关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 13 二次函数性质压轴
目 录
题型01 待定系数法求二次函数解析式
题型02 二次函数的图象与性质
题型03 二次函数图象与各项系数的关系
题型04 根据二次函数的对称性求解
题型05 利用二次函数的性质求最值
题型06 二次函数与坐标轴交点问题
题型07 二次函数与不等式
题型08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
题型09 函数图象判断综合
题型10 二次函数与实际问题
（时间：60分钟）
1 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 01 待定系数法求二次函数解析式
1．（2024·广东佛山·一模）二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点坐标分别是(−1,0)，(6,0)，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；
(2)若该二次函数的最小值为−4，求b−c的最大值．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知拋物线， y=x2+bx+c经过原点O，且与x轴交于点
A(4,0)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)若抛物线向上平移m（m>0）个单位长度后，平移后的顶点到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m
的取值范围．
1
3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线y=− x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，
2
点G为抛物线的顶点，
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)连接AC，将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出m的取值范围．
2 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 02 二次函数的图象与性质
4．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x ,y )，B(x ,y )是抛物线y=x2−2tx+1上
1 1 2 2
任意两点．
(1)求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
(2)①当x=−1，x =2时，y ≥ y ，求t的取值范围；
2 1 2
②若对于−1<x <0，1<x <2，都有y <y ，则t的取值范围为 ．
1 2 1 2
5．（2023·云南保山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，
抛物线y=ax2+bx−5a经过点A，将点B向右平移6个单位长度，得到点C．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求出a的取值范围．
6．（2024·浙江·一模）在二次函数y=−x2+ax+1中(a≠0)，
(1)当a=2时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②当0≤x≤3时，求y的取值范围；
(2)若A(a−2,b)，B(a,c)两点都在这个二次函数的图象上，且b<c，求a的取值范围．
7．（2024·浙江杭州·模拟预测）顶点为D的二次函数y=ax2+bx+c(a<0)满足以下三个条件的任意两个：
①其与y轴的交点为(0，1)；
②其与x轴的交点为(−1，0)和(3，0)；
③该函数其最大值为12
(1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式；
(2)若存在直线y=−1，二次函数上的存在一个点A，使得AD等于A到直线的距离，求出A点的坐标．
题型 03 二次函数图象与各项系数的关系
8．（2023·山东青岛·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，顶点坐标(1，n)，与
2
y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（包含端点），则下列结论：①3a+b>0；②−1≤a≤− ；③对于
3
任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．
3 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
其中正确结论为 （只填序号）
9．（2023·山东青岛·三模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①
3a+2b+c<0；②3a+c<b2−4ac；③方程2ax2+2bx+2c−4=0没有实数根；④
m(am+b)+b<a(m≠−1)，其中正确结论的是 ．（填序号）
10．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：
； ； ； ； ， 是抛物线上两点（
①abc>0 ②a+c<b ③b2−4ac<0 ④2c<3b ⑤M(x ,y ) N(x ,y )
1 1 2 2
x <x ），若x +x >2，则y >y ；其中正确的结论有 ．
1 2 1 2 1 2
11．（2023·山东青岛·二模）如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标
y =ax2+bx+c(a≠0)
1
A(1,3)，与x轴的一个交点B(4,0)，直线y =mx+n(m≠0)与抛物线交于A、B两点，下列结论：①
2
2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；④方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数
4 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
根；⑤当1<x<4时，有y <y ，其中正确的是 （填序号）
2 1
题型 04 根据二次函数的对称性求解
12．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
xOy A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 2 2
上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 ．
y=ax2+bx+c(a<0) x=m
(1)若对于x =−1，x =−2，有y = y ，求m的值．
1 2 1 2
(2)若对于−1≤x <0，x =0，都有y ≥ y ，求m的取值范围．
1 2 1 2
1
13．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数y=− x2+bx+c的图象经过原点O和点A(8+t,0)，其中
4
t≥0．
(1)当t=0时．
①求y关于x的函数解析式；求出当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
②当x=a和x=b时(a≠b)，函数值相等，求a的值．
(2)当t>0时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18，求相应的t和x的值．
14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b，其中
a−b=4．
(1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函数的表达式．
(2)若 、 为此二次函数图象上两个不同点，当 时， ，求a的值．
(x ,y ) (x ,y ) x +x =2 y = y
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)若点(−1,t)在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．
15．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线，L:y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交
于点C，且抛物线L的对称轴为直线x=1．
(1)抛物线的表达式；
5 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若抛物线L'与抛物线L关于直线x=m对称，抛物线L'与x轴交于点E，F两点（点E在点F左侧），要使
S =2S ，求所有满足条件的抛物线L'的表达式．
△ABC △EBC
题型 05 利用二次函数的性质求最值
16．（2024·安徽芜湖·一模）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；
( 1)
(3)当自变量x满足m≤x≤m+1 m≥ 时，此函数的最大值为p，最小值为q，求w=p+q的最小值，并
2
求出对应的m的值．
17．（2024·江苏南京·一模）已知函数y=mx2−(m−2)x−2（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．
(2)不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 ．
(3)在−2≤x≤2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值．
18．（2023·贵州遵义·一模）已知二次函数y=x2+2ax−4（a为常数）．
(1)若二次函数的图象经过点(1,−5)，求a的值；
(2)在（1）的条件下，当−1≤x≤4时，请求出二次函数的最大值和最小值；
(3)当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为5，求a的值．
19．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上．
(2,y ) y=x2+bx
1
(1)当b<−1时，试说明y <2．
1
(2)若点(1,m)和(−2,n)在该抛物线上，且mn>0，求b的取值范围．
6 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)当−1≤x≤4时该抛物线的最小值是−2，求b值．
20．（2023·河南驻马店·二模）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点(0,−3)，(6,−3)．
(1)求b，c的值；
(2)当0≤x≤4时，求y 的最大值；
1
(3)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，请直接写出m的值．
题型 06 二次函数与坐标轴交点问题
21．（2023·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2−2ax+3（a为常数，a≠0）．
(1)若a<0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点．
(2)若a=−1，求证：当−1<x<0时，y>0．
(3)若该函数的图像与x轴有两个公共点 ， ，且 ，则a的取值范围是 ．
(x ,0) (x ,0) −1<x <x <4
1 2 1 2
22．（2023·河南郑州·三模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(−3,0)，B(1,0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：直线y=−3x+5与该抛物线没有交点，
(3)若 ， 为抛物线 上两点 ， 为抛物线上点 和点 之间的
C(m,y ) D(n,y ) y=ax2+bx+3(a≠0) (m<n) M C D
1 2
9
动点（含点C，D），点M的纵坐标的取值范围为− ≤ y ≤3，求m+n的值．
4 M
1 3
23．（2024·湖北武汉·一模）已知，抛物线C :y= x2− x−4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
1 4 2
侧），与y轴交于点C．
7 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
1
(2)如图1，M为抛物线C 上一点，过点M作MN∥AC，交直线BC于点N，若MN= AC，求点M的横
1 2
坐标；
(3)如图2，平移抛物线C 得到抛物线C ，使其顶点Q落在y轴的负半轴上，P为OQ的中点，直线
1 2
y=k x+t经过点P，交抛物线C 于E，F两点，延长FO，EO分别交抛物线C 于C，D两点，设直线CD
1 2 2
的解析式为y=k x+b，试探究k 与k 之间的数量关系．
2 1 2
题型 07 二次函数与不等式
24．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数 （m为常数）．
y=x2−2(m−1)x−2m+m2
(1)若二次函数经过点(2,−1)，求m的值；
(2)若二次函数经过点(1,y )和点(2m,y )，当y <y 时，求m的取值范围；
1 2 1 2
(3)将抛物线 向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线与x轴的两个交
y=x2−2(m−1)x−2m+m2
点的距离为4，求k的值．
25．（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c与x轴交于A，B两点
（点A在点B左侧），点C(3,5)是抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标．
(2)设直线AC的函数表达式为y=kx+b，请结合图象直接写出不等式kx+b>−x2+2x+c的解集．
8 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)平行于x轴的直线l交抛物线于点 ， ，交直线 于点 ，若 ，求
P(x ,y ) Q(x ,y ) AC N(x ,y ) x <x <x
1 1 2 2 3 3 1 2 3
x +x +x 的取值范围．
1 2 3
26．（2022·湖北荆州·三模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图
12
象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数y=− 的图象与性质．
x2+2
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …
2 12 12 2
y … − − −2 −4 a −4 −2 − − …
3 11 11 3
a=
(1)列表，写出表中a的值： ______．
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
(2)观察函数图象，回答下列问题：
①函数有最______值，是______；
②当自变量x的取值范围是______时，函数y的值随自变量x的增大而增大．
2 10 12 2 10
(3)已知函数y=− x− 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式− ≤− x− 的解集
3 3 x2+2 3 3
是______．
题型 08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
1
27．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y= x2+bx+c交x轴于点
4
A(−2,0)，B(7,0)，与y轴交于点C．
9 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN∥y轴交BC于点N,MQ∥BC交x轴于点Q，求
3
MN+ BQ的最大值；
2
(3)如图，在y轴上取一点G(0,7)，抛物线沿BG方向平移2√2个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点
E,F，交y轴于点D，点P在线段FD上运动，线段OF关于线段OP的对称线段OF'所在直线交新抛物线
于点H，直线F'P与直线BG所成夹角为45°，直接写出点H的横坐标．
28．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点
A(−1,0)，点B(3,0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AC，BC，过点C作射线CM交x轴的正半轴于点M，点M与点A关于原点对称，点P是
第四象限抛物线上一动点，过点P作BC的垂线交CM于点G，求线段PG长度的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，把点C向上平移1个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度
α(0°<α<360°)，得到△A'OQ'，其中边A'Q'交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得
∠Q'=∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q'的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点
B(−6,0)和点C(2,0)，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
10 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线表达式；
( 7)
(2)点Q 1， ，点M在x轴上，点E在平面内，且四边形ANEM是平行四边形．
3
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP H ，
1 1
求 的最小值．
BP +√2OH
1 1
30．（2024·江西南昌·一模）如图、在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，
xOy C :y=−x2+2x+3 x A
1
点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为抛物线C 的顶点，连接PB，将抛物线C 绕点O旋转
1 1
180°得到抛物线C ．
2
(1)求抛物线C 的解析式．
2
(2)连接AC，BC，求sin∠ACB的值．
(3)连接CP，Q是抛物线C 上的点，若满足∠QCO=∠PBC，求点Q的坐标．
2
31．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，
y=ax2+bx−√3(a≠0) x A B
与y轴交于点C，连接AC、BC，点A的坐标为(−3,0)．已知当x=−5和x=3时，二次函数的值相等．
11 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点M，N同时从点B出发，均以每秒一个单位长度的速度分别沿线段BA、BC运动，其中一个点到达
终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，点B恰好落在
AC边上的点P处，求t的值及点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形
与△ABC相似？如果存在，请直接写出点Q的坐标：如果不存在，请说明理由．
题型 09 函数图象判断综合
k
32．（2024·安徽芜湖·一模）已知反比例函数y= (k≠0)在第二象限内的图像与一次函数y=ax+b的图像
x
如图所示，则函数y=ax2−bx−k+1的图像可能为（ ）
A B． C． D．
k
33．（2024·安徽·一模）已知反比例函数y= (k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=x+b的图象如图
x
所示，则函数y=x2+bx−k+1的图象可能为（ ）
12 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
a
34．（2024·河南安阳·模拟预测）二次函数y=ax2−a(a≠0)与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中
x
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
35．（2024·安徽·一模）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象，则双曲线
4a−2b+c
y= 和直线y=abcx+b的大致图象可能是（ ）
x
13 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
题型 10 二次函数与实际问题
36．（2024·陕西渭南·一模）王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园装饰景观灯，提供了两个素材．
素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱OA高为4m，抛物线形灯杆的最高点距离地面4.5m，
且到灯柱OA的水平距离为1m，灯泡到地面的距离为2.5m．（灯泡大小忽略不计）
素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线形灯杆，灯泡C、D关于OA对称（C、D
分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之间修建一个支架CD．
小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他完成以下两个任务：
(1)求该抛物线在第一象限的函数表达式：（不要求写自变量x的取值范围）
(2)小张同学设计的支架CD长为6m，请你结合已学知识，判断他设计的景观灯支架CD的长度是否符合要
求，并说明理由．
37．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行
轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮
球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.6m．
14 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求篮球出手位置点A的高度．
(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说
明理由．
(3)若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨
迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．
38．（2024·山东济南·模拟预测）某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获
利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．
(1)求A，B两种商品每件的利润；
(2)已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A商品价格，每
降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？
39．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为k米的篱
笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，
活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为0.5米，鸭圈垂直于墙的一边的长为a米．
（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）
设计方案 小成 小韩 小林
a（米) 1.5 2.5 3.5
CD的长
（ ） （ ） （ ）
（米）
(1)用含k，a的代数式表示鸭圈另一边长CD= 米．
(2)若k=10固定不变．
①若要求鸭圈面积为10平方米，求a的值．
②小成、小韩和小林根据a的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠
谱．
③请通过上述探究，直接写出a的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值．
(3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？
40．（2024·广西·一模）某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产
15 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中AB
为反比例函数图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最
大值；
(3)在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上
一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这
种新产品每件的销售价格x定在8元以上（x>8），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，
简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过A(0,6)的一次函数y 的图象与
1
经过B(0,2)的一次函数y 的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y= y ⋅y 的大致图象是
2 1 2
（ ）
16 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于x的二次函数y=(ax+1)(x−a−1)的图象与x轴的一个交点坐标
为(n,0)．若1<n<2，则a的取值范围为（ ）
1
A．0<a<1或−1<a<− B．0<a<1或−2<a<−1
2
1
C．1<a<2或−1<a<− D．1<a<2或−2<a<−1
2
3
3．（2024·陕西榆林·二模）已知二次函数y=ax2−2ax+3(a<0)，当 −1≤x≤ 时，y的最小值是−3，
2
则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线与x轴的两个交点在y轴同侧 B．当x>0时，y随x的增大而减小
C．抛物线与y轴交点的坐标是(0,4) D．该抛物线的顶点坐标是(1,5)
4．（2024·浙江·模拟预测）关于二次函数y=a(x−1)(x−3)+2(a<0)的下列说法中，正确的是（ ）
A．无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过(1,0)和(3,0)这两个定点
B．当x=2时，该二次函数取到最小值
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当x<0或x>2时，y<2
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n(m<n)，则1<m<n<3
5．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知代数式x2−x+1，下列说法正确的有（ ）
1
①无论x取何值，x2−x+1的值总是正数；②x2−x+1的值可正可负也可以是0；③当x= 时，x2−x+1
2
3 1 3
取得最大值，最大值为 ；④当x= 时，x2−x+1取得最小值，最小值为 ．
4 2 4
A．② B．①③ C．②④ D．①④
6．（2024·陕西·二模）抛物线L：y=ax2＋bx＋c经过A(4,3)，B(0,1)两点，且抛物线L不经过第四象
限，则下列点坐标不可能在抛物线L上的是（ ）
A．(2,1) B．(−2,−1) C．(−2,3) D．(−1,1)
1
7．（2024·陕西西安·二模）把抛物线y=ax2−2ax+3(a>0)沿直线y= x+1方向平移√5个单位后，其顶
2
点仍在原抛物线上，则a是（ ）
17 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1 2
A．2 B． C． D．
5 4 5
二、填空题
8．（2024·山东济南·二模）如图，抛物线C 的解析式为y=−x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到
1
图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为
．
9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，(3−m,m)，直
线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C的横坐标为 ．
10．（2023·湖北武汉·二模）函数 （b为常数）有下列结论：①图像具有对称性，对称轴是
y=|x2+2x+b|
直线 ；②当 时，函数有最小值 ；③若 ，点 ， 在该函数图像
x=−1 x=−1 |b−1| b=−3 P (x ,y ) P (x ,y )
1 1 1 2 2 2
上，则当 时， ；④若关于x的方程 有四个实数根，则这四个根之
x <−3<−1<x <1 y <y |x2+2x+b|=m
1 2 1 2
和一定为−4．其中正确的结论是 （填写序号）
三、解答题
11．（2024·贵州·一模）如图，篮圈中心到地面的距离为3.05米，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，
篮球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度3.5米，沿此抛物线可准确落
入篮圈．
18 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度
是多少？
(3)篮球准备投出时，小强发现前方距离他1米处对方的防守运动员准备跳起拦截，为了躲避拦截，小强临
时调整抛球路线，其表达式为 y=−0.2x2+0.4bx−2b(b<0)，当对方的防守运动员在一个跨步（约0.5
米）的范围内起跳，即−2≤x≤−1时，篮球的高度总大于这名防守运动员的最大摸高3.05米，求b的取值
范围．
12．（2024·辽宁辽阳·一模）【问题提出】
如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，且BE=4，动点F以每秒1个单位的速度从点B出发，在折线段
BA−AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形ABCD的边于点G，
连接FG．设动点F的运动路程为x，线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形的面积为S．
【初步感知】
如图2，动点F由点B向点A运动的过程中，经探究发现S是关于x的二次函数，如图2所示，抛物线顶点P
的坐标为(3,t)，与y轴的交点N的坐标为(0,16)，与x轴的交点为点M．
（1）求矩形ABCD的边AB和AD的长；
【深入探究】
（2）点F由点A向终点运动的过程中，求S关于x的函数表达式；
19 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程 ， ， ，当 时，3个路程对应的面积 均相等．
x x x (x <x <x ) x −x =x −x S
1 2 3 1 2 3 3 2 2 1
13．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数y=−x2+2tx+3．
(1)若它的图像经过点(1,3)，求该函数的对称轴．
(2)若0≤x≤4时，y的最小值为1，求出t的值．
(3)如果A(m−2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，直线y=2mx+a与该二次函数交于
， 两点，则 是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由．
M(x ,y ) N(x ,y ) x +x
1 1 2 2 1 2
14．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²+bx+6(a≠0)与x轴交
， 两点，与y轴交于点C．
A(−2√3,0) B(6√3,0)
(1)求二次函数解析式；
(2)如图，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段BC交于点M，点R在对称轴上，其纵坐标为12，连接BR，
已知点N为线段BR上一动点，连接MN，将△BMN沿 MN翻折到 △B'MN．
①当MB'的中点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标；
②当△B'MN与△BMR重叠部分（如图中的△MNQ）为直角三角形时，求出此时点B'的坐标．
20 20
