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备战 2024 中考数学一轮复习
第三章函数
第 4 讲一次函数的综合应用
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 4 讲一次函数的综合应用
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向四 一次函数与方程
考向五 一次函数与一元一次不等式
考向六 一次函数的应用
考向七 一次函数与几何图形综合
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第 4 讲一次函数的综合应用
→➊考点精析←
六、一次函数与方程（组）、不等式
1．一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为 0；从函数图象的角度
考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数 y=ax+b（a≠0）的值大于（或小
于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴
上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，
b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次
函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次
方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及
这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标
一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交
点坐标．
七、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或
两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成
的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
八、一次函数的实际应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实
际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
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（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数
关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是
否符合实际意义；（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列
不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出
有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进
行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直
接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，
再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
→➋真题精讲←
考向四 一次函数与方程
1．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x
轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2023·天津·统考中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文
具店离宿舍 ，体育场离宿舍 ，张强从宿舍出发，先用了 匀速跑步去体育
场，在体育场锻炼了 ，之后匀速步行了 到文具店买笔，在文具店停留 后，
用了 匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这
个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
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请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/ 1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为________ ；
③当 时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当张强离开体育场 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果
李明的速度为 ，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直
接写出结果即可）
考向五 一次函数与一元一次不等式
3．如图，直线 与 交于点 ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（乐山）已知一次函数 y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，且与 x轴交于点（2，
0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1
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5．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2
交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．
6．（2023·四川成都·统考中考真题） 年 月 日至 月 日，第 届世界大学生运动
会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买 ， 两种
食材制作小吃．已知购买 千克 种食材和 千克 种食材共需 元，购买 千克 种食材
和 千克 种食材共需 元．
(1)求 ， 两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共 千克，其中购买 种食材千克数不少于 种食材千克数
的 倍，当 ， 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
7．（2021春•青川县期末）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（3，0），B（1，2）
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝x﹣2与直线y＝kx+b相交于点C，求点C的坐标；
（3）写出不等式kx+b＞x﹣2的解集．
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8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增
大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920
元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如
下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的
数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用
最小？最小费用是多少元？
考向六 一次函数的应用
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为
射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的
取值范围确定最值．
9．（2023·山东聊城·统考中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，
10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t
（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀
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速驶向B地， 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B
地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离
A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解
答下列问题：
(1)A，B两地之间的距离是______千米， ______；
(2)求线段 所在直线的函数解析式；
(3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
11．（2023·四川泸州·统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今
年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比
节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根
据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节
前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利
润最大？最大利润是多少？
考向七 一次函数与几何图形综合
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12．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，
，将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
13．（内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣ x+1与x
1
轴，y轴分别交于点A和点B，直线l：y=kx（k≠0）与直线l 在第一象限交于点C．若
2 1
∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
14．（2019·广西桂林中考真题）如图，四边形 的顶点坐标分别
，当过点 的直线 将四边形 分成面积相
等的两部分时，直线 所表示的函数表达式为（ ）
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A． B． C． D．
15．（2019·四川眉山·中考真题）如图，一束光线从点 出发，经 轴上的点
反射后经过点 ，则点 的坐标是( )
A． B． C． D．
16．（2019·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y
轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连
接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为_____．
17．如图，将直线 向上平移后经过点 ，分别交x轴y轴于点B、C．
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（1）求直线 的函数表达式；
（2）点P为直线 上一动点，连接 ．问：线段 的长是否存在最小值？若存在，
求出线段 的最小值，若不存在，请说明理由．
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