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第 08 讲 一元一次不等式（组）及其应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 不等式及不等式的基本性质
题型01 不等式的概念及意义
题型02 列不等式
题型03 取值是否满足不等式
题型04 利用不等式的性质判断式子正负
题型05 根据点在数轴位置判断式子正负
题型06 利用不等式的性质比较大小
题型07 利用不等式的性质证明（不）等式
题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围
题型09 不等式性质的应用
考点二 一元一次不等式
题型01 判断一元一次不等式
题型02 根据一元一次不等式求参数值
题型03 求一元一次不等式解集
题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集
题型05 一元一次不等式整数解问题
题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题
题型08 含绝对值的一元一次不等式
题型09 不等式与方程组综合求参数的取值范围
考点三 一元一次不等式组
题型01 一元一次不等式组定义
题型02 解不等式组
题型03 求不等式组整数解
题型04 由不等式组整数解求字母取值范围
题型05 由不等式组的解集求参数
题型06 与不等式组有关的新定义问题
题型07 根据程序图解不等式组
题型08 不等式组与方程的综合
考点四 不等式（组）的实际应用
题型01 利用一元一次不等式解决实际问题
题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题
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考点要求 新课标要求 命题预测
中考数学中，一元一次不等式(组)
不等式及不等式的 结合具体问题，了解不等式的
基本性质 意义，探索不等式的基本性质 的解法及应用题时有考察. 其中不等式
性质、解一元一次不等式(组)，通常是
一元一次不等式
能解数字系数的一元一次不等
以选择题或填空题的形式出现，难度不
式，并能在数轴上表示出解集
大.而不等式（组）相关的应用题常会和
一元一次不等式组
会用数轴确定两个一元一次不 其它考点(如二元一次方程组、二次函数
等式组成的不等式组的解集. 等) 结合考察，常以解答题形式出现，
此时难度上升，需要小心应对.对于一元
能根据具体问题中的数量关 一次不等式（组）中含参数问题，难度
不等式（组）的实 系，列出一元一次不等式，解决简单的
偏大，但是考察几率并不大，为避免丢
际应用 问题.
分，学生应在复习过程中扎实掌握．
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考点一 不等式及不等式的基本性质
一、不等式的相关概念
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.
解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
二、不等式的性质
基本性质1 若a>b，则a±c > b±c
若ab,c>0，则ac>bc（或 > ）
c c
基本性质3 a b
若a>b,c<0，则ac，≥，<，≤五种.
3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点.
4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值.
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值.
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解.
5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.
同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际．
6. 运用不等式的性质的注意事项：
1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算．
2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．
3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母．
4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个
数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.
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题型01 不等式的概念及意义
【例1】以下表达式：①4x+3 y≤0；②a>3；③x2+xy；④a2+b2=c2；⑤x≠5．其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【提示】根据不等式的定义进行判断即可．
【详解】解：a+b、a>3、x≠5是不等式，x2+xy和a2+b2=c2不是不等式，
即不等式有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键．
【变式1-1】（2023湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它
的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【答案】C
【提示】“>”就是大于，在本题中也就是“高于”的意思．
【详解】解：根据>的含义，“每100克内含钙＞150毫克”，就是“每100克内含钙高于150毫克”，
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．
题型02 列不等式
【例2】（2020·河北·统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是负数”表示为m>0 B．“m不大于5”表示为m<5
C．“n与4的差是正数”表示为n−4>0 D．“n不等于4”表示为n>4
【答案】C
【提示】根据题意列出不等式即可判断．
【详解】A、∵m不是负数，
∴m≥0，A选项错误；
B、∵m不大于5，
∴m≤5，B选项错误；
C、∵n与4的差是正数，
∴n−4＞0，C选项正确；
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D、∵n不等于4，
∴n＜4或n＞4，D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了由题目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四个选项的正误是解题的关键．
【变式2-1】（2023·甘肃陇南·统考二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500
米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（ ）
A．x<3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x>3500
【答案】D
【提示】根据题意列出不等式即可求解．
【详解】解：∵乌鞘岭主主峰海拔超过3500米．
∴x>3500，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的定义，理解题意是解题的关键．
【变式2-2】（2023南宁市模拟）a是非负数的表达式是（ ）
A．a＞0 B．|a|≥0 C．a＜0 D．a≥0
【答案】D
【提示】非负数就是正数和零，即大于等于零的数是非负数判断即可．
【详解】∵a是非负数，
∴a≥0，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负数，熟练掌握定义是解题的关键，易错点是忽略零而导致错误．
题型03 取值是否满足不等式
【例3】（2023·河北保定·统考二模）在−√2,−2,1,−3四个数中，满足不等式x<−2的有（ ）
A．－2 B．－3 C．−√2 D．1
【答案】B
【提示】根据各数的大小即可做出判断．
【详解】在−√2,−2,1,−3四个数中，−√2>−2,−2=−2,1>−2,−3<−2，
故满足不等式x<−2的有−3，
故选：B
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2021·四川南充·统考中考真题）满足x⩽3的最大整数x是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】逐项提示，求出满足题意的最大整数即可．
【详解】A选项，1<3，但不是满足x⩽3的最大整数，故该选项不符合题意，
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B选项，2<3，但不是满足x⩽3的最大整数，故该选项不符合题意，
C选项，3=3，满足x⩽3的最大整数，故该选项符合题意，
D选项，4>3，不满足x⩽3，故该选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解．
【变式3-2】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当x=4时，不等式成立的是（ ）
1
A．x+1<4 B． x>2 C．2x+1<5 D．3x−2>9
2
【答案】D
【提示】将x=4分别代入四个选项中，看不等式是否成立即可．
【详解】A选项：当x=4时，x+1=5>4，不符合题意；
1
B选项：当x=4时， x=2，不符合题意；
2
C选项：当x=4时，2x+1=9>5，不符合题意；
D选项：当x=4时，3x−2=10>9，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
要判断某个未知数的值是不是不等式的解可直接将该值代入不等式的左、右两边,看不等式是否成
立,若成立,则是,否则不是.
题型04 利用不等式的性质判断式子正负
【例4】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果 x<−3，那么下列
不等式成立的是（ ）
A． x2>−3x B． x2≥−3x C． x2<−3x D． x2≤−3x
【答案】A
【提示】根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：因为x<−3，
所以x2>−3x（不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变）．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个 数或同一个式子，
不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等
式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
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【变式4-1】（2023·湖南常德·统考模拟预测）已知a>b，则下列不等式变形不正确的是（ ）
a b
A．a−2>b−2 B．−2a>−2b C．a+2>b+2 D． >
2 2
【答案】B
【提示】①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质进行提示即可．
【详解】解：A、a>b，不等式的性质1，a−2>b−2，故A正确，不符合题意；
B、a>b，不等式的性质3，−2a<−2b，故B错误，符合题意；
C、a>b，不等式的性质1，a+2>b+2，故C正确，不符合题意；
a b
D、a>b，不等式的性质2， > ，故D正确，不符合题意；
2 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题关键是要注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不
等号的方向改变．
【变式4-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a,b,c,d是实数，且a−b>c−d，下列说法一定正确的是
（ ）
A．若b=d，则a>c B．若a=c，则b>d
C．若b>d，则a>c D．若a>c，则b>d
【答案】A
【提示】根据不等式的性质，逐项提示判断即可求解．
【详解】解：A. 若b=d，a−b>c−d，则a>c，故该选项正确，符合题意；
B. 若a=c，a−b>c−d，则bd，则a>c不一定成立，例如a=2,c=1,2>1;b=2,d=1,b>d，则a−b=c−d，故该选项不正
确，不符合题意；
D.同C选项，可得，若a>c，则b>d不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不
等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的
基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不
等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设x，y，c为实数，则（ ）
A．若x＞y，则x+3c>y−2c B．若x＞y，则xc>yc
x y
C．若x＞y，则xc2>yc2 D．若 > ，则x＞y
c2 c2
【答案】D
【提示】根据不等式的性质进行运算辨别即可．
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【详解】解：若x＞y，x+5c>y不一定成立，即x+3c>y−2c不一定成立，
故选项A不符合题意；
若x＞y，c=0时，xc= yc，
故选项B不符合题意；
若x＞y，c=0时，则 xc2= yc2，
故选项C不符合题意；
x y
若 > ，则c2>0，故x＞y，
c2 c2
故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质．
题型05 根据点在数轴位置判断式子正负
【例5】（2023·黑龙江大庆·统考一模）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确
的是（ ）
A．−a−c>−b−c B．ac>bc C．|a−b|=a−b D．a<−b<−c
【答案】C
【提示】借助数轴上实数的位置关系结合相反数和绝对值的知识点，判断大小，逐一验证．
【详解】解：A．由图知：a>b，那么−a<−b，−a−c<−b−c，故选项错误，不符合题意；
B．由图知：a>b，c<0，那么acb，那么a−b>0，|a−b|=a−b，故选项正确，符合题意；
D．由图知：|a|>|b|，|a|>|c|，a>0，c−c>−b,，故选项错误，不符合题意．
故选:C．
【点睛】本题考查了数轴，实数，绝对值，相反数的大小比较，注意符号的变化对数值的影响．
【变式5-1】（2023·上海徐汇·统考二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、
B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．−2a>−2b D．|a|>|b|
【答案】C
【提示】由数轴可得a<00，b−a>0，故A，B不符合题意；
∵a−2b，故C符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，有理数的加法与减法法则的应用，绝对值的含义，不
等式的性质，掌握基础知识是解本题的关键．
【变式5-2】（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点
A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+20，∴A选项的结论不成立；
b−a>0，∴B选项的结论不成立；
2a<2b，∴C选项的结论不成立；
a+20)的大小顺序是（ ）
A．−m−20时，M>N；x=0时，M=N；x<0时，M0时，2x>0，即M−N>0，此时M>N；当x=0时，2x=0，即M−N=0，此时M=N；当x<0时，
2x<0，即M−N<0，此时M0时，M>N；x=0时，M=N；x<0时，M﹣ ；当a＜-2< b＜0时，﹣ <﹣
2a+4 2b+4 2a+4 2b+4
【提示】（1）根据不等式的性质回答即可；
（2）方法一：利用作差法比较；方法二：利用反比例函数的性质比较；
（3）利用二次函数的性质比较；
（4）利用作差法比较即可．
【详解】解：（1）不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；
2 2 2 2 2 2 2a 2b
（2）方法1：− −(− )=− + = − = −
a b a b b a ab ab
2(a−b)
＝ ，
ab
∵a＜b＜0，
∴ab＞0，a﹣b＜0，
∴2(a﹣b)＜0，
2(a−b)
∴ <0，
ab
2 2
∴− < ．
a b
2
方法2：令y＝− ，
x
∵k＝﹣2＜0，
∴在第二象限内，y随x的增大而增大．
∵a＜b＜0，
2 2
∴− < ；
a b
（3）令y＝(x+2)2+1，则该二次函数图象的对称轴是x＝﹣2且开口向上．
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∴当x＜﹣2时，y随着x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随着x增大而增大．
∵a＜b＜0，
∴当a＜b＜﹣2时，(a+2)2+1＞(b+2)2+1；
当﹣2＜a＜b＜0时，(a+2)2+1＜(b+2)2+1；
当a<-20，
2a+1 2b+1
当-20，b+2>0，∴﹣ >﹣ ；
2a+4 2b+4
2a+1 2b+1
当a＜-2< b＜0时，∵a+2<0，b+2>0，∴﹣ <﹣ ；
2a+4 2b+4
2a+1 2b+1
当a＜b＜-2时，∵a+2<0，b+2<0，∴﹣ >﹣ ；
2a+4 2b+4
2a+1 2b+1 2a+1 2b+1
综上可知，当-2﹣ ；当a＜-2< b＜0时，﹣ <﹣ ．
2a+4 2b+4 2a+4 2b+4
【点睛】本题考查了不等式的性质，分式的加减，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，
二次函数的图象与性质，作差法比较代数式的大小，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握函数的图象与
性质是解答本题的关键．
根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数
或式子分别为m和n，若m-n>0，则m>n；若m-n=0，则m=n；若m-n<0，则m ．
n n−1
【答案】见解析
n−1 n−2 1
【提示】先求出 − = ，根据n＜0，得出n−1＜0，从而得出n(n−1)＞0，即
n n−1 n(n−1)
1
＞0，从而证明结论．
n(n−1)
n−1 n−2
【详解】证明： −
n n−1
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(n−1) 2−n(n−2)
=
n(n−1)
1
=
n(n−1)
∵n＜0，
∴n−1＜0，
∴n(n−1)＞0，
n−1 n−2
∴ > ．
n n−1
【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法
则．
【变式7-1】（2019上·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为12cm的铁丝围成一
个面积最大的矩形？
小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9cm2．请用
你所学的二次函数的知识解释原因．
思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形？
小明猜测：围成正方形时周长最小．
为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：
结论：在a+b⩾2√ab(a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2√p，当且仅当a=b时，a+b
有最小值2√p．
a+b⩾2√ab (a,b均为正实数）的证明过程：
对于任意正实数a、b，∵ (√a−√b) 2 ⩾0,∴ a−2√ab+b⩾0,
∴ a+b⩾2√ab，当且仅当a=b时，等号成立．
解决问题：
4
（1）若x>0，则x+ ⩾ （当且仅当x= 时取“=” )；
x
（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；
x2+3
（3）当x>−1时，求y= 的最小值．
x+1
【答案】（1）4，2；（2）见解析；（3）2
【提示】（1）根据题意，由a+b⩾2√ab，当且仅当a=b时，等号成立；即可解决问题；
（2）设矩形的长、宽分别为x、y，由题意得xy=9，再根据公式证明当x=y时，x+y有最小值，进而得结
论；
x2+3 4
（3）把y= 转化为y=x+1+ −2的形式，再根据公式进行解答便可．
x+1 x+1
【详解】解：（1）∵x>0，
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4
∴ >0，
x
4
∴当x= 时，即x=2时，
x
4 √ 4 4
∴x+ ⩾2 x· ，即x+ ⩾4；
x x x
故答案为4；2．
（2）设矩形的长、宽分别为xm、ym，由题意得xy=9，则
x+ y⩾2√xy，即x+ y⩾6，
当x= y=3时，x+ y取最小值为6，
此时矩形的周长最小为：2(x+ y)=12；
∵x= y时，矩形变为正方形，
∴铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小；
x2+3 (x+1−1) 2+3 (x+1) 2−2(x+1)+4 4
（3）y= = = =x+1+ −2，
x+1 x+1 x+1 x+1
∵x>−1，
4
∴x+1>0， >0，
x+1
√ 4
∴y⩾2 (x+1)· −2，即y⩾2，
x+1
4
∴当x+1= 时，即x=1时，
x+1
y取最小值为：2．
【点睛】本题是一个阅读材料题，主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，
关键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第（3）题关键是把求
出函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式，才能应用公式．
【变式7-2】（2022·山东日照·日照市新营中学校考二模）2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园
3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方
形的面积大于4个直角三角形的面积之和…
设直角三角形的边长为a，b，则S >4S ，(a2+b2)>4 (1 ab ) ，即a2+b2>2ab；
正 方形 RT△ 2
当a=b时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即
a2+b2=4 (1 ab ) =2ab，
2
综上所述，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
使用上述结论，“a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立”解决下列问题：
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(1)证明：“若a，b为正实数，则a+b≥2√ab．当且仅当a=b时等号成立”．
(2)a，b均为实数，若ab为定值4，则a+b有最小值________；若a+b为定值6，则ab有最大值
_________．
1
(3)请结合函数图象（图2）研究y=x+ 中函数值y的取值范围．
x
1
(4)如图3，已知P是反比例函数y= (x>0)图象上任意一动点，O(0,0)，A(−1,a)，其中a是常数，
x
a>0，试求S 的最小面积（用a表示）．
△POA
【答案】(1)见解析
(2)当a>0，b>0时，a+b的最小值为4，当a<0，b<0时，a+b没有最小值； 9
(3)y≥2或y≤−2
(4)√a
【提示】（1）利用a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立进行求解即可；
（2）利用（1）中的结论求解即可；
1 √ 1 1 √ 1
（3）分当x>0时，x+ ≥2 x⋅ ，当x<0时，(−x)+ ≥2 (−x)⋅ ，两种情况讨论求解即
x x (−x) (−x)
可；
( 1)
（4）如图所示，过点P作PC⊥x轴于C，过点A作AB⊥x轴于B，设点P的坐标为 x， ，则点C的
x
坐标为（x，0），点B坐标为（-1，0），然后根据S =S −S −S 建立关系式，再由
△POA 梯形ABCP △AOB △POC
（1）中结论求解即可．
【详解】（1）解：∵a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，
∴(√a)
2+(√b) 2
≥2√ab，
∴a+b≥2√ab当且仅当√a=√b即a=b时等号成立
（2）解：若ab为定值4时，
当a>0，b>0时，∵a+b≥2√ab，ab=4，
∴a+b≥4，
∴此时a+b的最小值为4，
当a<0，b<0时，∵(−a)+(−b)≥2√(−a)(−b)，
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∴−(a+b)≥4，
∴a+b≤−4，
∴此时a+b没有最小值；
若a+b为定值6，则a，b不可能都小于0，因此要使ab值最大，只需要讨论当a、b都是正数的情况即
可，
当当a>0，b>0时，∵a+b≥2√ab，a+b=6，
∴2√ab≤6，
∴ab≤9，
∴ab的最大值为9；
1 √ 1 1
（3）解：当x>0时，x+ ≥2 x⋅ ，即x+ ≥2，
x x x
1 √ 1 1
当x<0时，(−x)+ ≥2 (−x)⋅ ，即x+ ≤−2，
(−x) (−x) x
∴y≥2或y≤−2；
（4）解：如图所示，过点P作PC⊥x轴于C，过点A作AB⊥x轴于B，
( 1)
设点P的坐标为 x， ，则点C的坐标为（x，0），点B坐标为（-1，0），
x
1
∴AB=a，BC=x+1，PC= ,OC=x，OB=1，
x
∴S =S −S −S
△POA 梯形ABCP △AOB △POC
1( 1) 1 1 1
= a+ (x+1)− a− x⋅
2 x 2 2 x
1( 1)
= ax+ ，
2 x
1 √ 1
∵ax+ ≥2 ax⋅ =2√a，
x x
∴S ≥√a，
△POA
∴S 的最小面积为√a
△POA
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，不等式的性质等等，解题的关键在于能够正确读懂题
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意．
【变式7-3】（2023·江苏扬州·统考一模）将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为
a
(b>a>0)．
b
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；
(2)请证明（1）中的数学关系式；
a b c
(3)在△ABC中，三条边的长度分别为a,b,c，证明： + + <2．
b+c c+a a+b
a+m a
【答案】(1) >
b+m b
(2)见解析
(3)见解析
【提示】（1）根据浓度公式代入以及变甜了判断所得分式大小即可；
（2）利用作差法，并化简通过判断结果的正负即可；
a b b
（3）利用三角形的三边关系得到a+b>c，b+c>a，c+a>b，即 <1， <1， <1，在通过
b+c c+a c+a
本题糖水不等式变形求证即可．
a+m
【详解】（1）解：由题意得：加入m克糖后糖水浓度为： ，
b+m
a+m a
由糖水变甜可知： > ，
b+m b
a+m a
故答案为： >
b+m b
（2）解：利用作差法比较大小：
a+m a b(a+m) a(b+m) bm−am m(b−a)
− = − = = ．
b+m b b(b+m) b(b+m) b(b+m) b(b+m)
∵m>0，b>a>0，
m(b−a)
∴b−a>0，b+m>0，即 >0，
b(b+m)
a+m a a+m a
∴ − >0，即 > ．
b+m b b+m b
（3）解：在△ABC中，a+b>c，b+c>a，c+a>b，且a＞0,b＞0,c＞0，
a b c
∴ <1， <1， <1．
b+c c+a a+b
a a+a b b+b c c+c
由糖水不等式得， < ， < ， < ，
b+c b+c+a c+a c+a+b b+a a+b+c
a b c a+a b+b c+c
∴ + + < + + =2，
b+c c+a a+b b+c+a c+a+b a+b+c
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a b c
∴ + + <2．
b+c c+a a+b
【点睛】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系
a b c
证明 + + <2是解决本题的关键．
b+c c+a a+b
题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围
【例8】（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）若a=3√5−2，则a的取值范围是（ ）
A．23 B．a<3 C．a⩾3 D．a⩽3
【答案】D
【提示】根据不等式的性质3，可得a−3 ≤0，即可求解
【详解】解：x ，则a的取值范围为 ．
a+2
【答案】a<−2
1
【提示】根据不等式的基本性质，由不等式(a+2)x<1的解集为x> ，可得：a+2<0，据此求出a
a+2
的取值范围即可．
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1
【详解】解：∵不等式(a+2)x<1的解集为x>
a+2
∴a+2<0
∴a的取值范围为：a<−2
故答案为：a<−2．
【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关
键
【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知实数x，y，a满足x+3 y+a=4， x−y−3a=0．若
−1≤a≤1，t=x+ y，那么t的取值范围是 ．
【答案】1≤t≤3
【提示】把a当作参数，联立方程组求出x，y的值，然后用x表示出t=x+ y，利用不等式的性质求解．
【详解】联立方程组¿，将a作为参数解得：¿，
∵−1≤a≤1，
∴t=x+ y=a+2，
可得：1≤t≤3．
故答案为：1≤t≤3．
【点睛】本题主要考查不等式的性质和解二元一次方程组，解题时要把a当作参数，联立方程组求出x，
y的值，然后利用不等式的性质求解．
题型09 不等式性质的应用
【例9】（2023·河北保定·校考一模）已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论不正确的是（ ）
a−c
A．a−b=3(c−b) B． =c−b
2
c−a
C．若a>b，则a>c>b D．若a>c，则b−a>
2
【答案】D
a−c
【提示】通过等式的性质得a−b=3(c−b)和 =c−b可判断A和B正确；由题目条件判断bc，可判断C正确；结合B和A推出 >0，b−a<0，作差计算可判断D错误．
2
【详解】解：∵a+2b=3c，
∴a+2b−3b=3c−3b，即a−b=3(c−b)，故选项A正确，不符合题意；
∵a+2b=3c，
∴a+2b−(2b+c)=3c−(2b+c)，即a−c=2(c−b)，
a−c
∴ =c−b，故选项B正确，不符合题意；
2
若a>b，
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∵a+2b=3c，
∴a−(a+2b)>b−3c，即−2b>b−3c，
∴−3b>−3c，∴bb，
∴2a>2b，
∵3c=a+2b，
∴2a−3c>2b−(a+2b)，
整理得a>c，
∴a>c>b，故选项C正确，不符合题意；
a−c
由B知 =c−b，
2
∵a>c，
a−c
∴ >0，c−a<0，
2
∴c−b>0，
∴b0，即b−a<0，
∵a+2b=3c，即2b=3c−a，
c−a 2b−2a−c+a 3c−a−2a−c+a
∴b−a− = = =c−a<0，
2 2 2
c−a
∴b−a< ，故选项D错误，符合题意；
2
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，不等式的性质，正确记忆等式的性质、不等式的性质并正确变形做出
判断是解题关键．
【变式9-1】（2023武威县模拟）若x+ y=3，x≥0，y≥0，则2x+3 y的最小值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【提示】把问题转化为2x+3 y=6−2y+3 y=6+ y，利用不等式的性质解决最值问题．
【详解】解：∵x+ y=3，
∴x=3−y，
∴2x+3 y=6−2y+3 y=6+ y，
∵x≥0，
∴3−y≥0，即y≤3，
∵y≥0
∴0≤ y≤3，
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∴6≤ y+6≤9，
即6≤2x+3 y≤9，
∴y=0时，2x+3 y的值最小，最小值为6．
故选：C．
【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
【变式9-2】（2023德阳市一模）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．
【详解】解：因为a＞b且ac＜bc，
所以c＜0．
选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．
选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．
故选A．
【点睛】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正
负．
考点二 一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这
样的不等式叫一元一次不等式.
一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或ax+b>0(a≠0).
步骤 具体做法 依据 注意事项
去分 在不等式两边都乘以各分母的 不等式性 1）不要漏乘不含分母的项；
母 最小公倍数 质2、3 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整
数，再去分母.
3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
去括 先去小括号，再去中括号，最 分配律 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一
号 后去大括号 去括号法 项;
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则 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各
项都要变号；
3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各
项都不变号.
移项 把含有未知数的项移到不等式 不等式性 1）移项时不要漏项;
左边，其它项都移到不等式右 质1 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变
边 号.而在不等式同一边改变项的位置时不变
号.
合并 把不等式变为axb(a≠0)的形式 项法则 2）系数的符号处理要得当.
项
系数 将不等式两边都除以未知数系 不等式性 1)不等式两边都除以未知数系数;
化为1 数a，得到不等式的解 质2、3 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.
1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最
高次数是1.
2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否
改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根
据不等式的形式灵活安排求解步骤.
题型01 判断一元一次不等式
【例1】（2021·全国·九年级假期作业）在数学表达式：−3<0，a+b，x=3，x2+2xy+ y2，x≠5，
x+2>y+3中，是一元一次不等式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【提示】一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两
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边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一提示，即可得出答案．
【详解】-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；
a+b是整式，不是一元一次不等式；
x=3是方程，不是一元一次不等式；
x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；
x≠5是一元一次不等式；
x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；
∴是一元一次不等式的有1个
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成
求解．
【变式1-1】（2021·陕西·九年级专题练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）个．
1 x−1 x+1
①a−3＜2；②−x− ＞3；③x−y＜0；④x2+3x≤1；⑤ ＞
x 3 2
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【提示】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元
一次不等式．
【详解】是一元一次不等式的是①和⑤，
∴一元一次不等式个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，只含有一个未知数且最高次数为1，还要注意未知数的系数不
能是0．
题型02 根据一元一次不等式求参数值
2
【例2】已知 （m+4）x|m|–3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
3
A．4 B．±4 C．3 D．±3
【答案】A
【提示】根据一元一次不等式的定义，|m|﹣3=1，m+4≠0，分别进行求解即可．
【详解】根据题意得：|m|﹣3=1，m+4≠0，解得：|m|=4，m≠﹣4，∴m=4．
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数
不能是0．
【变式2-1】若(m−1)x|m|−3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．±1
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【答案】C
【提示】根据一元一次不等式的定义得到m−1≠0,|m|=1，即可求出m．
【详解】解：∵(m−1)x|m|−3>0是关于x的一元一次不等式，
∴m−1≠0,|m|=1，
解得m=-1，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟记一元一次不等式的定义并应用是解题的关键．
【变式2-2】若(k−1)x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为 ．
【答案】−1
【提示】根据一元一次不等式的定义可得|k|=1且k−1≠0，分别进行求解即可．
【详解】解：∵(k−1)x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，
∴|k|=1且k−1≠0，解得：k=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数
的系数不能是0，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
题型03 求一元一次不等式解集
【例3】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）下列变形中正确的是（ ）
1
A．由−2x<1，得x<− B．由2x+1>3x−1，得x>−2
2
C．由2x+1>x−1，得x>2 D．由x+2<2x−2，得x>4
【答案】D
【提示】求出一元一次不等式的解集，逐项提示判断即可求解．
1
【详解】解：A. 由−2x<1，得x>− ，故该选项错误；
2
B. 由2x+1>3x−1 ，得x<2，故该选项错误；
C. 由2x+1>x−1 ，得x>−2，故该选项错误；
D. 由x+2<2x−2，得x>4，故该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，注意不等式两边同乘以一个
负数不等号方向发生改变，是解题的关键．
x−3
【变式3-1】（2022·安徽·统考中考真题）不等式 ≥1的解集为 ．
2
【答案】x≥5
【提示】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
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x−3
【详解】解： ≥1
2
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
x+1
【变式3-2】（2022·安徽宣城·统考一模）解不等式：2x−3< ．
3
【答案】x<2
【提示】根据一元一次不等式的解法即可得．
x+1
【详解】解：2x−3< ，
3
去分母，得3(2x−3)0 B．x−2<0 C．2x≥4 D．2−x<0
【答案】B
【提示】逐项解不等式，选择符合题意的一项．
【详解】图中数轴表示的解集是x<2．
A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意，
B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意，
C选项，解不等式得x≥2 ，故该选项不符合题意，
D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式解集的表示方法和解简单的一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一
次不等式，主要是要细心．
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x−1 x−3
【变式4-3】（2022·湖北宜昌·统考中考真题）解不等式 ≥ +1，并在数轴上表示解集．
3 2
【答案】x≤1，在数轴上表示解集见解析
【提示】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得x≤1，在数轴上表示解集即可．
x−1 x−3
【详解】解： ≥ +1
3 2
去分母，得2(x−1)≥3(x−3)+6，
去括号，得2x−2≥3x−9+6，
移项，合并同类项得−x≥−1，
系数化为1，得x≤1，
在数轴上表示解集如图：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次
不等式，解集为“≤”时要用实心点表示．
题型05 一元一次不等式整数解问题
(1 )
【例5】（2022·河北·统考中考真题）整式3 −m 的值为P．
3
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】(1)−5
(2)−2,−1
【提示】（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意P≤7，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
(1 )
【详解】（1）解：∵P=3 −m
3
(1 )
当m=2时，P=3× −2
3
( 5)
=3× −
3
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=−5；
(1 )
（2）∵ P=3 −m ，由数轴可知P≤7，
3
(1 )
即3 −m ≤7，
3
1 7
∴ −m≤ ，
3 3
解得m≥−2，
∴ m的负整数值为−2,−1．
【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
8+x x
【变式5-1】（2022下·广东江门·八年级统考阶段练习）求一元一次不等式1− ≤ 的负整数解．
3 2
【答案】−2，−1
【提示】求出不等式的解集，可得结论．
【详解】去分母，得6−2（8+x）≤3x，
去括号，得6−16−2x≤3x，
移项、合并同类项，得−5x≤10，
系数化为1，得x≥−2，
∴负整数解为−2，−1．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．
9x+8 x
【变式5-2】（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式： − ≥−1，并写出该不等式的最小整数解．
6 3
【答案】x≥−2，最小整数解是−2
【提示】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可．
9x+8 x
【详解】解： − ≥−1，
6 3
去分母，得：9x+8−2x≥−6，
移项及合并同类项，得：7x≥−14，
系数化为1，得：x≥−2，
∴该不等式的最小整数解是−2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不
等式的方法．
【变式5-3】（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）先化简，再求值：
1 x2−2x+1
( −1)÷ ，其中x是不等式2x−1<6的正整数解．
2−x x2−4
x+2 5
【答案】原式=− ，当x=3时，原式=−
x−1 2
【提示】先算括号内的减法，把除法变成乘法，计算乘法，然后求出不等式的正整数解，结合分式有意
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义的条件确定x的值，再代入求出答案即可．
1−(2−x) x2−4
【详解】解：原式= ⋅
2−x x2−2x+1
x−1 (x+2)(x−2)
= ⋅
2−x (x−1) 2
x+2
=−
x−1
∵2x−1<6，
7
∴x< ，
2
∵x为正整数，
∴x=1或2或3，
根据分式有意义的条件，x≠1且x≠2，
∴x=3，
3+2 5
当x=3时，原式=− =− ．
3−1 2
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解、分式化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则进
行化简是解此题的关键．
与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法：
类型一 求一元一次不等式特殊解的方法
解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数
形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值．
解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条
件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
【例6】（2023·福建漳州·统考一模）关于x的不等式x−b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是
（ ）
A．−33
故：{ ，
1−m≤4
解得：−3≤m<−2，
故答案是：−3≤m<−2．
【点睛】本题考查了关于x不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关
于x不等式的正整数解的情况来确定关于m的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．
【变式6-2】（2023·黑龙江大庆·统考三模）若关于x的一元一次不等式x−23且a≠
3
ax+1 4x
【提示】先根据不等式3x− < ，解此不等式，再对a分类讨论，即可求出a的取值范围．
2 3
ax+1 4x
【详解】3x− < ，
2 3
化简得(10−3a)x<3，
10 3
当10−3a>0，即a< 时，x< ，
3 10−3a
ax+1 4x
又x=3是关于x的不等式3x− < 的解，
2 3
3
则3< ，解得a>3，
10−3a
10
即此时3 时，x> ，
3 10−3a
ax+1 4x
又x=3是关于x的不等式3x− < 的解，
2 3
3
则3> ，解得a>3，
10−3a
10
即此时a> ；
3
10
当10−3a=0，即a= 时，
3
由(10−3a)x<3就变成了一个不含x的不等式，
10
故a≠ ，
3
10
综上得：a>3且a≠ ．
3
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10
故a的取值范围是a>3且a≠ ．
3
【点睛】本题考查了求解不等式的知识，注意分类讨论是解答本题的关键．
题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题
【例7】（2022下·广西·七年级统考阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b=a(a−b)+1，
如：2⊕5=2(2−5)+1=−5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解不等式可得．
【详解】解：根据题意，原不等式转化为：4(4−x)+1≥2，
去括号，得：16−4x+1≥2，
移项、合并同类项，得：−4x≥−15，
15
系数化为1，得：x≤ ，
4
正整数解有3个，为1，2，3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要
注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
1
【变式7-1】（2023·河北沧州·统考模拟预测）对于a、b定义a★b= ，已知分式方程
a−b2
x
x★(−1)= 的解满足不等式(2−a)x−3>0，则a的取值范围是（ ）
3−3x
A．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3
【答案】D
【提示】根据新定义的含义，转化为分式方程，按照解分式方程的步骤求出x的值，把x的值代入不等式
中，解不等式即可．
1 x 1 x
【详解】解：根据新定义可得， = ，即 =− ，
x−(−1) 2 3−3x x−1 3(x−1)
去分母得：3=−x，
解得x=−3，
经检验x=−3是分式方程的解，
把x=−3代入不等式可得，−3(2−a)−3>0，
解得a>3．
故选D．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，关键是理解新定义，并正确运算．
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【变式7-2】（2023·广东广州·统考二模）定义运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a8则
m的取值范围为（ ）
A．m>2 B．m>5 C．25
【答案】A
【提示】根据定义新运算的运算法则，结合不等式的性质即可求解．
【详解】解：当3m−1≥m+1,即m≥1时，(3m−1)☆(m+1)=3m−1+m+1=4m>8，即m>2；
当3m−18，即m>5，无解，舍去；
综上所示，m>2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查定义新运算，不等式的综合，掌握定义新运算的运算法则，不等式的性质是解题的
关键．
b
【变式7-3】（2023海港区一模）定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b= ﹣a+b，等式右边
a
1 1
是通常的加、减、除运算，比如2*1= ﹣2+1=﹣ ．
2 2
（1）求4*5的值：
（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
9
【答案】（1） ；（2）x≤2，
4
【详解】试题提示：（1）根据题中定义求出所求式子的值即可；
（2）根据题中的新定义所求的不等式，解不等式即可．
5 9
试题解析：（1）根据题意得：4*5= ﹣4+5= ；
4 4
x+2
（2）根据题意得： ﹣x+（x+2）≤4，
2
解得：x≤2，
在数轴上表示为：
．
【变式7-4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定
a※ b=ab2+ab+a，例如：2※ 5=2×52+2×5+2=62．
(1)求5※ (−2)的值．
(2)若(m−√2)※ 2>14，求m的取值范围．
【答案】(1)15
(2)m>√2+2
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【提示】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式=5×(−2) 2+5×(−2)+5=20−10+5=15．
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，得(m−√2)×22+2(m−√2)+m−√2>14，
整理，得7m>14+7√2，
解得m>√2+2．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，实数的混合运算，熟练掌握
是解题的关键．
题型08 含绝对值的一元一次不等式
【例8】（2020·四川自贡·统考中考真题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入
微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式|x−2|的几何意义是数轴上x所对应的点
与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|=|x−(−1)|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与
−1所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式|x+1|+|x−2|的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点A,B,P分别表示的是−1, 2, x ，AB=3．
∵|x+1|+|x−2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和
∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3;当点点P在点A的左侧或点B的右侧时 PA+PB>3
∴|x+1|+|x−2|的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.|x−4|+|x+2|的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x−1|>4
③.当a为何值时，代数式|x+a|+|x−3|的最小值是2．
【答案】①6；②x<−3或x>1；③a=−1或a=−5
【提示】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；
②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，
∴|x−4|表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
|x+2|=|x−(−2)|表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴|x−4|+|x+2|的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
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且线段AB的长度为6，
∴|x−4|+|x+2|的最小值为6.
故答案为：6.
②设A表示-3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
|x+3|+|x−1|的几何意义表示为PA+PB，
∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为x<−3或x>1．
故答案为：x<−3或x>1．
③设A表示-a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为|−a−3|，
|x+a|+|x−3|的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，
∴|−a−3|=2
∴a+3=2或a+3=−2，
即a=−1或a=−5；
故答案为：a=−1或a=−5.
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会
分类讨论是解决本题的关键．
【变式8-1】（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“
|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“|a|<2”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|>2”成立，列举的a的值为 和 ．
我们定义：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，
能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式|x|>1的解集是x<−1或x>1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是−3≤x≤3．则：
①不等式|x|≥4的解集是 ．
1
②不等式| x|<2的解集是 ．
2
（3）【拓展应用】解不等式|x+1|+|x−3|>4，并画图说明．
【答案】（1）①数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2；②−3；3；
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（2）①x≤−4或x≥4；②−43，见解析．
【提示】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式|x+1|+|x−3|>4的解集，就是数轴上表示数x的点到表示−1
与3的点的距离之大于4的所有x的值，由此即可确定不等式|x+1|+|x−3|>4的解集．
【详解】（1）①由题意可得，“|a|<2”可理解为数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2．
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②∵|a|>2
令|a|=3，
∴a=±3
使不等式“|a|>2”成立的整数为−3，3，
故答案为：−3，3．
（2）①由题意可知，
不等式|x|≥4的解集是x≤−4或x≥4，
故答案为：x≤−4或x≥4；
1
②由题意可知，不等式| x|<2的解集为：
2
1
−2< x<2，
2
即−44的解集就是数轴上表示数x的点，到表示−1
与3的点的距离之和大于4的所有x的值，
如下图所示，
可知不等式|x+1|+|x−3|>4的解集是x<−1或x>3．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
【变式8-2】数学实验室：
A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距
离AB=|a−b|．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；
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(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为 ；
(3)若x表示一个有理数，且−31
【提示】（1）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可；
（2）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可；
（3）由−31、x<−3、−34，解答即可．
【详解】（1）解：∵2和5的两点之间的距离=|5−2|=3，
∴数轴上表示2和5的两点之间的距离是3．
故答案为：3；
（2）解：∵x和−2的两点之间的距离为：|x−(−2)|=|x+2|，
∴数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为：|x+2|．
故答案为：|x+2|；
（3）解：∵−31时，原式=x−1+x+3=2x+2>4，解得，x>1，
当x<−3时，原式=−x+1−x−3=−2x−2>4，解得，x<−3，
当−31或x<−3．
故答案为：x>1或x<−3．
【点睛】本题考查了绝对值，两点间的距离公式，解题的关键是明确|x−1|+|x+3|的几何意义．
题型09 不等式与方程组综合求参数的取值范围
【例9】（2023·湖南衡阳·校考二模）已知关于x的方程2x+4=m−x的解为非负数，则m的取值范围是
（ ）
4 4
A．m≤ B．m≥ C．m≤4 D．m≥4
3 3
【答案】D
m−4 m−4
【提示】解方程得x= ，由解为非负数知 ≥0，解之可得．
3 3
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m−4
【详解】解：解方程2x+4=m−x得x= ，
3
m−4
由题意知 ≥0，
3
解得m≥4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要
注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2x+m
【变式9-1】（2023泗水县一模）如果关于x的方程 =1的解是非负数，那么m的取值范围是
x−1
（ ）
A．m≤−1 B．m≥−1 C．m≤−1且m≠−2 D．m≥−1且m≠0
【答案】C
【提示】先求出该方程的解为x=−1−m，再根据解为非负数和x−1≠0可得−1−m≥0和−1−m≠1，
即可求解．
2x+m
【详解】解： =1，
x−1
2x+m=x−1，
x=−1−m，
2x+m
∵关于x的方程 =1的解是非负数，
x−1
∴−1−m≥0，解得m≤−1，
∵x−1≠0，
∴x≠1，即−1−m≠1，解得m≠−2，
综上：m的取值范围是m≤−1且m≠−2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程和不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式
的分母不为0．.
【变式9-2】（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）若不等式3x+2≤4x−1的最小整数
2 1
解是方程 x− mx=1的解，求m的值．
3 3
【答案】m=1
【提示】解出一元一次不等式的解，求出x的最小整数值，然后将x的最小整数值代入方程求解即可．
【详解】解：由3x+2≤4x−1，解得x≥3，
∴x的最小整数值为x=3，
2 1
∵x=3是方程 x− mx=1的解，
3 3
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2 1
∴ ×3− m×3=1，
3 3
解得m=1，
∴m的值为1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解．解题的关键在于找出x的最小整数值．
考点三 一元一次不等式组
一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等
式组．
一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
解一元一次不等式组的一般步骤：
1） 求出不等式组中各不等式的解集.
2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来.
3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.
2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分.
题型01 一元一次不等式组定义
【例1】（2020·山西·校联考模拟预测）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
x−1>3 a−1<0 3x−5>0 3x<5
A．{ B．{ C．{ D．{
x−3<2 b+2>0 4x+2<0 2x−1<9
【答案】B
【提示】根据一元一次不等式的定义判断即可得到结果；
【详解】符合一元一次不等式组的定义，故A是；
因为有a、b两个未知数，故B不是；
符合一元一次不等式组的定义，故C是；
符合一元一次不等式组的定义，故D是；
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故答案选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，准确判断是解题的关键．
【变式1-1】下列不等式组：①¿，②¿，③¿，④¿，⑤¿．其中一元一次不等组的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【提示】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未
知数的最高次数是1，对各选项判断再计算个数即可
【详解】根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，所含未知数相同，并且未知数的
最高次数是1，所以都是一元一次不等式组．③含有一个未知数，但是未知数的最高次数是2；⑤含有两
个未知数，所以③⑤不是一元一次不等式组
故选B
【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的定义
题型02 解不等式组
【例2】（2022·广东深圳·统考中考真题）一元一次不等式组¿的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】解出不等式组的解集，再把不等式的解集在数轴表示出来即可求解．
【详解】解：不等式x−1≥0，
移项得：x≥1，
∴不等式组的解集为：1≤x<2，
故选：D．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集并在数轴上表示解集，根据不等式的解集，利用找不等式组的解集
的规律的出解集是解题的关键．
【变式2-1】（2022·北京·统考中考真题）解不等式组：¿
【答案】11，
解不等式②得x<4，
故所给不等式组的解集为：1−3，
∴不等式组的解集为−3 −x，
3 3
1 2
− x+x> ，
3 3
2 2
∴ x> ，
3 3
∴x>1，
1 1
解不等式 x−1< (a−2)，
2 2
1 1
得 x< (a−2)+1，
2 2
∴xa
由②得，x<1
因不等式组有3个整数解
∴a0得x>−2.5，
k+4
解3x−k<4得x< ，
3
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为−2，−1，0，
k+4
∴0< ≤1，
3
解得：−410
【提示】先解不等式组，再根据该不等式组有且仅有2个整数解判断a的取值范围．
a
【详解】解：解不等式组¿，得32
【答案】A
【提示】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得．
x+1 x
【详解】解不等式 < −1，得：x＞8，
3 2
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式5-1】（2022·黑龙江·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x<2，则a的取值范
围是 ．
【答案】a≥2
【提示】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：¿，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜a，
∵关于x的不等式组¿的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的
口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
【变式5-2】（2023扎兰屯市三模）若不等式组¿的解集为x＞3，则m的取值范围 ．
【答案】m≤3
【提示】先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x＞3求出m的范围．
【详解】解：解不等式x＋8＜4x−1，得：x＞3，
∵不等式组的解集为x＞3，
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∴m≤3，
故答案为：m≤3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
【变式5-3】（2023·江苏连云港·校考二模）关于x、y的方程组¿的解满足x>0，y<0，求实数a的取值范
围．
1 5
【答案】− 0，y<0，
∴¿ ，
∴¿ ，
1 5
∴− 3 B．33，
∴不等式组的解集为：36，则a的取值范围是 ．
【答案】a≤2
【提示】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为x>6确定a的取值范
围即可．
【详解】解：根据新定义关于x的不等式组¿可化为：¿
解不等式①可得：x>6
解不等式①可得：x>3a
因为该不等式组的解集为x>6
∴3a≤6，解得：a≤2．
故答案为：a≤2．
【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．
【变式6-3】．（2022·河南安阳·统考一模）定义新运算：a⊕b=1−ab，则不等式组¿的整数解的个数为
．
【答案】5
【提示】先根据新定义，列出不等式组，再解不等式组，求出其解集，然后求出整数，即可得出答案．
【详解】解：由题意，得¿，
解①得：x≥-1，
解②得：x<4，
∴-1≤x<4，
∵x为整数，
∴x=-1，0，1，2，3，
∴不等式组的整数解的个数为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查新定义，求解不等式组的整数解，根据新定义，列出不等式组是解题的关键．
【变式6-4】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式
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( 1)
组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程8−x=x、7+x=3 x+ 都是关于x的
3
不等式组¿的相伴方程，则m的取值范围为 ．
【答案】2≤m＜3
【提示】先求出两个方程的解，再解不等式组，根据题意可得m<3且m+2≥4，即可解答．
【详解】解：解方程8−x=x，得：x=4，
( 1)
解方程7+x=3 x+ ，得：x=3，
3
由x−2≤m，得：x≤m+2，
由x＜2x−m，得：x>m，
∵x=3,x=4均是不等式组的解，
∴m<3且m+2≥4，
∴2≤m＜3，
故答案为：2≤m＜3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解题意，熟练解一元一次方程和一元一次
不等式是解题的关键．
题型07 根据程序图解不等式组
【例7】（2022下·安徽黄山·七年级统考期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是
否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．12.7595③
解不等式①得，x≤48，
解不等式②得，x≤24.5，
解不等式③得，x>12.75，
所以，x的取值范围是12.751 B．11，找
出10且 ≠2，
2 2
∴a<7且a≠3，
¿
解不等式①，得y≤1，
解不等式②，得y1，
∴1∠A，∠C>∠A，利用三角形的内角和定理转化为不等式，求解即
可．
【详解】∵∠A是最小的内角，且三个内角互不相等，
∴∠B>∠A，∠C>∠A
∴∠A+∠B+∠C>∠A+∠A+∠A=3∠A
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴3∠A<180°
∴∠A<60°
即∠A最大可取58°
故选：B
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，不等式及其求解，解题的关键是利用三角形内角和定理转化
为不等式．
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【变式1-1】．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一
节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价
元．
【答案】32
320−240−x
【提示】设该商品最多可降价x元，列不等式 ≥20%，求解即可；
240
【详解】解：设该商品最多可降价x元；
320−240−x
由题意可得， ≥20%，
240
解得：x≤32；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
【变式1-2】（2021·福建福州·校考二模）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内
角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 ．
【答案】100°
【提示】n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得800度．则内角和是（n-2）•180°与
800°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）•180°≥800°，多边形的边数n一定是最
小的整数值，从而求出多边形的边数，进而求出少计算的内角．
【详解】解：设多边形的边数是n．
依题意有（n-2）•180°≥800°，
4
解得：n≥6 ，
9
则多边形的边数n=7；
多边形的内角和是（7-2）•180=900度；
则未计算的内角的大小为900°-800°=100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及不等式的解法，解题的关键是由题意列出不等式求出这个少
算内角的取值范围．
【变式1-3】（2022·贵州安顺·统考中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”
获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，
A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是
多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700
千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
【答案】(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
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(2)至少把B块试验田改1.5亩种植杂交水稻．
【提示】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩
产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产
量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；
（2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，
即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
7200 9600
依题意得： − =4，
x 2x
解得：x=600；
经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×600=1200．
答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
（2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，
7200
依题意得：9600+600（ −y）+1200y≥17700，
600
解得：y≥1.5．
答：至少把B块试验田改1.5亩种植杂交水稻．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式1-4】．（2021·山东青岛·统考中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品
牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液
4
数量的 ．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
5
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超
市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少
元？
【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40
瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元
【提示】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总
4
价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的 ，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得
5
出结论；
（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合
总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最
大整数值即可得出结论．
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【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为x元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为(x−6)元/瓶，
1800 4 1800
由题意可得， = ⋅ ，
x 5 x−6
解得x=30，
经检验x=30是原方程的解.
答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.
（2）设利润为y元，购进甲品牌洗衣液m瓶，
则购进乙品牌洗衣液(120−m)瓶，
由题意可得，30m+24(120−m)≤3120，
解得m≤40，
由题意可得，y=(36−30)m+(28−24)(120−m)=2m+480，
∵k=2>0，∴y随m的增大而增大，
∴当m=40时，y取最大值，y =2×40+480=560.
最大 值
答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
【变式1-5】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品
每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能
在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B
两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少
件？
【答案】(1)这个月生产A产品30件，B产品70件
(2)140件
【提示】（1）设生产A产品x件，B产品y件，根据题意列出方程组，求出即可；
（2）设B产品生产m件，则A产品生产(180−m)件，根据题意列出不等式组，求出即可．
【详解】（1）解：设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得¿
解得¿，
∴这个月生产A产品30件，B产品70件，
答：这个月生产A产品30件，B产品70件；
（2）解：设B产品生产m件，则A产品生产(180−m)件，
根据题意，得(100−75)m+(120−100)(180−m)≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
∴B产品至少生产140件，
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答：B产品至少生产140件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题
的关键．
【变式1-6】（2022·山东聊城·统考中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的
地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这
样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40
天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【答案】(1)实际施工时，每天改造管网的长度是72米
(2)以后每天改造管网至少还要增加36米
【提示】（1）根据每天的施工效率比原计划提高了20%，设未知数，再根据比原计划提前10天完成任务
列出方程即可求解；
（2）根据工期不超过40天列出不等式即可求解．
【详解】解：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网(1+20%)x米，
3600 3600
由题意得： − =10，
x (1+20%)x
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）=72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）设以后每天改造管网还要增加m米，
由题意得：(40−20)(72+m)≥3600−72×20，
解得：m≥36．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，是中考常规题型，解题的关键在于找出题目
中的等量关系、不等关系，列出方程或不等式．
【变式1-7】（2022·湖南湘西·统考中考真题）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐
活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为
每个80元．
(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足
球各买多少个？
(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且
支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【答案】(1)原计划篮球买40个，则足球买20个
(2)篮球最多能买24个
【提示】（1）设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划
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募捐5600元”列方程组即可解答；
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答．
【详解】（1）解：设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据题意得：
¿，解得：¿．
答：原计划篮球买40个，则足球买20个．
（2）解:设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，
根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，
解得：a≤24.5，
答：篮球最多能买24个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和
不等式．
题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题
【例2】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 AC=30m，要使靠墙的一边长
不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
10 10 10
A．0≤x≤5 B．x≥ C．0≤x≤ D． ≤x≤5
3 3 3
【答案】D
【提示】根据题意和图形列出不等式25≤40−3x≤30即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，
25≤40−3x≤30
10
解得： ≤x≤5，
3
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
【变式2-1】已知三角形两边的边长分别为3、4，则第三边长度的取值范围在数轴上表示为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
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【提示】设第三边长度为x，由三角形三边关系可得一元一次不等式组，求解不等式组即可．
【详解】设第三边长度为x，由三角形三边关系可得
¿
解得1
