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专题 02 方程与不等式
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）
知识模块一：一次方程（组）
知识模块二：分式方程
知识模块三：一元二次方程
知识模块四：一次不等式（组）
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（6大基础考点+2方法技巧）
考点一：一元一次方程的解法
考点二：二元一次方程（组）的解法
考点三：分式方程及其解法
考点四：一元二次方程的解法
考点五：一元二次方程根的判别式及根与系数关系
考点六：一次不等式（组）的解法及解集表示（高频）
考点七：方程（组）的含参问题（方法技巧）
考点八：方程（组）的实际应用（方法技巧）
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（2大易错点）
易错点1：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
易错点2：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等或增根的情况。
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知识模块一：一次方程（组）
知识点一：方程的有关概念
一、等式
1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。
2.等式的性质：
（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果 ，那么 （
为一个数或式子））。
（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为 0的数，结果仍相等（如果 ，那么 ；
如果 ，那么 ）
3.等式性质的延伸：
（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果 ，那么 。
（2）传递性：如果 ， ，那么 。
二、方程的概念和方程的解
1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。
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2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：
（1）它是方程中的未知数的值；
（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。
5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。
6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。
7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。
8.一元一次方程知识拓展：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数；
（2）一元一次方程满足3个条件：
①是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的次数是1.
（3）一元一次方程的标准形式： 。
知识点二： 解一元一次方程与一元一次方程的应用
一、解一元一次方程
1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。
2.解一元一次方程的步骤：
（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）；
（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）；
（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）；
（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“ ”的形式（ ）；
（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数 得方程的解为 。
二、一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的常见类型有：
（1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、
分关系和多少关系等；
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（2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；
（3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积= ；
（4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢
车行驶路程=原距离（同向而行）。
（5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；
（6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系；
（7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和；
（8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变；
（9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于
总工作量；一般情况下，把总工作量设为1.
（10）利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=
；
（11）数字问题：设 分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 ；
（12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；
（13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度= ；溶质质量=溶液质量
×百分比浓度。
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求
的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、
求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
知识点三：二元一次方程（组）及其解法
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（一）二元一次方程
1.二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数
都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。
（二）二元一次方程组
1.概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；组成方程组的
两个方程不必同时含有两个未知数，例如： 也是二元一次方程组。
2.二元一次方程组的一般形式为：
3.如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么他们也组成一个二元一次方程组。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。
二元一次方程组 解的情况：
（1）当 时，方程组有唯一的一组解；
（2）当 时，方程组无解；
（3）当 时，方程组有无数组解。
（三）消元—解二元一次方程组
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化
为我们熟悉的一元一次方程，可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种将未知数由多化少，
逐一解决的思想，叫作消元思想。
2.代入消元法
（1）定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出
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来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方法称为代入
消元法。
（2）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②代入；③解方程；④求值；⑤联立。
（3）代入消元法的技巧：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1（或-1），选系数较简单的方程和系数较简单的未知数
变形比较简便。
3.用加减消元法解二元一次方程组
（1）定义：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减
从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程；这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。
（2）加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②加减；③解方程；④求值；⑤联立。
（3）加减法的技巧：
①当方程组中两个方程的同一个未知数的系数的绝对值相等时，可直接用加减法进行消元；
②当方程组的两个方程中同一个未知数的系数成整数倍时，可把其中一个方面的两边乘以倍数，使这个未
知数的系数相同或相反，然后运用加减法消去这个未知数。
③当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别
乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解。
（四）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（五）列二元一次方程组解应用题的常见类型
（1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量；
（2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例；
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量；
（4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率= ；
（5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；
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（6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干
较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。
知识模块二：分式方程
知识点一：分式方程
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生
增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
知识点二：分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或
是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果
为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
知识点三：解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
知识点四：换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对
象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而
简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
知识点五：解分式方程应用题
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
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必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位
等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作
时间等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
知识模块三：一元二次方程
知识点一：一元二次方程
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点二：一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
知识点三：配方法解一元二次方程
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
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⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
知识点四：因式分解法解一元二次方程
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，
得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
知识点五：根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点六：一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次
增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、
梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，
列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角
形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
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4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
知识模块四：一次不等式（组）
知识点一：不等式的基本性质
（一）不等式
1.一般地，用符号“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小关系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等关
系的式子也是不等式。
2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；
3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集；
4.不等式解集的表示方法：
（1）用最简的不等式表示，一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围；
（2）用数轴表示，不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，形象的表明不等式的无限个解（注意：
边界点和方向）。
①确定边界点：若边界点是不等式的解，则用实心点；若边界点不是不等式的解，则用空心点；②确定方
向：对边界点 而言，当 或 时，向右画；当 或 时，向左画。
（二）不等式的性质
1.不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
2.不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
知识点二：一元一次不等式（组）及其应用
（一）一元一次不等式
1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是 1的不等式，叫作一元一次不等
式。
2.一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系：
（1）相同点：二者都是只含有一个未知数，且未知数的次数为1，左边和右边都是整式；
（2）不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关
系，由等号连接，等号没有方向。
（二）一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
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2.解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加
括号；
②去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误；
③移项：过了不等号的项要变号；
④合并同类项：防指计算错误；
⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。
（三）一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一
元一次不等式组。（这几个不等式必须含有同一个未知数）
2.解一元一次不等式组：
（1）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不
等式组的解集。
（2）由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大
小小取不到。
（3）一元一次不等式组的解法：
第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集；
第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；
第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。
3. 一元一次不等式（组）的应用：审题 设未知数 找不等关系 列不等式（组） 解不等式（组）
检验 回答
考点一：一元一次方程的解法
【典例1】（2024·海南·中考真题）若代数式 的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知 ，解方程即可得到答案．
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【详解】解：∵代数式 的值为5，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
【典例2】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入
“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则
下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式 ， ，然
后化简代入即可解题．
【详解】解：设“▲”的质量为a，
由甲图可得 ，即 ，
由乙图可得 ，即 ，
∴ ，
故选C．
【典例3】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算： 例如： ，
．若 ，则 的值为 ．
【答案】 或
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据
新定义运算法则列出方程求解即可．
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【详解】解：∵
而 ，
∴①当 时，则有 ，
解得， ；
②当 时， ，
解得，
综上所述，x的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
考点二：二元一次方程（组）的解法
【典例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校
园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），
其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买 支笔记本， 个碳素笔，利用总价 单价 数量，即可得出关于 ， 的二元一次方程，再结合 ，
均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设购买 支笔记本， 个碳素笔，
依题意得： ，
．
又 ， 均为正整数，
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或 或 或 ，
共有4种不同的购买方案．
故选：B．
【典例2】（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千
克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则
所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用 个大箱， 个小箱，利用每个大箱装4千克
荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．
【详解】解：设用 个大箱， 个小箱，
∴ ，
∴ ，
∴方程的正整数解为：
或 ，
∴所装的箱数最多为 箱；
故选C．
【典例3】（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：
“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊
2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，
羊每头值金y两，则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
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【答案】A
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．因为每头牛值金 两，每头羊值金 两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，
共值金8两”，即可得出关于 、 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：A．
【典例4】（2024·浙江·中考真题）解方程组：
【答案】
【知识点】加减消元法
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得， ，解得 ，再把 代入①求出
即可.
【详解】解：
①×3＋②得，
解得 ，
把 代入①得 ，
解得
∴
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考点三：分式方程及其解法
【典例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为
（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分
母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得， ，
整理得， ，
当 时，方程无解，
当 时，令 ，
解得 ，
所以关于x的分式方程 无解时， 或 ．
故选：A．
【典例2】（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程 的解为 ．
【答案】x=1
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，
解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程去分母得： ，即
解得：x=1，
检验：当x=1时， ，
故原方程的解为x=1，
故答案为：x=1．
【典例3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程 的解为正整数，则整数m的值为
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．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数 的值即可．
【详解】解： ，
化简得： ，
去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
由方程的解是正整数，得到 为正整数，即 或 ，
解得： 或 （舍去，会使得分式无意义）．
故答案为： ．
【典例4】（2024·广东广州·中考真题）解方程： ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、
移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
该分式方程的解为 ．
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考点四：一元二次方程的解法
【典例1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它转化为
的形式，则 的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【答案】D
【知识点】解一元二次方程——配方法、配方法的应用
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把 移项，配方，化为 ，即可．
【详解】解：∵ ，
移项得， ，
配方得， ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
【典例2】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ，其中 满足
，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
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，则方程没有实数根，据此先求出 ，再求出 的符号即
可得到结论．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，
∴
，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【典例3】（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答
案小1，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程、其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程 ，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： 或 （舍）
故选：C．
【典例4】（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水
深度，其示意图如图②，其中 ， 于点C， 尺， 尺．设 的长度为x
尺，可列方程为 ．
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【答案】
【知识点】列方程、用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．
设 的长度为x尺，则 ，在 中，由勾股定理即可建立方程．
【详解】解：设 的长度为x尺，则 ，
∵ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【典例5】（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程 有两个相等的实数根，则k值为 ．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，当 时，一
元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二
次方程没有实数根．
【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得： ，
故答案为：
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考点五：一元二次方程根的判别式及根与系数关系
【典例1】（2024·山东日照·中考真题）已知，实数 是关于x的方程 的
两个根，若 ，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若
是该方程的两个实数根，则 ，据此得到 ，再由
得到 ，据此可得答案．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程 的两个根，
．
，
，
∴
，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
故选：B．
【典例2】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程 的两个解，则 的
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值为 ．
【答案】2028
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系
数关系求得 ， ，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程 的两个解，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为：2028．
考点六：一次不等式（组）的解法及解集表示（高频）
【典例1】（2024·广东广州·中考真题）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质
逐项判断即可得．
【详解】解：A．∵ ，
∴ ，则此项错误，不符题意；
B．∵ ，
∴ ，则此项错误，不符题意；
C．∵ ，
∴ ，则此项错误，不符合题意；
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D．∵ ，
∴ ，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【典例2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组 时，不等式①和不等式②的解集在
数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在
数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
所以，不等式组的解集为： ，
在数轴上表示为：
故选：C．
【典例3】（2024·山东·中考真题）根据以下对话，
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给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为 ；
②1班学生的最低身高小于 ；
③2班学生的最高身高大于或等于 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】代入消元法、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为 ，最低身高为 ，2
班同学的最高身高为 ，最低身高为 ，根据1班班长的对话，得 ， ，然后利用不
等式性质可求出 ，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得 ， ，然后利用不等
式性质可求出 ，即可判断②．
【详解】解：设1班同学的最高身高为 ，最低身高为 ，2班同学的最高身高为 ，最低身高为
，
根据1班班长的对话，得 ， ，
∴
∴ ，
解得 ，
故①错误，③正确；
根据2班班长的对话，得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确，
故选：C．
【典例4】（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式 的解集是 ，这个不等式的任意
一个解都比关于x的不等式 的解大，则m的取值范围是 ．
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【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，
再根据题意列出关于 的不等式，求解即可得．
【详解】解： ，
，
，
．
解不等式 得： ，
∵不等式 任意一个解都比关于 的不等式 的解大，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ； ．
【典例5】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数 ， 定义运算“※”为 ，例如
，则关于 的不等式 有且只有一个正整数解时， 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解、求不等式组的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于
的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于 的不等式，再由不等式的解集有且只有一个
正整数解得出关于 的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，
解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
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故答案为： ．
【典例6】（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式 的正整数解．
【答案】 ， ．
【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的
正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
∴不等式的正整数解为 ， ．
考点七：方程（组）的含参问题（方法技巧）
【典例1】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有 ，其中等式
右面是通常的乘法和加法运算，如 ．若关于x的方程 有两个不相
等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】新定义下的实数运算、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到 ，再由有两个不相等
的实数根得到 ，且 ，即可得到答案.
【详解】解：∵ ，
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∴ ，即 ，
∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，且 ，
解得 且 ，
故选：D．
【典例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于
x、y的方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把 ，代入 ，得到
，整体代入 中，得到方程组 ，加减消元法解方程组即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
∵ ，
∴ ，即： ，
，得： ，
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∵方程组 有解，
∴ ，
∴ ，
把 代入①，得： ，解得： ；
∴方程组的解集为： ；
故答案为： ．
【典例3】（2024·重庆·中考真题）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于
的分式方程 的解均为负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的
两个不等式，再根据不等式组的解集求出 ；解分式方程得到 ，再由关于 的分式方程
的解均为负整数，推出 且 且a是偶数，则 且 且a是偶数，据此确
定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
∴ ；
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解分式方程 得 ，
∵关于 的分式方程 的解均为负整数，
∴ 且 是整数且 ，
∴ 且 且a是偶数，
∴ 且 且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是 ．
故答案为： ．
【典例4】（2024·西藏·中考真题）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根
据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上
即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
将解集表示在数轴上如图：
．
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考点八：方程（组）的实际应用（方法技巧）
【典例1】（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四
折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；
把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键．
【详解】解：设绳长为x尺，列方程为 ，
故选A．
【典例2】（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一
部分学生乘慢车先行 ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每
小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为 ，则快车的速度是 ，再
根据题意列出方程即可．
【详解】解：设慢车的速度为 ，则快车的速度为 ，根据题意可得：
．
故选：A．
【典例3】（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从
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地匀速出发，甲健步走向 地．途中偶遇一位朋友，驻足交流 后，继续以原速步行前进；乙因故比
甲晚出发 ，跑步到达 地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之
间的距离 与甲出发的时间 之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 ；
②甲出发 时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 ；
④ ， 两地之间的距离是 ．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发 及当x=50时 第一
次为 ，可得出乙出发 时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当
时， 取得最大值，最大值为 ，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速
度为 ，利用路程 速度 时间，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之可得出 ， 的之，将
其代入 中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 ，进而可得出结论③错误；
④利用路程 速度 时间，即可求出 ， 两地之间的距离是 ．
【详解】解：① 乙比甲晚出发 ，且当x=50时， ，
乙出发 时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 ，结论①正确；
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②观察函数图象，可知：当 时， 取得最大值，最大值为 ，
甲出发 时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ，结论②正确；
③设甲的速度为 ，乙的速度为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 ，结论③错误；
④ ，
， 两地之间的距离是 ，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
【典例4】（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为
名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用
2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单
价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超
过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的
售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
【答案】 55 1260
【知识点】分式方程的实际应用、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的
性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为 元，则小号“龙辰辰”的单价为 元，根据题意建立
分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为 个，则购进大号“龙辰辰”的数量为
个，先求出 的取值范围，再设该网店所获利润为 元，建立 关于 的函数关系式，利用一次函数的性
质求解即可得．
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【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为 元，则小号“龙辰辰”的单价为 元，
由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元．
设购进小号“龙辰辰”的数量为 个，则购进大号“龙辰辰”的数量为 个，
由题意得： ，
解得 ，
设该网店所获利润为 元，
则 ，
由一次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而减小，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
即该网店所获最大利润为1260元，
故答案为：55；1260．
【典例5】（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数 能写成 ，其中 与 都是两位数，且
与 的十位数字相同，个位数字之和为 ，则称 为“方减数”，并把 分解成 的过程，称为
“方减分解”．例如：因为 ， 与 的十位数字相同，个位数字 与 的和为 ，所以
是“方减数”， 分解成 的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是
．把一个“方减数” 进行“方减分解”，即 ，将 放在 的左边组成一个新的四位数 ，若
除以 余数为 ，且 （ 为整数），则满足条件的正整数 为 ．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用、二元一次方程的解
【分析】本题考查了新定义，设 ，则 （ ， ）根据最小的“方减
数”可得 ，代入，即可求解；根据 除以 余数为 ，且 （ 为整数），得出
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为整数， 是完全平方数，在 ， ，逐个检验计算，即可求解．
【详解】 设 ，则 （ ， ）
由题意得： ，
∵ ，“方减数”最小，
∴ ，
则 ， ，
∴ ，
则当 时， 最小，为 ，
故答案为： ；
设 ，则 （ ， ）
∴
∵ 除以 余数为 ，
∴ 能被19整除
∴ 为整数，
又 （ 为整数）
∴ 是完全平方数，
∵ ，
∴ 最小为 ，最大为
即
设 ， 为正整数，
则
当 时， ，则 ，则 是完全平方数，又 ，
，无整数解，
当 时， ，则 ,则 是完全平方数，又 ，
，无整数解，
当 时， ，则 ，则 是完全平方数，
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经检验，当 时， ， ， ，
∴ ，
∴
故答案为： ， ．
【典例6】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全
国总产量的 以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特
级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、
干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，
特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，
该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最
终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元
(2)有3种方案，详见解析
(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他
应用
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的
关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组；（3）正确计算求解．
（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干
品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇 箱，根据“获利不少于1560
元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；
（3）根据（2）中三种方案分别求解即可；
【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
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则 ，
解得： ，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇 箱，
则 ，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ ，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意得 ，
解得： ；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得 ，
解得： （是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得 ，
解得： （不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
【典例7】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路
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经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 小
时到达目的地．甲、乙两车之间的路程 与两车行驶时间 的函数关系如图所示，请结合图象信息，解
答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____ ，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段 所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【答案】(1)70，300
(2)
(3) 或
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题
的关键．
（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；
（2）利用待定系数法求解；
（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B
地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，甲车 小时行驶的路程为 ，
甲车行驶的速度是 ，
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∴A、C两地的距离为： ，
故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为 ， ，
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
则 ，
解得 ，
线段 所在直线的函数解析式为 ；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为： ，
乙车行驶的速度为： ，
C、B两地的距离为： ，
A、B两地的距离为： ，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
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解得 ；
当甲乙相遇后时：
，
解得 ；
综上可知，两车出发 或 时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【典例8】（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘
汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有 型和 型两种车型，若购买 型公交车 辆， 型
公交车 辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元．
(1)求购买 型和 型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的 型和 型新能源公交车每辆年均载客量分别为 万人次和 万人次．公司准
备购买10辆 型、 型两种新能源公交车，总费用不超过 万元．为保障该线路的年均载客总量最大，
请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元；
(2)方案为购买 型公交车 辆， 型公交车 辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为 万人．
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一
次函数的实际应用)
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的
数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
（1）设购买 型公交车每辆需 万元，购买 型公交车每辆需 万元，根据“购买 型公交车 辆， 型
公交车 辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元”列出方程组解决问
题即可；
（2）设购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，由“公司准备购买10辆 型、 型两种新能源公
交车，总费用不超过 万元”列出不等式求得 的取值，再求出线路的年均载客总量为 与 的关系式，
根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元，
由题意得： ，
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解得 ，
答：购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元；
（2）解：设购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，该线路的年均载客总量为 万人，
由题意得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是整数，
∴ ， ，10；
∴线路的年均载客总量为 与 的关系式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为 （万人次）
∴ （辆）
∴购买方案为购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
【典例9】（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少
8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．
问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是 元
(2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，
找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是 元，根据用1000元购买的五子棋数量和用
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1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可；
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋 副，根据购买五子棋数量不超过
象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的
性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是 元，根据题意得：
解得： ，
经检验 是所列分式方程的解，且符合题意，
∴ ．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是 元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋 副，根据题意得：
，
解得： ，
，
，
随 的增大而减小，
在 中，
为正整数，
当 时， 有最小值，最小值为 （元），
则 （副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
【典例10】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给
师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书
籍．
【素材呈现】
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素材一：有 两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高 ；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
【问题解决】
(1)问题一：求出 两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买
方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价 元，按问
题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2) ；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题．
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为 元，用18000元购买A种书架 个，
用9000元购买B种书架 个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答；
（2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值
范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；
（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为 元．
由题意得 ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，且符合题意，
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．
答： 两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用 ，
即 ，
由题意得，a应满足： ，解得 ．
，
∴w随着a的增大而增大，
当 时，w的值最小，最小值为 ，
费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
，
解得 ．
易错点1：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结
果出错。
【典例1】（2024·青海西宁·三模）解分式方程： ．
【答案】分式方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘 得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：
方程两边都乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是增根，
即原分式方程无解．
【典例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）解分式方程： ．
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【答案】无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，化分式方程为整式方程；求整式方程的解；验根；写
出分式方程的解的步骤解分式方程求解即可．
【详解】解： ，
，
检验：当 时， ，
原分式方程无解．
【典例3】（2024·陕西西安·三模）解分式方程： ．
【答案】原方程无解
【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．
根据分式方程的解法即可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
整理得， ，
∵ ，
∴此方程没有实数根，
∴原方程无解．
易错点2：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等或增根的情况。
【典例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取
值范围是 ．
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【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查解一元一次不等式（组 ，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元
一次不等式的方法．
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组 恰有3个整数解，即可得到关于 的
不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由 ，得： ，
由 ，得： ，
不等式组 恰有3个整数解，
这3个整数解是0，1，2，
，
解得 ，
故答案为： ．
【典例2】（2024·重庆南岸·模拟预测）若关于 的一元一次不等式组 至少有两个整数解；且
关于 的分式方程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】20
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，
从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方
程的解确定a的取值范围．
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【详解】解：∵ ，
解不等式①得： ；
解不等式②得 ，
∴ 的解集为 ，
∵不等式组 至少有两个整数解，
∴ ，
解得 ；
∵ ，
去分母得： ，
整理，得 ，
故 ，
∵方程有非负数整数解，
∴ ，
∴ ，
∵ 时，是方程的增根，
此时 ，无意义，舍去，
∴ 或 或 或 且
∴符合题意的整数a的值为 ，
∴符合条件的所有整数a的和是 ，
故答案为： ．
【典例3】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）若关于 的不等式组 有且只有 个偶数解，且关于
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的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数 的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解，不等式组的解，解关于 的不等式组，根据其解的情况确定 的取值范
围；解关于 的分式方程，根据其解的情况确定 的取值范围，从而确定符合条件的所有整数 的值并求
和即可．掌握分式方程、一元一次不等式及不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴ ，
∵不等式组有且只有 个偶数解，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
在方程两边同乘以 ，得：
，
解得： ，
∵分式方程的解为正数，
∴ ，
∴ ，
∵ 或 是分式方程的增根，
∴ 或 ，
∴ 且 ，
∵ 为整数，
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∴ 可以是 ， ，
∴ ，
∴符合条件的所有整数 的和为 ．
故答案为： ．
【典例4】（2024·重庆·一模）若关于x的一元一次不等式组 有且仅有4个整数解，关于y
的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解
法是解题的关键．
先解不等式组，根据有且仅有4个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是正整数，可求出满
足条件的a的值，进一步求解即可．
【详解】解： ，
解①得： ，
解②得： ，
根据题意得： ，
∴ ，
解得： ，
解分式方程 ，得： ，
而分式方程的解为正整数，
∴ ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，符合题意；
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当 时， ，不符合题意；
当 时， ，是增根，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意．
∴满足条件的a只有1和 ，
∴满足条件的整数a的值之积为 ，
故答案为： ．
【典例5】（2024·重庆·模拟预测）若关于x的分式 有正整数解，且关于y的不等式
无解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】28
【分析】本题考查解分式方程及解不等式组，解题的关键正确解分式方程与不等式组．解出分式方程及不
等式组，根据条件找出符合条件的a的值，即可得到答案．
【详解】解：解分式方程得，
，且 ，
∵分式方程有正整数解，
∴ 的偶数，且 ，
解不等式组得，
，
∵不等式组无解，
∴ ，
解得： ，
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∴ 的偶数，且 ，
∴符合条件的a有：6、 ，12，
∴a的和为： ，
故答案为：28．
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