
当V =0时，−16x+84=0，解得x= ，
4
21
即a= ；
4
（2）∵放水与注水的速度相同，
21 5
∴从开始注水到水面高度刚好到达B面，需要 −4= 分钟，从B面到注满需要4分钟；
4 4
5 16x 8
∴当0≤x≤ 时，d= = x；
4 10 5
( 5)
5 21 16 x−
当 <x≤ 时， 4 3.
4 4 d= +2=x+
2×8 4
【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键.
57．（2023·山东青岛·统考二模）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体
实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当
4≤x≤10时，y与x成反比例）．
(1)根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式；
(2)问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？
32
【答案】(1)y= (4≤x≤10)；
x
(2)6h．
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可；
（2）根据题意得出y=5在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围．
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m
【详解】（1）由题意可知，当4≤x≤10时，y与x成反比例关系，设y= ．
x
由图象可知，当x=4时，y=10
∴m=4×10=40
40
∴y= (4≤x≤10)
x
32
∴下降阶段的函数表达式为y= (4≤x≤10)
x
（2）由图象可知，当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y=kx．
当x=4时，y=10
∴4k=10
解得k=2.5
∴y=2.5x(0≤x≤0)．
在y=2.5x中，当y=5时，x=2
40
在y= 中，当y=5时，x=8
x
观察图象可知，当2≤x≤8时，血液中药物浓度不低于5微克/毫升，即持续时间为6h．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
58．（2021·浙江杭州·统考一模）某位同学做实验考察电流变化情况时，可以选择若干定值电阻进行并联
U
（假设可以选择任何数值的电阻），已知电源电压U为3V（注：公式I= ，其中I是电流强度、U是电
R
压，R是电阻）
（1）若只选择一个电阻，测得电流强度I为0.1A，求该电阻R的值．
（2）若所选的两个电阻分别为R ,R ，且R +R =20Ω，恰好使总电流强度I最小，求对应电阻R ,R 的
1 2 1 2 1 2
R ⋅R
值．（注并联时总电阻R= 1 2 ）（在求对应R ,R 的值时，用数学的方法书写过程）
R +R 1 2
1 2
【答案】（1）30Ω；（2）R =R =10Ω．
1 2
U
【解析】（1）根据公式I= ，代入即可求解．
R
（2）根据题意写出总电流表达式，利用R +R =20Ω进行化简配方即可求出最小值．
1 2
【详解】解：（1）根据题意知：U=3V，I=0.1A．
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U 3V
∴R＝ ＝ ＝30Ω．
I 0.1A
（2）∵R +R =20Ω．
1 2
R ×R R +R
∴并联时总电阻R=
1 2= 1 2
．
R +R 20
1 2
U
∵I= ．
R
3V
∴总电流强度I= U
=
R
1
+R
2 =
60
=
60
=
60
R 20 R R R (20−R ) −R 2+20R
总 1 2 1 1 1 1
60
= ．
−(R −10) 2+100
1
故当R =10Ω时，总电流强度I取最小值，此时R =10Ω．
1 2
即：恰好使总电流强度I最小，对应电阻R ，R 的值都为10Ω．
1 2
【点睛】本题考查二次函数求最值，关键在于利用已知进行化简配方找到最值，本题属于跨学科之间的题
型，值得考生多加关注．
59．（2023·江苏盐城·校考三模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日 （星期四），
在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数
关系的数学活动”．
第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率．
第四步，计算收集数据如下：
R/Ω … 2 4 6 8 10 …
P/W … 18 9 6 4.5 3 …
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第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以
表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，
实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选）
A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为．
【答案】(1)B
36
(2)P=
R
(3)图见详解
(4)0<R<3.6
【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系；
（2）根据R与P的积是定值发现有问题的一组数据；
（3）将描出的点用光滑的曲线连接即可；
U2
（4）根据p= 计算出R的取值范围．
R
【详解】（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选：B．
（2）通过前四组数据发现：R与P的积都是36定值，发现最后一组有问题；
36
P与R关系式是：P= ，
R
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（3）图象如图：
36
（4）当P>10W时，即 >10，解得0<R<3.6．
R
【点睛】本题考查了反比例函数的具体应用，理解题意是这类题目的突破口．
类型十二 动态问题
60．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现
有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P
的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)求t为多少秒时，△CPQ的面积为为24cm2
(2)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.
【答案】(1)当t为2s或3s秒时，△CPQ的面积为为24cm2.
40
(2)t=3s或t= s时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似
11
【分析】（1）根据路程=速度×时间可知AP=4tcm，CQ=2tcm，CP=(20−4t)cm，再根据三角形的面
积公式列方程即可解答；
（2）根据根据路程=速度×时间可知AP=4tcm，CQ=2tcm，CP=20−4tcm，再根据相似三角形的性
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质列方程即可解答．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，
∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，
∴AP=4tcm/s，CQ=2tcm/s，
∵AC=20cm，
∴CP=(20−4t)cm/s，
1
∴△CPQ的面积为S= ×(20−4t)×2t=24cm2 ，
2
即t2−5t+6=0，
解得：t =2 ，t =3,
1 2
∴当t为2s或3s秒时，△CPQ的面积为为24cm2；
（2）解：设运动时间为t秒，
∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，
∴AP=4tcm，CQ=2tcm，
∵AC=20cm，
∴CP=(20−4t)cm，
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，
CP CQ
∴ = ，
CA CB
20−4t 2t
即 = ，
20 15
解得t=3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，
CP CQ
∴ = ，
CB CA
20−4t 2t
即 = ，
15 20
40
解得t= ．
11
40
∴t=3s或t= s时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
11
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，路程=速度×时间，相似三角形的性质，一元二次方程与几何图形，
一元一次方程与几何图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
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61．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点
P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速
度向点D移动．设移动的时间为ts．
(1)当t为何值时，P、Q两点的距离最小？最小距离是多少？
(2)当t为何值时，P、Q两点的距离是10cm ？
【答案】(1)当t=3s时，PQ最小，PQ的最小值为5cm
(2)当t=3−√3s或3+√3s时，P、Q两点的距离是10cm
【分析】（1）根据矩形的性质及垂直的定义可知四边形PBCQ是矩形，再根据路程=速度×时间列方程解
方程即可解答；
（2）根据矩形的性质及垂直的定义可知四边形BCQE是矩形，再根据路程=速度×时间及勾股定理列方程
解方程即可解答．
【详解】（1）解：∵在矩形ABCD中，
∴∠PBC=∠BCQ=90°，
∵当PQ⊥AB时，PQ最小，
∴∠BPQ=90°，
∴四边形PBCQ是矩形，
∴PB=CQ，PQ=AD，
∵点P以3cm/s的速度向点B移动，
∴AP=3tcm，
∵点Q以2cm/s的速度向点D移动，
∴CQ=2tcm，
∵AB=15cm，
∴PB=(15−3t)cm，
∴15−3t=2t，
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解得：t=3，
∵AD=5cm，
∴AD=PQ=5cm，
∴当t=3时，PQ最小， PQ的最小值为5cm，
（2）解：过点Q作QE⊥AB，垂足为E，
∴∠QEB=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴∠PBC=∠BCQ=90°，AD=BC，
∴四边形BCQE是矩形，
∵AD=5cm，
∴QE=BC=5cm，
∵点P以3cm/s的速度向点B移动，
∴AP=3tcm，
∵点Q以2cm/s的速度向点D移动，
∴CQ=BE=2tcm，
∴PE=AB−AP−BE=(15−5t)cm，
∵PQ=10cm，
∴在Rt△PQE中，(15−5t) 2+52=102，
解得t =3+√3，t =3−√3 ，
1 2
∵AB=15cm，
∴ 当t=3+√3s时，AP=3t≈14.196cm<15cm，
当t=3−√3s时，AP=3t≈3.804cm<15cm，
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∴两个解都符合实际
答：当t=3−√3s或3+√3s时，P、Q两点的距离是10cm．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，路程=速度×时间，一元一次方程与几何问题，一元二
次方程与几何问题，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
−2
62．（2024·广东东莞·校联考一模）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= 的图象交
x
于点A(−1,a)与点B(b,−1)．
(1)求这个一次函数的表达式；
−2
(2)根据图象，直接写出不等式 <kx+b的解集；
x
(3)若动点P是第二象限内双曲线上的点（不与点A重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接
OA，OB，OC，OP，若△POC的面积等于△AOB的面积的三分之一，则点P的横坐标为 ．
【答案】(1)y=−x+1
(2)x<−1或0<x<2
1−√5 1−√13
(3) 或
2 2
【分析】（1）由反比例函数解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）根据图象即可求得；
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2
（3）先求得△AOB的面积，设点P的坐标为(m，− )(m<0)，则C(m,−m+1)，用m表示出△POC的
m
面积，从而列出关于m的方程，解方程即可．
−2
【详解】（1）解：∵点A(−1,a)与点B(b,−1)在反比例函数y= 的图象上，
x
∴−1⋅a=b×(−1)=−2，
∴a=b=2，
∴A(−1,2)，B(2,−1)，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A、B，
∴ ¿，解得¿，
∴一次函数的表达式为y=−x+1；
−2
（2）观察图象可知，不等式 <kx+b的解集为x<−1或0<x<2；
x
（3）在直线y=−x+1中，令y=0，则x=1，
∴D(1,0)，
1 1 3
∴S =S +S = ×1×2+ ×1×1= ，
△AOB △AOD △BOD 2 2 2
2
设点P的坐标为(m，− )(m<0)，则C(m,−m+1)，如图，连接OA，OC，OP，OB，
m
2
∴PC=|− −(−m+1)|，点O到直线PC的距离为−m，
m
∵△POC的面积等于△AOB的面积的三分之一，
1 2 1 3
∴△POC的面积= ×(−m)×|− −(−m+1)|= × ，
2 m 3 2
整理得：m2−m−1=0或m2−m−3=0，
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1±√5 1±√13
解得：m= 或 ，
2 2
又∵m<0
1−√5 1−√13
∴m= 或 ，
2 2
1−√5 1−√13
∴点P的横坐标为 或 ．
2 2
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函
数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．
63．（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，
PA
已知平面上两点A、B，则所有满足 =k（k>0且k≠1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊
PB
数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连
接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？
第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
OC OP
第2步：在OB上取点C，使得OP2=OC⋅OB，即 = ，构造母子型相似△OCP∽△OPB（图
OP OB
2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A(0,2)，点
(3 )
B ,0 ，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．
2
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(1)PA+2PB的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
【答案】(1)2√10
6+9√6 18−3√6
(2)P( , )
10 10
BP OP 1
【分析】（1）在x轴上取点H(6,0)，连接AH，根据相似三角形的判定和性质得出 = = ，结合
HP OH 2
图形得出当点P在AH上时，PA+2PB=PA+HP=AH取得最小值，再由勾股定理求解即可；
1
（2）设直线AH的解析式为y=kx+b，利用待定系数法确定函数解析式，设P(x,− x+2)，然后利用勾
3
股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，在x轴上取点H(6,0)，连接AH，
(3 )
∵点A(0,2)，点B ,0 ，
2
3
∴AO=2,OB= ,OH=6，
2
3
∵OB 2 1 OP 3，
= = = =
OP 3 2 OH 6
∠BOP=∠POH，
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∴△BOP∽△POH，
BP OP 1
∴ = = ，
HP OH 2
∴HP=2BP，
∴PA+2PB=PA+HP，
当点P在AH上时，PA+2PB=PA+HP=AH取得最小值，
∴AH=√22+62=2√10，
故最小值为2√10；
（2）∵A(0,2)，H(6,0)，
∴设直线AH的解析式为y=kx+b，将点代入得：
¿，解得¿，
1
∴y=− x+2，
3
1
设P(x,− x+2)，
3
∵⊙O半径为3，
1 2
∴x2+(− x+2) =9，
3
6+9√6
解得：x= （负值舍去），
10
18−3√6
∴y= ，
10
6+9√6 18−3√6
∴P( , ) ．
10 10
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作
出相应辅助线是解题关键．
64．（2023·广东清远·统考三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不
k
与A，B重合），过点F的反比例函数y= (x>0)的图象与BC边交于点E．
x
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(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
3 (3 )
【答案】(1)y= ，E ,2
x 2
3
(2)k=3时，S 最大为
△CEF 4
【分析】（1）先利用坐标与图形求得点F坐标，再利用待定系数法求解k值即可求解；
（2）易得E (k ,2 ) ，F ( 3, k) ，利用坐标与图形和三角形的面积公式得到S ==− 1 (k−3) 2+ 3 ，利
2 3 △EFC 12 4
用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B(3，2)，
∵F为AB的中点，
∴F(3，1)，
k
∵点F在反比例函数y= (k>0)的图象上，
3
∴k=3，
3
∴该函数的解析式为y= (x>0)，
x
3
把y=2代入y= 中，
x
3
得x= ，
2
(3 )
∴E ,2 ；
2
(k ) ( k)
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E ,2 ，F 3, ，
2 3
1 1 ( 1 ) 1
∴S = BF⋅CE= × 2− k × k
△EFC 2 2 3 2
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1 1
= k− k2
2 12
1 3
=− (k−3) 2+ ，
12 4
∵在边AB上，不与A，B重合，
k
∴0< <2，则0<k<6，
3
3
∴当k=3时，S有最大值，最大值为 ．
4
【点睛】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、二次
函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解答的关键．
65．（2023·吉林长春·校考模拟预测）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=6cm．动点P
从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交直线AC于点Q，以PQ为边向
左侧作矩形PQMN，使QM=√3PQ．设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间
为t(s)(0<t<6)．
(1)当点Q在边AC上时，求QM的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点M在边BC上时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．
(4)连接BQ，沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出t
的值．
【答案】(1)QM=3t
6
(2)t=
7
(3)S=¿
6 3 12
(4)t= 或t= 或t= ．
7 2 5
【分析】（1）由题意可知：AP=tcm，再根据特殊角的锐角三角函数即可求出PQ=√3tcm，结合题意即
得出QM=3tcm；
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（2）画出图形，由矩形的性质得出MN=PQ=√3tcm，PN=QM=3tcm．再根据特殊角的锐角三角函
数可求出BN=MN=3tcm，由AB=AP+PN+BN，列出关于t的等式，解出t即可；
6
（3）分类讨论：①当0<t≤ 时，此时，矩形PQMN与ΔABC重叠部分图形的面积S=矩形PQMN的面
7
6 3
积，利用矩形的面积公式解答即可；②当 ≤t< 时，此时，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积
7 2
S=五边形PQEFN的面积，利用直角三角形的边角关系定理求得ME，MF的长度，利用
3
S=S −S 解答即可；③当 ≤t≤6 时，此时，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积S为
矩形PQMN △MEF 2
△PEB的面积，利用直角三角形的边角关系定理求得PE的长度，利用三角形的面积公式解答即可；
（4）分类讨论：①当点P在C点左侧时，根据题意可判断MG=NG，即易证△QMG≌△BNG(ASA)，得
出QM=BN=PN=3tcm，最后列出关于t的等式，解出t即可；②当点Q和点C重合时，即得出
1
AB=AP+BP，列出关于t的等式，解出t即可；③当点P在C点右侧时，根据题意可判断PB=BN= PN，
2
3
从而可求出 tcm，最后根据AB=AP+BP，列出关于t的等式，解出t即可．
2
【详解】（1）解：由题意可知AP=tcm，
∵∠A=60°，PQ⊥AB，
∴PQ=tan60°×AP=√3t(cm)，
∵QM=√3PQ，
∴QM=3tcm；
（2）解：如图，
∵四边形PQMN为矩形，
∴MN=PQ=√3t，PN=QM=3t，
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
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MN
∴BN= =3t，
tan30°
∴AB=AP+PN+BN=(t+3t+3t)，
∵AB=6cm，
∴t+3t+3t=4，
6
解得：t= ；
7
6
（3）解：①当0<t≤ 时，此时，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积S=矩形PQMN的面积，
7
∴S=PQ⋅QM=3t×√3t=3√3t2；
6 3
②当 ≤t< 时，如图，
7 2
设矩形PQMN与BC交于点E，F，此时，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积S=五边形PQEFN
的面积，
由题意：∠A=60°，AB=3，AP=t，QM=3t，
∴AC=3，AQ=2t，
∴CQ=3−2t，
∵QM∥PN，
∴∠CQE=∠A=60°，
CQ
∴EQ= =6−4t，
cos60°
∴EM=QM−EQ=3t−(6−4t)=7t−6．
∵∠MEF=∠CEQ=30°，
√3
∴MF=ME⋅tan30°= ⋅(7t−6)，
3
∴S=S −S
矩形PQMN △MEF
1
=3√3t2− ME⋅MF
2
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1 √3
=3√3t2− × ×(7t−6) 2
2 3
31
=− t2+14√3t−6√3，
6
31
∴ S=− √3t2+14√3t−6√3；
6
3
③当 ≤t≤6 时，如图，设PQ交BC于点E，此时，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积S为
2
△PEB的面积，
由题意：∠A=60°，AB=3，AP=t，
∴BP=AB−AP=6−t，∠B=30°，
√3
∴PE=BP⋅tan30°= (6−t)，
3
∴S=S
△PEB
1
= BP⋅PE
2
1 √3
= ×(6−t)× (6−t)
2 3
√3
= t2−2√3t+6√3．
6
综上，S与t之间的函数关系式为：S=¿．
（4）解：①如图，当点P在C点左侧时，如图，
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∵沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，
∴MG=NG，
又∵∠QMG=∠BNG=90°，∠QGM=∠BGN，
∴△QMG≌△BNG(ASA)，
∴QM=BN=PN=3t，
∴AB=7t，
∴7t=6，
6
解得：t= ；
7
②如图，当点Q和点C重合时，此时，点N与点B重合，
∴PB=QM=3t，
∵AB=AP+BP=t+3t=4t，
∴4t=6，
3
解得：t= ；
2
③如图，当点P在C点右侧时，此时，点Q在AC的延长线上，
∵沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，
1
∴PB=BN= PN，
2
∵PQ=√3t，
∴PN=QM=√3PQ=3t，
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3
∴PB= t，
2
5
∵AB=AP+BP= t，
2
5
∴ t=6，
2
12
解得：t= ．
5
6 3 12
综上可知，t的值为 或 或 ．
7 2 5
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系
定理，分类讨论的思想方法，此题是动点问题，利用含t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2023·河南周口·统考二模）某商场购进了一批A，B两种品牌的白酒，且两种白酒的瓶数相同，其中
A种品牌的白酒花费了5460元，B种品牌的白酒花费了5040元，已知每瓶A种品牌的白酒A种品牌的白酒
比B种品牌的白酒价格贵30元，设A种品牌的白酒每瓶的价格为x元，根据题意可列方程（ ）
5460 5040 5460 5040 5460 5040 5460 5040
A． = B． = C． = D． =
x x+30 x x−30 x−30 x x+30 x
【答案】B
【分析】设A种品牌的白酒每瓶的价格为x元，则B种品牌的白酒每瓶的价格为(x−30)元，根据“两种白
酒的瓶数相同”即可列出分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设A种品牌的白酒每瓶的价格为x元，则B种品牌的白酒每瓶的价格为(x−30)元，
5460 5040
由题意可得： = ．
x x−30
故选：B．
2．（2023·河北保定·统考一模）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，
已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可
以盛酒38斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．
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根据题意，可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，根据“6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛，
5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛”即可列出二元一次方程组．
【详解】解：∵6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛，
∴6x+4 y=48，
∵5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛，
∴5x+3 y=38，
∴根据题意可列方程组¿，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，正确列出二元一次方程组是解此题的
关键．
3．（2023·河南周口·统考二模）如图，甲所示的是一款酒精浓度监测仪的简化电路图，其电源电压保持不
变，R 为定值电阻，R为酒精气体浓度传感器(气敏电阻)，R的阻值与酒精浓度的关系如图乙所示，当接
0
通电源时，下列说法正确的是（ ）
A．当酒精浓度增大时，R的阻值增大
B．当酒精浓度增大时，电压表的示数与电流表的示数的比值不变
C．当酒精浓度增大时，电流表的示数变小
D．当酒精浓度增大时，电压表的示数变小
【答案】B
【分析】由图甲知定值电阻于传感电阻串联，电压表测量的是定值电阻的电压，根据图乙知，当酒精浓度
增大时，传感R的阻值减小，由欧姆定律可得电流中的变化，定值电阻两端电压的变化，再由串联电路的
特点可得传感电阻两端电压的变化．
本题主要考查了物理知识与反比例函数的综合应用，根据反比例函数的图象弄清传感器电阻于酒精浓度的
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关系是解决问题的关键．
【详解】解：A.由图乙知R的阻值与酒精浓度是反比例函数，且图像在第一象限，
∴R的阻值随酒精浓度增大而减小，
∴当酒精浓度增大时，R的阻值减小，故本选项不符合题意；
B.由图甲可知，定值电阻R与气敏电阻串联，电压表测量定值电阻R两端电压，
∴电压表的示数与电流表的示数的比值是定值电阻R的值，故本选项符合题意；
C.∵当酒精浓度增大时，R的阻值减小，根据欧姆定律知，电路电流增大，电流表示数增大，故本选项不
符合题意；
D.当酒精浓度增大时，电路电流增大，电流表示数增大，据欧姆定律知，定值电阻R两端电压增大，故本
选项不符合题意．
故选：B．
4．（2023·广东湛江·统考一模）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲
车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A地的距离y(km)与甲行驶时间
x(h)的函数图象．根据图中提供的信息，有下列说法：①乙车速度是80km/h；②m的值为1；③a的值为
7
40；④乙车比甲车早 h到达B地．其中正确的有（ ）
4
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了就函数图象获取信息，求一次函数的表达式．根据图象可得乙车形式120千米用
(3.5−2)小时，即可判断①；根据甲车途中休息了0.5h，即可求出m的值，即可判断②；求出甲车的速度，
即可判断③；用待定系数法求出设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间x(h)的函数关系式为y=40x−20，
把y=260代入y=40x−20求出x=7，即甲车用7小时到达，再求出乙车行驶260km需要
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7
260÷80=3.25(h)，即可求出乙车比甲车早 h到达B地，即可判断④．
4
【详解】解：120÷(3.5−2)=80（千米/小时），
即乙车速度是80km/h，故①正确；
由题意，得m=1.5−0.5=1．故②正确；
120÷(3.5−0.5)=40(km/h)，则a=40，
故③正确；
设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间x(h)的函数关系式为y=kx+b，
把(1.5,40),(3.5,120)代入得：
¿，
解得¿，
∴y=40x−20，
根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，
把y=260代入y=40x−20得：260=40x−20，
解得：x=7，
∵乙车的行驶速度：80km/h，
∴乙车行驶260km需要260÷80=3.25(h)，
7
∴7−(2+3.25)= (h)，
4
7
∴乙车比甲车早 h到达B地．故④正确．
4
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：A．
5．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，边长为4，∠A=60°，垂直于AD的直
线EF从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线P与菱形ABCD的两边分别交
于点E，F（点E在点F的上方），若△AEF的面积为y，直线EF的运动时间为x秒(0≤x≤4)，则能大致
反映y与x的函数关系的图象是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】当0≤x≤2时，利用三角函数求出EF=AFtan60°=√3x，列出y与x的函数关系式；当2<x≤4
时，EF为常数=2√3，列出y与x的函数关系式．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，边长为4，∠A=60°，
∴当E和点B重合时，AF=2，
当0≤x≤2时，EF=AFtan60°=√3x，
1 1 √3
∴S = AF⋅EF= x⋅√3x= x2 ，
△AEF 2 2 2
√3
即y= x2 ，
2
∴y与x的函数是二次函数，
∴函数图象为开口向上的二次函数；
②当2<x≤4时，EF为常数=2√3，
1 1
∴S = AF⋅EF= x×2√3=√3x，
△AEF 2 2
即y=√3x，
∴y与x的函数是正比例函数，
∴函数图象是一条直线，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，三角形面积，二次函数图像，一次函数图像，菱形的性质
等知识，能根据这些知识进行计算是解题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．
二、填空题
6．（2023·广东清远·统考模拟预测）苹果进价是每千克6元，销售中估计有10%的苹果正常损耗．商家把
售价至少定为 元，利润才能不低于20%．
【答案】8
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【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中估计有10%的苹果正常损耗，故每千克苹果损耗
后的价格为x(1−10%)，根据题意列出不等式即可．
【详解】解：设商家把售价应该定为每千克x元，
根据题意得：x(1−10%)−6≥6×20%，
解得：x≥8，
即：商家把售价应该至少定为每千克8元．
故答案是：8．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据
“去掉损耗后的售价−进价≥进价×20%”列出不等式即可求解．
7．（2023·北京丰台·二模）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每
辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表．
物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车运载量/吨 6 5 4
每吨所需运费/元 120 160 100
如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运
费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为 元．
【答案】 9,2,9 11680
【分析】设x辆汽车装运食品，y辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为(20−x−y)，
根据三种物资共100吨列出等式，求出y=−2x+20，再根据每种物资至少装运1辆车，求出x的取值范围，
最后列出总费用w与x的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设x辆汽车装运食品，y辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为(20−x−y)，
由题意，得：6x+5 y+4(20−x−y)=100，
∴y=−2x+20．
∴20−x−y=20−x−(−2x+20)=x．
∵每种物资至少装运1辆车，
∴¿．
19
解得：1≤x≤ ，
2
设总费用为w，则
w=120×6x+160×5(−2x+20)+100×4x=−480x+16000，
∵k=−480<0，
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∴w随x的增大而减小．
19
∵1≤x≤ ，且为整数，
2
∴当x=9时，总费最少，最少费用为w=−480×9+16000=11680元．
此时y=−2x+20=2．
故答案为：9,2,9；11680．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，
也是解决本题的突破点，利用一次函数的增减性求出最小值是本题的难点．
8．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展
k
示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背AB是双曲线y= (k>0)的一部分，椅面BD是一条
x
线段，点B(20,32)，沙发腿DE⊥x轴、BC与x轴夹角为α．请你根据图形解决以下问题：
（1）k＝ ；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F．已知CF=4cm，DE=40cm，tanα=4，tanD=5．则
①A点坐标为 ；
②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是 cm3（精确到万位，并用科学
记数法表示）．
【答案】 640 (8,80) 2.5×105
【分析】（1）通过待定系数法可直接求出k的值；
（2）过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作BN⊥DE轴，垂足为N，通过tanα=4可求出CM=8
640
cm，当x=8时，y= =80，即可求得A点的坐标，通过tanD=5求出BN=40cm，即可求出FE，从而
8
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求出体积．
【详解】解：（1）∵B(20,32)，
k
∴32= ，
20
∴k=640，
故答案为：640；
（2）过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作BN⊥DE轴，垂足为N，
BM
①∵tanα=4，tanα= ，BM=32，
CM
∴CM=8cm，
∵OM=20，FC=4,
∴OF=OM−CM−FC=20−4−8=8cm，
640
∵双曲线y= ，
x
640
∴当x=8时，y= =80，
8
∴A(8,80)，
故答案为：(8,80)；
BN
②∵DN=DE−NE=DE−BM=40−32=8cm，tanD= =5，
DN
BN
∴ =5，
8
∴BN=40cm，
∴FE=BN+FC+CM=40+4+8=52cm，
∴包装箱的体积至少为60×AF×FE=60×80×52=249600cm3，
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采用科学记数法，且精确到万位得2.5×105 cm3，
故答案为：2.5×105．
【点睛】本题考查反比例函数和直角三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握反比例函数和直角三角函数
的相关知识．
三、解答题
9．（2023·广西贵港·统考二模）某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，
已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
【答案】(1)每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生
(2)①方案1：租小客车2辆，大客车8辆；方案2：租小客车6辆，大客车5辆；方案3：租小客车10辆，
大客车2辆．②最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用,二元一次方程的应用：
（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，根据题意可得等量关系：3辆小客车和1辆大客车每
次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，根据等量关系列出方程组，再
解即可；
（2）①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=380，然后求出整数解即可；②根据①所
得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元分别计算出租金即可．
【详解】（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意得：¿，
解得：¿.
答：每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生．
（2）解：①依题意得：30m+40n=380，
38−3m
∴n= ，
4
又∵m，n均为整数，
∴¿或¿或¿，
∴共有3种租车方案，
方案1：租小客车2辆，大客车8辆；
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方案2：租小客车6辆，大客车5辆；
方案3：租小客车10辆，大客车2辆．
②方案1所需租金为200×2+300×8=2800（元）；
方案2所需租金为200×6+300×5=2700（元）；
方案3所需租金为200×10+300×2=2600（元）．
∵2800>2700>2600，
∴最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元．
10．（2023·山东泰安·统考三模）某校为美化校园，计划对面积为2000m2的区域进行绿化，安排甲、乙两
个工程队完成，已知甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成绿化的面积的2倍，并且甲队独立完成
500m2绿化面积比乙队独立完成550m2的绿化面积少用6天．
(1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.5万元，乙队为0.3万元，要使这次的绿化总费用不超过10万元，
至少应安排甲队工作多步天？
【答案】(1)甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为50m2
(2)至少应安排甲队工作20天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
列出关于x的分式方程；（2）根据总费用=需付给甲队总费用+需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不
超过10万元，列出关于y的一元一次不等式．
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据甲队独
立完成500m2绿化面积比乙队独立完成550m2的绿化面积少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之并检
验后，即可得出结论；
2000−100 y
（2）设安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作 =40−2y天，根据总费用=需付给甲队总费
50
用+需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过10万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即
可得出y的取值范围，取其内的最小正整数即可．
【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，
550 500
根据题意得： − =6，
x 2x
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
∴2x=100，
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答：甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为50m2．
2000−100 y
（2）设安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作 =40−2y天，
50
根据题意得：0.5 y+0.3(40−2y)≤10，
解得：y≥20，
答：至少应安排甲队工作20天．
11．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，一阵拱桥的跨度OA长为12m，拱桥顶部距
离水面的高度为4m，现在以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)抛物线顶点P的坐标是______，并求抛物线的表达式．
(2)在（1）条件下，直接写出拱桥倒影所在抛物线的函数表达式______．
(3)一艘游船宽6米，载客后水面以上高为3.2米，请问能否从桥下通过?
1
【答案】(1)P(6,4)，y=− (x−6) 2+4
9
1
(2)y= (x−6) 2−4
9
(3)货船不能顺利通过此桥洞，理由见解析
【分析】（1）根据题目中给出的拱桥的跨度OA长为12m，拱桥顶部距离水面的高度为4m，先确定顶点
坐标；再结合所示坐标系设出对应的函数解析式，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据倒影与拱桥关于轴对称，求出倒影的解析式即可；
（3）把x=3代入解析式求出即可．
【详解】（1）解：因为拱桥的跨度OA长为12m，拱桥顶部距离水面的高度为4m，
又∵以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
∴P(6,4)，
故答案为：P(6,4)；
根据题意设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+4，
把A(12,0)代入解析式得：36a+4=0，
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1
解得：a=− ，
9
1
∴函数表达式为y=− (x−6) 2+4；
9
（2）解：∵抛物线在水面中的倒影与抛物线关于x轴对称，
∴倒影所在抛物线开口向上且顶点为(6，−4)，
1
∴倒影所在抛物线函数表达式为y= (x−6) 2−4；
9
1
故答案为：y= (x−6) 2−4；
9
（3）解：货船不能顺利通过此桥洞，理由如下：
因为船宽6米，当船行驶到拱桥中心时，离对称轴左右各3米，
又因为抛物线对称轴为直线x=6 ，
所以由题意得：把x=3代入表达式，得：
1
y=− (3−6) 2+4=3<3.2，
9
∴ 货船不能顺利通过此桥洞．
【点睛】本题考查二次函数的应用，当桥洞的拱形是抛物线关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
12．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量，可以帮助农民
分配协调农产品，推动全国统一大市场尽快构建完成，给老百姓带来真正的实惠．某供销社指导农民生产
和销售当地特产，对该特产的产量与市场需求，成本与售价进行了一系列分析，发现该特产产量y （单
产量
位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的一次函数，即y =200x−100；而市场需求量y （单位：
产量 需求
吨）是关于售价x（单位：元/千克）的二次函数，部分对应值如下表．
售价x（元/千克） … 2 3 4 5 …
需求量y 102 98
需求 … 1020 900 …
（吨） 0 0
同时还发现该特产售价x（单位：元/千克），成本z（单位：元/千克）随着时间t（月份）的变化而变化，
1 3
其函数解析式分别为x=t+1，z= t2+ ．
8 2
(1)直接写出市场需求量y 关于售价x的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；
需求
(2)哪个月份出售这种特产每千克获利最大？最大值是多少？
(3)供销社发挥职能作用，避免浪费，指导农民生产，若该特产的产量与市场需求量刚好相等，求此时出售
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全部特产获得的总利润．
【答案】(1)y =−20x2+100x+900
需求
3
(2)四月份出售这种特产每千克获利最大，最大值为 （元/千克）
2
(3)1.35×106（元）
【分析】（1）根据表中的数据运用待定系数法即可解答；
（2）根据每千克获利=售价x −成本z即可解答；
（3）根据y = y 列出一元二次方程，解之即可．
产量 需求
【详解】（1）解：设y =ax2+bx+c，
需求
将(2,1020)，(3,1020)，(4,980)代入得：
¿，
解得：¿，
∴y =−20x2+100x+900，
需求
经检验，表内数据符合该解析式，
∴市场需求量y 关于售价x的函数解析式为y =−20x2+100x+900；
需求 需求
（2）解：设每千克获利为w（元/千克），
则w=x−z=(t+1)−
(1
t2+
3)
8 2
1 1
=− t2+t−
8 2
1 3
=− (t−4) 2+ ，
8 2
3
∴当t=4时，w有最大值，最大值为 ，
2
3
∴四月份出售这种特产每千克获利最大，最大值为 （元/千克）；
2
（3）解：令y = y ，即200x−100=−20x2+100x+900，
产量 需求
解得：x=5或−10（舍去），
此时x=t+1=5，y = y =900，
产量 需求
∴t=4，
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1 3 7
∴z= t2+ = ，
8 2 2
∴此时出售全部特产获得的总利润为900× ( 5− 7) ×1000=1350000=1.35×106 （元）．
2
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求二次函数的最值，二次函数的应用等知识点，解题的关键是
熟练掌握以上知识点并厘清题中的等量关系．
13．（2023·河南周口·校考三模）如图1是一个倾斜角为α的斜坡的截面示意图．已知斜坡顶端A到地面的
1
距离AB为2m,tanα= ．为了对这个斜坡上的绿植进行喷灌，在斜坡底端C处安装了一个喷头D，喷头D
3
到地面的距离DC为0.5m，水珠在距喷头D水平距离4m处达到最高，喷出的水珠可以看作抛物线的一部分．
建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，其中喷出水珠的竖直高度为y
（单位：m）（水珠的竖直高度是指水珠到水平地面的距离），水珠与AB的水平距离为x（单位：m）．
(1)求抛物线的表达式．
(2)斜坡正中间有一棵高1m的树苗，通过计算判断从喷头D喷出的水珠能否越过这棵树苗．
4
(3)若有一个身高为 m的小朋友经过此斜坡，想要不被淋湿衣服，他到喷头D的水平距离s(m)应在什么范
3
围内？
1 1
【答案】(1)y=− x2+ x+2
8 2
(2)从喷头D喷出的水珠能越过这棵树苗
10
(3)2<s<
3
【分析】（1）根据三角函数关系得到CB=6m，再由二次函数对称轴公式得到b=−4a，然后再利用待定
系数法即可解得；
（2）通过比较树苗的最高点与相应位置的抛物线函数值大小关系即可判断结果；
（3）利用s表示出对应函数值和小朋友高度值，根据题意列出不等式求解即可；
【详解】（1）解：由题意可知，A(0,2)
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AB 2
CB= = =6m
tanα 1 ，
3
( 1)
则点D坐标为D 6, ，
2
b
∵ − =6−4=2，
2a
∴ b=−4a，
将点A坐标代入y=ax2+bx+c得c=2，则y=ax2−4ax+2
1
将点D坐标代入y=ax2−4ax+2得 =36a−24a+2
2
1 1
解得a=− ，则b= ，
8 2
1 1
∴抛物线的表达式为y=− x2+ x+2；
8 2
1 1
（2）解：如图过BC中点F作BC垂线交AC于点E，则EF= AB=1m，BF= BC=3m，
2 2
1 1 1 3 19
将x=3代入y=− x2+ x+2得，y=− ×9+ +2=
8 2 8 2 8
19 3
∵ =2 >1+1，
8 8
∴从喷头D喷出的水珠能越过这棵树苗；
（3）解：如图过BC上一点H作BC垂线交AC于点G，
1 1 1 1 4
设CH=s，则BH=6−s，HG= s，由题意可得− (6−s) 2+ (6−s)+2> s+
3 8 2 3 3
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化简得3s2−16s+20<0，
10
因式分解得(3s−10)(s−2)<0，解得2<s< ，
3
10
∴ 2<s< ．
3
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将二次函数与三角函数相结合解决实际问题，列解二
次不等式等知识，熟练运用相关知识，并根据题意解决实际问题是解题关键．
103
