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专题 13 二次函数性质压轴
目 录
题型01 待定系数法求二次函数解析式
题型02 二次函数的图象与性质
题型03 二次函数图象与各项系数的关系
题型04 根据二次函数的对称性求解
题型05 利用二次函数的性质求最值
题型06 二次函数与坐标轴交点问题
题型07 二次函数与不等式
题型08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
题型09 函数图象判断综合
题型10 二次函数与实际问题
（时间：60分钟）
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题型 01 待定系数法求二次函数解析式
1．（2024·广东佛山·一模）二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点坐标分别是(−1,0)，(6,0)，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；
(2)若该二次函数的最小值为−4，求b−c的最大值．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知拋物线， y=x2+bx+c经过原点O，且与x轴交于点
A(4,0)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)若抛物线向上平移m（m>0）个单位长度后，平移后的顶点到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m
的取值范围．
1
3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线y=− x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，
2
点G为抛物线的顶点，
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)连接AC，将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出m的取值范围．
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题型 02 二次函数的图象与性质
4．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x ,y )，B(x ,y )是抛物线y=x2−2tx+1上
1 1 2 2
任意两点．
(1)求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
(2)①当x=−1，x =2时，y ≥ y ，求t的取值范围；
2 1 2
②若对于−10；②−1≤a≤− ；③对于
3
任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．
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其中正确结论为 （只填序号）
9．（2023·山东青岛·三模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①
3a+2b+c<0；②3a+c0 ②a+c2，则y >y ；其中正确的结论有 ．
1 2 1 2 1 2
11．（2023·山东青岛·二模）如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标
y =ax2+bx+c(a≠0)
1
A(1,3)，与x轴的一个交点B(4,0)，直线y =mx+n(m≠0)与抛物线交于A、B两点，下列结论：①
2
2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；④方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数
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根；⑤当10时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18，求相应的t和x的值．
14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b，其中
a−b=4．
(1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函数的表达式．
(2)若 、 为此二次函数图象上两个不同点，当 时， ，求a的值．
(x ,y ) (x ,y ) x +x =2 y = y
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)若点(−1,t)在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．
15．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线，L:y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交
于点C，且抛物线L的对称轴为直线x=1．
(1)抛物线的表达式；
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(2)若抛物线L'与抛物线L关于直线x=m对称，抛物线L'与x轴交于点E，F两点（点E在点F左侧），要使
S =2S ，求所有满足条件的抛物线L'的表达式．
△ABC △EBC
题型 05 利用二次函数的性质求最值
16．（2024·安徽芜湖·一模）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；
( 1)
(3)当自变量x满足m≤x≤m+1 m≥ 时，此函数的最大值为p，最小值为q，求w=p+q的最小值，并
2
求出对应的m的值．
17．（2024·江苏南京·一模）已知函数y=mx2−(m−2)x−2（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．
(2)不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 ．
(3)在−2≤x≤2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值．
18．（2023·贵州遵义·一模）已知二次函数y=x2+2ax−4（a为常数）．
(1)若二次函数的图象经过点(1,−5)，求a的值；
(2)在（1）的条件下，当−1≤x≤4时，请求出二次函数的最大值和最小值；
(3)当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为5，求a的值．
19．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上．
(2,y ) y=x2+bx
1
(1)当b<−1时，试说明y <2．
1
(2)若点(1,m)和(−2,n)在该抛物线上，且mn>0，求b的取值范围．
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(3)当−1≤x≤4时该抛物线的最小值是−2，求b值．
20．（2023·河南驻马店·二模）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点(0,−3)，(6,−3)．
(1)求b，c的值；
(2)当0≤x≤4时，求y 的最大值；
1
(3)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，请直接写出m的值．
题型 06 二次函数与坐标轴交点问题
21．（2023·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2−2ax+3（a为常数，a≠0）．
(1)若a<0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点．
(2)若a=−1，求证：当−10．
(3)若该函数的图像与x轴有两个公共点 ， ，且 ，则a的取值范围是 ．
(x ,0) (x ,0) −1−x2+2x+c的解集．
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(3)平行于x轴的直线l交抛物线于点 ， ，交直线 于点 ，若 ，求
P(x ,y ) Q(x ,y ) AC N(x ,y ) x 8），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，
简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过A(0,6)的一次函数y 的图象与
1
经过B(0,2)的一次函数y 的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y= y ⋅y 的大致图象是
2 1 2
（ ）
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A． B． C． D．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于x的二次函数y=(ax+1)(x−a−1)的图象与x轴的一个交点坐标
为(n,0)．若10时，y随x的增大而减小
C．抛物线与y轴交点的坐标是(0,4) D．该抛物线的顶点坐标是(1,5)
4．（2024·浙江·模拟预测）关于二次函数y=a(x−1)(x−3)+2(a<0)的下列说法中，正确的是（ ）
A．无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过(1,0)和(3,0)这两个定点
B．当x=2时，该二次函数取到最小值
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当x<0或x>2时，y<2
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n(m0)沿直线y= x+1方向平移√5个单位后，其顶
2
点仍在原抛物线上，则a是（ ）
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1 1 2
A．2 B． C． D．
5 4 5
二、填空题
8．（2024·山东济南·二模）如图，抛物线C 的解析式为y=−x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到
1
图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为
．
9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，(3−m,m)，直
线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C的横坐标为 ．
10．（2023·湖北武汉·二模）函数 （b为常数）有下列结论：①图像具有对称性，对称轴是
y=|x2+2x+b|
直线 ；②当 时，函数有最小值 ；③若 ，点 ， 在该函数图像
x=−1 x=−1 |b−1| b=−3 P (x ,y ) P (x ,y )
1 1 1 2 2 2
上，则当 时， ；④若关于x的方程 有四个实数根，则这四个根之
x <−3<−1
